最优流动性供给

U impliesU（eXeηεT）的严格凹性≤ U（x）+U（x）（eXeηε）- 十）+U（x+δ）- U（x）- U（x）δ{eXeηεT≥x+δ}+U（x）- δ) - U（x）+U（x）δ{eXeηεT≤十、-δ} （4.13）和0>最大值U（x+δ）- U（x）- U（x）δ，U（x）- δ) - U（x）+U（x）δ=: f（δ）。根据假设2.3，存在K∈ R+使EeXeηε≤ x+Kε1-θ对于所有ε∈ (0, 1).与（4.13）一起，这个yieldsEhU（eXeηεT）i≤ U（x）+U（x）Kε1-θ+PeXeηεT6∈ （十）- δ、 x+δ）f（δ）。因此，预期效用要么低于U（x）orPeXeηεT6∈ （十）- δ、 x+δ）≤U（x）Kε1-θ-f（δ）。（4.14）由于（4.14）的右侧趋于零，因此ε→ 0，这已经证明了在终端时间t=t时的断言。在剩下的三个步骤中，我们将展示如何将断言扩展到allintermediate times t∈ [0，T]以统一的方式。步骤2：我们首先考虑过程x+RteηεsσsdWs，ε∈ (0, 1). 它们是真鞅和supε∈（0,1）E“中兴ηεsσsdWs#< ∞.因此，族（|RTeηεsσsdWs | p）ε∈（0,1）对任何p都是一致可积的∈ (1, 2). 因此，对于每ξ>0，就存在一个δ>0这样的p中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ ==> E中兴ηεsσsdWsP≤ ξ（4.15）每ε∈ (0, 1). 根据Doob的最大不等式Esupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWsP≤聚丙烯- 1.体育课中兴ηεsσsdWsP（4.16）从（4.15）和（4.16）中，我们得出结论：ξ > 0 δ > 0 ε ∈ （0,1）P中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ==> Psupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWs≥ ξ!≤ ξ.第3步：让我们证明过程sexeηεt- 十、-RteηεsσsdWstend在ε的概率中一致为零→ 0（参见第（4.10）节，了解ErtanderσsdWs的差异）。由（4.7）可知，εt线性地趋于零，eηεt的一致有界性，exηεt的dNit-项和dt-项在ε的总变差距离中均为零→ 0.关于tohW，εIt的积分和关于εt漂移部分的积分也是如此。

为了证明积分关于εt的连续鞅部分的收敛性“一致不概率”，我们再次使用步骤2的论证。第4步：现在，我们结合前面三步的断言来完成引理的证明。设ξ>0。第二步，存在一个δ∈ 所有ε的（0，ξ）s.t∈ （0,1）含义p中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ ==> Psupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWs≥ ξ/2!≤ ξ/2（4.17）成立。到第3步，存在eε>0 s.t.Psupt∈[0，T]eXeηεs- 十、-中兴ηεsσsdWs≥ δ/2!≤ δ/2, ε ∈ （0，eε）。（4.18）此外，根据三角形不等式，一个搭扣中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ P（| eXeηεT）- x|≥ δ/2）+PeXeηεT- 十、-中兴ηεsσsdWs≥ δ/2. （4.19）在步骤1中，所有ε都存在bε>0 s.t∈ （0，bε）P（|eXeηεT）- x|≥ δ/2) ≤ δ/2或EhUeXeηεTi<U（x）。现在，让ε∈ （0，eε）∧ bε）。任何一个都有EhUeXeηεTi<U（x）或者，通过（4.19），（4.18），我们可以应用（4.17）来得出以下结论：监督∈[0，T]RteηεsσsdWs≥ ξ/2≤ ξ/2. 加上（4.18），δ≤ ξ、 再次是三角形不等式，一个到达PSUPT∈[0，T]εsηeXe- 十、≥ ξ!≤ ξ.备注4.3。引理4.2断言，对于小ε，政策的财富过程要么非常接近初始位置，要么政策“非常糟糕”，因为相应的预期效用小于通过根本不交易风险资产获得的收益。从任意一致有界策略族（eηε）ε出发∈（0,1），对于e[U（eXeηεT）]<U（x）的所有ε，我们可以用0代替eηε。然后，修正后的财富过程族与原始财富过程族表现得最少，引理4.2表明修正后的财富过程族在ε的概率上一致收敛→ 0

因此，我们假设（eXeηε）ε已经具有这个性质∈（0,1）不丧失一般性。现在让我们计算通过应用这样一系列策略（eηε）ε获得的预期效用∈(0,1).根据假设2.3，关于εtand hW，εitin（4.10）的积分主要用于ε→ 实际上，连续鞅部分由σtdwt控制，漂移项由积分相对于计数过程Nit的漂移控制，其顺序为2ε1-θEtλit。因此，在续集中可以安全地忽略这些术语。[17，定理I.4.57]和[17，定理II.1.8]中的It^o公式得出：U（eXeηεT）=U（x）+ZTU（eXeηεT-)eηεtσtdWt+ZTU（eXeηεt-)（eηεt）σtdt（4.20）+U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)* （ueR）- νeR）T+U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)* νeRT，其中ueri是er的跳跃度量（参见[17，命题II.1.16]），而在[17，定理II.1.8]的意义上，是νeRis补偿器。布朗运动的积分与补偿随机测度- 是真鞅。要了解这一点，首先考虑布朗积分。通过（2.6）我们得到了（eXeηεt）-) ≤ C经验(-ceXeηεt-)1{eXeηεt-<0}+U（0）1{eXeηεt-≥0}具有常数C，C>0。因此，由于eηεtσt的有界性，必须证明ZTexp(-2ceXeηεt）dt< ∞. （4.21）根据Doleans-Dade指数公式[17，定理I.4.61]和[17，定理II.1.8]，我们有(-2ceXeηεt）=exp(-2cx）E-2cZ·eηεsσdWs+（exp(-2ceηεx）- 1) *ueR- νeRt（4.22）×expZt（2c（eηεs）σs）ds+（exp(-2ceηεx）- 1) * νeRt.尽管如此，t∈ [0，T]，上述表示中的普通指数由一个常数一致有界。

这是因为σtas和（eηεt）都是一致有界的，而且强度ε-λ（1）t，ε-θλ（2）皮重对于任何ε>0有界，对于跳跃部分（对于非常小的ε）也是如此：（exp(-2ceηεx）- 1) * νeRt=Zt（exp(-2ceηεs2εs/（1）- εs）- 1） 1A（1）sε-λ（2）sds+Zt（exp（2ceηεs2εs/（1+εs））- 1） 1A（2）sε-λ（1）十二烷基硫酸钠。（4.21）现在紧随其后，因为（4.22）中的随机指数不仅是一个局部鞅，而且是一个具有递减期望的超鞅，因为它对于足够小的ε是正的。关于补偿随机测度ueR积分的论证- νeRin（4.20）与此类似。通过中值定理（2.6）和[17，定理II.1.33]可以证明(-2ceXeηε）* νeRTi<∞.但这跟上面的布朗积分一字不差，同样使用了，当相应的跳跃强度都是一致有界的时候，膨胀的跳跃。总之，（4.20）因此[U（eXeηεT）]- U（x）=EZTU（eXeηεt）-)（eηεt）σtdt+（U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)) * νeRT≤ 中兴通讯U（eXeηεt）-)（eηεt）σt+U（eXeηεt）-)eηεt2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（eXeηεt-)（eηεt）σt- U（eXeηεt）-)eηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#，（4.23）对于不等式，我们使用了U的凹性，并插入了ert的定义。由（2.6），（4.21）也表明（4.23）中的随机变量是可积的。此外，对于任何统一边界策略族eηεt，ZTU（eXeηεt）dt和ZTU（eXeηεt）dt对ε是一致可积的∈ （0，ε），（4.24），其中ε>0是一个非常小的常数。事实上，根据（4.21）的证明，其中的界在ε中一致成立∈ (0, ε). 然后，利用詹森不等式，我们观察到RTU（eXeηεt）dt,RTU（eXeηεt）dt期望值一致有界，这反过来会产生固定财富的（4.24）EXEηεt-, （4.23）上界中的被积函数是策略eηεt中的二次函数。

插入逐点最大值2ε1-θEtλ（2）tARA（eXeηεt）-)σt（1）-εEt）A（1）t-2ε1-θEtλ（1）tARA（eXeηεt）-)σt（1+εEt）A（2）t，如果明确考虑关于εtand hW，εi的积分，这些只会导致额外的高阶项，对于小ε，它可以由常数乘以εeηεt限定。它的阶数为O（ε1）-θ）（在ω，t中均匀地）乘以（2.5），因此产生以下上界：E[U（eXeηεt）]- U（x）≤中兴通讯“-U（eXeηεt）U（eXeηεt）2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（eXeηεt）U（eXeηεt）2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）t#dt+o（ε2（1-θ)).这里，我们使用了2εt/（1） εt）=2εt+O（ε），通过（4.24），余数一致地限定在期望值内。对于反馈策略ηε族，*t=2ε1-θEtλ（2）tARA（eXeηε，*T-)σtA（1）t-2ε1-θEtλ（1）tARA（eXeηε，*T-)σtA（2）t（4.25）一致收敛为零的ε→ 0，这个不等式变成了一个前导阶为ε2（1）的等式-θ），即：E[U（eXeηε，*T） ]- U（x）（4.26）=E“ZTU（eXeηε，*T-)（eηε，*t） σt+U（eXeηε，*T-)eηε，*t2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（eXeηε，*T-)（eηε，*t） σt- U（eXeηε，*T-)eηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#+o（ε2（1-θ））=中兴”-U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*t） 2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*t） 2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）t#dt+o（ε2（1-θ)).这里，第一个等式源自中值定理，因为微分余数由C |U（eXeηε，*T-+ ξ) - U（eXeηε，*T-)|ε2(1-η） 对于某些常数C>0，不依赖于εaseηε，*/ε1-θ有界于ε→ 0乘以（2.5），以及一些有界随机变量ξ，其ε趋于0→ （4.24）表示该项是一致可积的，因此剩余项的阶数确实为o（ε2（1）-η)).结果：E[U（eXeηεT）]- E[U（eXeηε，*T） ]≤ ε2(1-θ）MZTE“U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*（t）-U（eXeηεt）U（eXeηεt）#dt+o（ε2（1-（4.27），其中常数M是2Et（λ（2）t）/σ和2Et（λ（1）t）/σt的统一界→ x、 我们还有U（eXeηε）/U（eXeηε）→ U（x）/U（x）在概率ε中一致→ 0

如上所述，在（4.24）中，我们有一致可积性，因此这种收敛实际上保持在L中。因此，（4.27）和勒贝格积分的支配收敛定理yieldE[U（eXeηεT）]≤ E[U（eXeηε，*T） ]+o（ε2（1）-θ），即族（eηε，*t） ε>0在前序ε2（1）处近似最优-θ).如果明确考虑关于ε和hW，εi的积分，这不会改变逐点优化器和前导阶的相应上界。与（4.26）一起，同样的论证也得出相应的前导阶最优效用由[U（eXeηε，*T） ]=U（x）-U（x）2U（x）EZT（eηε，*t） 杜瑞特+ o（ε2（1）-θ））=Ux+ε2（1-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ），其中第二个等式来自泰勒定理和eηε的定义，*t、 如果所有模型参数λit，σt，εtare都是常数，则可以显式地计算公式中的积分。实际上，由于P[A（1）t]=1- P[A（2）t]=λ（1）/（λ（1）+λ（2）），然后得出e[U（eXeηε），*T） ]=Ux+2λ（1）λ（2）ARA（x）σε2（1）-θT！+o（ε2（1）-4.3主要结果的证明我们现在完成主要结果的证明。为此，我们使用第3节中的策略βεt建议一致地接近于几乎最优的策略eηε，*用Lemma 4.1给出的价格过程来预测影子市场。由于无摩擦影子市场中的交易至少与原始限价指令市场中的交易一样有利，且政策βεt在两个市场中以相同的价格进行交易，这反过来又产生了βεt的前序最优性。定理3.1的证明。设ηεt:=βεt(1 - εt）1{βεt>0}+（1+εt）1{βεt<0},式中，βε是（3.1）的解，其阶数为O（ε1）-θ）在ω，t中一致。

请注意，ηε是保单βεt的最高头寸，如果风险资产的估值是影子价格而不是中间价格。步骤1：我们想将ηε的最高财富与近似优化器ηε的财富进行比较，*锡市场定义见（4.25）。通过（4.24），在（4.23）的展开式中，可以分别用U（x）和U（x）替换U（eXeηεt）和U（eXeηεt），从而得到o（ε2（1）阶的余数-θ）），对于任何性质为eηεt/ε1的保单族eηε2-θ是一致有界的。适用于ηε和eηε，*t、 这个屈服强度[U（eXηεt）]- E[U（eXeηε，*T） ]=E“ZTU（x）（ηεt）σt+U（x）ηεt2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（x）（ηεt）σt- U（x）ηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#-中兴通讯-U（x）U（x）2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（x）U（x）2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）tdt#+o（ε2（1）-θ））=E“ZTU（x）σt（ηεt）- β1A（1）t- β1A（2）t）+（eηε，*T- β1A（1）t- β1A（2）t）dt#（4.29）+o（ε2（1）-θ)).引理4.1和ηεt- βεt=O（ε2-我们有（ηεt）- βtA（1）t- βtA（2）t）/ε1-θ→ 在（N（1）t，N（2）t）的第一次跳跃后，概率一致为0。eηε也是如此，*t、 由于（N（1）t，N（2）t）的第一跳变时间的期望值为O（εθ）（4.29）的最后一行中的被积函数均为O（ε2（1）阶）-这给出了“ZTU（x）σt”（ηεt）- β1A（1）t- β1A（2）t）+（eηε，*T- β1A（1）t- β1A（2）t）dt#=o（ε2（1）-θ））+O（ε2-θ=o（ε2（1）-θ)).第二步：设（ψ0，ε，ψε）ε∈（0,1）是（ψ0，ε，ψε）=（x，0）的有限序市场中任意可容许的投资组合过程族。通过（4.11）和[22，命题1]证明中的步骤1，我们得到了ψ0，εt+ψεt{ψεt≥0}(1 - εt）St+ψεt{ψεt<0}（1+εt）St≤ x+ZtψεsdeSs。（4.30）由于eS/S的有界性，定义2.6意义上的可容许性意味着族（ψεeS）ε∈（0,1）一致有界。因此，我们可以应用（4.28），即家庭由反馈政策eηε主导，*.现在采取策略（3.2）。

对于相应的投资组合过程（φ0，εt，φεt）t∈[0，T]我们有ηεT=νε测试-并且——通过构造策略andeSt——（4.30）保持相等（ψ0，εt，ψεt）=（а0，εt，аεt）。再加上（4.29）和eηε的近似最优性，*在最激烈的市场中，这是一种说法。5外生订单的价格影响在我们的模型中，买入和卖出价格仍然不受新订单执行的影响。对于流动性提供者来说，这是最乐观的情况，因为按库存风险计算，这使他们能够在交替买卖交易之间获得全部利差。对于那些订单中没有任何信息的小噪音交易者来说，忽略价格影响是合理的。然而，对于战略和可能知情的交易对手来说，这是值得怀疑的。对于这些，预计价格在购买后会上升，在销售后会下降（比较，例如[11,23]）。类似地，其他市场参与者的较大订单也会耗尽订单，从而使市场价格朝着相同的方向移动[26]。我们的基本模型可以进行扩展，以简化的形式将传入订单的价格影响纳入其中。事实上，假设中间价格遵循DST-= σtdWt- κεtdN（1）t+κεtdN（2）t，（5.1）对于某些价格影响参数κ∈ [0,1]。使用信息：-, 我们的小投资者被允许以投标价格（1-εt）St-并以要价（1+εt）St限制销售订单-然而，在St跳跃之前，当外生卖方订单到达跳跃时间N（1）t时，买入和卖出价格会下降，而在外生买方订单到达跳跃时间后，买入和卖出价格会上升。这与最优执行文献中的Almgren-Chriss模型[1]在精神上类似，因为我们也不试图指定整个订单簿的动态，而是直接模拟处决造成的价格变动。N（2）t的次数。

（请注意，无论我们的小投资者选择提供多少流动性，这种情况都会发生。）从形式上讲，这意味着自融资条件（2.4）被φt=x取代-Zt（（1+εs）Ss-, （1+εs）Ss）dMBs+Zt（（1）- εs）Ss-, (1 - εs）Ss）dMSs-Zt-磅（1- εs）Ss-dN（1）s+Zt-LSs（1+εs）Ss-dN（2）s.参数κ表示半扩展εtSt的分数-价格受其影响。κ=0对应于上述没有价格影响的模型。相反，κ≈ 根据Madhavan等人[23]的精神，1导致了amodel，在这里，流动性提供者不赚取差价，只为他们的服务获得一小部分外生补偿。在该模型中，流动性提供者不会将价格影响内部化，因此会继续以最佳买入价和卖出价进行流动性后处理。这个假设是为了便于处理。事实上，对所考虑的限价进行这种限制的动机并不像连续买卖价格的基本模型那样令人信服。或者，如[6]中所述，可以考虑模型，其中流动性提供者的订单规模是固定的，但可以在订单簿中更深入地发布，以量化不利的价格影响。以一种易于处理的方式整合有关订单规模和位置的战略决策是未来研究的一个具有挑战性的方向。在我们模型的上述扩展中，最优策略类似于基线版本中的策略，没有价格影响。当执行限价指令时，仍有人交易到某些头寸限额βt，βt。然而，由于价格影响的负面影响降低了提供流动性的动机，因此βt、β皮重相应降低。如果执行将出价和要价移动当前一半价差εtSt的一小部分κ-, 那么βt=2εt（（1-κ） α（2）t-κα（1）t）ARA（x）σt，βt=-2εt（（1-κ） α（1）t-κα（2）t）ARA（x）σt，（5.2）假设-κ） α（2）t-κα（1）和（1）-κ） α（1）t-κα（2）皮重阳性。

在对称情况下，α（1）t=α（2）t=αt，即如果买卖订单以相同的速率到达，则当且仅当κ<1时成立。在这种情况下，βt=2εt（1- κ） αt2ARA（x）σt，βt=-2εt（1）- κ） αt2ARA（x）σt，因此价格影响等于当前半价差εtSt的一小部分κ-只需将流动性供给减少1倍-κ. 特别是如果κ≈ 那么边界的阶数可以是o（ε1）-θ). 因此，到达率比ε更高-θ, θ ∈ （0,1）可以在利差降至零时使用，而不意味着非平凡的利润。在任何情况下，相应的领先订单确定性等价物的公式（1.2）在相应地替换交易边界后保持不变。关于MBtand MStsee（2.1）的积分。自MBt以来- MBt-, MSt- MSt-必须是可预测的，因为根据对N（1），N（2）的假设，（5.1）的跳跃时间是完全不可访问的停止时间，市场订单实际上总是在（1±εt）St执行。注意，如[6]中所述，价格影响在这里是永久的。[16]研究了[26]中所述的在具有瞬时价格影响的限价订单市场中跟踪外生基准。事实上，在成功执行限价指令后，如果κ≈ 1.这意味着流动性提供者实际上以与priceprocess St无摩擦市场中类似的价格进行交易。此外，如果α（1）t=α（2）t，中间价格仍然是鞅，预期收益消失。同时比较[7]，其中讨论了两种类型的模型。在第一种情况下，可以以任意的限价发布一份一股的限价单。在第二种情况下，限价是以最好的买卖价格确定的，但交易量可以是任意的。除了减少限价订单交易的目标仓位，价格影响还改变了这些交易之间的平衡策略。