小风险规避的高频交易和渐近性

存在一些正常数cst.v（t，p，i，s，x，y）≤ x+yp+eC（T-t） （1+| y |），适用于所有（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z.证明。让我们考虑一下函数：ψ（t，p，x，y）：=x+yp+eC（t-t） （1+| y |）对于某些正常数C.那么，假设h±和λ±有界，比如说B∞, 直接的计算表明：-φT-Xν∈±最大值`∈{0,1}hν（s）hJν[`]，νi+λν（s）hTν[`]，νi≥ CeC（T）-t） （1+| y |）- 2B∞L |δ- ε|+2δ| y |+2LeC（T-（t）≥ 0，对于足够大的C。根据Dynkin的纯跳跃过程公式，我们推导出过程φ（t，Pt，Xt，Yt）是任何`的超鞅∈ A、 所以：Et，p，i，s，x，yXT+YTPT- ηYT≤ Et，p，i，s，x，yν（T，PT，XT，YT）≤ ~n（t，p，x，y）。（5.5）自从∈ A在上述不等式中是任意的，这表明了所需的上界：v≤ φ.上述引理和下界（5.4）以及θ有界（见命题2.1）表明，值函数v定义明确，满足x的线性增长条件，y的二次增长条件。为了解决与最优控制问题（4.2）相关的HJB方程，我们将执行以下步骤：1。我们首先考虑代理人不受任何风险规避（η=0）影响的情况，并提供最优控制的分析公式和计算价值函数的数值方法；2.由于变量的适当变化，我们对与风险规避η>0的控制问题相关的HJB方程进行降维，并作为前一种情况的非显式变形获得最优控制；3.

最后，当η→ 0+，我们根据四线性模型的分辨率，提供了具有小风险规避的最优控制的显式形式，并给出了该结果的财务解释。5.1无风险规避情况在本节中，我们将处理η=0的特殊情况。没有风险规避意识的代理人不会担心自己的市场地位，因为持有大量库存的任何惩罚都不会影响她的效用函数，也不会有任何库存约束。我们的猜测是，在价值函数的分解中：v=vhold+vmm，做市部分vmm完全独立于当前投资组合，即来自变量（x，p，i，y），并且在无风险规避的情况下仅依赖于（t，s）。我们确实对价值函数和最优控制进行了如下描述。定理5.1。对于η=0，控制问题（4.2）的值函数由v=vhold+vmm，vhold（t，p，i，s，x，y）=x+yp+qθ（t，s），vmm（t，s）=ω（t，s）给出，其中ω（t，s）=xν∈±Et，sZTtmax（Gν（u，Su），0）du, （5.6）对于（t，s）∈ [0，T]×R+，其中g±（T，s）：=λ±（s）（δ）- ε  θ（t，s））θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ（t，0））L，（5.7）（回忆（4.1）中的±（L））。此外，最优控制以反馈形式给出：^`（t，s）=1G±（t，s）>0，t∈ [0，T]，s∈ R+。（5.8）证据。问题（4.2）在于一般的马尔可夫决策过程（见最近的书[9]），并且已知（见[31]或[18]）相应的值函数v是HJB方程（5.1）的粘性解。现在让我们考虑v的一个候选函数，形式为：u（t，p，i，s，x，y）：=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s），对于某些要确定的函数ω。首先，观察u满足（5.1）中η=0的终端条件：u（T，p，i，s，x，y）=x+yp i fω满足终端条件：ω（T，s）=0。

此外，通过定义（5.2）和（5.3）运算符J±和t±，我们得到Ut+Us=qθt+θs+ωt+ωs,hJ±[`]，ui=q（±2δ±θ（t，0）- θ（t，s））+ω（t，0）+L`(-δ -  - θ（t，0）），hT±[`]，ui=Zk`（δ）- ε  θ（t，s））θ±（dk，L）。然后我们看到，u是HJB方程（5.1）的解，满足ω：-ωT-ωs- σ（s）ω（t，0）-Xν∈±最大值（Gν（t，s），0）+q(-Mθ- 2Δu（s））|{z}=0乘（2.8）=0，ω（T，）=0，（5.9）注意，G±有界为h±且λ±假定有界。然后，由以下公式定义的（非负）函数：△ω（t，s）：=Xν∈±Et，s“ZTtmax（Gν（u，Su），0）du#是有界的，并且是（5.9）的一个粘性解，由Feynman-Kac表示，对于这样的线性积分微分方程，回顾（St）是一个具有强度σ（St）的分段确定性跳跃过程。因此，通过取ω=#ω，我们通过构造可以看到函数u（t，p，i，s，x，y）：=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s）是HJB方程（5.1）的粘度解。通过一阶积分微分方程（5.1）（见[30]）的唯一性，我们推导出v=u。接下来，让我们考虑从`上的最大值获得的LOB的±侧的反馈控制`` `∈ h±（s）hJ±[`]，vi+λ±hT±[`]，vi的{0,1}。换句话说，^`±=1<==> h±（s）hJ±[1]、vi+λ±（s）hT±[1]、vi>h±（s）hJ±[0]、vi+λ±（s）hT±[0]、vi。通过替换分解v=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s），我们可以看到±=<==> G±（t，s）>0。最后，让我们检查一下这种反馈控制是否提供了最佳控制。

事实上，由于它在HJB方程中的参数最大，我们有(-五、T-五、s-Pν∈±hν（s）hJν[^`ν]，vi+λν（s）hTν[^`ν]，vi=0，v（T，）=x+yp，（5.10），因此通过费曼-卡克表示上述线性积分微分方程：v（T，p，i，s，x，y）=Et，p，i，s，x，yh^XT+YTPTi，其中^x和^y是引理（4.1）中具有动态性的财富和库存过程，由策略（T，T）控制-),^`-（t，圣-))T∈ A.这表明了这种反馈控制的最佳性。财务解释（5.8）中描述的强（或弱）最优策略是依赖于G±（t，s）的二元控制。用超平面z=0切割表面z=G±（t，s），并将超平面上方的部分投影到（t，s）-平面上，我们得到交易区域。由于控制是主动执行的，而且执行是在交易或价格上涨时进行的，最优控制自然地分解为两部分，如G±in（5.7）的表达式所示：G±（t，s）=Gtrd±（t，s）- Gjmp±（t，s），：=λ±（s）（δ）- ε  θ（t，s））θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ（t，0））L.1。交易部分Gtrd±：代理订单由随机大小的小型市场订单（不影响股价）匹配。由于被动执行（做市收益），她获得了每一个执行批次的半价差，她失去了交易成本，而且由于她的库存发生变化，她失去了将（平均）保持仓位直到地平线的鞅距离θ（t，s）（注意：这个数量可能为负）。这种情况对经纪人来说是有利的，因为她有时间在股价再次上涨之前结束价差，并且她已经在股票的中间价评估中获得了半个百分点的加权平均收益率：这种收益来自穿制服的小交易者，他们无法使股价上涨，需要做市商提供的流动性。2.

跳转部分Gjmp±：代理订单以h±（St）的速率通过大市场订单打包股票价格结算。与之前一样，由于被动执行（做市收益），对于每一个执行的批次，她获得了一半的价差，但由于股票价格上涨而失去了价差，以被动的一半价差结束，她失去了交易成本，并且由于库存变化，她失去了鞅距离θ（t，0）（价格刚刚跳升）。综上所述（5.7），很明显，大额订单导致的限价订单执行是代理人的风险来源，称为逆向选择。这是因为大量市场订单导致价格上涨，因此不允许代理关闭价差。相反，当股价突然下跌/上涨时，代理人发现自己在购买/出售L个地块（最大允许大小）。正如人们所看到的，“交易”案例对代理人来说是一个积极的事件，因为它导致了一个适当的做市策略，在买入和持有组合不会带来实质性收益的情况下收集利差，而“跳跃”则代表了一个消极的事件，因为它导致了一个不利的执行，即我们卖出（或买入）一只价值下降（或上升）的股票。因此，我们对股票价格的定点过程建模导致了一个更现实的模型，评估在负面情况下执行的风险，如果股票价格是一个连续的过程，这是不可能的。因此，数量G±被解释为做市策略产生的投资组合价值，而（5.6）中的价值函数vmm=ω自然是投资组合价值的预期收益。最佳控制由贸易关系决定。由于往返执行，纯做市收益，2。由于θ（t，s）的相关信息，趋势或逆转预测，3。

限制逆向选择风险。通过强调最优控制对视界T的依赖性，我们将^`（T，s）写成^`（T，s），从（5.8）和（2.9）可以看出，它在大视界收敛到平稳值：limT→∞^\'T±（T，s）=1G∞±（s）>0（5.11）带G∞±（s）：=λ±（s）（δ）- ε  θ∞（s） θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ）∞（0））L.我们在图3中绘制了做市绩效ω，在图4中绘制了最优限价指令控制。图3：ω（T）- t、 s）用于不同的s型截面。在远离地平线的地方，代理的每时间单位的线性平均增益取决于开始经过的时间。在分配队列中，经纪人在稳定时间进入市场后获得更多收益，股票价格不太可能上涨，这对做市商来说是一个完美的场景。图4：η=0的最佳策略。代理在小时间和大时间内都将其限制订单放在强侧，而在弱侧发布则被限制为大s：这是由于θ（t，s）的行为，改变购物车右侧的标志，诱导makermaker在侧边下订单，以利用下一跳的预期。对于t→ 0，地平线很远，政策稳定在（5.11）中描述的渐近值.5.2小风险规避案例在本节中，我们证明了对于小风险规避，与最优控制问题（4.2）相关的HJB方程（5.1）的解是η=0情况下解的变形，并且我们明确描述了这种变形。我们首先给出了问题的精确解，即（η=0）值函数的非显式变形，如果不想包含近似参数，可以对其进行数值计算。这一结果将帮助我们从概率表示的角度说明特定策略如何影响价值函数。定理5.2。

与控制问题（4.2）相关的值函数由v（t，x，p，i，s，y）给出：=v（η）（t，x，p，i，s，y）=v（0）（t，x，p，i，s，y）- ζ（η）（t，s，q），（5.12），其中v（0）（t，x，p，i，s，y）是无风险规避情况下控制问题的解（定理5.1），而ζ（η）（t，s，q）是非负的，并且是唯一的粘度解，q为二次增长-ζ(η)T-ζ(η)s-Pν∈±min`∈{0,1}hRν[`]，ζ（η）+ 最大值（Gν（t，s），0）- `对于（t，s，q），Gν（t，s）i=0，ζ（η）（t，）=ηq，（5.13）∈ [0，T]×R+×Z，其中Gν（T，s）由（5.7）和dr±[`]给出，ζ（η）E:=h±（s）ζ（η）（t，0，±q）- L`+λ±（s）Zζ（η）（t，s，q） k`）θ±（dk，L）。此外，问题（4.2）的最优控制由^`（t，s）以反馈形式给出：=^`（η）±（t，s）=1G±（t，s）>hC±，ζ（η）i，（5.14），其中dc±，ζ（η）E:=h±（s）ζ（η）（t，0，±q）- L）- ζ（η）（t，0，±q）+ λ±（s）Zζ（η）（t，s，q） k） θ±（dk，L）。证据首先，让我们正式推导出当使用ANSATZ（5.12）时，应满足ζ（η）的方程。根据（5.2）和（5.3）中运营商的定义，我们有v（η）t+v（η）s=v（0）t+v（0）s-ζ(η)t+ζ(η)s,DJ±[`]，v（η）E=DJ±[`]，v（0）E- ζ（η）（t，0，±q）- L`），DT±[`]，v（η）E=DT±[`]，v（0）E-Zζ（η）（t，s，q） k`）θ±（dk，L）。插入（5.1），并使用定理5.1中v（0）的分解，在一些简单的计算之后，我们看到ζ（η）应该满足PDE（5.13）。现在，让我们证明v（η）的形式为（5.12）。根据备注4.2中定义的强库存过程Q的动力学，我们注意到方程（5.13）实际上是与控制问题相关的HJB方程：△ζ（η）（t，s，Q）：=inf`∈AEt，s，qhZTtXν∈±最大值（Gν（u，Su），0）- `νuGν（u，Su）（t，s，q）的du+ηQTi（5.15）∈ [0，T]×R+×Z。很明显，ζ（η）是非负的，通过在（5.15）中取零控制，我们可以看到ζ（η）（T，s，q）≤ ω（t，s）+ηq，回顾ω的表达式（5.6）。

由于ω是有界的，这表明∧ζ（η）在q中是二次增长的，在（t，s）中是一致的。然后，我们从[31]和[30]中得知，ζ（η）是（5.13）的唯一粘度溶液。因此，通过定义函数ζ（η）=ζ（η），我们可以通过构造看到函数u（η）：=v（0）+ζ（η）是HJB方程（5.1）的粘性解，并且通过该方程的唯一性（见[30]），我们推导出v（η）=u（η）。让我们考虑反馈控制^`（η）±，对于强侧和弱侧，它们在R±[0]，ζ（η）和G±（t，s）-R±[1]，ζ（η）, 并精确地以表格（5.14）给出。然后，从vη的分解（5.12），^`（η）±实际上在`上达到最大值∈ h±（s）DJ±[`]，v（η）E+λ±DT±[`]，v（η）E的{0,1}，通过与定理5.1中关于`（0）±的相同论证，这表明了`（η）±的最优性。风险规避导致的变形函数ζ（η）是非线性积分微分方程（5.13）的解，可以通过数值求解。我们使用扰动方法来推导小风险规避η的ζ（η）的一阶展开式。定理5.3。函数ζ（η）（t，s，q）可以通过ζ（η）（t，s，q）=η线性逼近η>0q+2qζ（t，s）+ζ（t，s）- R（η）（t，s，q），（5.16），其中1。ζ是线性积分微分方程的唯一有界连续粘度解：(-Mζ+Pν∈±νhν（s）L+λν（s）θν（L）Gν（t，s）>0=0ζ（t，）=0（5.17），其中M是（2.8）中定义的线性算子，并允许概率表示：ζ（t，s）=E^YT |^YT=0，It=+1，St=s]，其中^Y是由反馈策略^`=（t，St）控制的库存过程-),^`-（t，圣-))tde定义在（5.8）中，2。ζ（t，s）=Xν∈±Et，shZTtXν∈±Su（νh）L- 2Lζ（t，0）（5.18）+λν（Su）θν（L）- 2θν（L）ζ（u，Su）Gν（u，Su）>0duis的唯一有界连续粘性解-ζT-ζs- σ（s）ζ（t，0）-Pν∈±hν（s）L- 2Lζ（t，0）+ λν（s）θν（L）- 2θν（L）ζ（t，s）Gν（t，s）>0=0，ζ（t，）=0，（5.19）3。

余数R（η）是一个非负函数，s.t.R（η）=o（η），即limη→0+η-1R（η）（t，s，q）=0，（t，s，q）∈ [0，T]×R+×Z。。证据第一步。回顾引理4.1中^Y的动力学，我们注意到三重（^Yt，It，St）是阿马科夫过程，让我们考虑函数：^Y（t，Y，i，s）：=Et，Y，i，s[^Yt]。根据纯跳跃过程的标准结果（见[9]），并在强度函数h±和λ±的连续性假设下，函数^Y是连续的，通过费曼-卡克表示，它是线性积分微分方程的解：-^YT-^Ys-Pν∈±hν（s）^Y（t，Y）- νiL^`ν（t，s），νi，s）-Pν∈±s（λR）^Y（t，Y）- 然后，通过与命题B.1中相同的参数，我们检查^Y是否分解为：^Y（t，Y，i，s）=Y+iζ（t，s），其中ζ是（5.17）的唯一有界连续粘性解，并且还具有自ζ（t，s）=Y（t，0，1，s）以来的概率表示。第二步。

让我们用ψ：=ζ（η）/η来定义函数ψ=ψ（t，s，q），其满足（5.13）：η-ΨT-Ψs-Pν∈±min`∈{0,1}[ηhRν[`]，ψi+max（Gν（t，s），0）- `Gν（t，s）]=0，ψ（t，s，q）=q，注意（5.14）中定义的R±允许一个有效的分解R±[`]=R±+`R±，其中R±，ψ:= h±（s）ψ（t，±q，0），R±，ψ:= h±（s）（ψ（t，±q）- 五十、 0）- ψ（t，±q，0））+λ±（s）Zψ（t，q） k、 s）θ±（dk，L）。然后，我们可以将满足ψ的方程重新排列为η-ΨT-Ψs- ηPν∈±Rν，ψ+Pν∈±最大值Gν（t，s）- ηRν，ψ, 0- 最大值（Gν（t，s），0）= 0ψ（T，s，q）=q。现在，通过观察max（x- ε, 0) - 最大值（x，0）=-ε1x>0+zε（x），其中zε（x）是满足以下条件的非负函数：zε（x）≤ |ε| 1 | x |<|ε|，我们可以将ψ的偏微分方程写成(-Lψ+Z（η）（t，s，q）=0，ψ（t，s，q）=q（5.21），其中L是线性算子：Lψ：=Ψt+Ψs+Xν∈±Rν，ψ+Xν∈±Rν，ψGν（t，s）>0=Ψt+Ψs+Xν∈在这个过程中，它实际上是由马氏过程控制的≤ Z（η）（t，s，q）：=ηXν∈±最大值Gν（t，s）- ηRν，ψ, 0- 最大值（Gν（t，s），0）+ηRν，ψGν（t，s）>0≤Xν∈±Rν，ψ|Gν（t，s）|<ηhRν，ψi |=：Z（η）（t，s，q）→ 0，当η变为0时。（5.22）第3步。