极限条件下买卖价差和价格动态的连续时间模型

市场数据表明，尽管收到的限价订单集中在出价或askprice（根据Bouchard等人[2]），但有一半的限价订单具有相对的成交价格-1、0和1），它们在订单簿上广泛分布，相对价格的尾部，无论是买入还是卖出，都可以用幂指数u>0的幂律很好地近似（即，订单与最佳报价之间的比例与1/（c+i）UF成比例，对于某些c>0）。Bouchard等人[2]、Potters和Bouchard[17]以及Zovko和Farmer[21]报告的不同金融市场的指数波动，其值为∈ （1，3）。还观察到，相对价格分布在买卖双方基本上是对称的。此外，经验观察还表明，大部分限价卖出（和买入）订单聚集在接近买卖（和买入）价格的地方，如涉及U的第一项所述（见假设2下的备注1）。我们直接选择价格收益分布的参数族，以匹配书中订单分布的经验特征，因此这里隐含地假设cp=1。该参数可以调整，以更好地反映经验价格回报分布的尾部行为。我们继续根据（8）在不同参数下给出的渐近近似值（`s（·）、M（·））模拟价差和中间价过程。然后，我们根据模拟数据计算价差的平稳分布和中间价收益的波动过程。计算结果表明，根据我们的LOB模型得出的价差和中间价（8）的联合跳跃扩散动力学可以捕捉Wyart等人[19]、Gould等人[9]和其中的参考文献中所报告的实际价差和价格数据中的几种风格化特征。传播的平稳分布：在Wyart等人。

[19] ，作者从菲律宾证券交易所的市场数据研究了交易前的价差大小，他们发现价差的平稳分布接近指数分布，而在其他一些市场，价差的平稳分布符合幂律。我们根据（8）模拟了扩散过程（·），并估计了平均值E[(∞)] 和标准偏差标准(∞)] =pEπ[（\'s(∞) -E[\'s(∞)])] 在其平稳分布下的传播。特别是，我们通过模拟的路径平均值（·）来估计平稳分布下的期望值。结果如表3所示，并表明平均值E[\'s(∞)] 接近标准偏差标准(∞)].图1比较了参数集（b）下的利差模拟利差数据的经验分布和具有相同平均值的指数分布。虽然“s”的静态分布大致符合指数分布，其平均值与图1（a）所示相同，但其尾部比指数重得多，类似于图1（b）所示的幂律尾部。直觉上，极限扩散过程（8）是一个带跳跃的反映布朗运动。

有鉴于此，有人可能会说，价差的平稳分布可以很好地近似为指数分布和幂律分布的混合，因为折射布朗运动允许指数平稳分布，跳跃大小遵循幂律分布。uβξrμγE[\'s(∞)] 性病(∞)]（a） 2.8 0.25 0.02 0.25 6.75 0.1704 0.2068（b）2.3 0.25 0.02 0.25 6.75 0.1812 0.2273（c）2.8 0.5 0.025 0.25 6.75 0.0957 0.1056（d）2.8 0.25 0.02 0.5 4.5 0.1576 0.1663表3：不同参数集下平稳性的平均值和标准偏差。ρ=0.02和u=9对于情况（a）到（d）是相同的。利差与波动性之间的相关性：我们研究了利差与每笔交易中间价收益波动性之间的关系，如Wyart等人[19]所述。在他们的论文中，根据经验数据计算每笔交易的中间价格回报的波动率σ=qPNi=1（mi- 惯性矩-1） /N，其中N是观察到的交易数量，Mi是每笔交易的中间价格。他们发现σ与平稳分布E[\'s]中的平均价差之间存在很强的线性关系(∞)].我们的模型还捕捉了中间价收益波动率与每笔交易差价之间的线性关系。为了了解这一点，我们首先根据（8）模拟（\'s（·），\'m（·））。由于（\'s（·），\'m（·））是交易到达率→ ∞, 我们通过^σ=limn来估计每笔交易的中间价格回报的波动率σ（高达一定的恒量）→∞nnXk=1（°m（k（t）- \'m（（k- 1)t） )/t、 我们选择t=0.1时间单位。我们将^σ计算为模拟路径的路径平均值¨m（·）。我们还计算了E[\'s(∞)] 每一次的平均路径t=0.1时间间隔单位。表4中报告的模拟结果表明，E[\'s]之间存在线性关系(∞)] 以及Wyart等人[19]中发现的σ。

试探性地，如果没有（8）中的跳跃部分，\'s（·）变成了一个具有漂移ξβ和方差系数ξru/3的一维反射布朗运动，而中间价格只是一个具有方差系数ξru/3的布朗运动。众所周知，（a）（b）图1:suξruβuγE[”的幂律衰减尾(∞)] ^σ1 2.8 0.08 0.25 12 0.25 9 0.1704 0.08222 2.8 0.4 0.25 12 0.25 9 0.7934 0.40743 2.8 0.8 0.25 12 0.25 9 1.5862 0.81693 2.3 0.08 0.25 12 0.25 9 0.1812 0.08854 2.3 0.08 0.5 6 6 0.25 3 0.1696 0.08485 2 0.75 4 0.25 1 0.1559 0.0812(∞)] 不同参数下的σ。反射布朗运动的平稳分布是指数分布，可以计算出^σ=ξru/（6β）。此外，在没有跳跃的情况下，我们可以清楚地评估^σ=ξpru/3。因此，平均价差和平均波动率具有形式为E[\'s]的线性关系(∞)] = l×^σ与l=√ru/（2β）√3） 。在表4中，我们选择了不同的参数集√ru/（2β）√3) ≡ 2可以检查估计的平均值E[\'s(∞)] ≈ 2^σ，因此对于这个特定的性能度量，跳跃对我们探索的参数范围的影响实际上相对较小。波动率聚类：跳跃扩散极限（8）还捕获了一系列实证研究（见G.2 Ingold等人[9]）中报告的极限订单数据中的波动率聚类特征。为了了解这一点，我们将中间价过程中的波动性度量为每10个单位长时间窗口内每0.1个单位时间的中间价回报的标准偏差。最后，我们根据模拟的中间价格过程m计算出时间序列∑（t）为∑（t）=VuTxi=1（m（10t+0.1i）-Xj=1英寸（10t+0.1j））。为了说明波动率聚类，在图2中，我们比较了我们计算的波动率的原始时间序列及其随机排列。

在原始时间序列中，峰值聚集在一起，而在置换时间序列中，峰值沿时间均匀分布。6附录：技术证明在本节中，我们按照结果呈现的顺序提供所有技术证明。6.1定理1的证明是定理1的证明。在这个证明中，我们将遵循库尔茨[13]中使用的符号。定义（·）=（\'an（·），\'bn（·））∈ Z.定义Yn（·）=（Yin（·）：i∈ Z）∈ Z∞, 式中，Yin（t）等于第n个LOB系统时间t内价格指数i上的限价卖出订单数（或减去限价买入订单数）。我们分别用e和Z表示空间∞它们被赋予了离散拓扑结构。然后，{（Xn（·），Yn（·））}是存在于乘积空间E×E中的一系列随机过程。注意，对于每个n，（Xn（·），Yn（·））是一个具有可数状态的连续时间马尔可夫链。让{Fnt}成为与（Xn（·）、Yn（·））相关的自然过滤。然后，我们可以检查任何f∈ C（E），f（Xn（t））-Zt2u（f（a（Yn（s）），b（Yn（s）））- f（Xn（s））ds，f（Xn（t））-ZtAf（Xn（s），Yn（s））ds 图2：模拟数据中已实现中间价收益的波动率聚类是关于{Fnt}的鞅。这里是函数a:R∞→ R只是在时间s时的订单要价，更准确地说，a（Yn（s））=min{i:Yin（s）>0}。功能b（·）可以用类似的方式定义。也可以检查任何g∈ C（E），g（Yn（t））-ZtXiξnhλp（i；Xn（s））g（Yn（s）+e\'an（s）+i）+g（Yn（s）+e\'bn（s）-（一）- 2g（Yn（s））+ α（i；Xn（s））元安（s）+in（s）（g（Yn（s）- 易安（s）+i- g（Yn（s））+Y’bn（s）-in(s)(g)(Yn)- 十亿欧元-（一）- g（Yn（s）））ID，g（Yn（t））-ZtξnBg（Xn（s），Yn（s））也是鞅。由于（2）的正则性条件，{Xn（·）}是紧的。因此，{Xn（·）}的每个子序列都允许一个子序列弱收敛到某个子极限过程x（·）。

然后根据定理2.1和Kurtz[13]中随后的例子2.4，每个子过程X（·）=（^a（·），^b（·））是鞅问题f（X（t））的解-ZtZEAf（X（s），y）πX（s）（dy）ds，（9）在这个意义上，由（9）定义的随机过程是一个鞅。此外，在表达式（9）中，πX（s）（·）是随机过程Y的唯一平稳分布∈ 哪些满足了马尔廷格尔问题（Y（t））-ZtBg（x，Y（u））du。在我们的例子中，πx（·）是LOB系统在参数{p（i；x），α（i；x）}下的平稳分布。现在我们计算在（9）中，ZEAf（X（s），y）πX（s）（dy）=Xi，ju（f（^a（·）+i，^b（·）+j）- f（^a（·），^b（·）））πX（s）（a（y）- ^an（s）=i，b（y）-^bn（s）=-j} ）=Xi，ju（f（^a（·）+i，^b（·）+j）- f（^a（·），^b（·））[θ（i；^a（t），^b（t））- θ（i+1；^a（s），^b（s））×θ（j；^a（s），^b（s））- θ（j+1；^a（s），^b（s））]。我们可以检查鞅问题（9）是否有唯一的解X（·），例如参见第4章。4在Ethier和Kurtz[8]中。特别是，X（·）=（^a（·）、^b（·））在分布上等同于跳跃强度为2u且跳跃大小分布为p的跳跃过程^a（t）- ^a（t）-) = i、 ^b（t）-^b（t）-) = j|^a（t-),^b（t）-)= [θ（i；^a（t）]-),^b（t）-)) - θ（i+1；^a（t）-),^b（t）-))] ×θ（j；^a（t）-),^b（t）-)) - θ（j+1；^a（t）-),^b（t）-))].由于{Xn（·）}是紧的，并且它的每个收敛子序列都允许相同的极限X（·），我们可以得出{Xn（·）}弱收敛到X（·）。6.2定理2的证明现在让我们描述定理2证明的路线图。我们首先构造一些辅助过程（~Sn（·），~Mn（·））与底层过程（\'Sn（·），\'Mn（·））生活在同一概率空间中。辅助过程是一个方便的马尔可夫过程，其生成器可以分析得出弱收敛到假定的极限跳差（8）。

除了在边界层集合[0,2]上，辅助过程与目标过程具有相同的动力学特性/√n] x R.我们还表明，这两个过程在边界层上花费的时间很小，因此，它们在边界上的不同动力学引起的差异也很小。实际上，这种差异可以忽略不计→ ∞ 因此，目标过程收敛到同一个极限过程。首先，我们以逐路径的方式定义辅助过程与目标过程。回想一下，根据假设6和（7），我们可以写（\'sn（tk+1）=\'sn（tk）+na（`sn（tk））∨ ([-\'sn（tk）/2δ]δ+nb（`sn（tk））∨ ([-\'sn（tk）/2δ]δ，\'mn（tk+1）=\'mn（tk+na（（\'sn（tk）））∨ ([-\'sn（tk）/2δ]δ）-nb（`sn（tk））∨ ([-\'sn（tk）/2δ]δ）。现在我们将辅助过程（~Sn（·），~Mn（·））与（~Sn（·），~Mn（·））耦合定义为（~Sn（tk+1）=~Sn（tk）+(na（~Sn（tk））+nb（~Sn（tk）））∨ (-~Sn（tk）），~Mn（tk+1）=~Mn（tk+na（~Sn（tk）））- nb（~Sn（tk）），（10）初始条件为~Sn（0）=\'Sn（0）和~Mn（0）=\'Mn（0）。那么这一节定理2的主要结果是以下两个命题的直接推论。提议2。辅助过程（~Sn（·），~Mn（·））弱收敛于（8）给出的极限过程。提议3。差异过程\'\'序号（·）-~Sn（·），~mn（·）-~Mn（·）对于任何t<∞.命题3的证明。为了简单起见，我们假设ξ=1，否则我们可以用常数ξ除以S，M和S，\'M。假设Vak≤ c代表一些c≥ 1.一般情况下，可以使用截断来处理，因为在O（1）时间内只有一个泊松数的跳跃。现在，让我们首先给出差异sn（·的界限）-~Sn（·）。对于固定n，我们定义n（t）=P{j:tj≤t} （Iaj+Ibj），直观地N（t）对应于极限过程从时间0到时间t的跳跃次数。现在我们通过归纳证明0≤ \'-sn（tk）-~Sn（tk）≤（1+c）N（tk）- 1.·√N

（11） 当t=0时，我们得到了Sn（t）=s（t）。现在假设关系（11）在时间tk时成立-时间tk有两种情况，情况1）：N（tk）=N（tk-1） 例2）：N（tk）>N（tk）-1).首先让我们考虑当N（tk）=N（tk）时的情况-1). 在这种情况下，我们知道na（`sn（tk-1)) =na（~S（tk）-1)) := NAI独立于“sn”（tk-1） 和Sn（tk-1). 另外，请记住|na（tk）|≤1/√n、 现在我们可以写出差异过程的增量（`sn（tk）-~Sn（tk））- （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1))= 不∨ ([-\'sn（tk）/（2δ）]δ+nb∨ ([-\'sn（tk）/（2δ）]δ）-(na+（注）∨ (-~Sn（tk）-1)). （12） 因此，如果¨sn（tk-1) ≥~Sn（tk）-1) ≥ 2/√n、 我们有（sn（tk）-~Sn（tk））- （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1)) = na+nb- (na+nb）=0，因此¨sn（tk-1) -~Sn（tk）-1） =`sn（tk）-~Sn（tk）。如果¨sn（tk-1) ≥ 2/√N≥~Sn（tk）-1) ≥ 0，我们有（`sn（tk）-~Sn（tk））- （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1))= na+nb- (na+（注）∨ (-~Sn（tk）-1)) = -（~Sn（tk）-1) + na+（注）-≤ 0.因此，`sn（tk-1) -~Sn（tk）-1) ≥ \'-sn（tk）-~Sn（tk）≥√N- （~Sn（tk）-1) + na+（注）≥ 否则，我们只有0≤~Sn（tk）-1) ≤ \'-sn（tk）-1) ≤ 2/√n、 在这种情况下，可以检查任何固定的Sn（tk）=s和Sn（tk）=s，差异过程（12）的增量是否达到其最大值na=-1//√n和nb=-~s+/√n及其最小值na=nb=-[s/2δ]δ。因此，~s- s≤\'-sn（tk）-~Sn（tk）-\'-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1)≤ 0∨(√N-s- )s）。如果插入<<Sn（tk）=s和>>Sn（tk）=s，我们得到了0≤ \'-sn（tk）-~Sn（tk）≤ （s）- ~s）∨(√n+s）≤ （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1)) ∨√n、 最后一个不等式为s=`sn（tk-1) ≤ 2/√n、 总之，我们证明了当n（tk）=n（tk-1） ，如果关系（11）在时间tk时成立-1.时间tk也是如此。现在如果N（tk）≥ N（tk-1） +1，直觉上，至少有一个跳跃发生在纳兰注意。

如果Iak=1，则我们有Sn（tk-1） ）=IakVak[~Sn（tk）-1） /（2δ）]δ，以及na（`sn（tk-1） ）=IakVak[`sn（tk）-1)/(2δ)]δ.如果另外Ibk=1，则nb（~Sn（tk-1） ）=IbkVbk[~Sn（tk）-1） /（2δ）]δ，以及铌（锡）（锡）-1） ）=IbkVbk[\'sn（tk-1） /（2δ）]δ，因此，\'sn（tk）-~Sn（tk）≤ （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1） ）（IakVak+IbkVbk+1）/2。As0≤ Vak+Vbk+1≤ 2c+1和0≤ \'-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1) ≤ （（c+1）N（tk）-1)- 1) ·√n、 根据归纳假设，我们有0≤ \'-sn（tk）-~Sn（tk）≤ （（c+1）N（tk）-1)- 1） （2c+1）·√N≤ （（c+1）N（tk）- 1) ·√n、 如果Ibk=0，则遵循与n（tk）=n（tk）类似的参数-1） ，我们有\'sn（tk）-~Sn（tk）≤ （-sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1） ）（Vak+1）+（sn（tk）-1) -~Sn（tk）-1)) ∨√n=（（c+1）n（tk）- 1) ·√nas c≥ 1.综上所述，我们通过归纳法证明了<<Sn（·）和<<Sn（·）之间的关系（11）。现在，让我们来看看差异-~Mn（·）。实际上，`mn（t）-~Mn（t）可分解为两部分，~Mn（t）-~Mn（t）≤X0≤K≤[nt]：N（tk+1）=N（tk）[na（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -nb（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -(na（tk）- nb（tk））]+N（t）Xi=1（[\'sn（tk-1)/(2δ)]δ - [~Sn（tk）-1） /（2δ）]δ（IakiVaki+IbkiVbki），其中{tki}是跳跃时间。我们将两个求和部分表示为“mn（t）-~Mn（t）=n（t）+n（t）。凭直觉，n（t）是当Iak=Ibk=0和n（t）是与跳跃相对应的误差。

在总结部分n（t），我们写na（`sn（tk））=na（~Sn（tk））=na（tk），因为当Iak=Ibk=0时，它们独立于“sn”（tk）和＠sn（tk）。遵循与“sn”相同的归纳论点-~Sn，我们可以证明跳跃引起的错误n（t）满足于n（t）≤ （（1+2c）N（t）- 1) ·√n、 另一方面，请注意n（t）等式x0≤K≤[nt]：N（tk+1）=N（tk）[na（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -nb（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -(na（tk）- nb（tk））]=X0≤K≤[nt]：N（tk+1）=N（tk）[(na（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -na（tk））- (nb（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -nb（tk））]。自从na（tk）和nb（tk）是独立的，且分布相同，我们对任何k都有≥ 1E[n（tk）- n（tk-1） |Fntk]=P（N（tk）=N（tk）-1） ）·（E）[na（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -na（tk）]-E[nb（tk）∨ （[°sn（tk-1)/(2δ)]δ) -nb（tk）]=0，其中Fntkis是由{na（ti），nb（ti），~Sn（ti）}ki=1。因此，这个过程n（·）是过滤Fn下的阿马丁格尔。此外，作为|na（tk）|≤ 1/√n当n（tk）=n（tk-1） ，我们有|n（tk）- n（tk-1)| ≤√镍（锡）合金-1) <√n） 。二次变异[n] （t）≤n[nt]Xi=0I（`sn（ti）<√n） 。回想一下，我们已经证明了“sn（·）”≥~Sn（·）[n] （t）≤n[nt]Xi=0I（~Sn（ti）<√n） 。从2号开始/√N→ 0，对于任何ζ>0的情况，我们有limn→∞[n] （t）≤ 画→∞ZtI（~Sn（u）<ζ）du≤ 画→∞Ztfζ（~Sn（u））du，其中fζ（·）是R+上的光滑函数，且满足f（x）=1的所有0≤ 十、≤ ζ, 0 ≤ f（x）≤ 1对于ζ≤ 十、≤ 当x>2ζ时，2ζ和f（x）=0。（例如，这种函数可以通过卷积来构造。）由于fζ（·）是有界的，且Sn（·）弱收敛于极限过程（8），我们得到了limn→∞E[[n] （t）]≤ 画→∞4E[Ztfζ（~Sn（u））du]=4E[Ztfζ（\'s（u））du]≤ 4E[ZtI（美国）≤ 除了ζ············································≤ 2ζ)] → 0为ζ→ 0