金融的概率方面

货币风险衡量与给定财务状况的盈亏或损益相关的资本要求被指定为最低资本，该最低资本应添加到该状况中，以使该状况从监管机构的角度来看是可接受的。这种想法可以通过货币风险度量的概念形式化。财务的概率方面13损益表描述了给定交易期结束时的不确定净货币结果，因此将其建模为可测量空间上的实值可测量函数X(Ohm, F） 可能发生的情况。我们定义了此类损益的线性空间x和非空子集a X与被认为可接受的职位相关。我们要求X包含所有常数，Y∈ A.多愁善感≥ X代表一些X∈ A.由ρ（X）定义的X上的函数ρ：=inf{m∈ R | X+m∈ A} （17）被称为货币风险度量，值ρ（X）被解释为P&L X对财务状况的资本要求。货币风险度量的标准示例是某一水平的风险价值λ∈ (0, 1). 由概率测度P描述的一个给定概率模型(Ohm, F） ，如果短缺概率P[X<0]不超过λ水平，则X被视为可接受的风险价值。由此产生的货币风险度量（17）由P下X的分布的λ-分位数给出，直到阿米努斯符号。风险价值在实践中被广泛使用。但它也有一些不足之处。特别是，它不计入可能短缺的规模，因此会在鼓励风险集中的同时惩罚多元化。对这些缺陷的认识推动了Artzner、Delbaen、Eber和Heath[3]在90年代末提出的货币风险度量一般理论的公理化方法。但也有其他缺点。

例如，为了应对最近的金融危机，《特纳评论》——对全球银行业危机的监管回应[105]强调过度依赖单一概率模型P，从而引发了奈特不确定性问题。我们现在将勾勒出凸r isk测度理论中的关键要素。正如我们将看到的，这一理论不仅解决了多元化不应受到资本要求惩罚的问题。它还提供了一个案例研究，说明如何在数学框架内处理骑士的不确定性。为了实现多元化应该被鼓励而不是被货币风险度量惩罚的想法，我们要求接受集A是凸的。在这种情况下，通过（17）定义的货币风险度量ρ被称为凸风险度量，因为a的凸性相当于ρ的凸性。当A是偶凸锥时，ρ称为相干r-isk测度。最后一篇论文[3]引入了一致ris k测度的概念；[59]、[51]和[44]分别介绍了从一致风险度量到凸风险度量的后续扩展。凸对偶意味着凸风险度量通常采用ρ（X）=supQ的形式∈Qρ{EQ[-X]- α（Q）}，（18）其中Qρ是一类概率测度，α：Qρ→ R∪ {+∞} 是一种惩罚功能。因此，资本需求的确定如下：针对每个概率测度Q计算预期的位置损失∈ Qρ并被惩罚α（Q）惩罚；然后，在Qρ类中，一方接受最严重的惩罚预期损失。鉴于模型的不确定性，本程序可解释如下。没有预先确定的概率度量是14 H·F¨ollmer和A·Schied，但概率度量是Q∈ Qρ确实是通过凸二元性进入的，并承担压力测试的角色。

集合Qρ可视为一类似然概率模型，其中每个模型Q∈ 根据惩罚α（Q）的大小，Qρ或多或少地被严格取值。通过这种方式，模型的不确定性得到了明确的考虑。关于Q（ρ）到ρ（ε）的情形，Q（ε）到ρ（ε）＝s（ε）＝s（ε）＝s∈QρEQ[-十] ，（19）也就是说，在最坏的情况下，Qρ类的预期损失。在无套利但可能不完整的金融市场模型中，上行风险度量ρ（X）=supP*∈P*E*[-十] ，显然是一个连贯的风险度量。相应的接受集A由所有X组成，可以找到初始资本V=0的动态交易策略和最终结果VT，从而组合头寸X+VT的支付效果为非负概率1。在数学金融的背景下，一致性和凸性风险度量的历史始于上述开创性论文[3]。然而，在更广泛的数学背景下，在博弈论和Choquetintegration[30,99]、稳健统计[63,64]和精算保费原则[31,57]等领域有着相当长的公关历史。风险度量也隐含地出现在微观经济学的参照物理论中。空间X上的首选项通常由一些实用功能Uon X表示。

根据冯·诺依曼、摩根斯特恩[106]和萨维奇[93]提出的理性公理，对于某些递增连续函数U和某些概率测度P，U采用预期效用的形式，即U（X）=EP[U（X）]（20）(Ohm, F） 。正如Gilboa和Schmeidler[56]在80年代末所示，理性公理的自然放松意味着线性风险度量-（20）中的EP[·]应通过一般一致性风险度量ρ：U（X）=-ρ（u（X））=infQ∈QρEQ[u（X）]。最近，麦克切罗尼、马里纳奇和拉斯蒂基尼[81]进一步放松了理性主义。在他们的公理设置中，ρ现在是一个凸风险度量，因此偏好的数值表示采用公式（X）=-ρ（u（X））=infQ∈Qρ{EQ[u（X）]+α（Q）}。经典的ris k厌恶被效用函数u的凹性所捕获，而-ρ对应于模型不确定性厌恶的行为假设；参见[56]、[81]和[45]。金融的概率方面156。价格形成、市场微观结构和算法交易的出现当L.Bachelier和P.A.Samuelson建立了他们的资产价格过程模型时，指令通常由经纪人在交易坑中发出信号来执行。但近年来，金融市场的运作方式发生了巨大变化。我们现在将讨论这一变化给数学金融带来的一些新挑战。1971年，世界上第一家电子股票交易所纳斯达克成立。在随后的十年里，在市场放松管制和技术进步措施的推动下，越来越多的交易场所被放弃，取而代之的是完全电子化的交易。这种电子交易基本上有两种不同的指令，即限价指令和市场指令。

限价指令是指以特定价格买卖一定数量股份的指令。它被收集在电子限额订单簿中，直到有匹配的销售或购买订单。市价指令是指以当前可用的最佳价格购买或出售一定数量的股票的指令。因此，它根据价格优先级使用限价订单。当在最佳价格下所有限制订单的总规模大于传入匹配订单的规模时，限制订单通常根据先进先出规则执行。因此，在这个微观层面上，资产价格动态不是由一维扩散过程表示的，而是由整个限价订单簿的演变表示的，从数学角度来看，整个限价订单簿可以被视为一个复杂的排队系统。因此，它至少在原则上可以进行数学建模。通过一个合适的t型手模型，人们可以尝试“缩小”微观图像，并在介观差异尺度上描述中间价的极限动态（即，最佳买入和卖出限价指令之间的平均值）。这可能会导致对数学金融标准建模范式的确认，或发现新类型的资产价格动态。在[4,11,19,20,22]中进行了与此类问题有关的初步研究，例如[19]在扩散极限中找到了一个单身汉类型的模型。电子交易场所的出现促进了计算机下单的使用，并且很快出现了算法和高频交易的新现象。如今，限价订单簿以毫秒为单位按时间间隔更新，这样就没有人能够跟踪高效流动资产的价格演变。因此，做市商和许多其他交易员必须使用计算机。

因此，现在股票市场上的绝大多数订单都是通过计算机算法完成的。[79]中给出了电子市场现状的详细描述。金融市场的计算机化带来了一些可以被视为潜在益处的影响。例如，高频做市商提供的流动性，以及越来越多的电子交易渠道之间的竞争，导致买卖交易量显著下降，从而降低了普通投资者的交易成本。人们还希望计算机程序能比人类投资者更理性地行事，尤其是在危急情况下，从而避免放逐和羊群行为。然而，这些希望受到2010年5月6日Flash16 H·F¨ollmer和A·SchiedCrash事件的严重挑战。当天，在紧张的市场中，一张抛售订单在高频交易者（HFT）的交易算法中引发了一场“烫手山芋游戏”，导致资产价格出现了有史以来最剧烈的下跌，随后在20分钟内出现了s-harp反弹。[18，第3页]中的以下引用给出了一些迹象，表明Flash崩溃确实是由几种交易算法之间的反馈过度引起的：。HFT开始迅速购买合同，然后再相互转售——当相同的订单快速来回传递时，产生了“烫手山芋”效应。在2:45:13和2:45:27之间，HFTs交易了超过27000份合同，占总交易量的49%，而净购买了约200份额外合同。理解为什么交互交易算法最终会出现在这样一个“烫手山芋游戏”中，并在数学模型中重现这种现象，这是一个有趣的挑战。

正如我们将在下一节中看到的，已经有一些初步结果可能与这种现象有关。除了可能造成崩溃场景外，电子交易的其他方面也存在潜在问题。例如，某些掠夺性交易算法扫描大型交易执行过程中产生的模式的订单信号。一旦发现如此大规模的交易，掠夺性交易算法就会试图通过建立一个仓位来获得适当的回报，该仓位的价值将因大规模交易产生的价格影响而增加；参见[13,16,101]。为了避免价格冲击和掠夺性交易的不利影响，许多投资者求助于所谓的暗池，在暗池中，其他市场参与者看不到订单。但事实上，许多暗池从“光明”市场获得订单的执行价格有利于掠夺性的交易技术，如基于操纵光明市场价格的“fishing”；参见[72,77,83]。价格影响和订单执行理解算法交易及其潜在收益和风险的关键是价格影响的现象，即执行大额订单会影响基础资产的价格。它是经济主体与市场相互作用的基本机制之一，因此也是相互作用的基本机制之一。价格影响发挥了重要作用的引人注目的例子包括1993年金属行业的崩溃、1998年的TCM危机，或2008年Societ’e G’en’eral公司解除杰罗姆·科维尔的投资组合。但是，在规模小得多的交易中，价格影响也可能是显著的，它属于许多金融机构的日常业务。理解价格影响的第一步是执行单一交易，这是一个可以在多个尺度上进行观察的可行方案。

在微观尺度上，人们认为交易规模小到可以通过在限价订单簿中下单来执行。当该订单作为市场订单下发时，它将通过消费订单影响限价订单簿，如果限价订单足够大，则改变相应的最佳价格并扩大买卖价差；参见[1,89,107]。当它包括下达或取消限价订单时，融资的概率方面及其量化影响并不容易描述，但它仍然存在。在这种情况下，贸易的影响是短暂的，最终会减弱，这一事实在下一个介观层面上变得非常重要。许多交易太大，无法在一个订单中执行，因此需要拆分为一系列较小的订单，有时称为“子订单”，然后在一定的时间间隔内分散。在这个介观尺度上，交易算法用于确定每个子订单的大小和时间。这些算法通常基于市场影响模型，即考虑交易策略反馈影响的资产价格随机模型。我们参考[55]对当前可用的一些模型进行调查。在特定模型中，为给定的cos t标准确定最优交易执行策略的问题具有丰富的结构，通常会导致具有内在数学意义的问题。例如，它与有限燃料控制、Choquet容量理论和Dawson–Watanabe supe RProcess等数学主题有关。让我们简略地描述一下[97]中建立的后一种联系。当将最优交易执行问题描述为随机控制问题时，清算约束转化为相应的Ha milto n–Jacobi–Bellman方程的奇异终端条件。

该方程可以进一步简化为具有有限终端条件的拟线性抛物偏微分方程。但是，根据[35]，这些方程与Dawson–Watanabe超过程的拉普拉斯函数有关。最优交易执行策略的存在或不存在以及结构也可以产生关于潜在市场影响模型可行性的信息，甚至可以产生关于价格影响本身性质的信息；参见，例如[2,54,65]。例如，文献[2]表明，单个或多个订单的价格影响必须作为时间的凸函数衰减，以排除在某种程度上让人想起前面提到的“烫手山芋游戏”的振荡贸易执行策略。应该指出的是，文献中现有的市场影响模型都相对简单。特别是，目前还没有一个模型能够以真正令人信服的方式将价格影响的暂时性和非线性结合起来。在宏观层面上，交易的执行与市场中其他代理或算法的行为有关。如上所述，Angent正在执行一项大型交易的事实可能会被泄露给竞争对手，例如通过执行算法生成的订单信号。当竞争对手发现大额交易被执行时，一般认为，如上所述，掠夺性交易是相应的利润最大化策略。这也是[16]通过分析博弈论背景得出的数学结果。然而，通过稍微扩展这种设置，在[101]中发现，在具有充分“弹性”的市场中，日前交易可能会变得不理想，因为价格或价格的影响会迅速衰减。在这样的市场中，竞争对手与大型交易商合作并提供流动性反而是有益的。

然而，当价格影响是暂时的时，会出现完全不同的模式。Sch¨oneborn[100]表明，在一个离散时间模型中，在线性、指数衰减的价格影响下，lar ge交易员和竞争对手开始了一场“烫手山芋游戏”，与闪电崩盘中观察到的非常相似。18 H.F¨ollmer和A.Schied参考[1]阿方西，A.，弗鲁思，A.和Schied，A.（2010）。具有一般形状函数的有限阶bo-oks的最优执行策略。定量。财务10143–157。MR2642960[2]阿方西，A.，希伊德，A.和斯林科，A.（2012）。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。暹罗J.金融数学。3 511–533.MR2968044[3]Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。数学财务9 203–228。MR1850791[4]阿维拉内达，M.and d Stoikov，S.（2008）。在限价指令簿中进行高频交易。定量。财务8217-224。MR2408299[5]Bachelier，L.（1995）。教育：数学教育。Les Grands Classiques Gauthier Villars酒店。[Gauthier Villars经典之作]。Sceaux:`Editions Jacques Gabay。重印1900年的原著。MR1397712[6]伯努利，D.（1738）。门苏拉索蒂斯新理论标本。评论：帝国主义石油政治科学院5175-1926。L.Sommer译：《计量经济学》22（1954）23-36。[7] Biagini，F.，F–ollmer，H.和Nedelcu，S.（2011）。移动鞅测度和作为子鞅的泡沫的诞生。未出版的手稿。[8] 比克，A.和威林格，W.（1994）。没有概率的动态跨越。随机过程。阿普尔。50 349–374.MR1273780[9]布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》637-654。[10] Borkar，V.S.，Konda，V.R.和Mitter，S.K.（2004年）。关于De Finetti相干和Kolmogorov概率。统计学家。Probab。莱特。