建立套利市场模型的系统方法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Systematic Approach to Constructing Market Models With Arbitrage》
---
作者：
Johannes Ruf and Wolfgang Runggaldier
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  This short note provides a systematic construction of market models without unbounded profits but with arbitrage opportunities.
---
中文摘要：
这篇短文提供了一个系统的市场模型构建，没有无限的利润，但有套利机会。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> A_Systematic_Approach_to_Constructing_Market_Models_With_Arbitrage.pdf (107.35 KB)

2022-5-4 20:43:39 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Construction Quantitative Constructing QUANTITATIV derivatives

建立套利市场模型的系统方法*Johannes Ruf+牛津定量金融和数学研究所牛津大学，联合KingdomWolfgang Runggaldier帕多瓦大学数学系，意大利，2018年12月14日摘要本简短说明提供了一个没有无限利润但有套利机会的市场模型的系统构建。1引言现代数学金融的一个基本概念是不存在套利。事实上，如果没有无套利条件，就无法有意义地解决定价、对冲或投资组合优化问题。在无套利理论的历史发展中，马德比·哈里森、克雷普斯和普利斯卡在一系列论文中迈出了基本的一步，见哈里森和克雷普斯（1979年）、克雷普斯（1981年）和哈里森和普利斯卡（1981年）。Delbaen和Schachermayer（1994年、1998年）（另见Kabanov（1997））随后证明了无免费午餐风险消失（NFLVR）的经济概念与等价局部鞅测度（ELMM）的数学概念之间的等价性。最近的随机投资组合理论（例如，见Fernholz（2002）或Fernholz和Karatzas（2009）中的调查）是一种更具描述性而非规范性的理论，表明真实市场中的行为对应于比NFLVR更弱的无套利概念。

在某种程度上，与这一理论平行的是，引入了所谓的量化融资的Benchmark方法（见Platen（2006）或教科书Platen and Heath（2006）），目的是表明定价和套期保值也可以在不依赖ELMM存在的情况下进行。此后，研究了各种较弱的无套利概念及其对资产定价和投资组合优化的影响；关于最近对连续金融市场模型的无套利条件的全谱统一分析，请参见Fontana（2013）。这一发展过程中的一个关键概念是等价局部鞅定义（ELMD）的概念，它与*该项目于2013年6月在北京国际数学研究中心的中法研讨会上启动。我们非常感谢焦颖、卡洛琳·希尔莱特和彼得·坦科夫组织了这次精彩的会议，我们非常感谢研讨会的所有参与者就本说明的主题进行了激励性讨论。我们感谢Claudio Fontana和Chau Ngoc Huy对本说明早期版本的许多有益评论。+电子邮件：johannes。ruf@oxford-伙计。ox.ac.uk——电子邮件：runggal@math.unipd.itdensity存在ELMM时的案例处理。和密度过程一样，ELMD是一个局部鞅，但它可能不是一个鞅。与这一理论平行，还发展了一个资产价格泡沫理论，其中，在ELMM下，贴现资产价格是严格的局部鞅，但我们这里不涉及这个问题，而是参考Jarrow等人。

(2007, 2010).随着无套利这一较弱概念的发展，在Karatzas和Kardaras（2007）的论文中迈出了关键的一步，作者们证明了一个条件，他们称之为无无界利润有界风险（NUPBR），这是可以有意义地进行投资组合优化的最小条件。关于相应的套期保值问题，我们参考了Ruf（2011、2013a）。NABR的概念也以第一类无套利（NA1）的名义出现；参见英格索尔（1987）和卡达拉斯（2012）。一个相关的利益问题，但我们在此不讨论，是套利概念的稳健性问题，Guasoni和R'asony（2011）对此进行了尝试。由于上述原因，人们对介于NFLV和NUPBR之间的金融市场模型产生了兴趣。这样的模型将允许经典套利，但仍有可能进行定价和对冲以及投资组合优化。Delbaen和Schachermayer（1995）已经给出了连续市场模型的一个经典例子。普莱滕和希思（2006）也强调了贝塞尔过程在这方面的相关性；另见注释Ruf（2010）和调查Hulley（2010）。此时，人们可能会想，除了基于贝塞尔过程的模型外，是否还有其他重要的金融模型满足NUPBR而非NFLVR，以及是否有系统的程序来生成此类模型。等价地，是否有生成严格局部鞅的过程，本文就是在这个方向上的一次尝试。我们的方法受到了最近重新兴起的兴趣的启发（例如，见Fernholz and Karatzas（2010）、联阵（2013b）、卡尔等人（2013）、卡尔达拉斯等人。

（2012），Perkowski和Ruf（2013）），在F¨ollmer（1972）中构造了严格正局部鞅的所谓F¨ollmerexit测度，因为它在Delbaen和Schachermayer（1995）中已经被用于连续过程（见定理1）。另一个与我们的方法相关的观点是，将非负局部鞅的期望过程（作为时间的函数）解释为某个随机变量的分布函数，即与非负鞅相关的过程的爆发时间；这一观点的灵感来源于McKean（1969年），并在Karatzas和Ruf（2013年）中进一步探讨。我们的方法与Osterrieder和Rheinl¨ander（2006）中提出的方法密切相关，在该方法中，不同的市场是通过绝对连续但不等效的度量变化构建的。与这项工作平行，Protter（2013）开发了一种方法，通过收缩基础过滤系统来获得严格的局部鞅。利用这样的见解构造严格的局部鞅右，可以进一步获得满足NUPBR而非NFLVR的模型。我们不会追求这个方向，并将其留给未来的研究。相反，Fontana等人（2013年）通过过滤放大构建了满足NUPBR（至少在一定时间内）但不满足NFLVR的模型。2模型和初步概念给出了有限的时间范围T<∞ , 考虑一个拥有d资产的市场，即一对(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），软滤波概率空间和非负半鞅（Si）i=1，。。。，dwithSi=（Si（t））t≥0.我们假设F（0）是平凡的，并且过滤（F（t））t∈[0，T]是右连续的。

过程S的每一个组成部分代表我们假设已经就货币市场账户贴现的d资产之一的价格；也就是说，我们假设短期利率为零。代理人根据自我融资策略H=（H（t））t投资该市场∈[0，T]我们将用Vx，H=（Vx，H（T））T来表示∈[0，T]=x+（（H·S）T）T∈[0，T]=x+ZtH（u）dS（u）T∈[0，T]与初始值Vx，H（0）=x定义1的策略H对应的值过程。设α>0为正数。安·S-可积可预测过程H称为α-可容许，如果H（0）=0，且过程V0，hsaties V0，H（t）≥ -α为所有t∈ [0，T]几乎可以肯定。如果某个α>0的策略是α-可容许的，则该策略称为可容许。定义2。Anarbitrage strategyH是P（V0，H（T）的容许策略≥ 0）=1和p（V0，H（T）>0）>0。如果P（V0，H（T）>0）=1，我们称之为套利策略。我们还记得，没有套利的经典概念，即没有带消失风险的免费午餐（NFLVR），相当于存在一个概率测度Q，相当于P，在这个概率测度下，价格过程是局部鞅（因为我们假设价格是非负的）。在最近关于无套利的较弱概念中，我们回顾了以下内容：定义3。如果P（ξ），则F（T）－可测随机变量ξ称为第一类套利≥ 0=1，P（ξ>0）>0，对于所有x>0，存在一个x-容许策略H，使得Vx，H（T）≥ ξ. Weshall说，如果市场上没有第一种套利，那么市场不允许第一种套利（NA1）。定义4。

如果setK=V0，H（T）|H=（H（T））T∈[0，T]是S的1-容许策略以L为界，即iflimc↑∞苏普∈KP（W>c）=0保持。可以看出，NA1和NUPBR是等价的（见Kardaras（2010）），NFLVR意味着NUPBR，但后两个概念之间没有等价性（见Delbaen和Schachermayer（1994）或Karatzas和Kardaras（2007））。满足NA1（或相当于NUPBR）的市场也称为（弱）VIABALE，可以证明NA1（NUPBR）意义上的市场生存能力是有意义地解决定价、套期保值和投资组合优化问题的最小条件；见Karatzas和Kardaras（2007）。最后一个需要回顾的概念是等效局部鞅定义（ELMD），它概括了ELMM的密度过程的概念：定义5。等价局部鞅定义（ELMD）是非负局部鞅Z，不一定是鞅，因此Z（0）=1和P（Z（T）>0）=1，当价格过程乘以Z时，成为局部鞅。以下结果直到最近才得到充分的普遍性证明：；见Kardaras（2012）、Takaoka（2013）和Song（2013）：提案1。当且仅当等价局部鞅函数集不为空时，市场满足NUPBR。本说明的目标是提供一种系统的方式来构建一个满足NUPBR而非NFLVR的市场。3主要结果在本节中，我们提出了两个假设，在此假设下，我们可以构建一个满足NA1（相当于NUPBR）但不满足NFLVR的市场。在接下来的第4节中，我们将给出一些满足这些假设的市场示例，即NUPBR因此成立，而非NFLVR。根据Delbaen和Schachermayer（1995）的说法，我们现在把事情搞得天翻地覆。

在上一节中，我们从概率空间开始(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），d资产价格在其上处理半鞅，现在我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，Q），其中d处理Siare Q-局部鞅。在这个概率空间上，我们进一步考虑非负的Q-鞅Y=（Y（t））t∈[0，T]与Y（0）=1。让停止时间τ表示Q-鞅Y的第一次击中时间0。我们假设Y有正概率达到零，但它只持续达到零；也就是说，Q（Y（T）=0）=Q（τ）≤ T）>0和Q（{Y（τ）-) > 0} ∩ {τ ≤ T}=0。（1） 因为Y被假定为Q-鞅，所以我们也有Q（τ）≤ T）<1。由于Y是一个Q-鞅，它通过Radon-Nikodym导数dP/dQ=Y（T）生成一个概率测度P（对应于上一节中的P）；概率测度P对于Q是绝对连续的，但不等同于Q引理1。在假设（1）下，过程1/Y为非负P-P（1/Y（T）>0）=1的严格局部鞅。引理1的陈述直接来自简单的计算；例如，参见卡尔等人（2013）的定理2.1。我们引入以下基本假设：存在x∈ （0，1）和一个容许策略H=（H（t））t∈[0，T]s.T.Vx，H（T）≥ 1{Y（T）>0}。（2） 请注意，市场(Ohm, F、 （F（t））t∈最后一小节的[0，T]，Q），S满足NFLVR。因此，假设（2）相当于该市场中未定权益{Y（T）>0}的最小超复制价格小于1的假设；也就是说，长官∈MER[1{Y（T）>0}]<1，其中M表示等价于Q的所有概率测度的集合，在该集合下，Si是每个i=1的局部鞅，d、 我们现在陈述并证明这条注释的主要结果：定理1。

根据本节的设置和假设（1）和（2），市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），但不满足NFLVR。此外，任何满足假设2中条件的可预测过程H都是市场中的强套利策略(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），S证明。注意，假设（2）中的过程H在Q下是可接受的交易策略，因此在P下也是可接受的。由于P（1{Y（T）>0}=1）=1，且x<1，策略H在P下是一个强套利策略。因此，市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），S不满足NFLVR。为了确保市场满足NUPBR，请注意，通过引理1，过程1/Y是P-局部鞅，对于每个i=1，…，Si/Y也是P-局部鞅，d）用广义贝叶斯公式；例如，参见卡尔等人（2013）中的命题2.3（iii）。因此，存在一个局部鞅定义，根据命题1，市场满意度为NUPBR。基本上是任何市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），满足NUPBR但不满足NFLVR的S意味着概率测度Q和满足（1）且dP/dQ=Y（T）的局部鞅Y的存在；见Delbaen和Schachermayer（1995年）、Ruf（2013a）和Imkeller和Perkowski（2013年）。从这个意义上讲，定理1提供了相反的方向，因此可以被认为是满足NUPBR而非NFLVR的市场的系统结构。4示例在上一节的设置中，我们现在讨论假设（1）和（2）成立的市场的几个示例。定理1证明了所有这些市场在P下满足NUPBR，但不满足NFLVR。例1。设Y表示满足Y（0）=1和假设（1）的非负Q-鞅。让Sbe对过程进行正确的连续修改（等式[1{Y（T）>0}|F（T）]）∈[0，T]设Sifor i=2，注意任意Q-局部鞅。

然后，很明显，假设（2）是满足的，可以应用定理1。例2。作为第二个例子，在Chau Ngoc Huy的论文中详细讨论了，考虑当Y是强度为λ的补偿Q–泊松过程时的情况≥ 1/T从一开始，在零或第一次跳跃时停止。设置S=Y，让Sifor i=2，d表示任意Q-局部鞅。显然，假设（1）（Q（Y（T）=0）=exp(-1） ）和假设（2）（x=1）- 经验(-1） ）保持不变，因此定理1适用。例3。现在让我们稍微概括一下示例2之前的泊松设置。为此，我们将Fixλ≥ 1吨，让我进去≤ 1.≤ fmax表示两个严格正实数，使得x:=FmaxFmin1.- 经验-Fmax< 1.此外，我们选择了一个支持[Fmin，Fmax]且期望值为1的任意分布函数F。现在，我们让Y表示强度为λ且跳跃分布为F（在概率测度Q下）的补偿复合泊松过程，从一开始，到达零或第一次跳跃时停止。和以前一样，我们设置S=Y，让Sifor i=2，d表示任意Q-局部鞅，不作任何进一步假设。同样，假设（1）显然是满足的。由于非负Q-局部鞅Y可能有不同大小的跳跃，过程S不一定具有可预测的鞅表示性质。然而，我们可以手动检查假设（2）。为了取得进展，我们通过补偿复合泊松过程将τ定义为第一次击中零的时间，并让ρ表示其第一次跳跃时间。注意τ∧ ρ ≤ 1/λ ≤ T因为在时间1/λ时，复合泊松过程Y要么跳跃，要么达到零。我们通过Hi定义了S-可积可预测过程H=（H，…，Hd）≡ 0表示所有i=2，d、 H（t）=exp-1.-λtFmaxFmin{t≤ρ∧τ} 尽管如此，t∈ [0，T]。