极限条件下买卖价差和价格动态的连续时间模型

此外，这种差异在高流动性股票（如美国银行）和低流动性股票（如CME集团）中都很普遍。在我们的渐进机制中，我们将采用相对于市场指令流（或交易发生率）的限制指令流相对较快的速度。表1:2010年4月纽约证券交易所随机选择的50只股票在21个交易日的日均价格。每日最佳报价更新次数每日美国贸易银行1529395 15008CME Group 38504 1412平均值223132 4552经验观察2：短暂订单和高取消率。由于近年来算法交易的盛行，限额指令的取消率急剧上升。在最近对纳斯达克INET数据的研究中，Hasbrouck和Saar[10]比较了1990年、1999年和2004年的数据，发现取消率大幅上升，而Hautsch和Huang[11]发现，2010年数据中约95%的限额订单被取消，如表2所示。正如这项经验性工作所表明的，取消率高可归因于很大一部分“见票”限额订单，这些订单通常放在价差内，如果不执行，则立即取消。例如，Hautsch和Huang[11]报告称，在2010年纳斯达克数据中，市场指令的平均到达时间约为7秒，而价差内限制指令的平均取消率不稳定2：纳斯达克10只股票在未（部分）执行的情况下取消的限制指令的百分比。样本于2010年10月采集，覆盖21个交易日。GOOG ADBE VRTX WFMI WCRX DISH UTHR LKQX PTEN STRA97。52 92.57 93.82 95.25 92.83 94.56 95.54 96.62 91.62 95.57比0.2秒长。然而，在传播范围之外的限制指令更具耐心。

在我们的模型中，我们假设到达率和取消率远远高于市场订单的到达率。回想一下{tk:k≥ 1} 是市场订单（双方）到达时间的顺序。我们现在讨论每交易增量（a（tk+1）的要价分布-“a（tk））。关于每个交易增量的投标价格分布的类似结果（`b（tk+1）-“b（tk））之后是对称。请注意，以下事件标识包含{a（tk+1）- \'a（tk）≥ iδ}={相对价格低于iδ的队列在tk+1}时都是空的。设θ（iδ；a，b）=Pπ（相对价格低于iδ的队列都是空的），其中π是与每个类（都是独立的）相关的底层有限服务器队列的平稳分布。第i个队列具有到达率λp（iδ；\'a（tk），\'b（tk））和取消率α（iδ；\'a（tk），\'b（tk））。已知到达率为λp（iδ；\'a（tk），\'b（tk））和服务率为α（iδ；\'a（tk），\'b（tk））的有限服务器队列的平稳分布是泊松分布，参数为λp（iδ；\'a（tk），\'b（tk））/α（i；\'a（tk），\'b（tk）），因此我们有θ（iδ；\'a（tk），\'b（tk））=exp-我-1Xjδ≥-（\'a（tk）-\'b（tk）/2λp（jδ；\'a（tk），\'b（tk））α（jδ；\'a（tk），\'b（tk））. （1） 由于经验观察1表明λ>>u较大，而经验观察2表明α（·）>>u较大，我们通常可以通过队列的相关稳态分布来近似时间tk+1（给定时间tk时系统的状态）的队列长度分布。更准确地说，我们期望近似值P（`a（tk+1）- \'a（tk）≥ iδ| a（tk），\'b（tk））≈θ（iδ；\'a（tk），\'b（tk））保持。该启发式在以下定理中变得严格，第6.1节给出的证明基于所谓的随机平均原理，见Kurtz[13]。

我们使用D[0，∞) 用[0]中的左极限函数表示右连续空间，∞) 用目的论（参考比林斯利[1]）来解释。定理1。考虑一系列以n为索引的LOB系统。在第n个系统中，订单簿中的订单总数由qn=q<∞, 这些订单在订单簿中的分布假定满足‘an（0）=an（0）=a和‘bn（0）=bn（0）=b。我们假设市场订单的到达率满足un=u，并且传入限制订单的分布为n（·；·，·）=p（·；·，·）（即沿系统序列的常数）。假设存在一个正数序列{ξn:n≥ 1} 使得λn=ξnλ，αn（·）=ξnα（·）和ξn→ ∞ 作为n→ ∞. 我们还假设，对于任何（a，b）∈ 兹利米→∞θ（iδ；a，b）=0。（2） 然后相应的价格过程（\'an（·），\'bn（·））在D[0]中弱收敛，∞) 到一个纯粹的跳跃过程（^a（·），^b（·））。该过程（^a（·）、^b（·））在与速率为2u的泊松过程的到达相对应的时间跳跃。跳跃的大小不是独立的，特别是，如果t是跳跃时间，那么t处的跳跃大小是分布p之后的随机向量^a（t）- ^a（t）-) = iδ，^b（t）-^b（t）-) = jδ|^a（t-),^b（t）-)= [θ（iδ；^a（t-),^b（t）-)) - θ（（i+1）δ；^a（t-),^b（t）-))] ×θ（jδ；^a（t）-),^b（t）-)) - θ（（j+1）δ；^a（t）-),^b（t）-))].注：正则性条件（2）不仅非常自然，而且很容易用p（iδ；a，b）和α（iδ；a，b）来验证，因为belowin方程（1）给出了θ（iδ；a，b）的显式公式。需要注意的是，在前面的结果中，我们将市场订单的到达率保持不变，因此该结果简单地描述了与市场订单的到达时间相对应的时间尺度上的价格过程（即，根据前面讨论的代表日期，以几秒钟的顺序）。

在第4节中，我们将引入一个比例，通过增加市场订单的到达率，我们可以在更长的时间范围（几分钟或更长）内考虑流程。定理1可以在不太复杂的情况下进行扩展，以包括市场订单到达中更复杂的动力学。例如，扩展我们模型的一种方法是允许交易者根据当前的买卖价格进行市场订单的定价。这种修改可以作为原始泊松过程的细化过程引入，细化率为2u，细化参数可能取决于观察到的买卖价格（a（·），b（·））。我们的模型扩展中可以包含的市场参与者之间的互动的其他例子包括买卖双方之间的相关性，以及市场订单到达率和价差宽度之间的依赖性。3.2联系价格增量分布和LOB分布我们现在将讨论定理1如何允许我们在每个交易过程的价格增量分布和LOB中的订单分布之间提供直接联系。

我们认为，这种联系虽然简单，但却非常显著，因为它构成了我们利用LOB中的信息预测价格演变的数据基础。我们假设取消率为下表。假设1。α（iδ；\'a（tk），\'b（tk））=λcp·p（iδ；\'a（tk），\'b（tk））对数（1-Pj≤我-1p（jδ；\'a（tk），\'b（tk）））- 日志（1）-Pj≤ip（jδ；\'a（tk），\'b（tk）），（3）其中cp>0是一个常数，我们称之为限价指令的耐心比，我们将马上看到它在限价指令流分布和价格回报之间的联系中起着重要作用。在这个假设下，通过（1）中的简单代数，我们得到以下结果。提议1。θ（iδ；\'a（tk），\'b（tk））=（1-Xj≤我-1p（jδ；\'a（tk），\'b（tk））cp，（4）因为θ（·；a，b）是价格回报的尾部，1-Pj≤·p（j；a，b）是收到的限价单的相对价格的尾部。命题1表明，价格回报继承了订单簿上限额订单流量分布的一些统计特性。在实际市场数据中，幂律尾在限价指令的相对价格和中间价格回报中报告，如下一小节所述。在我们的模型中，假设极限顺序流p（·；\'a，\'b）的分布具有指数v的幂律，换句话说，\'Fcp（iδ）=Pj≥ip（jδ；\'a，\'b）≈ （ciδ）-v、 那么，作为（4）的直接结果，我们有P（^a（t）- ^a（t）-) ≥ iδa，b）≈ （ciδ）-因此，价格回报率也遵循幂律，但指数cpv不同。对于cp>1，我们的模型恢复了真实市场中一个有趣的现象，即价格回报比Bouchard等人报告的限价订单的相对价格具有更细的尾部。此外，在我们的模型中，当限价订单更具耐心（CPI增加）时，价格回报有一个更薄的区间。

这与市场有更多流动性供应时价格波动性降低的事实一致（因为随着CPI的增加，限价订单在订单簿中的时间更长）。我们将对我们关于限价订单取消率的假设1作一些评论。虽然这一假设是为了数学上的可处理性，而且因为我们没有找到足够的数据来开发基于经验的模型，但它在一定程度上与经验观察一致。特别是，在假设1下，如Gould等人[9]和其中的参考文献所述，相对于相对价格iδ，抵消率正在降低。为了了解α（·；a，b）为什么会减少，我们假设p（iδ；a，b）≤ Aδ对于某个常数A>0。因为对于任何足够小的固定h>0和x>0，x/（对数（a+x）- 日志（a））≈ a、 我们有α（iδ；a，b）≈λcp（1）-Xj≤我-1p（jδ；a，b））当δ足够小时，因此它在iδ中减小。当a=1时-Pj≤我-1p（jδ；a，b）。在这种情况下，θ（·；a，b）与α（·；a，b）近似成比例，这意味着在iδ位置（即α（iδ；a，b））的长期限制指令的不耐烦程度与到达的市场指令（即θ（iδ；a，b））观察到的执行率成正比。因此，在位置iδ处平衡的给定极限指令在取消之前被执行的概率等于μθ（iδ；a，b）/（α（iδ；a，b）+μθ（iδ；a，b））≈ u/(λ + u).因此，从这个意义上说，所有限制指令执行不平衡的概率大致相同。3.2.1将价格增量分布与其他地区的LOB分布联系起来，我们通过简要讨论另一个渐进制度来结束本节。假设在相对价格iδ等于α（iδ，a，b）=α（常数）的情况下，每个订单的取消率——参见Cont等人[6]的例子。

然后我们可以检查多类队列的平稳分布变成θ（iδ，a，b）=∞Xl=0lYk=1λF（iδ，a，b）u+kα！-1.（5）所以，如果λn，un→ ∞ 以这样的方式λn/un→ 卡斯n→ ∞ 和αn/λn→ 0，那么我们得到θ（iδ，a，b）≈F（iδ，a，b）/c，并得出与命题1相同的结论，其中cp=1。因此，我们认为，通过命题1，我们在书中揭示的收益分配和订单分配之间的关系可能相对稳健。假设λn/un→ c、 不存在定理1中讨论的随机平均原理。然而，通过在适当选择的离散时间间隔内观察LOB和价格，可以得到价格增量分布为（5）的极限价格过程。4连续时间模型我们写的是\'s（t）=\'a（t）-“\'b（t）表示时间t时每笔交易的买卖价差。我们将在更长的时间尺度（几分钟或更长的顺序）内为价差动态建立一个精确的模型。如第2节所述，该模型将是离散价格传播过程的跳跃扩散极限。现在我们将介绍LOB中的相对价格分布，p（·；\'a（tk），\'b（tk））。我们应该直接对θ（·；\'a（tk），\'b（tk））进行假设，因为我们可以直接通过（4）在θ（·；\'a（tk），\'b（tk））和p（·；\'a（tk），\'b（tk））之间来回移动。我们将考虑一系列以n为索引的限价订单，以及它们的询标（每笔交易）价格过程{（\'an（·），\'bn（·））}。（\'an（·），\'bn（·））的动态特征是市场订单的到达率和价格增量。反过来，价格增量将根据辅助（利差相关）随机变量来定义，由na（`sn（tk））用于询价流程，以及nb（`sn（tk））用于购买价格流程。为了表示法的含蓄性，我们经常写na（tk）代替na（`sn（tk））（对于nb（tk））。

我们假设两者na（tk）和考虑到每笔交易的价差，nb（tk）具有相同的分布，因此我们只提供na（tk）在我们下面的假设中，这是由经验观察3推动的。假设2。（价格回报分布）第一个定义，na（`sn（tk））=（1- Iak）·(-1） Rak[乌克兰克朗]/(√nδ）]Iak[`sn（tk）Vak/（2δ）]δ（6）式中：i）Iakis-Bernoulli，P（Iak=1）=q对于某些q>0，ii）Uakis是一个随机变量，对ξ有[0，ξ]的支持∈ (0, ∞).iii）具有P（Rak=1）=（1+2β）的Rakis-Bernoulli/√n） /2对于某些β>0，iv）Vak是一个连续的随机变量，因此P（Vak≥ -1) = 1.v） 随机变量Iak、Uak、RAK和VAKAR相互独立（独立性被认为在k和优势a、b之间保持）。然后我们让（\'an（tk+1）=\'an（tk）+na（\'s（tk））∨ ([-\'sn（tk）/（2δ）]δ，\'bn（tk+1）=\'bn（tk）- nb（\'s（tk））∨ ([-这相当于假设θ（iδ，\'an（tk），\'bn（tk））=P(na（\'s（tk））∨ ([-\'sn（tk）/（2δ）]δ）≥ iδ）。备注：1。第一学期（1）- Iak）·(-1） Rak[乌克兰克朗]/(√nδ）]δ捕获的限价订单倾向于聚集在各自的最佳出价或要价附近；参数（1）-q）∈ （0，1）可以表示集中在最佳出价或要价附近的订单比例。正如前面所观察到的，这些订单相当于下订单总数的很大一部分，因此我们可以选择q≈ 0.2. 第二个术语Iak[`sn（tk）Vak/（2δ）]表示远离当前买入价或卖出价的限价订单。在第5节中，我们将选择Vakto，使其具有幂律衰减尾的密度Fv，这与经验观测结果一致（见经验观测3）。Wealso还假设了对“sn（tk）”的乘法依赖性，以捕捉（Bouchard等人[3]）3中报告的利差大小和收益分布可变性之间的正相关关系。

回想一下，我们的限价前模型假设中允许的最激进的价格波动是在中间价；这导致了cap∨([-出现在（7）中的“sn（tk）/（2δ）]δ），由此产生“an，”bn。4.Rak分布的不对称性允许我们在传播中引入漂移项，这将有助于诱导稳态分布的存在。我们将在第5节验证我们的模型相对于统计证据的稳态分布的某些特征。此外，我们对时间和空间比例进行了以下假设，这与经验观察1和2一致。为了进行重转换近似，我们考虑一系列以n为索引的LOB系统∈ Z+，这样在第n个系统中：假设3。（时间和空间尺度）1。每一方市场订单的到达率un=nu；2.刻度大小δn-→ 所以δn=oN-1/2或δn=n-1/2.3. 对于某些γ>0的情况，我们假设qn=γ/n。为了解释我们的比例，请注意，与组件解决Vakin（6）相对应的跳跃数是泊松速率γu，因此假设3的条件1有助于我们捕捉极限内的跳跃效应。我们考虑的缩放意味着存在两种类型的arrivinglimit订单，一种比另一种更频繁地到达，见假设3，第3部分。与假设2第1部分相关）。这种比例特征，再加上在整本书中执行订单的概率大致保持不变（如第3.2节末尾所述），导致了接近价差的更高取消率，这与经验发现一致。现在，我们准备好陈述我们对limitorder book通知的价差和价格动态的结果。定理2。对于第n个系统，设\'sn（t）=\'an（t）-\'bn（t）为价差过程，\'mn（t）=\'an（t）+\'bn（t）为平均价格的两倍。

假设（\'sn（0），\'mn（0））=（s，m）。然后，在假设1-4下，这对过程（\'sn，\'mn）∈ D（[0，∞), R+×R）弱收敛于（\'s，\'m）∈ D（[0，∞), R+×R），其中（\'s（0），\'m（0））=（s，m），使得（d\'s（t）=-ηdt+dWa（t）+dWb（t）+s（t）-) dJ（t）/2+s（t）-) dJ（t）/2+dL（t），d\'m（t）=dWa（t）- dWb（t）+s（t）-) dZ（t）/2- \'s（t-) dZ（t）/2。（8） 给，1。η=2μβE（[Ua]）=2μβEUb如果δn=n-1/2，η=2μβE（Ua）=2μβEUb对于δn=o（n-1/2).2. wa和wbji是两个独立的布朗运动，如果δn=n，则它们的均值和方差率σ=uE（hUaji）=uE（hUbji）均为零-1/2，对于δn=o（n），σ=uE（（Uaj））=uE（（Ubj））-1/2).3. Jand Jare给出了两个i.i.d.复合泊松过程，其跳跃强度γu为常数，跳跃密度分布由Va.4给出。\'s（t）≥ 0和L（t）满意度：L（t）=0，dL（t）≥ 0和¨s（t）dL（t）=0表示所有t≥ 0.5模拟结果我们根据（8）在不同参数下给出的渐近近似值（`s（·）、M（·））模拟了价差和中间价过程对。对于x，我们使用分布fu（x）=r/ξ∈ （0，ξ]和P（U=0）=1- r、 和Fv（x）=（u- 1） （ρ+x）-u2（ρ1）-U- （c+ρ）1-u） I（x）∈ （0，c））+（u- 1)(ρ -十）-u2（ρ1）-U- (1 + ρ)1-u） I（x）∈ (-1，0），代表美国∈ （1,3]和ρ，c>0。我们选择了fV（·），以便在预先限制下，订单簿中的理论分布产生幂律尾（当i>0较大时），从而对于固定的a，b，p（iδ；a，b）∝（c+iδ）u，对于某些c>0。鉴于以下实证观察，这一选择是合理的。经验观察3：订单簿内的限额订单分布。关于不同金融市场的订单簿的几项实证研究（例如，见Bouchard等人[2]、Potters and Bouchard[17]和Zovko and Farmer[21]）报告了该账簿中进入限制订单相对价格分布的幂律衰减尾。