小风险规避的高频交易和渐近性

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英文标题：
《High frequency trading and asymptotics for small risk aversion in a
  Markov renewal model》
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作者：
Pietro Fodra, Huy\\^en Pham
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study a an optimal high frequency trading problem within a market microstructure model designed to be a good compromise between accuracy and tractability. The stock price is driven by a Markov Renewal Process (MRP), while market orders arrive in the limit order book via a point process correlated with the stock price itself. In this framework, we can reproduce the adverse selection risk, appearing in two different forms: the usual one due to big market orders impacting the stock price and penalizing the agent, and the weak one due to small market orders and reducing the probability of a profitable execution. We solve the market making problem by stochastic control techniques in this semi-Markov model. In the no risk-aversion case, we provide explicit formula for the optimal controls and characterize the value function as a simple linear PDE. In the general case, we derive the optimal controls and the value function in terms of the previous result, and illustrate how the risk aversion influences the trader strategy and her expected gain. Finally, by using a perturbation method, approximate optimal controls for small risk aversions are explicitly computed in terms of two simple PDE\'s, reducing drastically the computational cost and enlightening the financial interpretation of the results.
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中文摘要：
我们在一个市场微观结构模型中研究了一个最优高频交易问题，该模型旨在在准确性和可处理性之间达成良好的折衷。股票价格由马尔可夫更新过程（MRP）驱动，而市场订单通过与股票价格本身相关的点过程到达限价订单簿。在这个框架中，我们可以复制逆向选择风险，它以两种不同的形式出现：通常是由于大的市场订单影响股票价格并惩罚代理人，而较弱的是由于小的市场订单并降低盈利执行的概率。在这个半马尔可夫模型中，我们利用随机控制技术来解决做市问题。在无风险规避的情况下，我们给出了最优控制的显式公式，并将值函数描述为一个简单的线性偏微分方程。在一般情况下，我们根据前面的结果导出了最优控制和价值函数，并说明了风险规避如何影响交易者的策略和预期收益。最后，利用摄动法，用两个简单的偏微分方程显式地计算了小风险规避的近似最优控制，大大降低了计算成本，并启发了对结果的财务解释。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> High_frequency_trading_and_asymptotics_for_small_risk_aversion_in_a_Markov_renew.pdf (1017.48 KB)

2022-5-5 01:49:55 上传

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关键词：风险规避 高频交易 Quantitative Differential Applications

马尔可夫更新模型中小风险规避的高频交易和渐近性*巴黎大学第7校区和EXQIMpietro分校可能实验室。fodra91@gmail.comHuy^en Phamlaboratoroire de Probabilit\'es etMod\'eles Al\'eatoiresCNRS，UMR 7599巴黎大学7号Diderotpham@math.univ-巴黎狄德罗。2015年1月6日摘要我们在市场微观结构模型中研究了一个最优高频交易问题，该模型旨在很好地兼顾准确性和可操作性。股票价格由马尔可夫更新过程（MRP）驱动，如[22]所述，而市场订单通过与股票价格本身相关的点过程到达限价订单簿。在这个框架中，我们可以复制逆向选择风险，它以两种不同的形式出现：通常是由于大的市场订单影响股票价格并惩罚代理人，而较弱的是由于小的市场订单并降低有利执行的概率。在这个半马尔可夫模型中，我们采用随机控制技术来解决做市问题。在无风险规避的情况下，我们给出了最优控制的显式公式，并用一个简单的线性偏微分方程刻画了值函数。在一般情况下，我们根据前面的结果推导出最优控制和价值函数，并说明风险规避如何影响交易者的策略和预期收益。

最后，通过使用摄动法，根据两个简单的偏微分方程显式计算了小风险规避的近似最优控制，大大降低了计算成本，并启发了对结果的财务解释。关键词：高频交易，马尔可夫更新过程，标记Cox过程，逆向选择，积分微分方程，摄动法。*我们要感谢AE和两位裁判的大量评论，这些评论有助于改进本文的第一个版本。1简介关于高频交易的现有文献大致可分为两大主流：（i）日内资产价格模型：该分支采用两种不同的理念，致力于在限价指令簿中描述逐笔资产价格。最近的过程方法始于一个宏观的、未被观察到的过程（通常是一种差异），该过程受到一种重现市场微观结构的噪音的污染：在刻度网格中估值的价格的离散性、价格跳跃时间的不规则间隔（称为波动性聚类）以及价格变化的均值回归。这方面的一些论文有[23]、[2]和[29]。相反，微观-宏观方法通过点过程直接模拟观察到的股票价格，参见[10]、[17]、[1]或[7]。这些论文考虑了复杂的模型，主要目的是重现微观结构风格化的事实，如符号图、Epps效应、波动率聚类和短均值回归。通常情况下，主要目的是波动率估计，而交易应用未被研究：这些模型的复杂性导致了控制问题中的高维方程，很难从分析和数值两方面进行处理。

（ii）高频交易问题：另一个重要的文献流关注限价指令簿中的交易问题：股票清算和执行问题（[4]、[3]、[11]、[26]等），或者做市商问题（[6]、[16]、[25]、[24]、[21]、[12]等等……）。这些论文使用随机控制方法来确定最优交易策略，它们大多基于资产价格的经典模型，典型的是拟人化或几何布朗运动，而市场秩序流通常由泊松过程驱动，独立于连续价格过程。本文的目标是在这两个文献流之间架起一座桥梁，通过在限价订单簿中构建一个简单的资产价格模型，既要现实，又要捕捉微观结构的主要类型化事实，易于估计和模拟，且易于处理，（易于分析和实施）以便在高频交易应用程序中以良好的财务解释得出明确的公式。由于我们的观点是做市商的观点，即我们只允许通过限价指令与市场互动，因此我们将仅针对代理发布的限价指令，而交易，或等价地称为市场指令，是指到达市场并可能与代理限价指令相匹配的非代理市场指令。我们将利用马尔可夫模型来评估我们的库存，以及如何在高频率下进行评估。我们假设买卖价差是连续的一个滴答声，股票价格跳一个滴答声，这与滴答声大的流动资产一致，见[19]。通过一个纯粹的跳跃过程（而不是一个连续的过程，例如。

一个布朗运动），我们能够在价格演变和交易到达之间引入概率和机械依赖关系。我们可以简单地介绍下一次价格上涨与下一次价格上涨之前的买卖交易比例之间的相关性，以及上涨风险。在期权定价的背景下，Jumps是市场不完全性的一个来源，导致无法接受的索赔。类似地，电子市场的股价暴涨也是做市商的真正风险来源。更准确地说，代理人面临两种风险：（i）市场风险：当价格突然上涨时，整个代理人库存被重新评估，在一段时间内改变投资组合的价值（即在任何时间内都有一定的风险，而布朗运动具有与区间长度成正比的二次变化）。（ii）逆向选择风险：在我们的模型中，我们假设在时间t时向上（或向下）跳跃对应于一个大的市场订单，在最佳买入（或买入）价格水平上清算流动性。如果代理行发出了小限额指令，比如在投标方，则必须执行后者，因为投标方的大市场指令的目标原则上是清除所有可用的流动性，而不是消耗固定数量的流动性。从这个意义上说，代理人并不影响市场动态。在这种情况下，代理人会受到系统性惩罚，因为她出售liquidityat t-低于t时的价值。这种风险，在市场微观结构文献中称为逆向选择，参见例[28]，将被纳入我们的市场模型中，进行衡量和对冲。我们引入了一个合适的市场订单流模型，考虑到股票价格动态的真实相关性。现有文献已经提供了几个模型，用于限制订单簿中的交易到达。

这项开创性的工作[20]将这些事件描述为具有自回归行为的时间序列，以模拟交易活动中的强度峰值。其他作者（如[15]）利用建模交易的更新过程，并根据这种流动描述价格形成。[8]提供了一个丰富的例子，其中一个四维霍克斯过程驱动交易和价格，考虑到其所有组成部分的相互作用：不幸的是，这种优雅的方法导致了高维系统，从而导致了计算问题。我们还提到[16]，其中使用了活动到达和中间价变动的广义多变量霍克斯过程来解决做市商问题，以及[27]，作者通过十变量霍克斯过程进行了彻底的统计分析。我们的模型是以价格为中心的，而不是以交易为中心的，因为我们假设交易（无论是哪一方）是由服从于股价的考克斯过程计算的。价格上涨后，交易更加频繁，而随着价格稳定，他们的到达率降低。从这个意义上讲，事件的动态性比泊松过程要丰富得多，而且它们并不像人们通常认为的那样与股价无关。对于这一改进，我们不需要计算成本：我们将看到描述股价的状态变量都是我们所需要的。我们不包括霍克斯过程中的自激成分，以保持模型尺寸最小。通过在计算交易事件的Cox过程中添加标记（确定交易交易方），我们能够复制除了本导言中已经提到的逆向选择之外，另一种限制代理人利益的风险形式，称为弱逆向选择。它来自小型交易流，由那些无法改变市场股价的交易组成。

在这种情况下，限价单更有可能在较低的价格上匹配：如果价格可能向下（或向上）跳，很少有交易会达到最佳的买入（或买入）价格，从而限制了建立空头（或多头）仓位的机会（这将是有利于市场方向的w.r.t.）。由于这一特性，由于限价指令的执行而产生的额外收益（相对于市场指令的净收益）由不利的执行概率来补偿。在这种情况下，我们研究了代理人以最佳出价和最佳卖价提交最优限价订单（如[25]中所述，不考虑市场订单以提高问题的可处理性）的做市商问题。经纪人不是唯一的做市商，但只是交易所众多参与者中的一员，她在提供流动性方面没有限制。以前文献中的几位作者，例如在开创性论文[6]中，考虑了限价订单，这些订单以中间价格距离发布，可能是非正面的（论文[16]中有一些例外，它对距离施加了非负面约束）。这导致了高频应用中的一些问题，尤其是对于大型资产（见[19]）或按比例限额订单，其中大部分流动性集中在较低水平，这使得现实生活中的最佳报价四舍五入到勾号网格中成为一个非常重要的问题。通过将实际控制替换为二元控制（限价或非最优价格），我们特别添加了政策约束，但在这样一个特定的背景下，模型更符合现实：估算更容易，政策不像实际情况那样受舍入约束，不存在负发布距离问题，市场利差永远不会改善；换句话说，理论政策不需要转化为真正的贸易政策。

在这个框架下，我们能够导出无风险规避的agent的价值函数和（二元）最优控制的显式公式。接下来，通过微扰技术，我们解决了小风险规避的做市问题。这使我们能够大大降低问题维度，并大大提高优化策略的财务可解释性。特别是，我们清楚地了解模型中收益和风险的潜在来源，以及风险厌恶的引入如何使它们变形。论文的结构安排如下。我们在第2节简要回顾了[22]中介绍的资产价格模型，并得出了一些关于股票价格条件平均值（即趋势指标）的有用结果。在第3节中，我们描述了市场秩序流建模小型市场交易，即保持股价不变的交易。相反，大的市场订单，即直接影响股票价格的订单，被认为是价格动态的一部分。对于小交易，我们引入一个服从股票价格动态的标记Cox过程，以重现弱逆向选择风险以及这两个过程之间的强度相关性。第4节包括做市问题的表述，并描述了代理过程（财富、库存）动力学，而第5节则致力于通过使用小风险规避的摄动方法来解决做市问题。一些数值试验说明了我们的结果。

我们在第6节中总结，并在附录中收集了一些有用的结果。从现在开始，为了保持符号紧凑，我们将使用，对于任何函数f=f（x），x∈ Rn，以下符号：xf（x）：=f（x）- f（x）中，我们将省略下标x = 当上下文没有歧义时。2.限价指令簿中的股票价格我们考虑一个模型，该模型适用于限价指令簿（LOB）中股票的中间价格（最佳买入价和最佳卖出价之间的算术平均值），且买卖价差为2δ>0。为了简单起见，我们假设股票价格只上涨一个点。中间价（Pt）t≥0是由c`ad-l`ag分段常数过程定义的pt:=P+2δNtXn=1Jn，（2.1）其中Pis是以2δZ，Nt（表示滴答时间）表示的开盘中间价，是与价格跳跃时间（Tn）n相关的点过程，即Nt:=infn:Pnk=1Tk≤ T,Jn（称为价格方向）是序列中的值{-1，+1}表示价格是上涨（Jn=+1）还是下跌（Jn=-1） 在时间Tn.2.1马尔可夫更新模型中，我们使用[22]中的马尔可夫更新方法对标记点过程（Tn，Jn）n进行建模，并简要回顾主要特征。价格方向由MarkovchainJn=Jn驱动-1Bn=JkYi=1Bi，n≥ 1，（2.2）其中B≡ （Bn）是一个独立于（Jn）的i.i.d.序列，根据伯努利定律分布{-1，+1}带参数（1+α）/2，α∈ [-1, 1). 换句话说，在相同（或相反）方向上两次连续跳跃的可能性由p[jn]给出-1=±1]=1±α，n≥ 1，其中α表示两个连续价格方向Jn之间的相关性-1和Jn在与马尔可夫链（Jn）相关的平稳测度π=（1/2，1/2）下。

对于α=0，股价的跳跃是独立的，对于α>0，股价是短期趋势的，而对于α<0，股价表现出短期均值回归，这是关于高频数据的一个众所周知的程式化事实，通常称为微观结构噪声。在第二步中，我们对计数过程（Nt）进行建模。用n表示：=Tn- Tn-1.≥ 0，n≥ 1，价格跳跃时间的到达时间，我们假设，以Jn为条件-1，（Sn）是一个独立的随机变量序列，其分布F±（s）：=PSn+1≤ sJnJn-1= ±1, N≥ 1.s≥ 0，密度f±（s），无质量。我们可以很容易地检查（Sn）是否也是无条件的。i、 这意味着（Nt）是更新过程，到达时间分布为byF:=1+αF++1- αF-. （2.3）我们定义了{-1，+1}It:=JNt，t≥ 0，它在时间t给出了股票价格最后一次上涨的方向。（It）是一个半马尔科夫过程，在这个意义上，这对（It，St）是一个马尔科夫过程，其中St:=t- sup{Tn:Tn≤ t}≥ 0，t≥ 0，（2.4）是自上次价格上涨以来经过的时间。最后，我们设置为h±（s）：=lims→0+服务提供商s≤ Sn+1≤ s+s、 Jn+1=±Jn锡≥ s、 Jn=1±αf±（s）1- F（s），s≥ 0表示同一（或相反）方向的价格跳跃强度函数，假设为有界连续函数，并定义u（s）（或σ（s））作为股价条件趋势（或搅动状态）的度量：u（s）：=h+（s）- H-（s） ，σ（s）：=h+（s）+h-（s）≥ 0.我们记得，经过的时间过程（St）是一个同质马尔可夫跳跃过程，具有随机强度σ（St）（与更新过程Nt相同，因为它们在同一时间跳跃）和最小生成元：ν（s）7→φs+σ（s）[~n（0）- ~n（s）]。数据样本我们参考[22]对趋势参数α、更新时间分布f±和跳跃强度h±（s）进行统计估计。