关于亚式期权的上下界：一种统一方法

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英文标题：
《On lower and upper bounds for Asian-type options: a unified approach》
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作者：
Alexander Novikov, Nino Kordzakhia
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In the context of dealing with financial risk management problems it is desirable to have accurate bounds for option prices in situations when pricing formulae do not exist in the closed form. A unified approach for obtaining upper and lower bounds for Asian-type options, including options on VWAP, is proposed in this paper. The bounds obtained are applicable to the continuous and discrete-time frameworks for the case of time-dependent interest rates. Numerical examples are provided to illustrate the accuracy of the bounds.
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中文摘要：
在处理金融风险管理问题的背景下，当定价公式不以封闭形式存在时，希望对期权价格有准确的界限。本文提出了一种求亚式期权（包括VWAP上的期权）上下界的统一方法。所得界适用于时间相关利率情况下的连续和离散时间框架。数值例子说明了边界的准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_lower_and_upper_bounds_for_Asian-type_options:_a_unified_approach.pdf (116.18 KB)

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关键词：亚式期权 Quantitative derivatives QUANTITATIV Securities

关于亚式期权的上下限：Novikovand Nino KordzakhiaAbstract的统一方法。在处理金融风险管理问题的背景下，当定价公式不以封闭形式存在时，有必要为期权价格设定准确的界限。本文提出了一种获得亚式期权（包括VWAP期权）上下限的统一方法。对于时间相关利率的情况，边界得到了适用于连续和离散时间框架的r e。数值算例说明了边界的准确性。关键词：亚式期权；上下限；成交量加权平均价格，VWAP期权。1.导言。我们的目标是获得期权价格SCT=Ee的精确界限-RTFT（S），其中Rt=Rtrsds，RSI是一种利率，FT（S）是一种亚洲式的期权支付，其股票价格为S=（St，0≤ T≤ T），T是自然时间。（我们假设所有rando m过程都是基于过滤概率s速度（Ohm, {Ft}t≥0，P）。亚式期权的典型支付方式是ft（S）=（ZT（Su- K） du（u））+，（1），其中x+=max[x，0]=(-十）-对于任何x，K是固定走向，u（u）是区间[0，T]上的分布函数。使用符号h=ZThuu（du），h∈ H、 悉尼理工大学。目前地址：澳大利亚新南威尔士州悉尼理工大学数学科学系百老汇123号邮政信箱，2007年；电子邮件：亚历克斯。Novikov@uts.edu.auMacquarie澳大利亚悉尼大学；电子邮件：尼诺。Kordzakhia@mq.edu.auwhereH是一类自适应随机过程H=（hs，0≤ s≤T）使RT | hu |u（du）=| h |∞ a、 我们可以将（1）改写为如下ft（s）=（s- K） +=（S）- K） +。（2） 对于离散监控选项（D MO）或连续监控选项（CMO），分布函数u可以是离散的，也可以是连续的。

此设置还包括在批量加权平均价格（VWAP）上的呼叫选择情况，即isAT:=Ptj≤TStjUtjPtj≤TUtj，英尺（S）=（在- K） +，其中Utjis是tj时刻的交易量。通过设置u（u）：=Ptj≤uUtjPtj≤图吉，0≤ U≤ T、 我们获得了关于VWAP选项的表示（1）和（2）。下面，我们开发了一种统一的方法来获取亚洲型DMO和CMO的上下限，包括具有一般利率结构的VWAP。Rogers和Shi[9]以及Veˇceˇr（[14]）提到了形式（1）中的经典亚洲支付，他们使用PDEAP方法在几何布朗运动（gBm）模型和恒定利率下确定CMO的CTO。因此，与[9]和[14]相比，使用符号（1）我们可以考虑更广泛的选项类别。pa per[9]在不同设置下产生了一系列关于上下限的相关结果。我们想在这里提到柯兰[3]的《演讲》论文和汤普森[12]的未发表论文；事实上，后者包含了我们在这里进一步发展的一些想法。人们可以在文献中找到许多其他类似的上下限修改，例如（[1]）、[16]和（[7]）。我们想介绍Chen和Lyuu[2]的论文，其中包含gBm模型下CMO的密集数值结果，以及Lemmens等人[6]的论文，该论文讨论了基于几何L evy过程边界的DMO。[6]中介绍了与其他方法的比较；特别是，在其他方法中，给出了与Fusai和Meucci[4]开发的递归积分方法以及利用共单调边界的方法（例如[13]）的比较。请注意，以上所有引用的论文都是基于假设利率过程是恒定的。

下面我们用数字说明，对于长期合约，如果考虑利率的期限结构，亚式期权的价格可能会有本质的不同。如果是浮式罢工，即支付金额为- ST）+可以简化为（1）的情况，这里不讨论。2.上下限。下面的定理1给出了我们用于推导下上界和下界的主要结果。让z是一个实数。ThenCT=supz，h∈嘿-RT（S）- K） I{h>z}（3）=infh∈嘿-RT（S）- K（1+h）- h） ）+（4）其中上确界和内确界均通过takinghu=Su/K（5）和z=1获得。证据不管怎样∈ H和z（S）- K） +I{h>z}=（S）- K） I{h>z}+（S）- （K）-I{h>z}≥ （S）- K） I{h>z}，因此我们得到ct=Ee-RT（S）- （K）+≥ 好的，h∈嘿-RT（S）- K） I{h>z}。（6） 自从- K） +=（S）- K） I{S/K>1}，当z=1和h=S/K时，得到（6）和（3）中相应的等式∈ HCT=Ee-RT（S）- K） +=Ee-RT（S）- K（1+h）- h） )+≤ Ee-RT（S）- K（1+h）- h） ）+，（7）其中最后一个不等式是由x+的凸性引起的。这意味着CTI不大于（7）除以h的RHS的最大值∈ H.对于后一种情况，当hu=Su/K时，可获得（3）中的质量- K（1+h）- h） ）+=（S- K（1+S/K）- S/K）+=（S- K） +=（S）- K） +。备注1。这一结果的证明仅利用了第（3）部分的指示函数的性质，第（4）部分的Jensen不等式，当然，包括上述内容在内的许多论文中都使用了这些元素。

我们的主要观察结果在于，（3）=（4）和上确界和内确界都是在同一函数上得到的；此外，我们还声称，这不仅适用于gBm模式下的DMO和CMO，也适用于具有一般结构的股票期权，这也包括VWAP案例。此外，我们使用notationXt:=log（St/S）并假设贴现过程e-RtSt=SeXt-RTI是关于过滤{Ft}t的鞅≥0，符合非轨道理论的要求（见例[5]）。定理1意味着对于所有h∈ H以下上下限保持不变≥ LB0:=SsupzEe-RT（eX-KS）I{h>z}，（8）CT≤ UB0:=见-RT（eX-KS（1+h）-h） ）+。（9） 为了找到产生精确边界的过程h，我们需要考虑（X，h，h）联合分布计算的复杂性。显然，当Hui是Xu的线性函数时，这个问题可以在计算上得到解决，即在选择Hu=a（u）Xu+b（u）和一些非随机函数a（u）和b（u）下。由于不等式（8）和（9）在（5）成立时事实上是相等的，人们可以尝试匹配hund Su/K的第一个时刻，即设置ehu=E（Su/K），V ar（hu）=V ar（Su/K）。在本文中，我们应用了另一个简单的选择，其中a（u）=a=constand b（u）=0，即hu=aXu（10），其中需要在上界中选择常数a。对于后一种情况，我们有CT≥ LB1:=SsupzEe-RT（eX-KS）I{X>z}，（11）CT≤ UB1:=SinfaEe-RT（eX-KS（1+aX）- aX+。（12） 请注意，下限（11）的计算不依赖于常数a的选择。备注2。下限（1）在fa-ct中用于[12]CMO的情况；对于[2]中使用DMO的情况，在GBM模型下；参见[16]中的其他类似界限。上界（12）似乎是新的。备注3。

假设R=（Rt，0≤ T≤ T）和X=（Xt，0≤T≤ T）是独立的过程，我们可以很容易地获得另一个最初出现在[3]：CT中的下限≥ LB2:=见-RT（E（eX | X）-KS）+。（13） 由于CT=SEe相等，该界限成立-RT{E（eX-KS）+| h）}和x+的凸性。注意，在附加假设g（x）：=E（eX | x=x）是x的增函数，（14）我们有lb1≥ LB2。事实上，我们可以看到LB2=see-RT（E（eX | X）-KS）I{E（eX|X）>KS}=SEe-RT（E（eX | X）-KS）I{X>g-1（KS）}，其中g-1是反函数。现在很明显，LB2并不超过LB1，因为可以使用明显的代表LB1=SsupzEe-RT（E（eX | X）-KS）I{X>z}。在经典模型中，很容易检验条件n（14）是否成立，其中X是布朗运动，rti是非随机m函数。3.高斯回报的情况。这里我们假设过程X=（Xu，0≤ U≤ T）是高斯分布。为了简化说明，我们还假设过程是非随机的。对于独立于ofSt的随机利率，可以用类似的方法处理。这对（Xu，X）显然具有高斯分布，cov（Xu，X）=ZTCov（Xu，X）du（s），（15）V ar（X）=ZTZTCov（Xu，X）du（u）du（s）。（16） 下面我们考虑一个与gBmmodel相对应的数值例子，其中Xu=Ru+σWu- σ/2 u，其中Wu是标准Bm。1） 算术亚式期权的边界。对于DMO的情况，我们假设u（u）是（0，t）上的均匀离散分布，在点sui=iNT，i=1，…，N处有跳跃，其中N是时间单位的数量（例如。

交易日）。从（15）中我们得到κ（ui）：=cov（Wui，W）=NXj=1min（ui，sj）T/N=ui（T-n（u）n+T=2N（V+T）。请注意→ ∞ 人们还可以获得CMO定价所需的特征。为了进行数值说明和比较，我们考虑一组参数S=K=100，σ=0.3，利率=0.09（1+c/2sin（2πS）），（17），其中参数c=0或c=1。使用函数erfc（x）可以加速边界的计算。例如，使用Girsanov变换，我们得到了下边界Lb1=e的以下表达式-RTS2T Nmaxz[XieRuierfc{pVN/2（z- σκ（ui））}-KSerfc{pVN/2z}]。使用Mathematica for anyσ不到四分之一秒就能找到这个下限。计算上限UB2的速度也相对较快（使用Mathematica表示Fixed a时最长可达7秒），但使用Mathematica中的FindMinimum命令基本上较低。上界（12）的最佳值通常在区间（0.7,1）中找到。事实上，我们发现选择a=1的UB1具有合理的精确度。在表1中，使用Mathematica获得的LB1和UB1的数值结果以三位十进制数字报告。我们在（17）中给出了两种情况c=0和c=1的计算界限；C=1的结果以粗体显示，并放在括号中。

作为价格估算，我们考虑区间的中点（LB1，UB1）：^CT=LB1+UB1。以下界限适用于^CT的相对误差：|CT/CT- 1 | 100%=（UB1/LB1）- 1)50%.表1===================================T N LB1 UB1^CT错误%∞12.162 (12.135)11.782 (11.785)11.718 (11.741)12.259 (12.239)11.829 (11.807)11.731 (11.769)0.4 (0.42)0.1 (0.11)0.03 (0.11)∞56.344（60.769）56.073（60.066）56.012（60.014）57.233（61.568）56.419（60.506）56.146（60.197）0.78（0.68）0.3（0.37）0.17（0.15）=============================================================================================================================================================================================正如人们可能预期的那样，具有长期收益（此处T=9）的期权的价格基本上取决于利率的长期结构。2） DMO和CMO在VWAP选项上的界限。在[8]中，我们应用mat-ching矩的方法，在假设Stis agBm和体积过程UTI是平方的Ornstein-Uhlenbeck过程的情况下，并假设St.和UTA是独立的，rt=r=const.的情况下，找到VWAP上期权的近似值。

[8]中使用的方法的关键点是开发了用于查找f函数=（gt:=EUtU，0）的技术≤ T≤ T）。同样，在选择ht=aXt时，命题1暗示了以下界限：≥ LB1=Se-rTsupzE（前-KS）gI{X>z}，CT≤ UB1=Se-rTinfaE（前-KS（1+aX）- aX））+g，其中，对于DMO或CMO情况，平均值应分别与（0，T）上的均匀离散或连续分布有关。在[8]中建议的函数g的计算方法基于mulagt=Z∞泽埃祖特-qVTz=0dq，这导致考虑中的情况下g的分析表示。对于数值说明，我们考虑了具有以下参数的CMO的情况（以匹配Stace（2007），（2007a）通过PDE使用不同方法的相关结果）：dSt=0.1 Stdt+σStdWt，S=110，T=1，K=100，Ut=Xt，dXt=2（22- Xt）dt+5dWt，X=22。表2========================================σLB1 MC（erro r）UB10。114.198 14.199（0.0019）14.2040.5 19.612 19.6406（0.0083）19.6500.8 25.591 25.642（0.014）25.784===============================================================对于蒙特卡罗，我们使用了1000万条轨迹和500个离散点。致谢。作者感谢Volf Frishling、YuliaMishura和Scott Alexander进行了有益的讨论，并感谢Tim Ling对表2计算的帮助。参考文献[1]Albrecher，H。；梅耶，P.A。；Schoutens，W.（200 8）算术亚式期权价格的一般下限。阿普尔。数学财务15号，第1-2页，123-149页。[2] Chen K.，Lyuu Y.（2007）亚洲期权的精确定价公式应用数学和计算188，1711–17 24。[3] Curran M.（1994）以几何平均价格管理科学40，1705–1711为基础，对亚洲和投资组合进行假设。[4] Fusai G.，Meucci A.（2008）列维过程下离散监控的亚洲期权定价，J。

银行金融32（10），2076-2088。[5] Karatzas I.，Shreve St.（1998）血液融资方法。数学应用（纽约），39。斯普林格·维拉格，纽约。[6] Lemmens D.，Liang L.Z.J.，Tempere J.，De Scheppe A.（2010）L’evymodels下离散算术亚洲期权的定价界限，Physica A，3895193–5207。[7] 2008年3月C日《指数L’evy模型中平均利率期权的定价方法》。在第五届单身金融协会世界大会上发表的演讲。[8] Novikov A.，Ling T.，Kordzakhia N.（201 3）批量加权平均期权的定价：分析近似和数值结果。Festschrift M.Musiela。斯普林格（印刷版）。[9] Rogers L.C.G.，Shi Z.（1995）亚洲期权的价值。J.阿普尔。问题。32, 1077-1088.[10] Stace A.W.（2007）批量加权平均价格期权估值的矩匹配方法。国际理论和应用金融杂志10（1），95-110。[11] Stace A.W.（2007a）成交量加权平均价格期权。PhDThesis。昆士兰大学物理科学学院。[12] Thompson G.W.P.（2000），快速缩小了亚洲期权价值的界限。沃金论文，剑桥大学管理科学法官研究所金融研究中心。[13] Vanmaele M.，Deelstra，J.Liinev，J.Dhaene，M.Goovaerts（2006年）。离散抽样算术亚式期权价格的界，J.Comput。阿普尔。数学185 (1), 51-90.[14] Veˇceˇr J.（20 02）。统一亚洲定价。风险15、113–116。[15] 徐文明（2004）。半鞅模型下的亚式期权定价。定量。《金融》，第4节，第2期，17 0-175页。[16] 奥德（2006）算术亚式期权的部分精确和有界近似，计算金融杂志，10（2）：1，1-52。