时间齐次扩散中离散方差交换的收敛性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Convergence of the discrete variance swap in time-homogeneous diffusion
  models》
---
作者：
Carole Bernard, Zhenyu Cui, Don McLeish
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  In stochastic volatility models based on time-homogeneous diffusions, we provide a simple necessary and sufficient condition for the discretely sampled fair strike of a variance swap to converge to the continuously sampled fair strike. It extends Theorem 3.8 of Jarrow, Kchia, Larsson and Protter (2013) and gives an affirmative answer to a problem posed in this paper in the case of 3/2 stochastic volatility model. We also give precise conditions (not based on asymptotics) when the discrete fair strike of the variance swap is higher than the continuous one and discuss the convex order conjecture proposed by Keller-Ressel and Griessler (2012) in this context.
---
中文摘要：
在基于时间齐次扩散的随机波动率模型中，我们提供了一个简单的充要条件，使得离散采样的方差互换的公平罢工收敛到连续采样的公平罢工。它扩展了Jarrow、Kchia、Larsson和Protter（2013）的定理3.8，并在3/2随机波动率模型的情况下对本文提出的问题给出了肯定的回答。我们还给出了方差交换的离散公平罢工高于连续公平罢工的精确条件（不基于渐近性），并在此背景下讨论了Keller-Ressel和Griessler（2012）提出的凸阶猜想。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Convergence_of_the_discrete_variance_swap_in_time-homogeneous_diffusion_models.pdf (173.94 KB)

2022-5-5 00:48:44 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative homogeneous affirmative derivatives asymptotics

离散方差交换时间齐次扩散模型的收敛性Scarole-Bernard*崔振宇+和唐·麦克莱什草稿：2018年10月8日摘要在基于时间齐次效应的随机波动率模型中，我们提供了一个简单的必要且有效的条件，使方差互换的离散采样公平行权收敛到连续采样公平行权。它扩展了Jarrow、Kchia、Larsson和Protter（2013）的定理3.8，并在3/2随机波动模型的情况下给出了本文提出的一个问题的有效答案。我们还给出了方差交换的离散公平罢工高于连续公平罢工的精确条件（不基于asymp totics），并在此背景下讨论了Keller-Ressel和Griessler（2012）提出的凸阶猜想。关键词：离散方差交换，已实现方差，二次方差，时间齐次差。AMS代码：60G99、91G99。*C.Bernard在加拿大南卡罗莱纳州滑铁卢大学大道西200号滑铁卢大学统计与精算科学系工作，Emailc3bernar@uwaterloo.ca.+通讯作者。崔振宇（音）在美国纽约州布鲁克林贝德福德大道2900号纽约市纽约市布鲁克林学院数学系工作，邮编：11210-2889。Emailzhenyucui@brooklyn.cuny.edu.D.L.McLe ish在加拿大南卡罗莱纳州滑铁卢大学大道西200号滑铁卢大学统计和精算科学系工作，Emaildlmcleis@uwaterloo.ca.1导言最近有几篇论文提议研究各种随机波动率模型中离散采样变量互换的显式公式，如赫斯顿随机波动率模型（Broadie and Jain（20 08））、赫尔-怀特和舍贝尔-朱随机波动率模型（Bernard and Cui（20 13））。

在实践中，市场上交易的离散采样方差掉期，通常使用连续采样方差掉期的公平罢工来近似其离散对手。Jarrow，Kchia，Larssonand Protter（2013）分析了这种近似在具有可能不连续样本路径的半鞅设置中有效的条件。我们的论文考虑了时间齐次扩散模型，该模型对应于他们论文第3节“站立假设”第315页之后模型的连续部分。我们对当前的文献做出了三点贡献。首先，我们明确地展示了离散公平罢工和连续公平罢工之间的关系，为离散公平罢工向连续公平罢工过渡提供了一个简单的必要和充分的条件→ ∞. 因此，我们扩展了定理3。Jarrow等人（2013）的第8条，并对他们论文中提出的一个问题给出了一个有效的答案，即在3/2随机波动模型的情况下。我们还为差异提供了一些上下限。第二，我们确定了相关的临界值，并给出了方差交换的离散公平执行高于连续公平执行时的精确条件（不基于同态）。因此，在方差交换的情况下，我们确定了inKeller-Ressel和Griessler（2012）提出的“凸阶猜想”案例所适用的解释性条件。

第三，我们在之前出现在Broadie和Jain（2008）以及Bernard和Cui（2013）中的Heston和Hull White模型中找到了离散方差互换的更简单表达式。第2节给出了离散公平罢工的一般表达式，以及离散公平罢工收敛到连续公平罢工的必要条件和充分条件。2离散方差交换的收敛这一节我们考虑在下列一般时间内随机波动率模型下对离散方差交换进行定价的问题，其中股票价格及其波动率可能是相关的。我们假设一个恒定的无风险率r>0，在风险中性概率测量下，QdStSt=rdt+m（Vt）dW（1）tdVt=u（Vt）dt+σ（Vt）dW（2）t（1），其中E[dW（1）tdW（2）t]=ρdt，W（1），W（2）标准相关布朗运动。随机过程V的状态空间为J=（0，∞) 如果V是方差过程（m（x）=√x） 。如果m（x）=x，V是波动过程，我们可以使用J=(-∞, ∞). 假设μ，σ：J→ R是满足Engelbert-Schmidt条件的Borel函数，十、∈ J、 σ（x）6=0，σ（x），u（x）σ（x），m（x）σ（x）∈ Lloc（J）（局部可积函数类）。在上述条件下，V的SDE（1）具有唯一的定律弱解，可能存在于其状态空间J中（见定理5.5.15，p341，Karatzas and Shreve（1991））。还假设m（x）σ（x）在所有x上都是可微的∈ J.特别是，该通用模型包括赫斯顿、赫尔·怀特、舍奥贝尔朱、3/2和斯坦因-斯特恩模型作为特例。在下文中，我们研究了离散和连续抽样的成熟度为T的方差互换。在远期掉期中，一个交易对手同意以固定金额乘以掉期有效期内固定水平和已实现水平的差异支付固定金额。

如果连续采样，则实现的方差对应于基础对数股价的二次变化。当离散采样时，它是原木价格的平方增量之和。将其各自的公平罢工定义如下。定义2.1。设h=Tn.离散方差的公平走向与0=t<t=h<…<时间间隔[0，T]的tn=nh=T定义为kd（h）：=tn-1Xi=0ElnSti+1Sti,其中，基础股价S遵循时间齐次随机波动率模型（1），E（·）应被视为V的预期条件，S定义2.2。连续方差掉期的公平执行被定义为kc:=TZTEm（Vs）ds，其中S遵循时间齐次随机波动模型（1）。自始至终，对于n>1，ti=ih，i=1，2。n=T/h表示c（h）=Tn-1Xi=0EZti+htim（Vs）ds. （2） 定义2.3。让我们定义γ（h），一种度量鞅m（Vt）dW（2）t增量偏度的方法，γ（h）=Tn-1Xi=0EZti+htim（Vt）dW（2）t, （3） 假设第三个时刻存在。我们通常会假设：假设1：对于一些h>0，C（h）<∞.很容易显示这个函数C（h）的一些简单属性，例如CH6c（h）6c（2h）。（4） 这意味着C（2-mT）<∞ 对于某些m>1当且仅当C（T）<∞.因此，假设1相当于以下假设。假设1′：C（T）<∞注意，就协方差而言，假设C（t）<∞ 是一个关于函数可积性的简单断言l（s，t）=平方[0，t]上的E[m（Vs）m（Vt）]。以下是附录A中证明的一些有用结果。对于T/n形式的h，n>1C（h）6 C（T），（5）C（h）6 hZTEm（Vs）ds，（6）KcrC（h）h。（7）通过等式（6），假设1由更严格的要求RTE[m（Vs）]ds<∞ Jarrow等人（2013年）制作。

首先我们证明一个引理。引理2.1。假设Mt是一个连续鞅，M=0，d2次变化[M]t。然后假设三阶矩存在[M]t=E（Mt[M]t）（8）作者感谢Roger Lee给出了这个简单而优雅的结果。注意，Mt和[M]之间的二次协变量等于0。Thusd（Mt[M]t）=[M]tdMt+Mtd[M]tdMt= 3MtdMt+3Mtd[M]T其中，T[M]T=ZT[M]tdMt+MT-ZTMTDM并在两侧取期望值（Mt[M]t）=EMt。这就完成了证明。下一个结果给出了关于连续公平罢工的离散f空袭价格的一般表达式。定理2.1。考虑一般时间齐次扩散模型（1），并假设假设假设1成立。离散变量wap的公平罢工是n byKd（h）=Kc+rh- rKch+C（h）- ργ（h）。（9） 证据。考虑（1）中的模型，将Yt=ln（St）。如果我们定义f（v）=Zvm（z）σ（z）dz和k（v）=u（v）f′（v）+σ（v）f′（v），（10）从它的lemmadYt=R-m（Vt）dt+ρm（Vt）dW（2）t+p1- ρm（Vt）dW（3）t，df（Vt）=k（Vt）dt+m（Vt）dW（2）t.（11）Yt:=Zt+htdYs=hr-R+R+R，其中R=Zt+htm（Vs）ds，R=ρZt+htm（Vs）dW（2）s，R=p1- ρZt+htm（Vs）dW（3）s，因为W（3）独立于W（2）和V，并且使用ER=0、ER=ρER和ER=（1）这一事实- ρ） 呃，我们可以计算[(Yt）]=E“人力资源-R+R+ R#=E“人力资源-R+R+ (1 - ρ） R#=rh+（1）- ρ- 右）ER+ER- E[RR]+ER=hr+（1）- hr）ER+ER- E[RR]=hr+（1）- hr）Zt+htE[m（Vs）]ds+EZt+htm（Vs）ds- ρEZt+htm（Vs）dsZt+htm（Vs）dW（2）s. （12） 对于i=0，1，…，求t=ti=ih上的项之和。。。，N- 1，然后除以T，Kd（h）=Kc+rh- Kcrh+4Tn-1Xi=0EZti+htim（Vs）ds-ρTn-1Xi=0EZti+htim（Vt）dW（2）tZti+htim（Vs）ds. （13） =Kc+rh- Kcrh+C（h）-ρTn-1Xi=0EZti+htim（Vt）dW（2）tZti+htim（Vs）ds现在考虑一下marting ale Mt=Rtm（Vt）dW（2）并应用引理2.1 toubtainkd（h）=Kc+rh- Kcrh+C（h）-ρ3Tn-1Xi=0E“Zti+htim（Vt）dW（2）t#= Kc+rh- Kcrh+C（h）-ργ（h）。

（14） 这就完成了证明。回想一下f（.）的定义在（10）中。然后将（11）中的SDE与tito ti+h积分，得到ZTi+htim（Vt）dW（2）t=f（Vti+h）- VTF（Vti）-Zti+htik（Vt）dt。（15） 备注2.1。因此，重要的观察结果直接来自表达式（9）。首先证明Kd（h）是无风险利率r的二次函数和相关系数ρ的线性函数。因为它在r中是二次的，所以我们可以得到一个适用于r的所有值的下界，Kd（h）>minrKc+rh- rKch+C（h）- ργ（h）, （16） >Kc-Kch+C（h）- ργ（h）>Kc- ργ（h）由（7）决定，kch6c（h）。特别是RKD（h）>对于所有kCr，当ρ=0时，h。（17） 引理2.2。γ（h）pKcC（h）（18）证明。注意，通过引理2.1，Tγ（h）=E“n-1Xi=0Zti+htim（Vs）dsZti+htim（Vt）dW（2）t#6 E武顿-1Xi=0Zti+htim（Vs）ds武顿-1Xi=0Zti+htim（Vt）dW（2）tvuutE“n-1Xi=0Zti+htim（Vs）ds#vuutE“n-1Xi=0Zti+htim（Vt）dW（2）t#武顿-1Xi=0E“Zti+htim（Vs）ds#sZTE[m（Vs）]dspT C（h）pT kc，因此我们在除以T时得到（18）。定理2.2。Kd（h）→ Kcas h→ 当且仅当假设1成立时，所有ρ均为0。证据假设假设1成立。我们有引理2.2和（14），|Kd（h）- Kc | 6hr+hrKc+C（h）+ρpKcC（h）。我们将证明假设1等价于陈述C（h）→ 0灰烬→ 注意c（h）=Tn-1Xi=0EZti+htim（Vs）ds=Tn-1Xi=0Zti+htiZti+htiEm（Vs）m（Vt）dsdt=Tn-1Xi=0Zti+htiZti+htil（s，t）dsdtwherel（s，t）=E[m（Vs）m（Vt）]。将Rde中的集合序列视为以下n平方的并集：∪N-1i=0{（s，t）|ti6s6ti+h，ti6t6ti+h}，注意这些集合的勒贝格测度λ（Ah）→ 0作为h→ 0.假设1断言C（T）=trtl（s，t）dsdt<∞.

它源于函数的假定可积性l（s，t）和TPN-1i=0Rti+htiRti+htil（s，t）dsdt=TRRAhl（s，t）dsdt→ 0作为h→ 因此，如果假设1成立，则Kd（h）→ Kc。我们现在展示相反的情况。假设Kd（h）→ kc在ρ=0的情况下。在这种情况下kd（h）-Kc=hr- hrKc+C（h），这意味着C（h）→ 0，这意味着C（h）<∞ 对于一些h.鉴于假设1和假设1\'的等价性，这意味着C（T）<∞. 这就完成了证明。推论2.1。IfZTEm（Vs）ds<∞, （19） 然后Kd（h）→ Kcas h→ 0.证明。这源于不等式（6）和定理2.2。备注2.2。条件[m（Vs）]ds<∞ 在上面的推论中，赫斯顿、赫尔·怀特和舍贝尔·朱随机挥发物模型下均成立。因此，在这些模型中，离散的公平罢工收敛到连续的公平罢工→ ∞, 这与Broadie和Jain（2008）以及Bernard和Cui（2013）给出的明确表达一致。推论2.1中的条件（19）对应于Jarrow等人（2013）第318页定理3.8的第一个条件。我们的定理2.2允许我们满足这个条件ZTσsds< ∞对于一些T>0（使用他们的符号，其中σ等于我们的m（Vs））。示例2.1（3/2型号）。3/2模型由dstst=rdt+pVtdW（1）tdVt=Vt（p+qVt）dt+εVtdW（2）t（20）给出，其中E[dW（1）tdW（2）t]=ρdt，q<ε，ε>0。如例4所示。Jarrow等人（2013）的第6（iii）条中，条件[Vs]ds<∞ 当q>0时，不满足3/2随机波动率模型，他们的分析基于论文的命题4.5。因此，Jarrow等人（2013年）的推论2.1或等效定理3.8不能应用于这种情况。他们把确定离散公平罢工是否收敛到连续公平罢工作为一个公开问题。

我们给出了一个有效的答案：在3/2模型中，当0<q<ε时，离散的公平罢工收敛到连续罢工，因为拉普拉斯变换（见Jarrow等人的命题4.4）是在原点附近定义的，因此所有实现方差的动量都是有限的，尤其是ZTvTt<∞.定义ρ的临界值，使Kd（h）=Kcbyc*（h） =3hr- 如果γ（h）6=0，则hKcr+C（h）γ（h）（21），其中γ（h）在（3）中给出。Fr om（7），hr- hKcr+C（h）>hr- hKcr+Kch=h（r-Kc）对于r的所有值都是非负的*（h） 与γ（h）的符号相同。这使我们能够提供条件，在这些条件下，离散方差互换的公平性高于相应的连续方差互换：命题2.1。假设一般时间均匀扩散模型和假设1.1。如果γ（h）>0，则Kd（h）>Kcif且仅当ρ<c*（h） 。自从c*（h） 对于所有ρ6 0，Kd（h）>kC。与Dufresne（2001）的交叉引用表明，Jarrow e t al.（2013）的命题4.5中有一个拼写错误，该公式的最后一部分应该是“M（\'v+p，\'v，λt）”。如果γ（h）<0，则Kd（h）>Kcif且仅当ρ>c*（h） 。在这种情况下，所有ρ>0.3的kD（h）>kC。如果γ（h）=0，则Kd（h）>Kc。证据在γ（h）>0的条件下，Kd（h）=Kc+rh-Kcrh+C（h）-ργ（h）是ρ的严格递减函数。因此，Kd（h）>Kcif，且仅当ρ<c时*（h） 。γ（h）<0的情况类似。如果γ（h）=0，则Kd（h）=Kc+rh-Kcrh+C（h），类似于（16），在r上最小化，我们得到kd（h）>Kc-Kch+C（h）>Kc。这就完成了证明。Keller Ressel和Griessler（2012）提出了以下“凸序猜想”：Ef（RV（X，P））>Ef（[X]T），其中f是凸的，P指[0，T]在n+1个划分点上的划分，X=log（ST/S）。

RV（X，P）=Pni=1（对数（Sti/Sti-1） ）是离散实现方差，[X]T=RTm（Vs）ds是连续二次方差。当f（x）=x/T或在离散方差交换的情况下等效时，Bernard和Cui（2013）提供了数值证据，证明Kd（h）可以小于kcf finite n。在这里，我们提供了关于一般时间齐次扩散模型（1）中离散和连续公平罢工（非渐近）比较的结果，为“凸序猜想”提供了部分答案。根据命题2.1，如果γ（h）>0，Kd（h）>kC，在通常的市场条件下，ρ6 0。当γ（h）=0时，对于ρ的所有值，Kd（h）>kC。