零质量为正的隐含波动率形状

因此，P（P）（K）=pK+（1- p） RKFS（（1）- p） y）dy=pK+R（1）-p） 那么，对于任何0≤ P≤ p<1，p（p）（K）- P（P）（K）=（P- p） （K）-Z（1）-p） K（1）-p） KFS（y）dy=Z（1）-p） K（1）-p） K1.-~FS（y）dy，因此，对于每K>0，映射p7→ P（P）（K）在增加，p7也在增加→ [0,1]上的I（p）（x），每x∈ R.（ii）为了简单，让我们表示K=kx。根据I（p），我们有spb（x，I（0）（x）+I（p）（x））=p（p）（K）。很明显，每x，I（p）（x）→ 0作为p→ 0（I（p）是p的连续函数），因此pbs（x，I（0）（x））+σPBS（x，I（0）（x））I（p）（x）（1+o（1））=SP（p）（K）作为p→ 在本证明的（i）中，我们已经证明了P（P）（K）=pK+R（1）-p） 方程（2.4）得出σPBS（x，I（0）（x））I（p）（x）（1+o（1））=SP（P）（K）- P（0）（K）=pKS1.-pKZK（1）-p） K~FS（y）dy还是I（p）（x）~pKSσPBS（x，I（0）（x））（1）-~FS（K）-)) 当p趋于零时。使用众所周知的表达式σPBS（x，σ）=√T Kn（d（x，σ）），我们得到（2.3）。最后，自从limitlimx↓-∞d（x，I（x））=+∞ 对于没有质量为零的任何分布（引理3.10），我们也有limx↓-∞n（d（x，I（0）（x））=0。自从limx↓-∞(1 -~FS（Sex））=1，然后是limx↓-∞θ（x）=+∞.定理2.3中的第（ii）点表明，对于较小的撞击，质量为零时的冲击力更强。备注2.4。假设参考模型u遵循波动性参数σ的Black-Scholes分布，因此FS（Kx）=N(-d（x，σ））。然后，作为x→ ∞,θ（x）=N（d（x，σ））N（d（x，σ））~|d（x，σ）|~σ√我们使用了著名的展开式N（z）=N（z）|z |（1+o（1））作为z→ - ∞. 在这个例子中，我们看到，当K趋于一致时，mas s s在零处（由函数θ（·）量化）的影响逐渐可以忽略。这一现象在我们对Merton模型的数值试验中可以清楚地看到。在第5.2.1节中，参见图4.3渐近估计。力矩公式（1.3）保证lim supx↓-∞当q时，I（x）T/|x |严格小于2*> 0

那么，lim sup取代2级的两种情况是q*= 0和p=0（重的le ft尾巴，但在零处没有质量），p>0。Gulisashvili[18]考虑了前一个案例；我们的重点是后者。例3.1。在赫尔-怀特随机波动率模型中，股价过程满足随机微分方程dSt=St | Zt | dWt，S>0，Z是一个对数正态过程，满足dZt=νZtdt+ξZtdBt，W和B两个相关布朗运动dhW，位=ρdt。尽管如此，T≥ 0，sti是一个严格正可积的随机变量。如[20]所示，所有小于零或大于一的STof阶矩都是有限的：q*= 0=p*:= sup{p≥ 0:E（S1+pT）<∞}.3.1一阶行为根据尾翼公式[3]的精神，展开式（1.1）允许将Lee的力矩公式转换为无符号等效。这就需要研究ψ的行为对数P（K）对数K- 1.对于小K.identitylim infK↓0logp（K）logk=1+q*（3.1）在[17，引理4.5]中给出。总的来说，林素↓0log P（K）log Kis不一定等于1+q*. 在Gulisashvili[18]中，看跌期权价格函数的条件等价于lim-supK↓0logp（K）logk=1+q*都给了。让我们重述古利萨什维利对案例q的结果*= 我们之间的0：定理3.2（文献[18]中的定理3.6]）。

如果q*= 0和p=0，则以下语句是等价的：（i）lim supK↓0[logp（K）/logk]=1；（二）√T I（x）~p2 | x |，因为x倾向于-∞;（iii）存在K>0和一个正则变序函数h-1使得h（K）≤ P（K）代表K∈ （0，K）。函数f是α阶的正则变量∈ R如果定义在某个完整的、可测量的邻域上，并且当x趋于完整时，（λx）f（x）的比率收敛到λα，则永远yλ>0。根据（1.1），上一个定理中的条件（ii）等价于limK↓0ψ对数P（K）对数K- 1.= 2，或同等的limK↓0logp（K）logk=1通过ψ的连续性-1:cons ide环（3.1），（ii）相当于（i）。关于（ii）和（iii）之间的等效性，我们参考[18]：该方法旨在展示（ii）和（iii）之间的等效性√ti（x）~√2x代表大x和类似于（iii）的看涨期权价格函数条件（见[18，定理3.2]），1秒应用看跌期权对称性，以便将结果从右翼转移到左翼。由于当股票价格定律的质量为零时，缺乏看跌期权对称性，因此当q*= 当p>0时，渐近公式（1.1）正好相反。我们将在备注3.4中回到这一点。让我们陈述一下当p>0时隐含效用行为的初步结果。与定理3.2类似，以下命题将（1.3）推到一个极限。提议3.3。如果p>0，那么√ti（x）~p2 | x |随着x趋于-∞.命题3.3源自下面定理3.6中给出的一个stronger陈述。备注3.4。当p>0时，函数h（K）≡ p/K是指数的规律性变化-1.因为P（K）=E[（K- ST）+]≥ 每K的pK≥ 0，定理3.2（iii）满足函数h。

此外，请注意，（1.8）表示log（P（K））=log（K）+O（1）为K↓ 0，或相当于limK↓0log（P（K））/log（K）=1=1+q*.然后，根据命题3.3，定理3.2在p>0的情况下也成立。备注3.5。零的正质量意味着对某些报酬的无限期望，例如日志记录。实际上，LOG合同无模型复制公式的右侧，- E日志=ZSP（K）KdK+Z∞SC（K）KdK（3.2）根据（1.8）确定。这就警告了（3.2）的使用——通常用于引用[11]中随机波动性假设下连续监测的方差互换的公平罢工——在p>0.3.2检测原子质量的模型中：二阶行为在上一节中，我们看到无量纲隐含波动性√ti（x）是渐近top2 | x | asx↓ -∞ 当且仅当q*= 0，且定理3.2中的一个等价条件（i）或（iii）已满足（注3.4，当p>0时，该条件始终成立）。下一步是理解差异是如何产生的√ti（x）-p2 | x |的行为。右翼的行为（x）↑ + ∞) 李[25，引理3.1]对此进行了研究，他证明了这一点√ti（x）-p2 | x |对于足够大的x是负的，随后由罗杰斯和特赫拉·恩奇[29，定理5.3]重新定义，他们证明了limx↑+∞(√ti（x）-√2x）=-∞ 每T>0。对于左翼来说，情况是不同的，二阶项的定性行为取决于质量为零的情况。定理3.6。如果p=0，则为limx↓-∞√ti（x）-p2 | x|= -∞. （3.3）相反，如果p>0，则√ti（x）=p2 |x |+q+√2πexpQKxZKx（F（y）- F（0）dy+χ（x）p2 | x |+OF（Kx）- F（0）p | x|, （3.4）其中χ是满足q的函数≤ χ（x）表示所有x<0和lim supx↓-∞χ（x）≤ q+2eq。在给出定理3.6的证明之前，让我们先给出一个直接推论。

当K趋于零时，考虑以下关于ST的累积分布函数的假设：（i）F（K）- F（0）=O|日志（K/S）|-1/2;（ii）F（K）- F（0）=o|日志（K/S）|-1/2.（3.5）推论3.7。假设p>0。Thenlimx↓-∞√ti（x）-p2 | x|= Q（3.6）如果第（3.5）（i）款适用，则√ti（x）=p2 |x |+q+O|x|-1/2; （3.7）如果第（3.5）（ii）款适用，则√ti（x）=p2 | x |+q+χ（x）p2 | x |，（3.8），其中χ是满足q的函数≤ lim infx↓-∞χ（x）≤ lim supx↓-∞χ（x）≤ q+2eq。证据限值（3.6）如下（3.4）。其他语句是直接的，注意到χ（x）=O（|x）|-1/2）和F（Kx）- F（0）=O（|x）|-1/2）（分别为o（|x）|-（1/2）根据第（i）（ii）条的规定。以下评论强调了定理3.6的相关性根据（3.3）和（3.6），当微笑的左渐近斜率最大时（limx↓-∞T I（x）/|x |=2），即在原点有质量的基础分布与在小冲击下的隐含波动率中在二阶时看不到的基础分布之间的差异（3.7）的检验揭示了二阶隐含波动率形状的“相变”：当P6=1/2时，隐含波动率的形式为√ti（x）=p2 | x |+常数+O（| x）|-1/2); 当p=1/2时，常数消失，表达式减小到√ti（x）=p2 | x |+O（|x|-1/2）在条件（3.5）（i）下。在后一种情况下，“标准化”隐含波动率的收敛速度I（x）√T/p | x |达到极限√是|x|-1代替| x|-1/2.o （3.4）中累积分布函数F所起的作用突出了零质量情况下无质量的根本差异。在经典的左尾翼公式[3]中，√ti（x）~p | x | sψ-对数F（Kx）|x|, 作为x↓ -∞, （3.9）其中ψ在（1.2）中定义。注意，cdf（Kx）的对数出现在公式中，而不是（3.4）中的cdf本身。

在许多随机波动率模型中，如Heston和Stein-Stein，股票价格的cdf满足[21,13]，F（Kx）=A e-α| x |+α√|x | | x |γ（1+O（| x|-1/2）作为x↓ -∞, （3.10）对于某些常数A，α，α>0和γ∈ R.因此，-对数F（Kx）/|x |=α+O（|x|-1/2）和（3.9）返回–预期的–前导订单平方根行为I（x）~pψ（α）|x |（s）子项当然可以使用精确的渐近性（3.10），如[13,15]中所述；进一步讨论请参见下面的备注4.3）。对于任何分配，F（Kx）- F（0）表现为（3.10）的右侧，阶数等于或低于F（Kx）- F（0）=O（e）-（3.4）中的α| x |）比|x快得多|-1/2期限。备注3.8（关于限制（3.6））。[25]中的引理3.3断言存在x*以至于√ti（x）-p2 | x |<0表示所有x<x*当且仅当0≤ p<1/2。根据估算（3.6），差异√ti（x）-p2 | x |在0<p<1/2时收敛为负常数，在p>1/2时收敛为正常数，在p=1/2时收敛为零。带有绝对值的扩散模型，如第5.3.1节中的CEV模型，案例p≈ 0对应小T，而p的大值（接近1）对应大T。Fukasawa[14]的预印本中也出现了限制（3.3），但该论文的出版版本中没有提到，限制（3.6）出现在Tehranchi[31]的会议介绍中。我们感谢两位作者向我们指出了这一点，并感谢迈克·特兰奇为我们提供了他（3.6）的证据。orem 3.6的证明基于以下两个引理。引理3.9。让R（K）≡ K-1P（K）- p、 对于K>0。那么R（K）=KRK（F（y）- F（0））dy.尤其是，0≤ R（K）≤ F（K）- F（0）表示所有K>0。证据我们有R（K）=KP（K）- p=KRKF（y）dy- F（0）=KRK（F（y）- F（0））dy。最终估计值R来自于F的单调性。引理3.10。

如果p=0，那么d（x，I（x））→ +∞ 作为x↓ -∞. 如果p>0，则存在一个函数φ：(-∞, 0) → (0 , ∞) 这样lim supx↓-∞~n（x）p2 |x |≤ 1，且以下估算值为x↓ -∞:d（x，I（x））=-Q- 等式φ（x）-√2πKxeqZKx（F（y）- F（0））dy+O|x|+ O（F（Kx）- F（0））.备注3.11。极限极限↓-∞d（x，I（x））=-q在[27，定理1]中给出，前提是I是可微的，并且导数在-∞ （见他们的假设1）。后来，Fukasawa[14]证明，在没有这些假设的情况下，极限是成立的。引理3.10的证明。身份CBS(-x、 I（x））=Eh1.-E-xSTS+我跟随看跌期权平价。然后，对于每x<0，N（d(-x、 I（x））=CBS(-x、 I（x））+e-xN（d）(-x、 I（x））=P（ST=0）+E“1.- E-xSTS+{ST>0}#+e-xN（d）(-x、 I（x））=p+R（Kx）+（x），（3.11），其中R（·）定义在引理3.9和（x）中≡ E-xN（d）(-x、 I（x）））。通过算术等式，d(-x、 I（x））=-|x | I（x）√T-I（x）√T≤ -p2 | x |，因此为0≤ ~n（x）≤ E-xN(-p2 | x |）。展开式N（z）=N（z）-Z-1+OZ-3., 正如z倾向于-∞ 收益率e-xN(-p2 | x |）=√2π√2 | x |+O|x|-3/2, 还有thereforelim supx↓-∞~n（x）√2πp2 | x|≤ 1.（3.12）现在使用d（x，I（x））=-d(-x、 I（x）），它允许从（3.11）和引理3.9↓-∞N(-当p=0时，d（x，I（x））=0，因此d（x，I（x））发散到+∞. 如果p6=0，我们得到d（x，I（x））=-N-1（p+R（Kx）+~n（x））=-N-1（p）- n（n）-1（p））-1[R（Kx）+~n（x）]+O（R（Kx））+O（（x））=-Q- eq/2√2π洎（x）- eq/2√2πR（Kx）+O（F（Kx）- F（0））+ O|x|-1.,我们在引理3.9中使用了R的界，在最后一步中使用了估计（3.12）。所声称的es Timate是通过以下设置获得的：≡√使用引理3.9中的R表达式。定理3.6的证明。我们首先证明极限（3.3）。假设p=0。估计值（3.11）意味着每M>0，我们就有d(-x、 I（x））=xI（x）√T+I（x）√T<-M代表x足够小，或者I（x）√T<-M+pM+2 | x |。

因此（3.3）如下所示，每M>0:lim supx↓-∞I（x）√T-p2 | x|< -M+lim supx↓-∞（pM+2 | x）|-p2 | x |）=-M.我们现在来证明（3.4）。为了简单起见，我让我们代写d（x，I（x））。根据don第3页的定义，I（x）满意度I（x）=√T-d+qd- 2x=2 | x | p2 | x | T+td+√T d，所以√ti（x）-p2 | x |=2 |x |-p4x+2 | x | dp2 | x |+d+d-p2 | x | dp2 | x |+d+d=：A（x）- B（x）。（3.13）扩展Pf（x）-pf（x）+g（x）=-g（x）√f（x）+O（g（x）f（x）3/2）当f（x）时↑ ∞ g=o（f），加上q2 | x |+d+d-1=p2 | x | 1-dp2 | x |+O|x|-1.!, 作为x↓ -∞, （3.14）让我们看到，当x趋于-∞,A（x）=-d+O|x|-1.p2 | x | 1-dp2 | x |+O|x|-1.!= -dp2 | x |+O|x|. （3.15）另一方面，limx↓-∞B（x）=limx↓-∞d=-Q然后考虑B（x）+q=B（x）+B（x），其中B（x）≡qdp2 | x |+d+d，B（x）≡ h（x）d+qs1+d2 |x |！，和h（x）≡√2 | x|√2 | x |+d+d。使用（3.14），一个人有B（x）=qd√2 | x |+O（|x|-1） 作为x↓ -∞. 此外，sinc-ed+qs1+d2 |x |=-qd4 | x |+|~n（x）+O（|x|-2） ，式中为▽（x）≡ d+q=O（|x|-1/2）通过引理3.10，我们得到b（x）=1-dp2 | x |+O|x|-1.!-qd4 | x |+|~n（x）+O（|x|-2)= ~n~n（x）-qd4 | x |+Ok（x）|x|-1/2.最后，将（3.15）、对B（x）的估计和对B（x）的估计放在一起，从（3.13）可以得出：√ti（x）-p2 | x |- q=A（x）- （B（x）+B（x））=-dp2 | x|d+q- ~n~n（x）+Ok（x）|x|-1/2+ O（| x）|-1） =q- k（x）p2 |x|q+k（x）- ~n~n（x）+Ok（x）|x|-1/2+ O（| x）|-1） =qp2 | x|- k（x）+O（|x）|-1） ，作为x↓ -∞. 现在根据引理3.10，设定χ（x），对I（x）的估计如下≡Q-p2 | x | |~n（x）=q+eq/2p2 | x |~n（x），式中，在表3.10.4中给出了隐含挥发性的定义公式。估计值（3.7）和（3.8）包含一个全局O（|x）|-1/2）错误项。在本文的第一个版本出现后不久，Gulisashvili[19]证明了当股票价格在原点有一个mas s，且O（| x）更强时，Mile左翼的扩张是相似的，尽管略有不同|-3/2）任期。

假设f（K）- F（0）=O|日志（K/S）|-3/2作为K↓ 0，（4.1）Gulisashvili[19，推论8]证明了扩张√ti（x）=p2 |x |+U（x，·）-1（p）+（U（x，·）-1（p）p2 | x |+O|x|-3/2, 作为x↓ -∞, （4.2）函数U由U（x，z）定义≡ N（z）-n（z）/p2 | x |。很容易检查，对于每个x6=0，反函数U（x，·）-1在区间（0,1）上定义良好。在[4]中，证明了第一个定理（x）到[6]的相似性-1（p）被U（x，·）取代-1（P（Kx）/Kx），不假设（4.1）。在条件（4.1）下，公式（4.2）作为推论如下。（4.2）和低阶展开式（3.7）-（3.8）之间的主要区别在于术语U（x，·）的x依赖性-1（p）是不明确的。我们将从两个方向重新定义（4.2）：1。我们提供了一个与（4.2）具有相同精度的ex-plic it渐近公式（4.6）；通过“显式”，我们指的是这样一个事实，即我们的最终表达式是p | x |的幂的扩展，具有显式系数。2.我们估计了o前面的常数|x|-3/2错误术语。下面的结果定义了[19，定理6]。定理4.1。助理∈ (0, 1). 回想引理3.9中定义的函数R（·），并设置R（x）=R（Kx），因此R（x）=KxRKx（F（y）- F（0））dy.以下展开式适用于任何x<0:I（x）√T=p2 | x |+U（x，·）-1（p+r（x））+U（x，·）-1（p+r（x））p2 |x|+a（x）-U（x，·）-1（p+r（x））√|x | 3/2+o|x|-3/2,其中函数a（·）是a（x）≤ 0表示足够小的x，而lim infx↓-∞a（x）≥ -A（q）≡ -3q+2√eq/2。证据集合u（x）≡ U（x，·）-1（p+r（x））和uε（x）≡ U（x，·）-1.p+r（x）-Bε| x | 3/2, 其中Bε=3q+2+ε√π. [19，定理12]给出了以下估计：对于每一个ε>0，存在xε，使得√q | x |+h2，ε（x）≤√ti（x）≤√p | x |+h（x），（4.3）对于所有x<xε。

（4.3）中的函数hand h2，ε定义如下：h（x）=u（x）p2 | x |+u（x）+u（x），h2，ε=uε（x）p2 | x |+uε（x）+uε（x）。通过将卖出价格PBS（x，I（x））与两个适当选择的卖出价格PBS（x，I（x））和PBS（x，I（x））进行比较，证明了[19]中的估计（4.3）。步骤1（估计（4.3）中上下限之间的差异）。我们首先估计u（x）和uε（x）之间的差异。根据中值定理，存在ξ∈ （u（x，uε（x））使得u（x，u（x））- U（x，Uε（x））=zU（x，ξ）（u（x）- uε（x）），其中zU（x，z）=n（z）1+z√2 | x|. 不难理解U（x，·）-1（p）→ N-1（p）=q为x↓ -∞. 接下来，我们观察函数U（x，·）-1是局部Lipschitz（0，1），在（0，1）的任何固定子区间上，Lipschitz常数独立于x。由于r（x）收敛到零，因此u（x）趋向于q a，uε（x）趋向于q as x↓ -∞. 总的来说，ξ收敛到q，所以u（x）- uε（x）=zU（x，ξ）Bε| x | 3/2~n（q）Bε| x | 3/2=Aε|x | 3/2as x↓ -∞,式中Aε=3q+2+ε√eq/2。顺便说一句，我们修正了[19，方程（2.5）]中uε定义中的符号错误，其中uε（x）≡ U（x，·）-1.p+r（x）+Bε| x | 3/2.自U（x，·）-1随着（0，1）的增加，后一种定义意味着小x的uε（x）>u（x）。这意味着h2，ε（x）>h（x），与（4.3）不一致。uε的正确定义取决于[19，定理12]的证明。现在，我们估计了函数h2和ε之间的差异。我们已经在上面证明了u和uε都是有界的-∞. 利用泰勒展开√1+y=1+y+O（y）作为y→ 0，我们有h（x）- h2，ε（x）=p2 | x | u（x）s1+u（x）2 |x|- uε（x）s1+uε（x）2 | x |！+u（x）- uε（x）=p2 |x|u（x）- uε（x）+u（x）- uε（x）4 | x |+O（|x|-2)+ O（u（x）- uε（x））=√2Aε（q）|x |（1+o（1））。最后，我们可以在（4.3）中估计上下限之间的差异。