金融的概率方面

但是随机积分是P*-局部鞅和so（6）可以被视为经典Doob–Meyer分解的新版本，它同时适用于所有P*∈ P*. 在特殊情况（5）中，这种可选的分解可以解释为一个超边际过程：从初始资本V=U开始，应用交易策略ξ，然后从（4）中定义的生成的投资组合价值V中依次提取累积a金额At，最终得到最终值UT=H，UT可以被描述为时间t所需的最小资本，以便通过从时间t到时间t运行的动态交易策略来覆盖突发事件。为了保持安全，超级边缘可能会将一个巨大的首都和一座山绑在一起，因此它通常被认为过于保守。但是，即使放松了对s短球的零容忍度，上升二边形的数学仍然很重要。例如，假设一个人对预期损失EP施加了一些界限[l（C+T）]，定义了一些凸损失函数的中间值l. 然后，由此产生的有效套期保值问题可以分为一个统计决策表m，该决策表m通过随机测试魟解决，以及一个动态超边缘表m，用于修改后的索赔H=魟H；见[43]。更普遍的是，有效的套期保值问题可以嵌入到不完全金融市场的动态投资组合优化问题中，该问题的标准通常是根据预期效用制定的。从[69,70,104]中的最优随机控制和[74,75]中的凸对偶的角度来看，关于此类动态优化问题有大量文献。注意，在不完全金融市场的这些优化问题中，概率测度P确实明确地出现，与超边缘方法相反。

但它是在偏好水平上实现的，即以预期效用的形式。一旦一个人承认模型的不确定性，并考虑第5节所述的稳健偏好。2融资的概率方面7下面，出现了稳健优化的新问题；例如，参见[40,61,95,96]和调查[46]。另一个新的方向是分析参考结构的时间动力学，如[86,87]所示。P对P*正如我们所见，数学金融的标准设置是概率的，它包括两种概率度量。一方面，它假设存在一个客观的概率测度P，通常称为“现实世界”或“历史”概率测度。另一方面，没有套利意味着等价鞅测度P的存在*, 这应该被解释为一个反映当前“市场信念”的始终如一的公关体系。从数学的角度来看，这些测度的共存及其相互密度的明确描述是技术练习的丰富来源，而Girsanov变换允许人们在P和P之间自由来回移动*. 然而，在概念层面上，他们的角色之间存在着重大差异。概率测度P通常被视为一个概率模型，试图捕捉过去观察到的典型模式；在隐式平稳性假设下，它被用作前瞻性预测方案。虽然人们经常承认，任何特定的P选择都会涉及相当大的模型风险，但人们普遍认为存在一个真正的概率度量，概率模型在接近这一现实时正在变得更好。然而，Bruno de Finetti[25,26]认为，这个问题比模型风险问题更为根本。

他怀疑将客观概率P[A]与以下类型的金融事件联系起来是否合理：A={与ISIN x的主权债券不会违约}。另一方面，概率P*[A] ，或者更确切地说是一种期待*[H] 债券产生的贴现未来现金流中，每日在金融市场上分配，直接通过债券的当前市场价格或信用违约互换（CDS）等工具的价格，为债券违约提供保险。因此概率测度P*反映了市场上大量下注的总赔率。这与德费内蒂所说的概率不存在是一致的，但一个人当然不能以一定的赔率在给定的事件上下注。De Finetti对不同赌注的赔率规定了一致性规则，他使用强调的“你”来强调结果概率测量的主观性质*. 在单个代理人的层面上，这些一致性规则可能被视为另一种非常乐观的理性要求。但是，如果我们用“金融市场”取代德菲内蒂的“你”，这一要求将变得更加迫切，因为市场比任何给定的个人都更能通过套利实现一致性。事实上，在概念和技术层面上，资产定价的基本原理和德芬蒂对概率测度P的重构之间存在着密切的联系*从一个持续的投注系统；例如，参见[10,94]。8 H.F¨ollmer和A.SchiedApart从这些基础方面来看，用“客观”概率测度预测金融发展的尝试很难被描述为成功的故事，尤其是考虑到最近的金融危机。

另一方面，在任何给定的时间t，市场对未来发展的当前预测都是已知的，即鞅测度P*t、 更准确地说，当时的市场观点是由条件概率分布P给出的*t[·| Ft]on^Ft（7），其中fti是描述t时可用信息的σ场，而^fti是由到期日为t>t的交易或有权益的支付产生的σ场。到期日为t的看涨期权或看跌期权的当前价格提供了关于P的边际分布的信息*时间t>t时的t[·| Ft]，更多外部期权的当前价格提供了关于多维边际的信息。这一前瞻性的“三月演讲”是当前定量分析的重要组成部分。在任何给定时间t，市场对未来的当前看法，如条件定价度量P所示*t[·| Ft]在不同的声明中是一致的，尤其是在不同的历史中是时间一致的。但是，这个一致的图像可能会在t+1的一天之间发生变化，并且它可能会以一种时间不一致的方式发生变化。当然，从规范的角度来看，不同日期的时间一致性可能是可取的，在数学金融文献中，这通常被认为是理所当然的。在数学上，它相当于要求（7）中的条件分布都长到相同的鞅测度P*∈ P*. 在完整金融市场模型的虚拟世界中，由于等价鞅测度是唯一的，因此时间一致性将自动保持。在金融市场模型不完整的大世界中，更重要的是在现实中，人们应该期待时间不一致。在我们的标准框架中，这将通过spaceP中的流程来描述*鞅测度。

这种流动可能是持续的，但也可能包括突然的政权更迭。让我们用P表示*u鞅测度的类P*∈ P*使得价格函数X是P下的一致可积鞅*. 通常情况下，两个P*UIandP*NUI:=P*\\ P*你不是空的。X在测度P下的行为*∈ P*NUI经常被解释为泡沫；参见[66,67]。第一次喝马丁酒会让人发痒*∈ P*UI，它不显示气泡，到另一个可测量的P*∈ P*NUIwould因此将泡沫的突然出现描述为[66]。但是空间中的流动*也可以从P移到s低*对P*如[7]中所述，这将导致气泡作为次鞅缓慢地诞生。对P*这将涉及金融市场的微观结构，即代理人的动态行为，具有三元性和相互作用的偏好和期望，特别强调“羊群效应”，即引发泡沫和崩盘的效应。到目前为止，有各种各样的玩具模型，比如[41]和其中的参考文献，试图捕捉其中的一些影响。但真正令人信服的微观结构模型为现实世界的预测提供了严重的可能性，但目前还没有出现。然而，越来越多的人需要通过考虑金融市场上实际使用的各种交易算法，来补充噪声传播者和信息交易者的经典微观经济图景。在某种程度上，这可能使对由此产生的价格动态的分析更容易处理，因为交易算法的结构比单个代理的行为特征更透明，更容易建模。

虽然这些算法的社会效用可能存在争议，但从数学角度尽可能清楚地理解它们的影响是很重要的。特别是，这种理解对于任何试图设计一个智能监管框架的尝试都是至关重要的，因为它不会创造新的套利机会，从而在金融系统中产生新的不稳定来源。在第六节和第七节中，我们将描述一些最简单的数学问题，这些问题与交易算法的相互作用有关。5.奈特不确定性近年来，从业者和学术界越来越意识到过度依赖特定概率模型以及由此产生的“控制错觉”所造成的问题；例如，参见[60]中的第4.9节。因此，人们重新关注模型不确定性或模型模糊性的问题，也被称为奈特不确定性，以纪念弗兰克·奈特[7 3]，他在经济决策理论的背景下引入了“风险”和“不确定性”之间的区别。在这里，“风险”指的是概率测量已知的情况（“已知未知”），而“不确定性”指的是情况并非如此（“未知未知”）。在对近期次贷危机的分析中，TurnerReview[105]区分了“数学建模风险”和奈特不确定性，因此似乎表明奈特不确定性超出了数学分析的范围。我们不同意这个结论。相反，我们认为奈特的不确定性是新数学问题的丰富来源。最近的两项发展表明了这一点，其中明确考虑了模型的不确定性。

不安全感。1.我们展示了在不引入任何概率度量的情况下，如何开发金融主题中的一些关键对冲论点。另一个例子是第5节中描述的资本要求和凸风险衡量偏好的具体说明。2.这里的分析与概率度量的具体选择无关。相反，我们考虑了一整类概率模型，并采用了保守的最坏估计方法。5.1. 无风险享乐考虑一个有一种风险和一种无风险资产的金融市场。在主流金融中，风险集合的价格演化通常被建模为一个定义在某种概率空间上的随机过程。然而，在这里，我们将在一个充满挑战的环境中工作。我们假设资产价格的演化由一个连续的非负轨迹（Xt）0给出≤T≤T.与之前一样，为了简单起见，我们假设无风险资产或“债券”的价格由Bt=1给出。现在我们讨论在这样一个市场中进行动态交易的可能性。为此，考虑一种交易策略（ξt，ηt）0≤T≤T、 式中，ξT表示天空资产中的股份数量，ηT表示时间T时持有的债券中的股份数量。投资组合（ξT，ηT）的价值由vt=ξtXt+ηtBt=ξtXt+ηT给出。（8）在这个框架中讨论投资或对冲策略，重要的是要确定自己的融资交易策略。从离散时间框架传递到连续时间限制表明策略（ξt，ηt）为0≤T≤如果（8）中的价值过程满足关系vt=V+ZtξsdXs，0，则应称为自我融资≤ T≤ T、 （9）其中积分是非对抗性黎曼和的极限：ZtξsdXs:=limn↑∞Xtni≤tξtni-1（Xtni）- Xtni-1). （10） 在这里，我们可以取tni=i2-N

根据[38]中的结果，当轨迹X允许连续二次变化[X]t=limn时，这是可能的↑∞Xtni≤t（Xtni- Xtni-1), 0 ≤ T≤ T、 对于连续函数g，如果ξ的形式为ξT=g（Xt，At，…，Akt），其第一个参数是可微的，对于连续轨迹（Ait），则为0≤T≤有界变异。在这种情况下，在[38]中可以看出，它的公式在以下严格的路径意义下适用于任何c-函数：f（Xt）=f（X）+Ztf′（Xs）dXs+Ztf′（Xs）d[X]s。（11）注意，（11）中的第二个积分可以定义为经典的Stieltjes积分，因为[X]是t的一个非减量函数。正如[39]中指出的，紧接着，非常数轨迹X必须具有非平凡的二次变化，以排除套利机会。事实上，否则（11）就简化为微积分的标准基本定理，f（Xt）=f（X）+Rtf′（Xs）dXs，并通过（9）自我融资策略yξt=2（Xt）- 十） ηt=（Xt- 十）- ξtxt将产生严格正的财富Vt=（Xt- 十） 在初始资本中，V=0。例如，上述无概率交易框架可用于分析[36]或[98]中所述模型特定对冲策略的对冲误差和稳健性。在某些特殊情况下，甚至可以找到完全建模的11个独立对冲策略的概率方面。我们现在将通过将[88]和[33]中的参数转移到我们的无概率设置来说明方差互换的情况。varianceswap是一种路径依赖型金融衍生工具，Payoff H=nXi=1（log Xti+1）- 在时间T处记录Xti），其中0<T<·tn=T为固定时间点。这些时间点经常出现，因此Xtis是风险资产在第i个交易日结束时的收盘价；参见[14,15,53]了解方差互换的背景。

当n足够大时，可以用对数X的四次变化（即H）来近似地表示变量互换的收益≈ [logx]T=ZTXtd[X]T.（12）这里，第二个恒等式如下，例如，来自[103]中的命题2.2.10。另一方面，将It^o的公式（11）应用于函数f（x）=log x yieldslog XT- 日志X=ZTXtdXt-ZTXtd[X]t.（13）将（12）和（13）放在一起意味着≈ZTXtd[X]t=2对数X- 2对数XT+2ZTXtdXt。（14） （14）右侧的It^o积分可以被视为初始投资为零的自融资交易策略的终值，否则在每个时间t内都会考虑风险资产的ξt=2/Xtshares。为了解释（14）中的两个对数项，我们应用布里登-利岑伯格公式，h（XT）=h（X）+h′（X）（XT）- 十） +ZX（K）- XT+h′（K）dK（15）+Z∞X（XT）- K） +h′′（K）dK（例如，[45]，练习1.3.3）对函数h（x）=logx和获得h≈ -X（XT）- 十） +ZX（K）- XT）+KdK+Z∞X（XT）- K） +KdK（16）+2ZTXtdXt。也就是说，H可以通过卖出2/Xzero的ice远期合约、持有2/KdK的组合期权、到期时间为12小时的卖出期权和看涨期权来对冲。Follmer和A.Schiedach strike K，并使用ξT=2/Xt的自融资交易策略。这种对冲策略最显著的特点是它与模型无关。也就是说，（16）独立于价格过程X的可能概率动态是有效的。因此，套期保值策略不受可能因此类概率动态的错误指定而导致的模型风险的影响。对于Payoff nXi=1Xti（log Xti+1）的所谓伽马或熵WAP，与obtaine d for方差掉期类似的结果也有效- log Xti）以及Payoff nXi=1{A的走廊方差互换≤Xti≤B} （日志Xti+1）- logXti），对于一些实际数字A、B，A<B。

更多扩展请参见[24]。请注意，Br Eden–Litzenberger公式（15）可以被视为标准“普通”期权和看涨期权中期权h（XT）的简单静态、无模型对冲。在某些情况下，静态对冲（或超边缘）可以为路径依赖的衍生工具（如障碍或回望期权）构建；参见，例如[12,23,62]。如果不确定性被限定为一类合适的情景，则严格的路径方法也可用于以无概率的方式制定第2节的关键套期保值论证。为此，我们在[0，∞) ×[0，T]并将可能的场景限制在集合中Ohm[0，T]上所有非负连续函数ω的σ，使得坐标过程Xt（ω）=ω（T）允许绝对连续的二次变化d[X（ω）]T=σ（Xt（ω），T）Xt（ω）dt。考虑一个形式为H=H（XT）的导数。正如[8]或[39]中所解释的，我们现在可以使用路径It^o公式（11）的时间依赖性来构造一个形式为ξt（ω）=Fx（Xt（ω），t）的完美对冲，其中F用边界条件F（x，t）=h（x）解一个合适的抛物方程。此外，Paul L’evy的一个定理暗示存在一个精确的概率测度P*在spac上Ohmσ使得坐标过程X变成P下的马丁酒*. 衍生工具H的价格被定义为完美套期保值的初始成本，然后可以按照（3）计算为预期价值E*[H] 当然了*.为了将前面的构造扩展到更多的奇异选项，可以使用最近在[34]和[21]中开发的严格路径形式的Malliavin演算。关于粗糙路径的另一种原生路径方法，请参见[52,80].5.2。