一类具有力学和动力学性质的网络动力学的解析解

（在线颜色）（a）对于三对不同的κ和κ值，具有度分布（5）的10000个代理的随机网络的PR函数（我们选择的值使所有三个PR曲线在输入值0.2处均为饱和值1）。（b） 每日原木价格增量r（t）+0.12σ（t）（厚曲线）的历史图，使用（a）中相应的PR曲线从1000次模拟中获得。细曲线显示了外源布朗信息流r（t）增量绝对值的分布。除非文中另有规定，否则其他参数的值与图7相同。并使用上述PR曲线R，作为独立有效剂的等效系统^χi进行数值计算。此类剂的数量等于R中不连续点的数量（通常小于原始剂的数量）。独立影响因子的阈值由PR函数的不连续点ρiof给出，而第i个因子的权重等于第i个不连续点处PR函数值变化的一半，μi=（σi）- ^σi-1） /2（也就是说，^ui是网络中所有代理的权重之和，当输入通过值^ρi增加时，这些代理集体切换）。所有的效应剂都是相互独立的，即每个效应剂的输入只是布朗信息流r（t）[参见等式（6）]。当我们用有效代理替换原始网络模型的所有代理时，我们得到的系统σ（t）=Pi^ui^χi（t）将等同于原始网络系统（两个系统对输入r的任何变化产生相同的输出σ）。换言之，我们不再需要考虑网络结构，因为它的影响嵌入到有效代理的阈值和权重中。

这给我们提供了一个实质性的计算优势：不仅减少了试剂的数量，而且不需要计算昂贵的对等压力计算，而且由于系统不再显示级联激活，它立即达到每一个r值的稳定状态。图8（b）给出了网络模型每日对数价格增量的直方图；它们对应于图8（a）所示的曲线。我们将对数价格定义为r（t）+0.12σ（t），并进行1000次模拟[在这里，我们使用独立作用剂系统而不是图7（c）中的原始相互作用剂系统来计算增量]。在这个例子中，当网络邻居的压力对代理的决策影响最大时（最大的κ），就会得到对数价格收益分布的最肥尾。当网络结构不存在且代理仅对价格做出反应时，出现最小的厚尾。四、 结论综上所述，我们考虑了节点上带有PI算子的输入驱动动态网络。塑性模型、摩擦模型和一些常见的交易策略提供了这类节点的例子。我们已经证明，无论网络有多复杂，它对输入的任意变化的响应都是由一个有效的PI算子描述的，因此可以从网络对单调增加的输入的响应以简单而明确的方式推导出来。利用这些结果，我们已经表明，在耦合不太强的情况下，具有相互作用的弹性和干摩擦元件的一维摩擦和塑性模型可以简化为没有相互作用的标准PI模型。

我们还推导了金融市场中基于动量的交易产生的厚尾价格回报的分析形式。扩展分析以考虑动量交易者的不同影响（参数κ），可能会对实际市场的近似幂律比例产生新的见解。最后，用于我们模拟的数值方法为求解任意复杂PI算子网络和任意输入的动力学问题提供了一种计算高效的替代方法。感谢A.Amann、M.Dimian和B.Hanzon进行了有益的讨论。这项工作的部分资金来自GAˇCRGrant No.P201/10/2315和RVO:67985840（P.K.）、theIrish研究委员会（向S.M.提供的新基金拨款），由Marie Curie Actions根据FP7（INSPIRE fellowship，S.M.）和爱尔兰科学基金会（拨款No.11/PI/1026，S.M.）共同资助。D.R.感谢NSFTHRGRANT DMS-1413223的支持。附录A：机械模型的模拟在本节中，我们将更详细地考虑图1（b）中示意图所示的机械模型，并由EQ描述。(2). 该模型可用于表示一组沿水平轴伸长的一维刚性纤维[如图1（b）中的节点所示]，其左端和右端分别通过弹簧连接到左板和右板上。纤维i相对于左板的位移为ξi。我们假设每个纤维i和左（和右）板之间存在完美的弹性相互作用，系数为ki（和ki）。此外，我们假设每个纤维在其长度方向上与其他纤维接触，当它们相互移动时，存在麦克斯韦摩擦。

我们通过ai jSri j[ξj]对作用在第i个纤维上的摩擦力进行建模，该摩擦力是由于第j个纤维相对于第j个纤维的相对位移引起的- ξi]，其中纤维相互作用强度ai jarenon负值和Sri jdenotes为半宽度Ri j的停止算子≥ 0[参见图1（a）]，输入ξj-ξi.最初，系统中的所有力和位移均为0。系统的时变输入是右板相对于其初始位置的位移u[见图1（b）]；左板不动。所有的运动都是准静态的。方程（2）描述了fiberi的力平衡，可以写成（ki+~ki）ξi+Xj∈Niai jSri j[ξi- ξj]=~kiu，（A1）其中Nidenotes是指ai j>0的一组指数j（即，nie是指与纤维i相互作用的纤维集，或者，使用不同的最小值，是指网络中节点i的邻接矩阵ai j的一组邻居，其中每个纤维由阳极表示）。方程（A1）表示一个分段线性系统，我们可以在每个线性区域求解，同时跟踪从一个线性区域到另一个线性区域的转换。当任何停止操作器达到饱和（即，当任何一对纤维i和j之间的摩擦力达到其最大可能值ri j）或去饱和（摩擦力的大小变得小于ri j）时，就会发生线性状态之间的切换；我们用链接i j饱和或去饱和来描述这一点。在我们更详细地考虑线性区域之间的转换之前，让我们写下。（A1）以线性矩阵方程m′ξ=＠Ku+＠D的形式，（A2）式中，ξ={ξ，…，ξn}和＠K={K，…，kn}。矩阵和向量对于每种线性状态都取特定值[由下面的等式（A5）和（A6）给出]。我们引入了一个新的量Oi jj，它表示相互作用Sri j[ξi]的当前参考点（原点）- ξj]在节点i和j之间。

具体来说，Oi jis是ξi的值- ξjatwich Sri j[ξi-ξj]=0，前提是相对位移ξi- ξj从其当前值以单调的方式计算出i j的值。注意，Oi j=-Oji。我们还引入了一个二元量li jt来表示链路Ij的当前状态（i和j之间的相互作用），li j=（1，如果链路Ij不饱和0，如果链路Ij饱和。（A3）我们假设所有链路的初始Oi j=0，li j=1（所有链路都不饱和）。当输入参数u的变化足够大时，这些量将根据下面描述的规则进行更新。如果链节i j是不饱和的（li j=1），则Sri的值由（ξi）给出- ξj- Oi j）。在链路i j饱和（li j=0）的情况下，由ri jsgn（ξi）给出的Sri jis值- ξj- Oi j）。因此，使用Oi jand li j符号，我们可以重写Eq。（A1）as（ki+~ki）ξi+Xj∈Nili-jai-j（ξi）- ξj- Oi j）+（A4）Xj∈倪（1）- li j）ai-jri-jsgn（ξi）- ξj- Oi j）=kiu。方程式（A4）可以写成矩阵形式（A2），其中M和¨D的元素由Mi j给出=(-ai jli j，如果i，jki+~ki+Pj∈Niai jli j，如果i=j.（A5）和‘Di=Xj∈尼艾·j李乔杰- (1 - li j）ri-jsgn（ξi）- ξj- Oi（j）. （A6）例如，如果我们将三个纤维连接为inFig。1（b），则等式（A2）的形式为k+~k+Pj∈Na1 jl1 j-艾尔-艾尔-alk+~k+Pj∈Na2 jl2 j-艾尔-艾尔-alk+~k+Pj∈Na3 jl3 jξξξ=~kkku+Pj∈Na1 jhl1 jO1 j- (1 - l1 j）r1 jsgn（ξ- ξj- O1 j）iPj∈Na2 jhl2 jO2 j- (1 - l2 j）r2 jsgn（ξ- ξj- O2 j）iPj∈Na3 jhl3 jO3 j- (1 - l3 j）r3 jsgn（ξ）- ξj- O3 j）我. （A7）假设我们想要计算输入uvaries的ξ值。式（A2）的解由ξ=M给出-1（Ku+-D）。

（A8）然而，每次链路饱和或去饱和时，我们都需要更新M和“D”。非饱和链节i j饱和的条件是ξi-ξj=Oi j±ri j。我们注意到，当我们检查这个条件时，步骤uξ0 u开始减少1-1.56-0.5 sr饱和到+r2-2.02-0.65 sr饱和到+r3-33-2 sr饱和到+r4-100-2 u改变方向，Sr保持饱和5-96.97-0.77 Sr饱和到-r6-95.2 Sr饱和到-R利用Sr7-80 0.66 u的后续去饱和改变方向8-83.11-0.35 Sr饱和到+r9-84.04-0.65 Sr饱和到+r10-100-1.34 u的后续去饱和改变方向11-96.89-0.33 Sr饱和到-r12-96.12-0.08 Sr饱和到+r13-0.93 Sr饱和到-R利用Sr14-90.26 u的后续去饱和改变方向方向15-93.11-0.75 Sr饱和到+r16-94.04-1.05 Sr饱和到+r17-97-1.18 u改变方向18-93.89-0.17 Sr饱和到-r19-92.96 0.13 Sr饱和到-r20-75 0.91模拟表一结束。表中显示了输入值u的顺序，以及相应的ξ值，对于图4上面板所示的示例，停止运算符Sri饱和或去饱和。每次饱和或去饱和都会创建分段线性轨迹的一个角点。步骤4到10对应于粗体线所示的非闭合回路。同一图形下面板的饱和顺序如下：≈ -1.56），高级（atu）≈ -2.02），Sr（u=-33).对于所有的i和j对，只需考虑两种情况中的一种，例如ξi- ξj=Oi j+ri j，（A9），因为另一个病例是由Oi j引起的- ri j=-（Oji+rji）。使用链路饱和条件（A9）和等式（A8），我们获得节点i和j之间的链路饱和的ui jat的值：ui j=Oi j+ri j+（M-1“D）我- （M）-1\'D）j（M）-1~K）i- （M）-因此，我们可以从方程中计算ξi。

（A8）适用于所有u（无需更新M和“D”），直到u通过任何ui值。当u达到ui j中的任何一个时，这将表明我们将转变为一个新的线性状态，因此必须计算新的M和D，因为此时li j从1变为0。当ξi时，饱和链i j发生去饱和- ξj作为转折点（通过局部最大值或最小值）。有两种方式可以实现。首先，由于节点之间的复杂交互作用，链路ij可能由于另一链路mn的饱和而去饱和（如表i的步骤6和13所述，在图4所示的示例中发生这种情况）。第二，当输入u有一个转折点时，饱和链接可能会去饱和。（有趣的是，当u达到转折点时，饱和链路可能保持饱和；这发生在图4所示的示例中，如表I的步骤4所述，其中Sr不会去饱和。）在这两种情况下，我们都需要确定ξi- 通过计算ξi导数的符号，ξj是一个转折点- ξj关于u的导数由式（A8）得出，由式（ξi）给出- ξj）u=（M）-1~K）i- （M）-在第一种情况下，我们需要评估（ξi）的符号- ξj）uMn饱和前后。此外，li j的变化将影响矩阵M，从而进一步改变（ξi）- ξj）u（因此在li j中）是可能的。这意味着我们需要迭代（ξi）的求值- ξj）u，li jand M，直到li j达到稳定状态。在第二种情况下，我们需要将之前饱和的链接划分为一组保持饱和的链接和一组变得不饱和的链接。这些集合应确保（ξi）上的一致性条件- ξj）u当u做出一个转折点（ξi）-ξj）我们应该为未饱和的链接更改符号，而不是为未饱和的链接更改符号。

与第一种情况类似，由于（ξi）的依赖性，找到去饱和链接集可能并不简单-ξj）uonli j.然而，这可以通过简单地循环所有可能的分区并找到一个导致一致性的分区来实现。最后，对于得到的一组变为不饱和的链接，我们根据ξi计算新的Oi jj-ξj，ri j，电流i j如下：Onewi j=ξi- ξj- sgn（ξi）- ξj- Oi j）ri j.（A12）上述算法已用于生成无花果。4和5。例如，对于图4所示的示例，表I给出了stop运算符饱和或去饱和时的输入值u序列。附录B：定价模型分析在本节中，我们将更详细地讨论定价模型*（t） =r（t）+κσ（t），其中r*是资产的对数价格，是外生布朗信息流，参数κ量化动量交易者对价格的影响，市场σ的感觉定义为动量交易者状态χiof的算术平均值，σ=NNXiχi（t）。（B1）根据PI投入产出关系χi（t）=IHi[r]，状态的动态由对数价格驱动*]（t） ，关闭模型。这里是PR函数Hi（r*) = H（r）*- ρi）是阶跃函数，其阈值ρichosen一致来自[c，a]。在不断增加输入的情况下测试系统，我们发现在连续极限N中→ ∞ 外源布朗输入图。9.矩形随机游动（w，σ）。在每个时间步，一个分词以相等的概率做出两个可能的移动中的一个，如箭头所示。它要么移动到相邻节点，要么（如果它位于右上角或左下角）移动到同一节点。变量σ和r*由公式σ（t）=I^R[R+κσ]（t），R*（t） =r（t）+κI^r[r*]（t） （B2）其中，PI算子I^r的PR函数为图3（d）中所示的ρ=c和ρ=a。

根据我们的结果，这些关系可以很容易地显式求解，σ（t）=IR[r]（t），r*（t） =r（t）+κσ（t）（B3）和两种情况是可能的。在亚临界情况下，κ<κc=（a-c） /2，这些关系中的PR函数R也具有图3（d）所示的形状，具有相同的ρ=c，但具有较小的ρ=a- 2κ > ρ. 在超临界情况下，κ>κc，函数R是阈值c的阶跃函数。也就是说，在超临界情况下，由于全局雪崩，所有交易方同时切换其状态，导致σ在值±1之间跳跃。通过解决退出时间问题，可以找到两次跳跃之间间隔的统计信息。我们首先考虑与正常市场条件更相关、更有趣的次临界情况。我们的目标是计算图7（c）所示的每日原木价格增量直方图的比例。为此，我们首先找到了随机过程σ（t）=IR[r]（t）的平稳分布。PR曲线R的形状允许我们将这一过程描述为粒子在矩形中的随机游动，其中粒子的垂直坐标为σ，而水平坐标为辅助变量w，见图9。粒子（w（t），σ（t））的运动由布朗输入r（t）驱动。为了简单起见，我们描述了离散时间和状态设置下的随机行走。在这种情况下，带有nx列和nyrows的矩形网格上的分词和布朗输入由随机游动r表示，该随机游动r的每一步以相等的概率沿实线上的均匀网格向左或向右移动一步。首先假设输入r在某个时刻向左移动。

然后，如果粒子不在矩形的左侧（网格的leftcolumn），它也会向左移动一步到相邻节点；它从左侧的任何节点向下移动一步，除了从下角；如果粒子在矩形的左下角，它会留在那里。类似地，当r向右移动时，如果粒子不在矩形的右侧，它也会向右移动；它从右侧的任何节点向上移动一步，除了从上角；如果它在那里，它将保留在右上角（见图9）。在该模型中，矩形网格的水平和垂直步长由|w |=（κc）- κ)|σ|，水平步长等于输入网格的步长|w |=|r |与矩形网格中的行数和列数之间的关系为cny=2（κc）- κ） nx。这些关系确保原木价格的增量等于R*= r+κσ、 在哪里r和σ分别是输入的增量和粒子在同一时间步的垂直坐标。一个简单的计算表明，从左下角到右下角（右上角到左上角），随机游动（w，σ）线性的平稳分布的概率密度在矩形的下（上）侧增加，并且在矩形的其余部分是均匀的。在连续时间和州限制内（nx，ny→ ∞), 当输入r（t）变成连续布朗运动时，矩形∏＝{0上随机过程（w（t），σ（t））的平稳概率分布的密度函数≤ W≤ c、 0≤ σ ≤ 2} 是ρst（w，σ）=（c- w） δ（σ）+wδ（σ）- 2） +κc- κc（a）- 其中δ表示狄拉克δ函数。