小风险规避的高频交易和渐近性

在续集中，市场数据取自2011年2月9:00:000至17:00:00.000（CET）对未来三个月Eurostox50的逐点观察。此外，由于（Nt）是与（2.3）中给出的更新分布F相关联的更新过程，为了获得s的自然重标度，我们通常将其称为^s:=F-1（s），s≥ 0作为与经过的时间s相关联的更新分位数。为了提高结果的可解释性，本文中的所有图表都根据该转换重新缩放状态变量s。图1绘制了h±（s）的形式，作为更新分位数的函数：回复强度h-（s） 对于小更新，趋势强度h+（s）的w.r.t.占主导地位，而对于更高的分位数（>0.50），这种差异趋于消失，以h+（s）占主导地位结束-（s） 在正确的边界上。这表明，当价格是稳定的，即其报价在相当长的时间内保持不变时，微观结构的均值回归消失，价格看起来像伯努利随机游走。图1：作为更新分位数（α）函数的h±（s）的非参数估计=-0.75），自举95%置信区间。2.2股票价格条件平均值和趋势指标表明，价格过程（Pt）嵌入了一个带有三个可观察状态变量的马尔可夫系统：（Pt，It，St）是一个马尔可夫过程，具有最小生成元：ν（p，i，s）7→φs+Xν∈±hν（s）ν（p+2νδi，νi，0）。（2.5）在续集中，为了将我们的模型应用于做市商问题，我们将广泛使用地平线上股票价格平均值的性质，即π（t，p，i，s）：=Et，p，i，s[PT]。

（2.6）这里，Et，p，i，s注意到初始条件下的期望算子（Pt，It，St）=（p，i，s），（t，p，i，s）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+。我们用一个单独的部分来研究这个函数，它在附录B中得到了充分的发展。在这里，我们集中在以下命题中关于π（t，p，i，s）的主要结果，这将是本文剩余部分的有用参考。提议2.1。（2.6）中的函数π由π（t，p，i，s）=p+iθ（t，s），（2.7）给出，其中θ（t，s）是-Mθ- 2Δu（s）：=-θT-θs- u（s）θ（t，0）+σ（s）θ（t，s）- 2Δu（s）=0，θ（T，）=0，（2.8）表示（T，s）∈ [0，T]×R+。此外，固定的≥ 0，θ（t，s）：=θt（t，s）满足极限→∞θT（T，s）=2δ∧α（s）1- α=: θ∞（s） ,，（t，s）∈ R+，（2.9）式中∧α（s）：=PJI=+1，S=S=Xν∈±ν1 + να1.- Fν（s）1- F（s）,带?α（0）=α和?α（s）≡ α如果标记和勾号时间是独立的。证据见提案B.1、B.2和B.3。备注2.1。从函数π的定义和关系式（2.7）中，我们可以看到θ=θT限制了概率表示：θT（T，s）=EPTPt=0，It=+1，St=s, （2.10），可以解释为股价的鞅偏差（θ≡ 0表示价格是鞅）。3市场订单流量建模和逆向选择在本节中，我们对市场订单流量进行建模，即LOB中limitorders的对应交易。我们区分两种类型的市场订单：1。根据上一节描述的机制，大型市场订单会改变买入价或卖出价，从而导致中间价上涨；2.不影响价格的小型市场订单。让我们首先描述一下大型市场订单的影响。假设有一个限价订单，比如说在投标价格上。如果一个大的市场订单到达了出价，并消耗了所有可用的流动性，价格就会下降。

然后，代理限价指令以新的最佳要价执行，即它成为市场买入指令，因此执行不利。这种现象在有关市场微观结构的文献中被称为逆向选择。我们将在下一节详细讨论此功能，请参见备注4.1。我们现在关注的是通过标记点过程（θk，Zk）建模的小型市场订单。1。时间戳：递增序列（θk）表示（小）市场订单的到达时间戳。2.标记：标记（Zk）∈ {-1，+1}，表示交换的一方，条件是当Zk=-1（resp.+1），交易以最佳出价（resp.ask）价格交换，即市场卖出（resp.buy）订单已到达。在本文中，我们不考虑交易规模。市场订单统计过程。一方面，我们假设与（θk）相关的计数过程（Mt）是具有条件强度λ（St）的Cox过程，其中λ是R+上的有界连续函数。Mt（简单泊松法）扩展了泊松法。对于λ的估计，我们使用了一种基于点过程MLE算法的参数化方法（参见[5]），如图2所示，其中λ被描述为更新分位数的函数。当价格非常不稳定时，许多交易都会进入限价订单。相反，当价格稳定时，交易活动较弱，但存在。图2：λ（s）=λ+a exp的估计(-ks）。条件订单到达率随时间呈指数衰减，没有事件发生，但从未完全消失，如λ>0所示，表示过程的基本强度和最小强度。市场秩序交易方。另一方面，我们假设LOB中的市场订单交易和股票价格通过关系Zk:=ΓkIθk进行关联-, （3.1）在哪里≡ （Γk）是i.i.d。

序列，独立于所有其他过程，并根据伯努利定律分布{-1，+1}带参数（1+ρ）/2，带ρ∈ (-1, 1). 因为ρ=Corr（Zk，Iθ）-k） ，1。对于ρ=0，交易双方不依赖于股票价格，市场订单流独立地到达最佳出价和最佳要求。这是文献中常见的假设，参见[6]；2.对于ρ>0，大多数交易方与股票价格最后一次跳跃的方向一致：市场订单更多地到达limitorder book的强侧（+），即与最后一次跳跃方向相同的那一方——当价格上升（或下降）时，最佳询问（或出价）；3.对于ρ<0，大多数交易方与股价最后一次上涨的方向不一致：市场订单更多地到达弱势方(-) limitorder book，即当价格上涨（或下跌）时，与上一次跳跃相反的一侧-最佳出价（或询问）。我们将一致（+）和不一致（-）的贸易强度定义为λ±（s），与h±（s）的符号一致：=1 ± ρλ（s），s≥ 0.（3.2）弱逆向选择风险。利用强大的大数定律，对真实数据的估计得到ρ的值-50%. 这意味着约有3/4的交易出现在limitorder book的薄弱环节。回想一下，股票价格通常表现出短期均值回归，即价格增量的负相关α，因此αρ>0。α和ρ具有相同符号的事实与执行动力学一致。相反，假设α和ρ具有相反的符号，比如α<0和ρ>0，并假设最后一个价格向下跳。

那么ρ>0意味着大部分交易将以最佳出价进行，因此将在牛市中执行限价买单（因为α<0），从而允许最佳出价的做市商打开低风险的可盈利头寸。数量αρ是极限指令w.r.t.对趋势捕捉效率的度量：它越大，通过极限指令建立有利头寸的概率越低。这一数量弥补了限价指令执行的内在优势（一个价差对一个市场指令而言），并首次解释了做市不是一个小游戏的原因。我们将这种现象称为弱逆向选择，与上述通常的逆向选择（另见备注4.1）相比，这种现象与大型市场订单有关。4.做市商问题：代理策略。代理策略包括连续下小批量的限制订单∈ N \\（0），（其中小指的是所有做市商提供的总流动性的水渍险），以双方可获得的最佳价格。然后，做市策略由一对可预测的过程来描述（`+`-) 在{0，1}中取值。当`+t=1（分别为`-t=1），在时间t时，在强（或弱）侧发布大小为L的限价单，而在相反的情况下，不提交限价单或取消限价单。我们用A表示做市商控制的集合“=（“+”`-).每次小额市场订单到达限价订单簿时（根据第3节中描述的机制），如果代理已在相应的一侧下了订单，则后者将根据随机变量执行，其分布可能会根据账簿匹配规则有所不同。我们回顾了我们可以处理的两个主要框架。1.

价格-时间优先级（PTP）：在PTP订单簿中，订单根据其价格（更优先于接近中间价格的订单）和时间（如在单队列中）匹配。按比例：在（纯）按比例的订单簿中，有价格优先权（如PTP），但没有时间优先权。当一笔交易到达时，多个做市商被执行，按照一定比例奖励更大规模的限价订单。请注意，如果价格上涨，且代理商有条件在价格上涨后立即下限价订单，那么她会在询价方（旧订单）发现大量并发限价订单，而在报价方则很少。当价格猛跌时，情况是对称的。然后我们考虑{0，…，L}上的分布θ±（dk，L），其中θ-（dk，L）（resp.θ+（dk，L））是在limitorder book（附录A中提供了θ±的估算程序）的一致（或不一致）侧，即强（或弱）侧，大小为L的限制订单的执行数量的分布。我们用θm±（L）：=Zkm±（dk，L），m=1,2，（4.1）表示这些分布的第一和第二矩。备注4.1（逆向选择风险）。再次回顾，分配的符号不得解释为限制订单簿的询问/出价侧，而是限制订单簿的强/弱侧，考虑到最后的价格方向。此外，为了与小代理假设（价格是外生的，不受代理策略的影响）一致，我们假设，如果价格跨越代理下达的限价单的水平，则后者会自动执行。可以这样说，由于代理人规模较小，价格的上涨与她的限价单的存在无关，因为一个大的市场订单的目标是（至少）达到最佳水平。

此外，由于价差持续为一个刻度，订单以最佳价格下单，当价格上涨时，限价订单会自动转换为市场订单，并立即执行。请注意，这种情况对代理尤其不利：她以要价出售（或购买）股票-+ δ（分别为投标价格）-- δ） ，而目前的中间价是Pt=Pt-+ 2δ（分别为Pt=Pt-- 2δ），所以在这两种情况下，每一批都会损失δ！突然执行既违背市场，也没有让她有时间结束价差，留下空头头寸：她面临着对手选择和库存风险。这种被称为逆向选择的现象在[16]中也得到了考虑，例如，作者考虑了具有随机均值回复漂移（称为α）的布朗股价，它受到流入流动交易的影响。在本文中，一个在买卖方的流动交易，使随机漂移向上（向下）跳跃，重现了交易流和股价动态之间的内在联系。财富和库存过程。我们假设每笔交易都有固定成本ε≥ 0.然后让我们用（Xt）和（Yt）表示描述代理人投资组合的财富和存货，分别在R和Z中估值。引理4.1。对于做市策略而言∈ A、 投资组合价值过程X和Y的动力学由dxt=Xν给出∈±Zk`νt-（νPt）-信息技术-+ δ - ε)Rtrdν（dt，dk，St-) + Rjmpν（dt，dk，St-),dYt=-Xν∈±Zkν`νt-信息技术-Rtrdν（dt，dk，St-) + Rjmpν（dt，dk，St-),其中，Rtrd±（分别为Rjmp±）是强度为λ±（St-) dt θ±（dk，L）（分别为h±（St-) dt δL（dk）），δLis是L证明下的狄拉克测度。为了验证这些想法，假设在时间t，i=It-= +1，即价格的最后一次上涨（在i=-1.证明是对称的。那么如果`±t-= 1，即。

如果代理人在强势（即询问）或弱势（即出价）方下了限价单：1。要么她可以通过随机数量k的输入交易执行，其中k具有分布θ±（dk，L），交易强度λ±（St-)2.或者她可以完全被处决，因此k=L，通过价格的跳跃，以h±（St-).在这两种情况下，代理库存Y都会跳跃k、 而她的财富X跃升了k倍±Pt-（资产出售或购买），加上做市价δ（差价的一半）减去固定成本ε。备注4.2。在续集中，将很方便地介绍这个过程：Qt:=ItYt，称为强库存过程。因为它在{-1，1}仅当弱侧存在价格跳变时才跳变ν=-, 然后我们从Y的动力学中看到∈ A、 Qevolves依据：dQt=-Xν∈±Zkν`νt-Rtrdν（dt，dk，St-) +Xν∈±Z(ν - 1） Qt-- k`νt-Rjmpν（dt，dk，St-) .价值函数我们现在考虑做市优化问题的以下标准，通常在[6]、[15]、[25]中采用：代理人正在寻找最佳可接受的做市策略，该策略在最终日期T时使其预期投资组合价值最大化，以中间价进行评估，同时通过二次惩罚项ηYT控制其最终库存，具有风险规避参数η≥ 0.我们现在可以在MRP模型中定义与做市问题相关的价值函数：v（t，p，i，s，x，y）：=max`∈AEt，p，i，s，x，yXT+YTPT- ηYT, （4.2）对于（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z，其中Et，p，i，s，x，yde在初始条件Pt=p，It=i，St=s，Xt=x，Yt=y下注释了期望算子。选择线性/二次效用函数而不是指数效用函数纯粹是因为计算简单：状态变量中的多项式效用函数允许我们根据其程度拆分PDE，减少问题维度。

启用术语-ηYT限制了代理人的库存风险：代理人不希望在交易日结束时持有大量头寸，而这些头寸将通过影响市场的独特市场指令执行。二次型与具有恒定流动性形状的限额指令簿一致，如[14]所述：风险规避参数η必须被视为代理人对最终市场指令的主观厌恶。最近还证明，该风险术语源于模型模糊性，见[13]。由于交易周期通常很短（分钟），这种惩罚会影响整个策略，并在整个交易过程中提供出色的库存控制，我们将在后面说明。作为替代，这种惩罚可以用-ηRTtYudu，基本上不改变我们将采用的参数来解决控制问题。然而，正如我们将在下一节中看到的那样，虽然对最终库存的惩罚会导致半显式计算，但在考虑整个交易时间间隔内的惩罚时，情况不再如此。5值函数和最优控制：从（P，I，S）的极小生成元表达式（2.5）和受控过程的动力学（X，Y）的摄动逼近引理4.1中，由与控制问题（4.2）相关的动态规划产生的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程如下所示：(-五、T-五、s-Pν∈±最大值`∈{0,1}hν（s）hJν[`]，vi+λν（s）hTν[`]，vi=0，v（T，）=x+yp- ηy（5.1）表示（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z，其中hj±[`]，vi:=v（t，p±2δi，±i，0，x+L`（±ip+δ- ε） ，yiL`），（5.2）hT±[`]，vi:=Zv（t，p，i，s，x+k`（±ip+δ- ε） ，y ik`）θ±（dk，L）。（5.3）这些操作员的解释相当清楚：1。

一方面，hJ±[`]，vi表示由于价格上涨（发生在强度率h±（s））而在LOB的±侧执行限价指令时，价值函数的变化，因此，在价格上涨（逆向选择）后，大市场指令在不利价格下交易总规模L；2.另一方面，hT±[`]，vi表示当LOB±侧的alimit订单`由小型市场订单（其强度为λ±（s））执行时，价值函数的变化，因此数量k∈ （0，…，L）以有利的当前价格与概率θ±（dk，L）进行交易。通过考虑特定的等待策略，即，`=0，在（4.2）中，我们得到：vhold（t，p，i，s，x，y）：=x+yEt，p，i，s[PT]- ηy≤ v（t，p，i，s，x，y），（5.4），我们用vmm表示：=v- vhold是非负函数，表示由于最优做市策略，相对于持有策略的附加值。从引理B.1中，设置新的状态变量，称为strong inventoryq:=iy，我们可以看到vhold可以分解为：vhold（t，p，i，s，x，y）=（x+yp）+（qθ（t，s））- （ηq）=投资组合价值+鞅偏差- 库存惩罚该分解的第一项是当前投资组合价值的总和，以中间价格估值，而第二项与q成正比。函数θ（t，s）（在第2.2段中研究）表示与鞅价格的平均距离，即它衡量股票价格在漂移和反转方面的平均行为。对于θ>0（分别θ<0），到期时股价的平均值将反映一个漂移（分别回复）分量，而对于θ≡ 股票价格是一个鞅。下一个结果提供了值函数v.引理5.1的先验上界。