一类具有力学和动力学性质的网络动力学的解析解

金融示例在本节中，我们使用PI网络（具有不连续的PR函数）来模拟金融市场中基于动量的交易策略。我们首先描述模型的最简单版本，在该模型中，当价格与价格的运行最大值（最小值）的比率达到某个阈值时，交易者出售（购买）。这种完全基于价格的策略很可能代表了现实世界中一个重要的交易者子集，即所谓的动量交易者，他们要么（a）相信原教旨主义交易者，另一方面，根据某种模型或正确的价格，基于对股票是否过高或过低的计算进行交易。最近的价格历史表明，市场“情绪”即将发生变化或逆转[34,35]或（b）在最近的价格历史中处于错误的一方，并感受到足够的压力，不得不改变立场[36]。动量交易者倾向于作为积极反馈的来源，夸大最近的价格变动，并可能以合理的方式诱发金融系统特有的长期错误定价和突然反转。然后，我们通过假设市场参与者也有一个网络结构，并且每个代理现在不仅对价格做出反应，而且对其网络邻居的状态做出反应，来推广该模型。一旦允许代理人改变投资头寸的影响反馈到价格中，网络模型将充分利用Sec中概述的结果。二、A.动量交易策略作为PI运营者，我们认为N个交易者的状态χiof trader i为1或-1.“长”状态χi=1表示i-thtrader拥有资产，“短”状态χi=-1表示交易方不拥有该资产。其他交易者，没有直接建模，扮演着两个重要角色。

首先，许多公司在短时间内运作，与新的外生信息的到来相当，并将这些信息转化为价格变化。这使我们可以将系统视为通过MetaStablestate缓慢驱动。其次，它们提供了一个潜在的贸易伙伴池，因此N个交易者中的买家和卖家不需要匹配（金融系统的动力学理论模型就是这样）。以下N个交易方的提取-提取规则[34]模拟了试图识别新兴趋势并在实际交易算法中使用的策略（参见参考文献[35]）。在时间τ切换到长状态χi=1（购买资产）后，第i个交易者跟踪资产价格p（t）和运行最大值maxτ≤s≤时间τ。转换器切换回短状态χi=-当不等式p（t）/maxτ≤s≤总站(s)≤ α-iis满足某些阈值α-我∈ (0, 1). 例如，如果α-i=0.9，那么交易者在价格从峰值下降10%的时刻卖出。使用对数价格r（t）=ln（p（t）/p（0））给出销售条件θ=min{t>τ：r（t）- 最大τ≤s≤tr（s）≤ lnα-i} 。（在不损失一般性的情况下，本文使用自然对数。）这名商人在决定何时再次购买时采用了类似的策略。交易者追踪p（t）/minθ的比率≤s≤tp（s）并在超过值α+i>1时切换到状态χi=1。参考文献[36]之后，总数量σ=PNi=1uiχi表示市场的整体情绪，其中权重ui>0是衡量每个等级市场影响的指标。使用Sec的结果。我们必须做一个温和的假设，lnα+i=-lnα-i:=每个交易者的ρi。

然后，r（t）和每个交易者的状态χi（t）之间的关系是，下面描述的策略，或它的微小变化，可以在一些交易平台上通过放置一个尾随止损单来实现。由二进制PI运算符χi（t）=IHi[r]（t）定义，其pr函数为移位Hi（r）=H（r）-ρi）的阶跃函数H（r）[见图3（c）]。此外，通过PI算子σ（t）=IR[r]（t）和PR函数r（r）=PNi=1uiHi（r），情绪与对数价格相关。到目前为止，每个代理的PI运算符对相同的输入做出反应，即对数价格r（t）。现在，我们通过将第i个交易者交易策略中的对数价格r替换为累计数量ξi=PNj=1ai jχj+bir，引入交易者之间的耦合。这导致网络模型χi（t）=iHnxj=1ai jχj（t）+bir（t）i；σ=NXj=1ujχj，（3）式中bi，ui≥ 0.系数ai j≥ 0衡量第j位交易者对第i位交易者决策的（吸引）影响。使用PIoperators的组合公式（如上述机械示例中所示），模型（3）的解采用每个交易者的状态和对数价格r之间的PI算子关系χi（t）=i^Hi[r]（t）的形式，其中阶跃响应函数^Hi的阈值集是函数shi的阈值集ρio的子集。具有连续PR函数的PI算子的合成公式[31]在应用于具有不连续Hibut的（3）时需要进行调整，可以使用Kurzweil积分理论推导[37]。原木价格和情绪之间的关系σ（t）=IR[R]（t）的PR曲线R（R）=PNi=1ui^Hi（R）可以通过增加输入（t）（见图6（a））测试（3）或通过求解代数系统^Hi（R）=HhNXj=1ai j^Hj（R）+bir获得- ρii（4）由（3）导出。图中PR曲线的大跳跃。

6（a）对应于雪崩：onenode状态的变化会导致其他节点（通过网络连接）改变其状态，从而触发级联。如果我们用简单的输入输出关系χi（t）=H（ξi（t）替换模型（3）节点处的二元PI算子χi（t）=IHi[ξi]（t）-ρi（无记忆理想开关），网络对增加的输入（即PR函数）的响应保持不变。因此，描述Heaviside开关网络PR函数的许多结果（如雪崩统计和临界参数，见参考文献[5]）对PI网络同样有效（3）；见图6（b）。然后，方程σ（t）=IR[r]（t）明确描述了松树网络对任意输入的响应，即其PR函数r，whileEq。（4） 将网络拓扑（就其邻接矩阵而言）与PR函数R=PNi=1ui^Hi链接。特别是，二进制PI节点的网络可以设置为对增加的输入产生与任何给定的伊辛自旋模型相同的响应。然而，伊辛模型对非单调输入的响应比PI网络更复杂。我们现在计算一个交互动量交易者网络模型（3）的例子，网络参数见图6。图6（a）显示了对数资产价格和市场情绪之间的PI关系σ（t）=IR[r]（t）的PR曲线（模型的一种解决方案）。通过增加输入r（t）的测试系统（3）可以简单地获得该PRC曲线。图6（b）中的直方图显示了从1000个随机网络和节点阈值的实现计算出的PR曲线雪崩大小的统计信息。

PR曲线中的大跳跃对应于涉及多个节点的大雪崩。我们强调，由于雪崩（由节点之间的相互作用引起）而非节点响应函数的不连续性，网络PR曲线的（大）跳跃是罕见的。具有连续状态的PI节点网络可以生成类似的不连续PR曲线R，其中每个节点具有图3（d）所示的连续PR曲线（具有连续PR曲线的投资（供应）策略的PI模型，如图3（b）所示，已在经济学文献[38]中提出）。与ofEq相对应。（4） 对于具有此类节点的网络模型，可能会导致具有由雪崩引起的不连续响应的PIP算子。值得注意的是，图3（a）所示的停止操作器的PR功能产生顺时针磁滞回线。这与播放操作符产生的逆时针磁滞环形成对比，播放操作符的PR功能显示在图中。3（b）。动量交易者的PI算子[图3（c）]可以生成任意方向的循环。B.定价模型我们现在可以将整体情绪的变化反馈到价格中，以生成资产定价模型。我们从一个简单的平均场反馈案例开始，以下简化假设允许我们计算解析解，并描述从连续到不连续的PRC曲线的转变如何显著改变市场动态。在定义ξias为外生布朗信息流而非原木价格时，重新解释r（t）是合理的。原木价格，现在表示为r*（t） ，被认为是由情绪以一种成比例的方式改变，导致*（t） =r（t）+κσ（t），其中参数κ>0量化-10000-5000050001Rσ（a）10010210410-610-410-2100雪崩概率（b）图6。

（彩色在线）（a）二元PIP算子网络（3）的PR曲线，其PR曲线如图3（c）（动量交易者）。为了确定邻接矩阵ai，我们以无向无权Erd"os-R"enyi网络（即，一个图，其中每一个节点由一条具有相等独立概率的边连接）为例，其中N=10个节点的平均度为5。节点的阈值ρi取自正态分布，平均值为7，方差为1。对于r=0且所有节点处于状态的所有i.Westart，其他参数为ui=1和bi=1-1.然后增加r，直到所有节点达到状态1。（b） 同一系统显示的雪崩大小分布。统计数据由1000个随机网络的实现和ρi计算得出。大雪崩规模分布中的尖峰对应于（a）中的大跳跃。动量交易者对价格的影响（例如，如果更多动量交易者进入市场，那么κ将增加）。我们选择ui=1/N，ai j=κ/N，bi=1，所以χi（t）=IHi[r*]（t） 和以前一样，交易者只对价格做出反应。最后，从区间[c，a]中统一选择阈值ρi。参数a和c的合理范围可估计如下。动量交易者对价格变化的反应（比如1%）会过于频繁，产生巨大的交易成本，大多数交易是由随机波动而非价格趋势的实际变化驱动的。相反，50%的阈值将导致非常罕见的交易，错过许多中等规模的趋势。可以通过考虑动量交易者对资产价格的总影响来估计参数κ。

a对具有最大积极情绪（σ=1）和消极情绪（σ=1）的市场之间价格差异的合理估计-1） 在其他情况下为20-50%（尽管在资产泡沫期间，随着新投机者进入市场，它可能会高得多：在这种情况下，随着交易者投资时间的缩短，阈值的分布也可能会降低）。图7中所示的N=10000试剂计算中使用的值[a，c]=[0.05，0.45]与这些估计值一致。在连续体极限中可以进行显式计算→ ∞ （详情见附录B）。PI算子σ=IR[R]的prr曲线，它将布朗输入R与对数价格R联系起来*= r+κσ在临界值κc=（a）时成为阶跃函数- c） /2。当所有交易者同时改变其状态时，超临界情况κ>κcexhibits极值在σ=±1之间跳跃[见图7（d）]，导致双峰价格变化分布。然而，在现实中，这些系统范围内的雪崩不太可能发生，因为一些建模假设将失效。特别是，市场将不再在流动性充足的情况下运行（预期交易的交易对手可能不可用），而且价格崩盘的全部影响将随着时间的推移而扩散。参考文献[36]中对相关基于代理的模型中此类非流动性市场进行了更详细的讨论。次临界情况κ<κcis与正常市场条件更相关，也更微妙。这里，算子σ=IR[r]的连续PR曲线的形状如下图所示。3（d）。动力学可以重新表述为一个粒子在封闭矩形区域上的随机行走，沿着右（左）边界的运动对应于增加（减少）σ，在内、上、下边界的运动对应于常数σ（参见附录B中的图9）。

对于固定的κ<κc，该模型提供了一个分析近似值（见附录B）来表示给定时间间隔内的地价变化分布，如图7（c）所示。在实际市场中，这些分布的尾部通常被称为幂律[39]，但在这里，它们实际上接近于不同的高斯函数和误差函数之和。对于数学分析的完整性，我们注意到，随着κ接近κc，分布变成双峰分布，因为文献[40]对单纯使用线性回归声称幂律证据的批评。-1.-0.500.511.5每日日志-价格（a）0 10 20 30 40-0.1-0.0500.050.1时间（年）日变化日志-价格（b）10-410-2PDF（c）0.1 0.2 0.3 0.410-410-2 |日志中的每日变化-价格| PDF（d）图7。（彩色在线）（a）原木价格r的时间序列*（t） （红色虚线）和外源布朗信息流r（t）（蓝色实线）。（b） 原木价格的每日增量r*（t） （红色虚线）和r（t）（蓝色实线）。图（a）和（b）是针对N=10000名交易员获得的，其中κ=0.15的阈值均匀分布在区间[c，a]=[0.05,0.45]上。（c） 每日原木价格增量（红点）和外源布朗信息流（蓝色方块）的直方图，从50个模拟中获得，参数与（b）中相同。黑色曲线是r的解析近似值*（t） （见附录B）。（d） 与（c）相同，但κ=0.21，略高于临界κc=0.2。在图7（d）中，与价格的较大变化相对应的较小模式与主高斯模式分离。临界值的存在以及κ随时间变化的可能性表明了极端市场波动和相关泡沫、崩盘和厚尾的机制。

随着某一特定资产类别受到越来越多的关注，或被认为正在经历一些根本性的积极变化，价格将上升，并吸引更多的即时交易者和短期投机者。这将导致κ通过临界值增加，系统随着σat或接近+1而演化，直到过程r发生变化*（t） 触发缩减过程和全系统的向下级联。我们的目的不是将上述简单模型产生的厚尾与真实、高度复杂的金融市场中测量的近似幂律相匹配。相反，我们已经从理论上证明了一种看似合理的机制，可以忘记肥胖的尾巴。该模型还预测，随着使用这种策略的交易者比例的增加，系统将通过一个临界点，超过这个临界点，系统市场失效是不可避免的。我们认为，由于该模型的简单性和理论可处理性，它补充了其他基于异构代理的模型（例如，参见参考文献[41]），这些模型也会产生级联和厚尾，但只依赖于数值模拟。最后，我们检验并比较了无标度网络模型的一些PR曲线。我们还表明，使用Sec的理论结果。二、 结合数值计算的PR曲线，可以实现显著的计算节省。通过从运行幂律分布Pk=（βk）中获取节点度，我们创建了一个由N=10000个节点（代理）组成的无向未加权网络-2.5, 3 ≤ K≤ 500，否则（5）（标准化常数β使pkpk=1），然后随机连接成对的节点以获得网络。让ai计算网络邻接矩阵。我们用均值（a+c）/2和方差1/20从高斯分布中为每个代理分配一个阈值，但我们只从该分布中取c和a之间的值。

所有试剂都被分配了相同的重量ui=1/N，见（3）。第i个代理的输入由ξi（t）=r（t）+κσ（t）+κSi（t）给出，其中r（t）是系统的外部布朗输入，σ（t）=Pjujχj（t）是市场情绪，Si（t）=Pjaiujχj（t）/Pjaiuj是代理i的同侪压力。我们将时间t的资产原价定义为r*（t） =r（t）+0.12σ（t），这意味着当κ=0.12和∧κ=0时，代理仅根据价格做出决策。当κ>0时，代理会额外考虑其网络邻居的状态，因此通过改变κ和κ，我们可以改变参与代理决策的组件的权重。图8（a）显示了一个网络系统的PR函数，该网络系统具有三对不同的κ和κ值。为了获得PR曲线，我们从所有处于状态的代理开始-1，并逐渐将外部输入r从0增加到所有代理处于+1状态。对于r的每一个增量，我们都让系统达到其静止状态（回想一下，某些代理的切换可能会使其他代理的输入增加到阈值以上，并导致它们也切换）。一旦达到稳态，我们记录σ=^σi的值和相应的r=^ρi的值（仅当存在任何开关时，我们记录这些值）。一旦所有代理切换到+1，r和σ的记录对集就给出了分段常数PR曲线r。现在可以理解将布朗信息流的时间序列映射到网络模型的市场情绪时间序列的运算符σ（t）=IR[r]（t），即0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1.-0.500.51输入输出（a）κ=0，＠κ=0.18κ=0.072，＠κ=0.072κ=0.125，＠κ=00 0.05 0.1 0.1510-610-410-2 |日志中的每日变化-价格| PDF（b）图8。