最优流动性供给

一对（φt，φt）t∈[0，T]指定投资者持有的货币单位和风险资产的数量被称为自我融资投资组合过程，其可以写为T=MBt- MSt+Zt-LBsdN（1）s-Zt-LSsdN（2）s（2.3）和φt=x-Zt（1+εs）SsdMBs+Zt（1- εs）SsdMSs（2.4）-Zt-磅（1- εs）SsdN（1）s+Zt-LSs（1+εs）SsdN（2）对于某些策略s=（MBt，MSt，LBt，LSt）t∈[0，T]，其中关于Mb和Mstar的积分在（2.2）中定义。备注2.2。实际上，流动性提供者并不总是比其他交易者拥有优先权，因此他们的限额指令不会针对所有匹配的市场指令执行。在我们的模型中，有一种假设是合理的，即LBT和LST可以是任意的可预测过程，因为限额订单的提交和删除通常是免费的。通过为N（1）和N（2）t选择较小的到达率来说明这一点。也就是说，这些过程可能只计算实际触发执行的市场订单部分。我们从中提取的部分处决在一定程度上可以通过降低到达率来考虑。事实上，在频繁到达的市场订单的限制机制中，部分执行的效果与完全执行的效果类似，完全执行只有一定的可能性。现在让我们指定模型的原语。我们在一般It^o流程环境下工作；特别是，不需要马尔可夫结构。对于布朗运动wt和波动过程σt，中间价followst=StσtdWt，S>0。假设风险资产的中间价为鞅，可以根据风险资产的趋势，将流动性准备金的影响从纯投资中分离出来；在技术层面上，即使在小息差的限制下，也需要获得多头和空头头寸。

这种假设是合理的，因为“造市通常不是定向的，因为它不利于证券价格的上涨或下跌”[14]。此外，正如最优执行文献（例如[4,1,26]）中所述，它也受到考虑中的时间尺度的影响：我们这里不是在处理长期投资，而是主要关注高频流动性提供策略，这些策略通常在交易日结束时进行清算和评估[25]。[8,13]研究了旨在提高短期漂移可预测性的高频策略模型。其他市场参与者的买卖订单到达时间分别由绝对连续跳跃强度α（1）和α（2）t的计数过程N（1）和N（2）两次建模；我们假设N（1）和N（2）ta。s、 不要同时跳。与以前的大多数文献相比，我们不局限于具有独立且相同分布的到达时间的泊松过程。相反，我们考虑了总体到达率，从而重新获得了关于未来水平的不确定性，以及经验观察，如交易日订单流量的U形分布。我们感兴趣的是限制小相对半价差εt的结果。因此，我们将其参数化为εt=εEt，用于小参数ε和It^o过程Et。与具有比例交易成本的模型（例如[31,18]）不同，在模型中，假设所有其他模型参数保持不变是很自然的，因为价差趋于零，价差的宽度与异源市场订单的到达率密不可分。事实上，对于流动性更强、价差更小的市场，市场订单自然会更频繁。

因此，我们相应地重新调整到达率：α（1）t=λ（1）tε-θ，α（2）t=λ（2）tε-θ对某些人来说θ∈ (0, 1).这里，θ>0确保了当ε的出价askspread消失时，外生市场订单的到达率爆炸→ 0.然而，限价指令执行速度不够快的风险是在限价制度下解决问题的关键因素。θ<1被假定为确保流动性准备金的收益以ε的形式消失→ 0.更高的到达率需要模型的扩展，例如传入订单的价格影响；详见第5节。在我们的最优策略和相应的效用中，指数θ只出现在渐近展开率中；前导阶项完全由到达率α（1）t，α（2）t决定。过程λ（1）t，λ（2）t，σt和Et满足以下技术假设：即αi是可预测的过程，而不是-RtαISD是i=1，2的局部鞅。假设2.3。λ（1）t、λ（2）t、σt和etar是有界且远离零界的正连续过程。此外，它是一个半鞅。其可预测的有限变差部分及其局部鞅部分的二次变差过程是绝对连续的，且具有丰富的速率。注意，我们考虑了过程λitand等的任何随机依赖性。在市场微观结构文献（例如[9]）中，导出了交易时间作为当前买卖价格函数的合理分布。2.2偏好投资者的偏好由一般的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数U:R描述→ R满足以下温和的正则性条件：假设2.4。（i） U是严格凹的，严格递增的，并且两次连续可微。（ii）相应的绝对风险规避有界且远离零：c<ARA（x）：=-U（x）U（x）<c，十、∈ R、 （2.5）对于某些常数c，c>0。备注2.5。

由于U（x）=U（0）exp（RxU（y）/U（y）dy），条件（2.5）意味着U（x），|U（x）|≤ C经验(-cx），十、≤ 0和U（x），|U（x）|≤ C经验(-cx），对于某些常数C>0，x>0，（2.6）。满足这些假设的主要例子当然是指数效用U（x）=- 经验(-cx）具有恒定的绝对风险规避c>0。我们的结果也可用于定义在正半线上的公用事业，例如具有恒定相对风险厌恶的电力公用事业。这里，我们关注的是绝对风险规避一致有界的公用事业，因为它们自然会导致对风险资产进行有界的货币投资，符合实践中经常分配的“风险预算”：定义2.6。一系列自我融资的投资组合流程（φ0，ε，εε）ε∈（0,1）如果风险资产中持有的货币头寸εS一致有界，则限额指令中的市场称为可容许市场。这种可采性的概念没有限制性。事实上，事实证明，风险资产中的最优位置甚至一致收敛为零，如ε→ 0（参见定理3.1）。3主要结果本研究的主要结果是一个以ε2（1）为前导的最优交易政策-θ）对于较小的相对半扩散εt=εEt，以及通过应用它可以获得的效用的显式公式。为此，定义货币交易边界βt=2εtα（2）tARA（x）σt，βt=-2εtα（1）tARA（x）σt，并考虑通过市场指令在区间[βt，βt]内保持风险头寸βεt=ηt的策略，同时不断更新相应的限制指令，以便在另一个市场参与者的买卖指令允许卖方或以优惠价格分别购买时，分别交易到βt。

形式上，这意味着过程（βεt）t∈[0，T]被定义为Skorokhod随机微分方程dβεT+=βεTσtdWt+（βT）的唯一解- βεt）dN（1）t+（β- βεt）dN（2）t+dψt，βε=0，（3.1），其中ψ是使溶液保持在[βt，βt]中的最小有限变化过程。这对应于策略bt:=ztsdψ+s，MSt:=ztsdψ-s、 LBt:=βt- βεtSt，LSt:=βεt- βtSt。（3.2）比亚迪ψεt+=Stdψ+t给出的相关投资组合过程族-标准ψ-t+βt- βεtStdN（1）t+βt- βεtStdN（2）t，νε=0，d~n0，εt+=-（1+εt）dψ+t+（1）- εt）dψ-t+（1）- εt）（βεt- βt）dN（1）t+（1+εt）（βεt）- βt）dN（2）t，~n0，ε=x，可用于清算财富过程bxεt:=~n0，εt+εεt{~nεt≥0}(1 - εt）St+εt{ηεt<0}（1+εt）St。本文的主要结果如下：定理3.1。假设假设假设2.3和2.4成立。然后，上述策略在主导顺序ε2（1）下是最优的-式中：E[U（bXεT）]=Ux+ε2（1）-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ)),ε → 0，对于相应的清算财富过程（bXε）ε∈（0,1），其中[U（XεT）]≤ Ux+ε2（1）-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ)),ε → 0，对于任何竞争族（Xε）ε∈（0,1）个可容许的清算过程。这里，ω∈ A（1）t分别为ω∈ A（2）t表示投资者在时间t之前的最后一笔交易分别是买入或卖出，即。

Ait={ω|（ω，t）∈ 对于可预测集a（1）=n（ω，t）|sup{s，Ai}，i=1，2∈ （0，t）|N（1）s>0}>sup{s∈ （0，t）|N（2）s>0}o，A（2）=N（ω，t）|sup{s∈ （0，t）|N（2）s>0}≥ sup{s∈ （0，t）|N（1）s>0}o.（3.3）（按照惯例，在（N（1），N（2））的第一次跳跃之前，所有时间点都属于A（2））。如果模型参数λit、σt、εtar均为常数，则上述公式将toE[U（bXεt）]=Ux+2λ（1）λ（2）ARA（x）σtε2（1-θ)!+ o（ε2（1）-θ)), ε → 也就是说，βt≤ βεt≤ β和ψ是一个连续的有限变化过程，使得Rt{βεs=βs}dψ不减，Rt{βεs=βs}dψs=0不增，Rt{βs<βεs<βs}dψs=0。解决方案的存在性和唯一性由S lomi’nski和Wojciechowski[29]中的定理3.3保证，该定理应用于跳跃时间之间（3.1）的演化，没有关于N（1）和N（2）t的积分。对于我们在这里考虑的特殊反射SDE，在（4.1）中显式构造了解决方案。4证明本节包含我们主要结果定理3.1的证明。我们的工作如下：首先，当相对半价差εt=εt趋于零并跳到交易边界βt，βt时，我们的政策βεt变得越来越频繁，几乎所有的时间最终都花在βt，βt附近。受这个结果的激励，我们构建了一个无摩擦的“影子市场”，它至少与最初的限价指令市场一样有利，对于这种情况，在β和β之间波动的政策在小息差的领先顺序上是最优的。

在第三步中，我们证明了应用我们的原始策略βεt获得的效用与在小利差的领先订单下更有利的无摩擦影子市场中的近似优化器的效用相匹配，因此我们的候选βεt在领先订单下确实是最优的。4.1在上述近似结果中，我们首先表明我们的政策βεt几乎一直在边界βt附近花费，βt相对半价差εt=εt崩溃为零，其他市场参与者的订单变得越来越频繁：引理4.1。关于随机区间]]inf{t>0|N（1）t>0或N（2）t>0}，t]]，进程βεt- βtA（1）t- βtA（2）tεθ-1ε的概率一致收敛到0→ 0.证明。可以显式构造Skorokhod SDE（3.1）的解。设（τεi）i∈N（1）t的跃迁时间，即βε到上边界βt的跃迁时间（为了便于记法，我们可以将模型扩展到t之外）从τεiup到（N（1）t，N（2）t的下一跳时，解由βεt=expZtτεiσudWu给出-Ztτεiσudu- sup（ZsτεiσudWu）-Zsτεiσudu- 自然对数βs| s∈ [τεi，t]）！（4.1）（类似于在N（2）t的跳跃时间之后），以及ψt=ψτεi+βεt- βτεi-RtτεiβεuσudWu。事实上，（4.1）中的βε满足了βεt=βεtσtdWt- βεtdsupnRsτεiσudWu-Rsτεiσudu- 自然对数βs| s∈ [τεi，t]o, 后一个积分器是非减量的，在集合{βε<β}上甚至是常数，因为如果ln（βεt）<ln（βt），则在t上不能达到上确界。定义流程t:=ZtσudWu-Ztσudu- ln2Etλ（2）塔拉（x）σt！，T≥ 0.yt不依赖于标度参数ε，并且根据假设2.3，它具有几乎确定的连续路径，这意味着supt，t∈[0，T]，|T-t|≤h | Yt- Yt|→ 0，a.s.，h→ 0

（4.2）由（4.1）可知，βεtβt=expYt- 小吃∈[τεi，t]Ys！（4.3）对于τεi和（N（1）t，N（2）t）和expyt的下一个跳跃时间之间的所有t- 小吃∈[τεi，t]Ys！≥ 经验- 监督∈[0，T]，|T-t|≤h | Yt- Yt |！对于h>0，t∈ （τεi，（τεi+h）∧ [T]。（4.4）现在，fix任意eε>0。根据（4.2），pexp中存在seh>0- 监督∈[0，T]，|T-t|≤呃| Yt- Yt|！<1.- eε！≤eε。（4.5）注意，在执行限价销售订单后，βεt跳到βt<0，然后无法进入区域[0，（1）- eε）βt）在下一次限价采购订单执行之前。因此，我们可以使用（4.3）并估计远离上交易边界βtas的偏移量，如下所示：T∈ （τε，T]s.T.βεTβT∈ [0, 1 - eε）≤ PM1，ε∪b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M2，ε，i∪b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M3，ε，i, （4.6）式中m1，ε：={ω∈ Ohm | N（1）T（ω）>b2Tλ（1）maxε-θc}，M2，ε，i:={ω∈ Ohm | τεi+1（ω）- τεi（ω）>eh}，M3，ε，i:=（ω）∈ Ohm | exp（Yt（ω）- 小吃∈[τεi（ω），t]Ys（ω））<1- eε对于某些t∈ （τεi（ω），（τεi（ω）+eh）∧ T]），其中λ（1）maxε-θ作为计数过程N（1）t跳跃强度的上界。在平面英语中，要么有许多跳跃到上边界βt，要么有一个远离βt的长时间偏移，和/或有一个短偏移，尽管如此，它使危险位置βεt离边界βt足够远，我们表明，这些事件的概率小于ε足够小的情况下的eε。观察到在（N（1）t，N（2）t）的第一次跳跃后，我们有0<βεt≤ β吨A（1）和β吨t≤ A（2）t上的βεt<0。当βt=2Etλ（2）tσtε1-θ和过程2etλ（2）tσt有界，（4.6）的估计反过来产生|βεt- βt |εθ-1A（1）t→ 概率一致为0。通过对βεt A（2）应用相同的参数，我们可以得到断言。现在让我们推导出（4.6）所需的估计值。首先，回想一下时间改变了的过程→ N（1）ΓuwithΓu:=inf{v≥ 0 | Rvλ（1）sε-θds=u}是一个标准的泊松过程（参见[5，定理16]）和Γλ（1）maxε-θT≥ T

结果：P（M1，ε）≤ P（N（1）Γλ（1）maxε-θT>b2Tλ（1）maxε-θc）≤eε，对于足够小的ε，根据大数定律（4.7）。其次，因为N（1）的跃迁强度从下方以λ（1）minε为界-θ>0，我们得到τεi+1- τεi>xλ（1）minε-θ!≤ 经验(-x） ，x∈ R+，i∈ N.选择x=λ（1）minε-θ呃，这个估计产量τεi+1- τεi>eh对于某些i=1，b2Tλ（1）最大ε-θc≤ b2Tλ（1）最大ε-θc exp-λ（1）minε-θeh.这反过来又给了SPb2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M2，ε，i≤eε，ε足够小。（4.8）最后，在（4.4）和（4.5）之前，我们得到了b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M3，ε，i≤ Pexp- 监督∈[0，T]，|T-t|≤呃| Yt- Yt|！<1.- eε！≤eε（4.9）表示ε足够小。将（4.7），（4.8）和（4.9）拼凑在一起，可以得出（4.6）中的概率确实以足够小的ε为界。这就完成了证明。4.2辅助无摩擦影子市场与具有比例交易成本的市场[19]和限价订单市场[22]类似，我们通过用合适的“影子价格”eSt替换中间价格ST，将原始优化问题简化为无摩擦版本。后者可能对交易更有利，但也会带来同等的最优策略和效用。与[22]的关键区别在于，我们关注的是小价差的渐近结果。因此，有必要确定“近似”影子价格：这些价格至少是同样有利的，而且存在着在两个市场中以相同价格交易所有利差的策略，但在无摩擦市场中只有“几乎”最优的小利差策略。这显著简化了结构，从而允许处理此处考虑的一般框架。事实上，引理4.1中建立的近似结果表明，它有助于寻找无摩擦影子市场，其中最优策略在上下两个基准βt，βt之间振荡计数过程N（1）t，N（2）t的跳跃时间。

为此，我们可以简单地让影子价格在执行limitbuy order sell订单时跳到bid order ask price，然后让影子价格随着bid order ask price的变化而变化，直到下一次跳。为精确起见，leteS=（1+ε）砂密度测试-= σtdWt+1A（1）t1+εt1- εt- 1.dN（2）t-1.- εtdεt-σt1- εtdhW，εit+1A（2）t1.- εt1+εt- 1.dN（1）t+1+εtdεt+σt1+εtdhW，εit（4.10）=:deRt，其中（3.3）中的A（1）和A（2），其中-1.-εtdεt-σt1-εtdhW，εitand1+εtdεt+σt1+εtdhW，εitensure thateSt=（1）- εt）Ston A（1）t+：=lim supn→∞A（1）t+1/nandeSt=（1+εt）Ston A（2）t+：=lim supn→∞A（2）t+1/neven表示时变εt。（通过将分部积分公式应用于过程1，可以很容易地导出修正项。） εtand St.）然后：（1- εt）St≤美国东部时间≤ （1+εt）St，eSt=（1）- εt）StonN（1）t>0，eSt=（1+εt）StonN（2）t>0。（4.11）也就是说，无摩擦的价格过程涉及买卖价差，因此总是导致至少对市场订单有利的交易价格。当由于限价指令的执行而获得更有利的交易价格时，EST会跳起来与之匹配。因此，交易至少与原始限价订单市场一样有利。现在的关键步骤是确定最佳的森林政策。在相应的无摩擦市场中，投资组合可以直接根据货币头寸eηt=ηteSt进行等价参数化-持有在风险资产中，相关的财富过程EXEηt=x+ZteηSDER。我们有以下二分法：引理4.2。设（eηεt）ε∈（0,1）是具有相关财富过程Sexeηε的一致有界保单族。然后，对于每个δ>0，存在一个εδ>0，这样：eXeηεt∈ （十）- δ、 x+δ），T∈ [0，T]≥ 1.- δ或EhUeXeηεTi<U（x），ε ≤ εδ. （4.12）证据。第一步：让δ>0。