金融的概率方面

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英文标题：
《Probabilistic aspects of finance》
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作者：
Hans F\\\"ollmer, Alexander Schied
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In the past decades, advanced probabilistic methods have had significant impact on the field of finance, both in academia and in the financial industry. Conversely, financial questions have stimulated new research directions in probability. In this survey paper, we review some of these developments and point to some areas that might deserve further investigation. We start by reviewing the basics of arbitrage pricing theory, with special emphasis on incomplete markets and on the different roles played by the \"real-world\" probability measure and its equivalent martingale measures. We then focus on the issue of model ambiguity, also called Knightian uncertainty. We present two case studies in which it is possible to deal with Knightian uncertainty in mathematical terms. The first case study concerns the hedging of derivatives, such as variance swaps, in a strictly pathwise sense. The second one deals with capital requirements and preferences specified by convex and coherent risk measures. In the final two sections we discuss mathematical issues arising from the dramatic increase of algorithmic trading in modern financial markets.
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中文摘要：
在过去几十年中，先进的概率方法对金融领域产生了重大影响，无论是在学术界还是在金融行业。相反，金融问题刺激了概率的新研究方向。在这篇调查论文中，我们回顾了其中的一些发展，并指出了一些可能值得进一步调查的领域。我们首先回顾套利定价理论的基础知识，特别强调不完全市场和“现实世界”概率测度及其等价鞅测度所起的不同作用。然后我们关注模型模糊性的问题，也被称为奈特不确定性。我们提出了两个案例研究，其中可以用数学术语处理奈特不确定性。第一个案例研究涉及衍生工具的对冲，如严格意义上的方差互换。第二个问题涉及凸性和一致性风险度量所规定的资本要求和偏好。在最后两部分中，我们将讨论现代金融市场中算法交易急剧增加所带来的数学问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Probabilistic_aspects_of_finance.pdf (298.38 KB)

2022-5-5 00:34:44 上传

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关键词：Mathematical Multivariate Developments Requirements Quantitative

伯努利19（4），2013，1306–13 26DOI:10.3150/12-BEJSP05德国柏林10099洪堡大学金融学教授奥利默尔和亚历山大·希丁研究所的概率论。电子邮件：foellmer@math.hu-柏林。德国曼海姆大学数学研究所，曼海姆，68131。电子邮件：schied@uni-曼海姆。在过去几十年中，先进的概率方法对金融领域产生了重大影响，无论是在学术界还是在金融行业。相反，金融问题刺激了概率领域的新研究方向。在这篇调查论文中，我们回顾了其中的一些发展，并指出了一些可能值得进一步调查的领域。我们首先回顾了套利定价理论的基础知识，特别强调了不完全市场，以及“现实世界”概率测度及其等价的可干预测度所起的不同作用。然后我们关注模型模糊性的问题，也被称为奈特不确定性。我们介绍了两个案例研究，其中可以用数学术语处理奈特不确定性。第一个案例研究涉及衍生工具的套期保值，如严格意义上的方差互换。第二个涉及凸性和一致性风险度量所规定的资本要求和偏好。在最后两部分中，我们讨论了现代金融市场中算法交易急剧增加所产生的数学问题。关键词：算法交易；套利定价理论；一致性风险度量；凸度量；套期保值；不完全市场；骑士式的不确定性；市场影响模型；模型不确定性；风险的货币计量；这是一种可悲的微积分；价格影响；超边缘；方差swap1。

60年代中期，人们开始在学术融资的背景下系统地使用先进的概率方法。它由Paul Samuelson[92]在麻省理工学院首创，并受到路易·巴切利尔博士论文[5]的重新发现的极大刺激，该论文于1900年在巴黎根据亨里波因卡的一份报告进行了辩护。在这篇论文中，布朗运动作为流动性金融资产价格波动的数学模型出现。萨缪尔森认为价格应该保持正态，于是向我们推荐了几何布朗运动，该运动很快就成为了阿提斯运动，是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2013年，第19卷，第4期，1306–1326年。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2013年ISI/BS2 H.F¨ollmer和A.Schied标准参考模型。1973年，布莱克、斯科尔斯[9]和默顿[82]推导出了这种情况下看涨期权价格的最终公式。为什么布朗运动出现在金融环境中？这是第一个粗略的论点。在每一个固定时间，股票价格都可以被视为一个临时均衡，由大量的买入或卖出决定组成，以随机或不太独立的方式进行：许多硬币被连续抛出，因此布朗运动应该作为中心极限定理的体现而出现。这就是J·卡西迪在《市场如何失灵》一书中所说的“投币式金融观”。

这个粗略的论点可以通过使用微观经济学假设来重新定义，即对代理人的行为以及他们对随机需求的评估方式，然后应用不变性原理，通常可以将价格波动描述为一个由布朗运动或更一般地说，由L’evyprocess驱动的奇异微分方程的解；例如，参见[48]及其参考文献。然而，在这一点上，回忆一下[71]中引用的庞加莱科学与方法[90]的以下警告是有启发性的：当男性彼此失去联系时，他们不再随机地、独立地做出决定，他们会对其他人做出反应。有多种原因在起作用，它们困扰着他们，把他们从一边拉到另一边。但有一件事是这些影响无法摧毁的，那就是它们的行为倾向像Pansurge的纸片。这就是被保存下来的东西。因此，就在现代概率方法在金融领域的应用之初，我们发现了一个警告信号，指出了相互作用和羊群效应，这可能会导致中心极限定理的前瞻性应用无效。戴维·克雷普斯（David Kreps）在他的《资本市场上的三个E论》（Three es says on Capital Markets）[78]中使用了一种不同的论证，几何布朗运动似乎是一种理性预期均衡。假设代理通过最大化预期效用来计算他们的需求。如果他们的偏好是由幂效用函数给出的，如果他们的主观期望是由几何布朗运动描述的，那么由此产生的价格等式将是几何布朗运动。因此，几何布朗运动被描述为基于高度复杂的代理的偏好和期望的聚集问题的固定点。

在这里，庞加莱的警告再次让人对这种论点中隐含的理性假设产生了一些怀疑。Bachelier本人并没有引用中心极限定理，也没有用预期效用来论证。相反，他从一个简单的均衡论点开始：“市场，也就是说，投机者群体，似乎不应该相信某一时刻的涨跌，因为每一个报价都有和卖家一样多的买家。”。因此，“投机者的数学预期为零”。现代经济学认为，价格过程应该是概率测度P下的鞅*它描述了市场的总体信念。假设连续路径和增量的平稳性要求，则价格过程实际上是布朗运动。目前的主流观点是什么？首先，数学、金融和经济学各部门有一个广泛的跨学科共识，即金融3的概率方面，流动金融资产的计算价格波动应被视为一个随机过程X=（Xt）0≤T≤一些潜在的概率空间(Ohm, F、 P）。直觉通常是客观的：这样的概率测度P存在，它至少可以通过统计和计量经济学方法部分识别，并且它应该满足某些先验约束。这些限制对应于某种程度的市场效率。在最强形式下，市场效率要求X是P下的鞅。

然而，主流观点认为，市场效率的一个较弱且更灵活的版本是假设的，即缺乏安全（而不仅仅是统计）的套利机会。换句话说，价格过程不应允许任何交易策略在没有任何下行风险的情况下，相对于无风险回报产生正预期收益。如果这是以适当的方式确定的，则没有套利机会的特征可以是存在一个等价的nt鞅测度，即一个等价于P的概率测度P*使得适当折扣的价格过程X是P*下的（局部）鞅。这种特性通常被称为资产定价的基本定理。Harrison和Kreps[58]中出现了一个初步版本，其定义形式为Delbaen和Schachermayer[27–29]；另见卡巴诺夫[68]和严[108]。因此，一个经济假设，即没有套利机会，可以保证P*6= ,如果我们用P表示*等价鞅测度集P*. 由于J acod、Yor和其他人在70年代和80年代随机过程的“一般理论”中的众所周知的结果，这意味着过程X是原始测度P下的半鞅，因此是Bichtele r和Dellacherie意义上的随机积分器。这使得oneto可以应用It^o微积分的技术。此外，根据Wolfgang Doeblin[32]提出并由I.Monroe[84,8,5]完成的一系列论证，X是一个随机时间变化的aBrownian运动。这样，布朗运动在当前的一般环境中重新出现，尽管不一定以非常方便的方式出现。2.衍生工具和完美Hedging的范例衍生工具，或或有权益，指定了场景ω上的持续支付（ω）∈ Ohm 这将会实现。

例如，一个执行价为C且到期日为T的欧式看涨期权的付息为H（ω）=（XT（ω）- c） +。此类未定权益的买方应支付的公平价格是多少？换句话说，公平确定性与不确定结果H的等价物是什么？这是一个经典问题，标准答案可以追溯到概率论的创始人，尤其是雅各布·伯努利。它说，你应该把概率作为不同场景ω的符号，并计算出随机变量H相对于结果概率测度P的期望值ep[H]=ZH dp。继Daniel Berno ulli[6]之后，人们可能希望增加风险溢价，以便考虑到4 H·F¨ollmer和a·Schiedrisk厌恶。更准确地说，我们可以用一个严格递增和凹的效用函数来描述风险规避，并计算出H的π（H）作为确定性等价物-1（EP[u（H）]）。微分π（H）-EP[u（H）]由詹森不等式确定为正，然后被解释为风险溢价。但在我们目前的财务背景下，在以下唯一性假设（1）下，布莱克和斯科尔斯[9]以及默顿[82]的基本见解导致了一个截然不同的结果。特别是，没有理由支持风险溢价，因为以下论点表明，在这种情况下不存在内在风险。考虑一个金融市场模型，如P*6= . 在许多情况下，特别是对于几何布朗运动等简单的扩散模型，等价鞅测度实际上是唯一的，即| P*| = 1.

（1） 等价鞅测度的唯一性意味着该模型在以下意义上是完整的：任何未定权益H都可以用某种常数和某种可预测过程ξ=（ξt）0表示，P-几乎可以肯定地表示为形式mh=V+ZTξtdXt（2）≤T≤Tsuch认为随机积分是有意义的。对于几何布朗运动等简单的扩散模型，这种表示遵循了It^o定理，即布朗运动的泛函可以表示为布朗运动的随机积分；一般情况见[91]，因为在等价的martinga-le测度下随机积分的期望*是零，常数V=E*[H] 。在财务方面，通过动态交易策略，表述（2）相当于或有权益的完美复制。事实上，It^o对随机积分的非预期构造允许我们将（2）中的随机积分解释为自融资交易策略产生的累积净ga，考虑到在每个时间t持有标的资产的ξt。常量vc现在可以被视为完美复制或完美对冲所需的初始资本，或有索赔的赔偿。但这意味着索赔的唯一无套利价格由π（H）=V=E给出*[H] ，（3）因为任何其他价格都会提供无风险盈利的机会。例如，如果实际价格高于该价格，则可以以该价格出售索赔，使用较小的金额来实施套期保值策略，该策略生成最终必须支付的随机金额H，并保留价格和Vas之间的差异，从而获得无风险收益。因此，唯一性假设（1）给出了定价和对冲金融衍生品问题的简单答案。

注意，ans wer只涉及唯一的等价martinga le测度P*. 概率测度P的作用*是作为资产定价的财务5复杂一致性检查的可能性方面，而不是为了预测。最初的概率度量P就是为了达到这个目的，但在这里，它只在定义一类空集时才有意义。正如我们将在第五节中看到的那样。下面的1，我们实际上可以完全消除P，如果我们想要限制可能的空间。3.不完全性是新概率问题的来源一旦金融市场模型变得更加现实，承认不确定性的来源比交易金融工具更多，等价鞅测度就不再是唯一的，这意味着|P*|= ∞.结果，完美对冲的范式崩溃，内在风险出现在衍生品层面。那么这个模型就叫做不完整模型。从数学的角度来看，不完全性已被证明是随机分析中新公共关系问题的丰富来源。特别是，它激发了概率分解定理的新版本，如Kunita–Watanabe分解和Doob–Meyer分解。考虑支付和到期日均为非负的衍生工具。可接受的对冲策略由初始资本和可预测的过程ξ给出，使得由vt=V+ZtξsdXs（4）定义的最终投资组合过程V保持非负。在到期日T，任何此类策略都会将或有权益分解为一个完全对冲的部分，从而如前一节所述通过套利定价，并产生剩余的对冲误差CT。

不同的经济偏好会导致不同的战略选择，从而导致对主张的不同分解。假设一个人想要在平均平方意义上最小化关于给定概率测度P的套期保值误差。这相当于未定权益H在s空间L（P）上的投影到随机积分子空间上。在有效的市场炒作的强大形式下，这就是P∈ P*, 利用平方可积鞅空间中的Kunita–Watanabe分解来解决这个投影问题；见[50]。如果人们放弃这一假设，考虑/∈ P*, 结果分解问题通常可以归结为Kunita–Watanaberepresentation关于合适的最小鞅测度的应用；参考[47]。More6 H.F¨ollmer和A.Schiedge一般来说，不完全金融市场的均值-方差套期保值方法是Kunita–Watanabe分解的新版本以及关于半鞅的随机积分空间闭式性质的新结果的来源；例如，参见调查[49]和[102]。然而，从财务角度来看，均值-方差法无法捕捉基本的不对称性：其主要目的是控制差额，定义为正部分C+T=（H- VT）套期保值错误的定义。如果坚持将缺口保持在0以下，那么就会导致Doob–Meyer分解的一个显著的新扩展。考虑processUt=ess supP的右连续版本U*∈P*E*[H | Ft]，0≤ T≤ 现在注意tu是一个P*-超级马丁格尔，也就是说，在纽约P*∈ P*.如[37,42,76]中日益增加的普遍性所示，任何非负P*-supermartingaleU允许formUt=U+ZtξsdXs的分解- 在第（6）步中，有一些可选的（但通常不可预测的）过程A。