零质量为正的隐含波动率形状

由于函数hand h2，ε的阶数为p | x |当x↓ -∞, 我们得到√p | x |+h（x）-√q | x |+h2，ε（x）=√h（x）- h2，ε（x）p | x |+h（x）+p |x |+h2，ε（x）~h（x）- h2，ε（x）p2 |x|~Aε| x | 3/2as x↓ -∞.（4.4）第2步（隐含波动率的最终估计）。用泰勒展开的两倍√1+y=1+y-y+O（y）对于小y，它遵循函数hthatp | x |+h（x）=p | x |+u（x）的定义√+u（x）p |x|-u（x）32 | x | 3/2+o|x|-3/2（4.5）（包含u（x）的术语因某些取消而消失）。结合（4.3）和（4.5），我们得到√ti（x）=p |x |+u（x）+u（x）√p | x|-u（x）√2 | x | 3/2+α（x）+o|x|-3/2,其中函数α满足以下估计：对于ε>0的e，-(√p | x |+h（x）-√p | x |+h2，ε（x））≤α（x）≤ 0表示所有x<xε。最后的声明随后设置a（x）=α（x）|x | 3/2并使用（4.4）。定义功能i（x）≡p2 | x |+q+q+2p2 | x |+q4 | x |，对于x<0。（4.6）定理4.2。假设p>0和条件（4.1）。（i） 隐含波动率令人满意√ti（x）=eI（x）+O（|x|-3/2）当x趋于-∞;（ii）如果Moreorf（K）- F（0）=o|日志（K/S）|-3/2, （4.7）对于小K，则隐含波动率满足supx↓-∞|x | 3/2√ti（x）-eI（x），≤ cq（4.8）lim infx↓-∞|x | 3/2√ti（x）-eI（x）≥ cq- A（q），（4.9），其中cq=1-Q√-Q√常数A（q）在定理4.1中定义。最后，如果存在sα>0，那么f（K）- F（0）~ α|对数（K/S）|-3/2，（4.10）随着K趋于零，然后（4.8）和（4.9）保持不变，用cq+α替换cq√2πeq/2。图2:cq和cq的上下限- 定理4.2中的A（q），以零p=N（q）时的质量绘制。定理4.2（i）为O（| x）的隐含波动率提供了一个n解释公式|-3/2）误差项，以及（ii）从上方和下方（在稍强的条件下（4.7）或（4.10））估计该误差项。

特别是，以下评论是按顺序进行的：o定义（4.6）强调了与| x成比例的术语扩展的存在|-1，这是hiddenin Gulisashvili的配方（4.2）。从数值计算的角度来看，（4.6）中的术语是对数走向x的基本函数，而（4.2）的计算需要对每个x值的函数U（x，·）进行数值反转。o如果基础股票价格根据度量值u（dK）=pδ（dK）+（1）分布- p） f（K）dK，（4.11），其中f是（0，∞) 使得f（K）=O（K-a） 对于一些a<1 a s K↓ 0，那么它就是F（K）- F（0）=O（K1-a） 因此，条件（4.7）已满。（注意，如果f（K）~ cK-aasK↓ 0对于某些c>0，限制a<1对于确保可积性是非常必要的）。实践中使用的大多数金融模型（质量为零）满足（4.11）f（K）=O（K）-a） )；特别是第5.2.2节中的默顿模型（其中密度f在原点趋于零）和第5.3.1节中的CEV模型（其中f在原点爆炸）。定理4.2中的常数Cqa（q）是q=（N）的函数-因此，就p而言，它们是围绕p=1/2对称的。函数A（·）在q=0（或p=1/2）时达到其最小值，因此在这一点上，边界是最紧的。这如图2所示。证据考虑函数V（y，z）≡ N（z）- yn（z）。这一点并不难看出，尽管如此∈ R、 方程V（y，z）=p有一个唯一的解z=ez（y）（对z求导数）。特别地，ez（0）=N-1（p）=q。通过隐式函数theo-rem，函数ez是完全可微分的，我们可以通过隐式微分计算其导数。

对于第一个导数，ez′（y）=（1+yez（y））-1，当y趋于零时收敛到1；迭代这个过程，我们得到泰勒展开式z（y）=q+y-qy+（q- 1） y+O|y|, 当y趋于零时。因为，对于每x<0，U（x，·）-1（p）=ez（1/p2 | x |），当x趋于-∞:U（x，·）-1（p）=q+p2 | x|-q4 | x|+√Q- 1 | x | 3/2+O|x|-2.. （4.12）我们必须估计差异U（x，·）-1（p+r（x））- U（x，·）-1（p）作为x↓ -∞. 将中值定理应用于函数U（x，·），并按照定理4.1的证明进行，我们得到了U（x，·）-1（p+r（x））- U（x，·）-1（p）~r（x）φ（q）=√2πeq/2r（x），作为x↓ -∞. （4.13）利用引理3.9和条件（4.1），我们得到r（x）=O（|x）|-3/2). 现在，将（4.13）和（4.12）代入定理4.1，并在x中收集相同阶数的项，我们得到√ti（x）=eI（x）+（cq+a（x））|x|3/2+√2πeq/2r（x）（1+o（1））+o|x|-2..利用函数a（·）的有界性-∞, 我们在条件（4.1）下得到（i）。如果条件（4.7）成立，则边界（4.8）和（4.9）遵循定理4.1和引理3.9。最后，当条件（4.10）成立时，最后一个语句从r（x）=KRK（F（y）开始- F（0））dy~ F（K）- F（0）~α|对数（K/S）|-3/2=α| x|-3/2as x倾向于-∞.备注4.3（随机波动率模型中隐含波动率的渐近形状）。在随机波动率模型中，渐近展开的“前导阶项比例top | x |+常数+消失项”是典型的。

然而，在这种情况下，这种现象有一个不同的性质：股票价格遵循一个指数（因此是严格正的）扩散过程，具有随机波动性，低冲击时隐含的波动性的函数形式相当于由接近零的资产价格密度的渐近性决定。在定理4.2中，相同的参数形式与原子在零处的存在有关，但与（0，∞) （条件（4.1）适用于ce时）。一些例子如下：1。（不相关的）斯坦因模型[30]。Gulis ashvili和Stein[21，定理3.1]证明了隐含波动率的以下扩展：√ti（x）=γ√x+γ+O|x|-1/2作为x↑ +∞,γ在哪里∈ (0,√2） γ>0是依赖于模型参数的常数。因为在不相关的效用模型中，微笑是对称的，参见[28]，所以当x趋于-∞;2.Heston模型[23]，其中Friz、Gerhold、Gulisas hvili和Sturm[13，（4.11）]证明了e扩展：√ti（x）=ρp |x |+ρ+ρlog（|x |）p |x |+O|x|-1/2, 作为x↓ -∞,其中系数ρ∈ (0,√2） ，ρ和ρ与模型参数有关。我们可以注意到函数log | x |在三阶项中的出现；3.Gulisashvili和Stein[20]证明的不相关Hull-White模型（例3.1）√ti（x）=p2 | x |-log | x |+log log |x | 2Tξ+O（1），作为x↓ -∞.在前面的展开式中出现的常数二阶项在这里被一个发散到的项所取代-∞, 符合定理3.6.5示例和数值a分布u和质量p∈ Zero的（0，1）可以用它的Jordan dec复合u（ds）=pδ（ds）+（1）来表示- p） μ（ds），（5.1），其中μ是（0，∞). 鞅条件E[ST]=R[0，∞)su（ds）=Simposes the constraintr（0，∞)s¨u（ds）=s/（1）- p） 。

为了阐明定理4.2，我们计算并证明了函数j（x）≡ I（x）qT | x |，它必须倾向于√2作为x↓ -∞, 并将其与定理4.2给出的展开式J进行比较：≡p | x | p2 | x |+q+q+2p2 | x |+q4 | x |！（5.2）5.1玩具示例我们在[0，∞) 通过设置ec（K）=（S- (1 - p） K）+，K≥ 0.（5.3）相应的资产价格分布的形式为（5.1），其中¨u（ds）=δS/（1）-p） （ds）。u，F（K）=u（[0，K]）=p+（1）的累积分布-p） 11{K≥S/（1）-p） }，对于K<S/（1）是常数-p） 因此，条件（4.1）基本满足。图3显示了T=1.5.2跳转到默认modelsLet（~St）T的一些数值结果≥0是一个严格的积极过程(Ohm, F、 P）和τ是一个随机时间，独立于S。SetSt=~St{t<τ}，（5.4），因此S在时间τ跳到零；St定律的形式为（5.1），其中p=p（τ≤ 在Merton模型[26]中，~s是一个漂移λ>0的几何布朗运动：dST=~ST（λdt+σdWt）与s>0，τ与参数λ呈指数分布，因此p=p（τ≤ T）=1- E-λT.注意E[ST]=E[~STτ>T]=E[~ST]P（τ>T）=SeλTe-λT=S。Sis＠u（ds）=fBS（S，S/（1））分布的连续部分- p） ，σ）ds，其中fBS（·，S，σ）是平均波动率σ>0的Black-Scholes股票价格的密度。写在S上的卖出价为P（K）=pK+（1- p） PBS（K，S/（1）- p） 和累积分布f（Kx）=p+（1）- p） N(-d（x+log（1- p） ，σ）=:p+（1- p） N（d2，p（x，σ）），其中d2，p（x，·）≡ -d（x+log（1- p） ，·）。因为d2，p（x，σ）~xσ√助教x↓ -∞ 和F（Kx）- F（0）=（1）-p） N（d2，p（x，σ）），著名的界N（d）≤n（d）| d |对于d<0 yieldsF（Kx）- F（0）≤1.- p | d2，p（x，σ）|n（d2，p（x，σ））≤1.- P√2πexp-d2，p（x，σ）= O经验-x2σT,满足条件（4.1）。我们在图5中说明了（4.6）的有效性。

让我们简略地评论一下图3-5中与有效买入价示例（5.3）和上述默顿示例相关的内容：（i）有趣的是，具有恒定波动性参数σ和质量p为零的对数正态分布产生了非常显著的ske w，即使p的值相对较小（图4）。这与我们在定理2.3（ii）中定量研究的零质量对微笑的影响有关。与位移[6，示例6.7]类似，这是一种仅使用两个参数生成微笑的方法。（ii）这些例子证实了推论3.7（以及定理4.2）预测的p 6=1/2和p=1/2的隐含波动率的不同行为（另见第5.3.1节中的CEV模型）。当p=1/2时，归一化微笑I（x）pT/|x |的收敛到极限√与p接近1或接近0时相比，2具有更大的均方偏差，其极限值√2仍然在左尾（图3（a）-3（b）a和5（a）-5（c））。-10-8.-6.-4.-2.非常有钱。900.951.001.051.101.15真值渐近公式（a）从有效买入价格中得到的标准化微笑，p=0.1-10-8.-6.-4.-2 0Log moneyness X234567真值渐近公式（b）有效买入价的标准化微笑，p=0.9-10-8.-6.-4.-2.0Log moneyness x1。41.61.82.02.22.42.62.83.0真实值渐近公式（c）从一个有效的买入价格得到的标准化微笑，p=0.5-4.-3.-2.-1012 30100200300400500p=0.1p=0.5p=0.9（d）隐含波动率微笑图3：示例5.1中有效买入价格产生的隐含波动率，T=1。（a） -（b）-（c）：\'normalisedsmile\'J（x）≡ I（x）pT/|x |与（5.2）中给出的近似值)J（x）。图（d）：相应的隐含效用（其中左导数在基础支撑的上限处发散）。（iii）gr aphics 3（b）、3（c）和5（c）、5（b）几乎是完整的。

这提供了一个事实的证据，即小冲击的隐含波动率的行为基本上由原子在零处的质量决定，而剩余的分布在（0，∞) 影响很小。5.2.2隐含波动性的违约概率我们在这里考虑与第5.2.1节相同的模型。Ohsaki等人[27]研究了通过观察到的隐含波动率来衡量违约概率的可能性。根据默顿的orCreditGrades[12]模型，考虑到一家公司的ass et，他们根据渐近公式Limx估计时间T的生存概率↓-∞d（x）=-q、 从模拟微笑数据计算d（x）。它们证明了由于数据收敛到极限的速度很慢，很难获得一个好的估计值。例如，对于90%左右的生存概率，默顿模型[27，表5]的估计值受到10%左右的相对误差的影响，即使在极低的打击率下也是如此。在引理3.10中，我们考虑了影响该估计的误差项，即O（| x）|-1/2）在条件（3.5）（i）下。然而，请注意，定理4.2提供了一种估算违约概率的替代方法，可与[27]中的方法进行比较。忽略O（| x|-3/2）误差项和反转（4.6）-0.6-0.4-0.20.0 0.2 0.4 0.6Log-moneyness X1002030405060隐含波动率（%）西格玛=0.1西格玛=0.2西格玛=0.3西格玛=0.4（a）质量p为零的默顿模型，p=0。05-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6Log-moneyness 2030405060708090隐含波动率（%）p=0.05p=0.10p=0.15p=0.2（b）质量p为零的默顿模型，不同的p图4：默顿模型中的隐含波动率微笑，或质量p为零的Black-Scholes分布，s=1，T=1。图（a）：p=0.05，σ的不同值。

图（b）：σ=0.2，p的不同值。-10-8.-6.-4.-2.非常有钱。900.951.001.051.101.15真值渐近公式（a）归一化微笑，p=0.1-10-8.-6.-4.-2.0Log moneyness x1。41.61.82.02.22.42.62.83.0真值渐近公式（b）标准化微笑，p=0.5-10-8.-6.-4.-2 0Log moneyness X234567真值渐近公式（c）归一化微笑，p=0.9图5：归一化隐含波动率微笑J（x）≡ I（x）pT/|x |在M rton模型中，σ=0.2，T=1，质量p为零。将函数J与J进行比较，见（5.2）。关于q，得到二次方程a（x）q+b（x）q+c（x）=0，其中a（x）≡ 1/（2p2 | x |）、b（x）=1+1/（4 | x |）和c（x）≡p2 | x |-√ti（x）+1/p2 |x |。对于足够小的x，后一个方程允许两个实根sq±（x）=p2 | x|(-- 2 | x |±r4 |x | 3/2I（x）√2T-p | x|- 2 | x |+）。（5.5）使用（4.6），不难看出q+（x）收敛到q=N-1（p）而q-（x） 偏离到完整的asx↓ -∞, 因此1- N（q+（x））是生存概率1的收敛估计- p、 独立于任何准度量模式选择。表1显示了默顿模型的一些数值。参数取自[27]：S=100，T=0.5，σ=0.3，第1组：λ=0.85，第2组：λ=0.15。（5.6）对于每个参数集，第一行显示了根据渐近公式limx计算的生存概率↓-∞d（x）=-q、 并提供了[27，表5]中给出的相同值。第二行显示1的值- N（q+（x））。符号的-’ 表示估计量qq+（x）未定义（即，上文给出的q的二次方程（5.5）没有任何解）。最右边的列包含确切的生存概率1-p=e-λT。

基于ne-w公式（4.6）的估计被证明更加准确：例如，对于货币比率K/Sequal到0.1，在参数集2的情况下，相对误差除以3（大约从10%到3.5%），在参数集1的情况下，相对误差除以系数8（从24%到3%）。即使改进了fit，无模型公式（5.5）在根据市场数据估计故障排除概率方面的适用性仍可能受到质疑。在这个例子中，只有在股票市场上观察到的履约/现货比率范围之外的值，相对误差才低于几个百分点。货币性0.50.40.30.20.1 0.05 1e-10 0Log moneyne ss x-0.69-0.91-1.20-1.61-2.30-3-23.02-∞生存概率（%）：集1Ohsaki等人42.13 43.76 45.43 47.23 49.44 51.01 59.80 65.371- N（q+（x））71.4370.2669.2368.2967.3766.8665.4865.37生存概率（%）：Set2ohsaki等人75.5977.7779.7281.5983.5984.8690.3592.771- N（q+（x））--96.15 95.04 92.9092.77表1：在（5.6）中设置了两个参数的默顿跳到默认模型中的生存概率。备注5.1。考虑到（1.8），可以通过运行线性回归P（K）=βK+ε来直接从卖出价格估算违约概率，其中β的估算值将是对原始价格的估计。5.3零下吸收的扩散过程。3.1 CEV过程和与Gulisashvili公式的比较[19]我们在这里考虑CEV模型，即随机微分方程的唯一强解Dst=σS1+βtdWt，（5.7）过程（St）t≥0是真鞅[7，第6.4章]当且仅当β≤ 0

当β=0时，SDE（5.7）降低到Black-Scholes SDE，并且几乎可以肯定的是，所有t≥ 0.根据[7，第6.4节]，我们通过Xt定义了一个新的流程X≡ s-2βt/（σβ）直到S第一次为零。It^o的公式y ie lds dXt=δdt+2√XtdWt，X=S-2β/（σβ）>0且δ=2+1/β。过程X是一个具有δ自由度和指数ν的贝塞尔过程≡ δ/2 - 1 = 1/(2β). Feller分类（参见Karlin等人[24，第15章，第6节]的例子）得出如下结果：o如果δ≤ 0，即β∈ [-1/2，0），原点是可达到的吸收边界。对于每t>0，分布utof Xton[0，∞) 在zer o处具有正质量，并在正实线上允许密度：ut（dy）=P（Xt=0）δ（dy）+fXt（X，y）dy，其中fXt（X，y）=2tyXν/2exp-X+y2t我-ν√Xyt, 对于所有y>0，我-ν是第一类修正贝塞尔函数。请注意∞fXt（X，y）dy=Γ-ν、 X2t< 1，式中Γ是归一化的下不完全伽马函数Γ（v，z）≡Γ（v）Rzuv-1e-因此，udu（Xt=0）=1- Γ (-ν、 X/（2t））>0δif∈ (0, 2) (β < -1/2），起源是可以实现的。如果δ>2（β>0），则无法获得原点。在这两种情况下，P（Xt=0）=0表示所有t。我们可以根据原始的CEV过程S来重新计算这些结果，当且仅当过程X达到时，CEV过程S才达到零。在β的情况下∈ [-1/2，0），正实线的密度由fst（s）给出-S1/2s-2β-3/2σβTexp-s-2β+s-2β2σβT！我-νS-βs-βσβT！，对于任何s>0，我们进一步得到p=p（ST=0）=1-Γ-ν、 （2σβT s2β）-1.. 使用修正贝塞尔函数Iα（z）的渐近形式[1，第9.6.7节]~ Γ(α + 1)-1（z/2）α（作为z↓ 0）对于正α，以及-ν=1/（2 |β|），则获得fST（s）~ 常数×s2 |β|-1 AS s↓ 0