金融危机期间股票共同运动的统计推断

也就是说，在这些模型中，预测价格不是由微观交易者的决策结果构建的。在这些预测股价的研究中，Kaizoji[27]试图通过“Ising spin”来表示交易者发出的“买入”和“卖出”信号。他提出了一个模型，其中价格的回报由伊辛系统的“磁化”决定。他进行了计算机模拟，并得出结论，金融现象（如“气泡”或“破碎”）与伊辛磁系统中称为“相位转换”的物理集体现象之间存在有趣的关系。然而，这些研究似乎还不够广泛，还存在一些有待澄清的问题。例如，宏观数量的动态可能会指定交易者的集体行为，应该更广泛地揭示。正如我们在前面几节中看到的，就在危机刚刚结束时，各种股票之间存在着强烈的相关性。因此，我们可以通过交叉相关性修改Kaizoji的模型[27]，利用交叉相关性同时预测几个价格。因此，在本节中，我们将重点讨论利用股票市场中的相互关系同时预测几个股票的价格。3.1. 从微观决策到宏观价格的联系为了研究相互关联对几种股票价格预测的影响，我们首先解释Kaizoji[27]提出的模型作为基本模型。让我们定义p（k）tas时间t时商品k的价格。然后，收益率，即连续两个时间步t和t+1的价格差，由下式给出：p（k）t≡ p（k）t+1- p（k）t=m（k）t，k=1，··，k。

（11） 为了从微观角度构造收益率m（k）t，我们假设每一个拥有股票k的贸易商（i=1，····，Nk）在每一个时间步t买入或卖出v（k）。然后，让我们将买方组称为A+（k，t），而卖方组称为asA-（k，t）。因此，购买和出售的总数量由ψ+（k，t）明确给出≡十一∈A+（k，t）v（k）it，ψ-（k，t）≡十一∈A.-（k，t）v（k）it，（12）分别。我们应该记住，处理股票kis的交易者总数是守恒的，即条件：A+（k，t）+A-（k，t）=Nk（13）应该满足。然后，通过（12）mt=λ（ψ+（k，t）自然定义收益m（k）- ψ-（k，t））（14），其中λ为正常数。也就是说，当买方的数量大于卖方的数量时，ψ+（k，t）>ψ-（k，t），则返回值变为正m（k）t>0。因此，社区k的价格应在下一个时间步骤增加，如下所示： p（k）t=m（k）t.3.1.1。通过以上微观观察和设置，我们可以自然地接受，然而，在这里，我们将使情况变得更简单。也就是说，我们通过设置v（k）it=1来忽略有关卷的信息(i、 t，k）。每个雷达（i=1，···，Nk）的决策现在只需通过伊辛自旋S（k）i（t）获得=+1（交易员在时间t购买股票k）-1（交易者i在时间t卖出股票k）（15）回报率也被简化为asm（k）t=λ（ψ+（k，t）- ψ-（k，t））=λNkXi=1v（k）itS（k）i（t）（16），其中我们设置λ=N-1做出回报：m（k）t=NkNXi=1S（k）i（t）（17）满足| m（t）t |≤ 1.因此，MKT对应于统计物理学中的“磁化”，股票k的价格更新规则受磁化m（k）tas的约束p（k）t=m（k）t，k=1，··，k.（18）3.2。

能量函数我们接下来介绍系统的能量函数。Et（S（k））=-J（k）tNkXijS（k）是（k）J- h（k）tXiσ（k）τ（t）S（k）i- γ（k）tXiKKXu6=kcku（t）m（u）t在S（k）i（19）中，我们省略了S（k）ifor中的时间依赖性。（19）右侧的第一项诱导了人类的集体行为，即每个主体倾向于采取与其他主体相同的决策来降低总能量。第一个术语对总能量最小化的影响可能被认为是所谓的凯恩斯选美比赛。这意味着商人往往会做出与其他人相同的决定，尤其是在危机期间。也就是说，当日本地震这样的负面消息（情绪）被播放时，几乎所有的交易员都可能卖出自己的股票，而其他人也会在没有任何理性的情况下卖出。换句话说，第一项导致交易者的人类集体行为，这在行为经济学文献中有时被认为是J（k）t的信息级联≥ h（k）t，γt。实际上，我们发现（19）右侧第一项的下界计算为：-J（k）tNkXijS（k）是（k）J≥ -NkJ（k）t（20），其中等号满足当且仅当S（k）i=1(i） 或S（k）i=-1 (i） 坚持住。（19）中的第二项表示交易者的决策与市场（历史）信息之间的相互关联。在本文中，我们选择了“趋势”：σ（k）τ（t）≡pt- pt-ττ（21）用于此类信息。这意味着，当每个交易方将符号S（k）i=±1添加到市场时，总能量应减少，以使产品σ（k）τ（t）S（k）完全为正。换句话说，如果价格在过去的τ时间段内趋于上涨，那么每个交易者都会购买商品k，而交易者则会出售股票，反之亦然。

实际上，第二个术语被定义为- h（k）tXiσ（k）τ（t）S（k）i≥ -Nkh（k）t |σ（k）τ（t）|（22），其中当sgn[S（k）i]=sgn[σ（k）τ（t）]成立时，等式应满足。第三个术语未出现在参考文献[27]中，它来自拥有商品k的交易员i和“典型交易员”（一个平均场）m（u）TPossingStocksu（6=k）之间的相关性。第三项中出现的系数cku（t）代表相关系数，我们应该记住，它由（4）明确给出。因此，当k和u在正系数方面相关时，即从时间t开始，cku（t）>0- 对于时间t，拥有股票k的交易者倾向于做出与处理股票μ的典型交易者相同的决定，即M（μ）t。从上述论点来看，我们可能有助于研究这些交易者在多大程度上通过宏观超参数J（k）t、h（k）和γ（k）t的值集体行为。也就是说，在现实的股票市场中，当这些p参数改变h（k）t/J（k）t的值时，可能存在一种可能性，即人类行为在某种意义上是集体的和“非理性的”→ 0，γ（k）t/J（k）t→ 0和J（k）t→ 1（铁素体范围铁磁性精密模型的临界点）。3.3。应该注意的是，Boltzmann-Gibbs分布确定了作用子的状态向量：S（k）=（S，···，SNk），k=1，··，Kare，以便使前一小节中的参数的能量函数（19）最小化。对于大多数情况，解决方案应该是唯一的。然而，在现实的金融市场中，代理人的决策应该更加“多样化”。因此，我们考虑了每种商品的交易者的统计集合S（k），并通过P（S（k））确定了集合的分布。

然后，我们将寻找合适的分布，使所谓的香农熵最大化=-在两个不同的约束条件下：XS（k）P（S（k））=1，XS（k）P（S（k））E（S（k））=Ek。（24）也就是说，根据Jaynes[28]，我们选择使以下函数fk{P（S（k））}最小化的分布：fk{P（S（k））}=-XS（k）P（S（k））log P（S（k））- λ（k）XS（k）P（S（k））- 1.- λ（k）XS（k）P（S（k））Ek（S（k））- 埃克（25）其中λ（k），λ（k）是拉格朗日乘数。经过一些简单的代数之后，我们立即注意到λ（k）给出了P（S（k））和λ（k）的归一化常数≡ β是系统中“热传导”的控制参数。因此，我们得到了解决方案asP（S（k））=exp[-βE（S（k））]PS（k）exp[-βE（S（k））]（26）其中β表示逆温度，此后我们设置β=1。我们还定义了S（k）byXS（k）（··）≡XS（k）=±1··XS（k）N=±1（··）。(27)3.4. 贝叶斯解释从贝叶斯推理的角度解释上述概率分布可能会有帮助。实际上，我们可以通过贝叶斯统计中的后验分布推导出上述玻尔兹曼-吉布斯形式P（S（k））。我们假设股票价格的变化可能是由σ（k）τ（t）引起的，这是由于traderi的微观决策S（k）i=±1。然后，以下条件概率（σ（k）τ（t）|S（k））∝ exph（k）tNXi=1σ（k）τ（t）S（k）i！（28）表示交易者S（k）的决策导致结果σ（k）τ（t）的可能性。因此，为了预测交易者对给定市场数据σ（k）τ（t）的决策，我们通过贝叶斯公式P（S（k）|σ（k）τ（t））构造后验概率P（S（k）|σ（k）τ（t））∝ P（σ（k）τ（t）|S（k））Q（S（k）|{m（u6=k）t}）（29），其中Q（S（k）|{m（u6=k）t}）代表先验分布。

对于来自其他伊辛层{m（u6=k）t}的给定平均场集，自然可以选择之前的asQ（S（k）|{m（u6=k）t}）∝ 经验J（k）tNkXijS（k）是（k）J+γ（k）tXiKKXu6=kcku（t）m（u）tS（k）i（30）然后，我们有后验概率（S（k）|σ（k）τ（t））=exp[J（k）tNkPijS（k）是（k）J+h（k）tPiσ（k）τ（t）S（k）i+γ（k）tPi（KPKu6=kckku（t）m（u）t）S（k）PS（k）exp[J（k）tNkPijS（k）是（k）J+h（k）tPi（k）τ（t）S（k）k）k）k）tPi+kpi（k）t）S（k）i+KPK 6=KPK（t）kpi）kpi（k）。（31）因此，我们的模型系统由多层伊辛模型描述，其中任意两层（股票）通过平均场耦合。3.5. 瞬时返回的平均场方程众所周知，当系统的成分“完全连接”时，分配函数Z（31的分子）在鞍点asZ处计算 exphNkΦ（m（k）：J（k）t，h（k）t，γ（k）t，{m（u）t}）i（32）在Nk的极限下→ ∞ “自由能密度”Φ=-J（k）t（m（k））+log coshJ（k）tm（k）+h（k）tσ（k）τ（t）+γ（k）tKKXu6=kcku（t）m（u）t. （33）因此，鞍点方程Φ/m（k）=0产量sm（k）=tanhJ（k）tm（k）+h（k）tσ（k）τ（t）+γ（k）tKKXu6=kcku（t）m（u）t. （34）tanh（···）中出现的第二个和第三个术语分别是市场历史的外部字段和其他伊辛层的平均字段。对于给定的非平稳场σ（k）t（t）和平均场{m（u）t}，不能预期每层m（k）都存在平衡解。因此，我们假设，这种非平衡效应可以通过处理以下与时间相关的（原始的）平均场方程f或“瞬时”回报来实现。m（k）t=tanhJ（k）t-1m（k）吨-1+h（k）t-1σ（k）τ（t）- 1） +γ（k）t-1KKXu6=kcku（t- 1） m（u）t-1., k=1，··，k（35），通过对给定的一组过去真实市场历史{σ（k）τ（t）的上述非线性映射进行数值求解- 1） 因此，人们可以通过以下方法预测每只股票的价格：同时，pt=m（k）t，k=1，·k。3.6。

非平稳时间序列的超参数估计为了使用平均场方程（35）预测股票价格，需要对（35）右侧出现的所谓超参数（J（k）t，h（k）t，γ（k）t）进行系统估计。在概率信息处理的文献中，比如在贝叶斯图像复原[29]中，人们不能使用均方误差作为代价函数，因为它需要构造“真实（原始）图像”。因此，我们通常使用边际似然作为代价函数来估计超参数。然而，在我们目前的模型系统中，我们可以利用过去的市场历史，也就是说，过去的“真实回报”q（k）l≡ q（k）l- q（k）l-1，l=1，··，t- 这意味着“累积误差”可以定义为真实可观测值和估计值之间的累积均方误差≡T-1Xl=1q（k）l-p（k）l=T-1Xl=1“q（k）l- tanhJ（k）t-1.q（k）l-1+h（k）t-1σ（k）τ（t）- 1） +γ（k）t-1KKXu=1kku（t- 1)q（u）l-1!#（36）我们定义了“预测回报”p（k）l≡ p（k）l-p（k）l-1，l=1，··，t-1和平均时间q（k）l≡MlXi=l-M+1（q（k）i+1- q（k）i），p（k）l≡MlXi=l-M+1（p（k）i+1- p（k）i）（37）对于宽度为M的时间窗口。为了获得上述等式（36）中的最后一行，我们使用p（k）l m（k）l=tanhJ（k）t-1m（k）l-1+h（k）t-1σ（k）τ（t）- 1） +γ（k）t-1KKXu6=kcku（t- 1） m（u）l-1.（38）并替换了m（k）l-1，k=1，··，k通过相应的观察值出现在tanh（··）中q（k）l-1，k=1，··，k，因为人们可以在预测之前使用这些值。因此，我们应该通过梯度下降学习J（k）t=J（k）t，从金融市场的过去数据集中推断这些超参数（J（k）t，h（k）t，γ（k）t）-1.- η埃克J（k）t-1，h（k）t=h（k）t-1.- η埃克h（k）t-1，γ（k）t=γ（k）t-1.- η埃克γ（k）t-1，（39）式中η是一个学习率。

在下一节中，我们将研究上述预测框架，即出现危机的日内数据集。4.经验高频数据集预测的绩效评估在本节中，我们将检查我们的预测模型在s股票中的互相关是否有用。作为一个简单的检查，对于三个不同的时间序列K=3的情况，我们检查预测程序的准确性。在第2节中，我们将200只股票视为危机期间的每日数据。然而，数据点的数量不足以满足我们的预测过程。因此，这里我们选取欧元/澳元（k=1）、欧元/加元（k=2）、欧元/日元（k=3）汇率（欧元：欧元、加元：加元、澳元：澳元、日元）：作为高频滴答数据，从2010年4月27日到2010年5月13日，作为真实值q（k）t。我们将图4中的三个真实时间序列绘制为实线。我们观察到，这些时间序列有一个危机，对应于2010年春天的希腊危机。在图4的左面板中，显示了OUR模型预测的最终价格p（k）t。我们将时间窗口大小设置为M=τ=100，学习率设置为η=0.01。当然，我们可以选择像η=η（t）这样的“自适应”清洁率，然而，在本文中，我们将该值设置为正常数。

从这些数据中，我们发现我们的预测程序运行良好，误差仅为速率平均值的百分之几。1.4051.411.4151.421.4251.431.4351.450 5000 10000 15000 25000pt（1）tqp1。4051.411.4151.421.4251.431.4351.450 5000 10000 15000 20000 pt（1）tqp1。281.291.31.311.321.331.341.351.360 5000 10000 20000 pt（2）tqp1。281.291.31.311.321.331.341.351.360 5000 10000 25000pt（2）tqp0 5000 20000 25000pt（3）tqp0 5000 15000 25000pt（3）TQP图4。从上到下，欧元/澳元（k=1）、实际价值q（k）及其预测p（k）分别为2010年4月27日至2010年5月13日的欧元/加元（k=2）、欧元/日元（k=3）汇率。左列中的面板通过“库存优化”获得，而右列中的面板通过“成对优化”计算相关强度。我们设置了时间窗口的宽度和学习率asM=τ=100，η=0.01。（颜色在线）4.1。关联强度超参数的成对优化我们接下来检查以下轻微修正γ（k）tKKXu6=kcku（t- 1)q（u）l-1.→KKXu6=kγ（ku）tcku（t- 1)q（u）l-1（40）in（35）-（36）。也就是说，伊辛层之间的相关性强度是针对每对层单独评估的。由于这种修正，γ（k）tin（39）的学习方程应修正为γ（ku）t=γ（ku）t-1.- η埃克γ（ku）t-1，u6=k.（41）从现在起，具有上述修改（40）（41）的预测模型被称为“成对优化”，而原始版本（35）（36）被称为“库存优化”，用于关联强度的超参数。我们在图4的右侧面板中绘制了结果。从这些面板中，我们确认，成对优化会使结果比我们预期的更糟。

特别是对于较大的区域，s-tock-wise优化和成对优化之间的差距变得更大。从结果来看，我们应该考虑超参数的最佳数量，以便在不过度拟合的情况下将模型拟合到时间序列。4.2. 危机期间的超参数流最后，我们考虑了危机期间超参数的动力学行为。我们在图5中展示了结果。这些面板显示了-0.20.20.40.60.80 50002.5万J（2）h（2）γ（2）J（2）h（2）γ（21）γ（23）-0.20.20.40.60.80 50002.5万J（3）h（3）γ（3）γ（31）γ（32）的超参数（J（k）T，h（k）T，γ（k）T）的动力学。宏观参数动态（J（k）t，h（k）t，γ（k）t）用于“股票优化”（顶部三行标题）和（J（k）t，h（k）t，γ（ku）t）用于“成对优化”（底部四行标题）。我们展示了k=2（左面板）和k=3（右面板）的结果。（颜色在线）库存优化和（J（k）t，h（k）t，γ（ku）t）成对优化。从这个面板中，我们清楚地发现，在股票优化所描述的预测模型中，对于汇率的两种情况（k=2,3），超参数J（k），h（k）分别收敛于h（k）=0和J（k）=1。因此，当k=2时，γ（k）t收敛到零，这对应于有限范围铁磁Isin g模型中有序-无序相变的临界点。然而，当k=3时，它会在零点处收敛到略为负值。因此，对于k=3，按库存优化不会检测到临界行为，并且随着t的继续，偏离临界点的f变大。