Levy模型中的套期保值和跳跃的时间步长等价物

通过同样的引理，我们得到了任意n∈ N-zr+iRN锡szeσz（z）-1） （T）-（t）p（z）dz=ZR+iRn-1.∏i=0（z-i） !！sz-neσz（z）-1） （T）-t） 对于s>0和t，p（z）dz是很好的定义∈ [0，T.[22，Satz 5.7]的（迭代）应用产生了我们可以交换关于s的微分和关于z的积分，这显示了引理3.1和L emma 4。2.4.4套期保值和套期保值误差的精确表示通过使用表示法（4.15），[33]得出方差最优和纯套期保值以及相关均方套期保值误差的表示法。他们的公式用引理4中的支付函数的积分表示表示。1和驱动Lévy过程的累积量生成函数。定义4.3。对于λ∈ [0,1]，Xλ的累积量母函数是唯一的连续函数κλ：Dλ→ C.我不恨ezXλt= 所有t的etκλ（z）∈ R+和所有z∈ Dλ：=ny∈ C:EeRe（y）Xλ< ∞o、 关于累积生成函数的存在性和唯一性，参见[50，引理7.6]。定理4.4（[33]）。1.让λ∈ [0, 1]. 对于股票价格过程Sλ和有收益f（SλT）的偶然目标，初始资本vλ中的方差最优值和方差最优交易策略φλ由vλ=Hλ（0，S）（4.16）和φλT=φλ（T，SλT）给出-,Gλt-), T∈ [0，T]，对于函数φλ：[0，T]×R+×R→R由φλ（t，s，g）给出：=ξλ（t，s）+∧λs（Hλ（t，s）-五、-g） 。（4.17）这里，函数Hλ，ξλ：[0，T]×R+→ R、 过程Gλ和常数t∧定义为¨κλ（y，z）：=κλ（y+z）-κλ（y）-κλ（z），γλ（z）：＝κλ（z，1）／κλ（1，1），ηλ（z）：＝κλ（z）-κλ（1）γλ（z），（4.18）λ：=κλ（1）／κλ（1,1），Hλ（t，s）：=ZR+iRszeηλ（z）（t）-t） p（z）dz，（4.19）ξλ（t，s）：=ZR+iRsz-1γλ（z）eηλ（z）（T）-t） p（z）dz，（4.20）Gλt:=Zt~nλsdSλs.2。

方差最优套期保值的相应均方套期保值误差ε（vλ，νλ，Sλ）=Ef（SλT）-五、-ZT~nλtdSλt!由ε（vλ，νλ，Sλ）=ZR+iRZR+iRZTJλ（t，y，z）p（y）p（z）dt dydz给出，其中ρλj（y，z）：=ηλ（y）+ηλ（z）- jκλ（1）－κλ（1,1），j∈ {0,1}，（4.21）βλ（y，z）：=\'κλ（y，z）-κλ（y，1）κλ（z，1）κλ（1,1），JλJ（t，y，z）：=Sy+zβλ（y，z）eκλ（y+z）t+ρλJ（y，z）（t）-t） ，j∈ {0,1}. (4.22)3. 均方套期保值误差ε（vλ，ξλ，Sλ）=Ef（SλT）-vλ-ZTξλtdSλt!纯h边（即，使用（4.16）中的初始资本vλ和交易策略ξλt=ξλ（t，Sλt）进行套期保值-) 从（4.20）中）可以得到ε（vλ，ξλ，Sλ）=ZR+iRZR+iRZTJλ（t，y，z）p（y）p（z）dt dy dz，函数Jλ如（4.22）所示。证据通过构造，很明显假设2.1和2.2也适用于Xλ。有了引理4.1对f的积分表示，我们可以应用[33，定理3.1和3.2]，它给出了断言1和2。断言3遵循相同的原则。注意，我们可以为所有λ选择相同的参数R∈ [0,1]因为D=D Dλ。备注4.5。eorem 4.4在更温和的假设下成立，即x7→ |p（R+ix）|在R上是可集成的（参见[33，第2节]）。遵循[33]，[19]的方法，研究指数Lévy模型中次优策略的误差。下一个定理在一个特殊情况下重申了它们的主要结果，这对于我们的目的是有效的。定理4.6（[19]）。让λ∈ [0,1]. 对于股票价格过程Sλ，考虑初始资本dλ∈ R和交易策略θλt=θλ（t，Sλt-), T∈ [0，T]，函数为θλ：[0，T]×R+→ R由λ（t，s）给出：=ZR+iRsz-1zeνz（z）-1） （T）-t） v>0时的p（z）dz（4.23）。

由此产生的平均平方对冲误差ε（dλ，θλ，Sλ）=Ef（SλT）-dλ-ZTθλtdSλt!由ε（dλ，θλ，Sλ）=（wλ）给出-dλ）+ZR+iRZR+iRZTJλ（t，y，z）p（y）p（z）dt dy dz，（4.24），其中αλ（z，t）：=1.-κλ（1）ztzeκλ（z）（s）-T）eνz（z）-1） （T）-s） dseκλ（z）（T）-t） ，（4.25）wλ：=ZR+iRSzαλ（z，0）p（z）dz，（4.26）hλ（t，y，z）：=\'κλ（y，z）αλ（y，t）αλ（z，t）-κλ（y，1）αλ（y，t）zeνz（z）-1） （T）-（t）-κλ（z，1）αλ（z，t）yeνy（y）-1） （T）-t） +κλ（1,1）yze（ν（z）z-1） +y（y）-1） ）（T-t） ，（4.27）Jλ（t，y，z）：=Sy+zeκλ（y+z）thλ（t，y，z）。（4.28）证据。如上所述，假设2.1和2.2也适用于Xλ。利用引理4.1对f的积分表示，我们得出θλ是a-[19，定义3.1]意义上的战略。然后，这个断言来自于同一个人的定理4.2。如定理4.4的证明所述，我们可以为所有λ选择相同的参数R∈ [0,1].上面对积分量的表示使我们能够给出引理2.7的极限。根据定理4.4，第2.5节中的数量1–5以及7和8显然在模型Sλ、λ中得到了很好的定义∈ [0,1]. 根据其定义和引理4.1，我们得出Black-Scholes交易策略应用程序适用于Sλ（用ψλ表示）允许表示ψλt=ZR+iRSλt-Z-1zeσz（z-1） （T）-t） p（z）dz，t∈ [0，T]。由此产生的均方套期保值误差如定理4.6.4.5技术性定理4.7所述。为了n∈ N、 m∈ {0,1,2}和t∈ [0，T]，地图7→zneσz（z）-1） （T）-（t）z 7→ZTzmeσz（z-1） （T）-（s）D在R+iR上有界。证据注意σ（z）-1 )=σR-R-Im（z）=σ（2R）-R）-σ| z |代表z∈ R+iR。第一个断言来自以下事实：映射x 7→ xne-对于所有n，ax，a>0，i在R+上有界∈ N.第二个断言后面是简单的积分。下面的命题4.9将是即将进行的计算的基础；它表示κλ（z）相对于λ的导数。

为了获得这些，我们根据κλ（z）的特征（或Lévy Khintchine）三重态，参考[50，定理8.1]了解更多细节。引理4.8。设（b，c，K）表示Lévy过程X相对于截断函数x7的特征trip Let→ 1[-1,1]（x）。然后映射（ξ，z）7→Zxneξzx对于n，K（dx）在[0,1]×（{0，R，2R}+iR）上有界∈ {2, ...,5}.证据让ξ∈ [0,1]和z∈ {0，R，2R}+iR。在这种情况下，R≥ 0我们有ξRe（z）≥ 0和亨切斯xneξzxK（dx）≤Z{x<0}|x|nK（dx）+Z{x≥0}xne2RxK（dx）。（4.29）右侧的第一个积分由假设2.1[50，定理25.3]确定，因为K是一个Lévy度量，它积分x7→ xin是一个0的社区。要处理第二个积分，选择ε>0，使2R+ε∈D、 这是可能的，因为2R∈根据假设2.2。由于指数函数的增长速度比任何多项式都快，因此存在一个ε>0的函数，如xne2Rx≤ e（2R+ε）xf对于所有x≥ Aε。因此，我们有z{x≥0}xne2RxK（dx）≤Z{0≤x<Aε∨1} xne2RxK（dx）+Z{x≥Aε∨1} e（2R+ε）xK（dx）。右手边的第一个积分是有限的，因为K是一个Lévy度量，第二个积分是由[50，定理25.3]确定的，因为2R+ε∈ D.总之，我们已经证明（4.29）中的bot暗示是有限的，这证明了R的断言≥ 0.R<0的情况按同样的方式处理。提案4.9。对于Xλ，λ的累积t母函数族κλ（z）∈ [0,1]，被理解为一个映射κ：[0,1]×（{0，R，2R}+iR）→ C、 我们有以下结果：κ是关于λ的部分可微的，和κ，λκ,λκ是连续的。更具体地说，κ（z）=uz+σz，λκ（z）=E（十）-u)Zλκ（z）=E（十）-u)-3σz、 我们有估计Nλnκλ（z）≤ c（1+| z | 3+n）表示所有（λ，z）∈ [0,1]×（{0，R，2R}+iR），n∈ {0,1,2}，其中c>0是不依赖于λ，z，n的常数。形成（2）中Xλ的定义。

10） 直接得出其累积量生成函数κλ由κ乘以κλ（z）给出=1.-λuz+λκ（λz），λ∈ [0,1]，z∈ {0，R，2R}+iR D.对于（2.12）中定义的XA，κ（z）=uz+σz对于z是直接的∈{0，R，2R}+iR。用（b，c，K）表示关于截断函数X 7的X=X的特征三元组→ 1[-1,1]（x）。根据[50，定理27.17]，我们得到了κ（z）=bz+cz+zezx-1.-zx1[-1,1]（x）K（dx），z∈ {0，R，2R}+iR。此外，E（X）=u=b+Zx1[-1,1]C（x）K（dx）（4.30）乘以[50，示例25.12]。结合这两种表示，我们得出κλ（z）=uz+cz+zλeλzx-1.-λzxK（dx），λ∈ [0,1]，z∈ {0，R，2R}+iR。利用积分余项泰勒展开式λzx=1+λzx+（λzx）+（λzx）Zesλzx（1）-s） ds，我们推导出κλ（z）=uz+zc+ZxK（dx）+zZ Zλxλzx（1-s） λ的ds K（dx）（4.31）∈[0,1]，z∈{0，R，2R}+iR。注意，该表示法也适用于λ=0，因为[50，示例25.12]Var（X）=σ=c+ZxK（dx）。（4.32）（4.31）中的被积函数显然是关于λ的两次部分可微的。引理4.8和[22，Satz 5.7]的（迭代）应用表明积分和微分可以相互改变。简单的计算结果λκλ（z）=zZ zxλzx（1）-s） （1+λzxs）ds K（dx），λκλ（z）=zZ zxλzxs（1）-s）（2+λzxs）ds K（dx）表示λ∈ [0,1]，z∈ {0，R，2r}+iR。κ的连续性，λκ与λκ及其在z上的多项式增长现在由引理4.8和支配收敛表示。评价λκλ和λ=0的λκλλκ（z）=zZxK（dx）和λκ（z）=z的zZxK（dx）∈ {0，R，2R}+iR。[50，示例25.12]根据随机变量的矩与其特征函数的导数之间的关系推导（4.30）和（4.32），参见[50，命题2.5（ix）]。

在简单计算zxk（dx）=E之后，将同样的推理应用于xyields的高阶矩s（十）-u)andZxK（dx）=E（十）-u)-3σ.假设2.1给出了矩的存在性，从而完成了证明。前面的结果允许我们给出引理2.6关于Xλ收敛到布朗运动λ的证明→ 引理的证明2.6。命题4.9直接产生thatlimλ→0eκλ（iu）=euiu-σuF对于所有u∈ R.根据Lévy的连续性定理（参见，例如[50，命题2.5（vii）]），Xλ的单变量边缘收敛到uI+σB的单变量边缘作为λ→ 0，其中B表示标准布朗运动。根据[34，VII.3.6]，这意味着整个过程的收敛，从而完成了证明。引理4.10。1.映射pin g（λ，z）7→eκλ（z）= eRe（κλ（z））在[0,1]×（{R，2R}+iR）上有界。映射（λ，z）7→eηλ（z）= eRe（ηλ（z））在[0,1]×（R+iR）上有界。证据1.对于所有λ∈ [0,1]和所有z∈ {R，2R}+iR我们有（κλ（z））=eκλ（z）=EezXλ≤ EezXλ= EeRe（z）Xλ= eκλ（Re（z））（4.33）。根据命题4.9，（λ，r）7→κλ（r）在紧集[0，1]×{r，2R}上作为连续映射有界。自Re（z）∈ {R，2R}，第一个断言如下。2.通过[33，L emma 3.4]，我们得到了不等式γλ（z）=κλ（z+1）-κλ（z）-κλ(1)κλ(1,1)≤κλ(1,1)κλ（2Re（z））-2Reκλ（z）总而言之λ∈ [0,1]和所有z∈ R+i R.因此，κλ（1）γλ（z）≤κλ（1）－κλ（1,1）κλ（2R）-2κλ（1）－κλ（1,1）Reκλ（z）≤ （cλ）+Reκλ（z）≤cλ+重新κλ（z）,式中cλ：=qκλ（1）－κλ（1,1）κλ（2R）+ 4.κλ(1)κλ(1,1),λ∈ [0,1].这个庄园ηλ（z）= 重新κλ（z）-重新κλ（1）γλ（z）≤ 重新κλ（z）+κλ（1）γλ（z）≤ 重新κλ（z）+重新κλ（z）+ cλ≤κλ（R）+ cλ因为Reκλ（z）≤κλ（R）乘以（4.33）。命题4.9 y雅思λ7→ cλ和λ7→κλ（R）在[0,1]上作为连续映射有界，这就完成了证明。引理4.11。存在c>0，使得所有λ的¨κλ（1,1）>c∈ [0,1 ].证据

根据假设2.1和（2.11），VarXλ= 对于所有λ，Var（X）>0∈ [0,1 ]. 因此，VareXλ= Ee2Xλ-EeXλ= eκλ（2）-对于al lλ，eκλ（1）>0∈ [0,1]，这意味着κλ（2）-对于所有λ，2κλ（1）=κλ（1,1）>0∈ [0, 1]. 自λ7→根据命题4.9，κλ（1,1）是连续的，它在[0,1]上达到了它的极小值，这表明它是连续的。4.6定理3.3主要定理的证明。根据定理4。我们有vλ=Hλ（0，S），λ∈ [0,1]，对于函数hλ（t，s）=ZR+iRszeηλ（z）（t-t） p（z）dz，t∈ [0，T]，s∈ R+，从（4.19）开始。对于剩余的证明顺序，w e fix t∈ [0，T]和s∈ R+。根据（4.18）和命题4.9，我们得到η（z）=σz（z）-1）、z∈ R+iR。（4.34）引理4.2然后产生H（t，s）=C（t，s），其中C（t，s）来自（2.5）。为了证明这个断言，我们证明λ7→ Hλ（t，s）在[0,1]上是两次连续可微的，我们将识别λ=0中的导数。对于固定z∈ R+iR、初等微积分和命题4.9得出λ7→ eηλ（z）（T）-t） 在[0,1]上是两次连续可微的。根据引理4.10（2）、命题4.9、引理4.11和引理4.1，存在一个m aj或m：（R+iR）→ R+这样szNλneηλ（z）（T）-（t）≤ 所有λ的sRm（z）∈ [0,1]，z∈ R+iR，n∈ {1,2}，andZ∞-∞sRm（R+ix）| p（R+ix）| dx<∞.通过（迭代）应用[22，Satz 5.7]和支配收敛，λ7→Hλ（t，s）在[0,1]上是连续可微的，并且NλnHλ（t，s）=ZR+iRszNλneηλ（z）（T）-t） 所有λ的p（z）dz∈ [0,1]，n∈ {1, 2}. （4.35）对于较短的符号，setqn（z）：=n-1.∏k=0（z）-k） ，z∈ C、 n∈ N.（4.36）利用命题4.9中κλ（z）的导数，我们经过冗长而直接的计算得出λeηλ（z）（T）-（t）λ=0=偏斜（X）σ（T）-t） eη（z）（t）-（t）∑k=2akqk（z），λeηλ（z）（T）-（t）λ=0=偏斜（X）σ（T）-t） eη（z）（t）-t） bq（z）+σ（t）-（t）∑k=2ckqk（z）！+ExKurt（X）σ（T）-t） eη（z）（t）-（t）∑k=2dkqk（z），常数a，a。，定理3中的das。3.鉴于（4.34）和（4。

35），这个断言来自引理4.2中给出的现金g的积分表示。定理3.4的证明。修正t∈ [0，T]和s∈ R+。通过（4.20）中的定义，我们得到了ξλ（t，s）=ZR+iRsz-1γλ（z）eηλ（z）（T）-t） p（z）dz。从命题4.9中，我们通过（4.34）和引理4.2得到γ（z）=z，从而得到ξ（t，s）=sD（t，s）=ψ（t，s）。从现在开始，我们继续证明定理3。4.被积函数的可微性和主follow的存在性来自同一引理。我们仅限于给出基本计算的结果：λγλ（z）eηλ（z）（T）-（t）λ=0=Skew（X）σeη（z）（T）-t） aq（z）+σ（t）-（t）∑k=2bkqk（z）！，λγλ（z）eηλ（z）（T）-（t）λ=0=Skew（X）σeη（z）（T）-t） cq（z）+σ（t）-（t）∑k=2dkqk（z）！+歪斜（X）σ（T）-t） eη（z）（t）-（t）∑k=2ekqk（z）+ExKurt（X）σeη（z）（T）-（t）∑k=2fkqk（z）+ExKurt（X）σ（T-t） eη（z）（t）-（t）∑k=2gkqk（z）对于常数a。，定理3.4中的气体。这个断言来自引理4.2。引理3.5的证明。该断言直接遵循初等微积分，使用命题4.9中提出的λ=0s中的κλ（z）导数。定理3.6的证明。固定时间∈ [0，T]，s∈ R+和g∈R+，该断言直接来自定理3.4、引理3.5和定理3中给出的对ξ（t，s）、λ、H（t，s）和v的近似。3.定理3.7和3.8的证明。对于较短的符号，设ε（λ）：=ε（vλ，ξλ，Sλ）和ε（λ）：=ε（vλ，νλ，Sλ），λ∈[0,1]是模型Sλ中纯套期保值和方差最优套期保值的均方套期保值误差。为了证明这个断言，我们将证明λ7→εj（λ），j∈ {0，1}，在[0，1]上是两次连续可微的，我们将确定λ=0的导数。为此，我们使用定理4.4中εj（λ）的确定性表示。从命题4.9中插入κ立即得到ε（0）=ε（0）=0。

固定（t，y，z）∈ [0，T]×（R+iR）×（R+iR），映射λ7→ JλJ（t，y，z）与（4.22）中的Jλ在[0,1]上可由命题4.9和初等微分学两次连续y可微。此外，根据命题4.9，引理4.1，4.10和4。11λJλJ（t，y，z）和λJλJ（t，y，z）允许一个主要的m:[0，t]×（R+iR）×（R+iR）→ R+，m更准确地说，NλnJλj（t，y，z）≤ 所有λ的m（t，y，z）∈ [0,1]，t∈ [0，T]，y，z∈ R+iR，n∈ {1,2}这样∞-∞Z∞-∞ZTm（t，R+iu，R+iv）| p（R+iu）| p（R+iv）| dt du dv<∞.因此，通过（迭代）应用[22，Satz 5.7]和支配收敛，λ7→εj（λ）在[0,1]上连续可微，且Nλnεj（λ）=ZR+iRZR+iRZTNλnJλj（t，y，z）p（y）p（z）dt dydz∈ [0,1]，n∈ {1,2} .通过冗长而直接的计算，我们从命题4.9中得出λJλJ（t，y，z）λ=0=0，j∈ {0,1}和λJλJ（t，y，z）λ=0=σ埃克斯库尔特（X）-歪斜（X）E-j（u+σ）σ（T）-t） ×Sy+zeκ（y+z）teη（y）（t）-t） eη（z）（t）-t） y（y）-1） z（z）-1).为了以期望的方式解释该导数的积分，我们使用Fubini的定理（其应用由引理4.1和4.10定义）和引理4。2为了得到Z Z ZTSy+zeκ（y+Z）te（η（y）+η（Z））（T-t） y（y）-1） z（z）-1） p（y）p（z）dt dy d z=ZTZ ZE（St）y+ze（η（y）+η（z））（T-t） y（y）-1） z（z）-1） p（y）p（z）dydz dt=EZT（St）Z（St）y-2eη（y）（T）-t） y（y）-1） p（y）dydt= EZTD（t，St）dt,这就完成了证据。定理3.11的证明。根据第2节中的定义。3.3通过引理4.2，应用于Sλ的BlackScholes对冲（cλ，ψλ）允许积分表示cλ=ZR+iRSzeσz（z-1） Tp（z）dz，ψλt=ZR+iRSz-1t-zσz（z-1） （T）-t） p（z）dz，t∈ [0，T]。因此，Th eorem 4.6可适用于ν=σ和dλ=cλ。因此，我们得到了λ的套期保值误差ε（cλ，ψλ，Sλ）的确定积分表示∈ [0,1]. 观察ε（c，ψ，S）=0。证明这个断言的推理现在类似于定理3.7和3的证明。

8.必要主元的存在性和λ7的可微性→[0,1]上的ε（cλ，ψλ，Sλ）遵循same引理。基于命题4.9 y ield的冗长但缓慢的计算λJλ（t，y，z）λ=0=0和λJλ（t，y，z）λ=0=Sy+zeκ（y+z）te（η（y）+η（z））（T-t） ×σExKurt（X）y（y）-1） z（z）-1） +σ歪斜（X）b（y，t）b（z，t）+σ歪斜（X）（y（y-1） b（z，t）+z（z）-1） b（y，t））（4.37）对于（4.28）中的Jλ，在（dλ，θλ）=（cλ，ψλ）和c（z）的情况下：=u+σz和b（z，t）：=（z-z） 中兴科技（z）（s）-t） ，z∈ R+iR，t∈ [0，T]。在u+σ=0的情况下，我们有b（z，t）=（t-t） （q（z）+6q（z）+6q（z））和（4.36）中定义的qn（z）。断言中的预期时间积分如定理3.7和3.8所示。在u+σ6=0的情况下，我们有b（z，t）=（q（z）+3q（z））（exp（c（z）（t）-t） )-1)u+σ-1.了解如何处理附加项exp（c（z）（T）-t） ，让我们举例考虑第二次求和的相关部分，在（4.37）Z ZTSy+zeκ（y+Z）te（η（y）+η（Z））（t-t） b（y，t）b（z，t）p（y）p（z）dtdy d z=EZTZ圣zeη（z）（T）-t） ec（z）（t）-（t）-1u+σ（q（z）+3q（z））p（z）dz！dt,我们用Sy+zeκ（y+z）t=E（St）y+zFubini定理，其应用由引理4.1和4.1.0证明。通过引理4.2，我们得到了圣zeη（z）（T）-t） ec（z）（t）-（t）-1u+σ（q（z）+3q（z））p（z）dz=Zeη（z）（T-（t）Ste（u+σ）（T-（t）Z-圣zu+σ（q（z）+3q（z））p（z）dz=D（t，Ste（u+σ）（t-t） ）+3D（t，Ste（u+σ）（t-t） )-D（t，St）-3D（t，St）u+σ。映射λ7的可微性与λ=0导数的解释→wλ-dλ与定理3.3的证明完全相似。综合所有计算，我们得到ε（cλ，ψλ，Sλ）λ=0=λε（cλ，ψλ，Sλ）λ=0=0和λε（cλ，ψλ，Sλ）λ=0=Skew（X）σA（0，S）+ExKurt（X）σEZTD（t，St）dt+歪斜（X）σEZTB（t，St）dt+歪斜（X）σEZTB（t，St）D（t，St）dt通过映射A，B:[0，T]×R+→ R如（3.13）、（3.14）所述。