几乎不稳定Hawkes过程的极限定理

最后一种情况可能是最有趣的，对于霍克斯过程来说，在较弱的条件下，例如Rtφ（s）ds<∞ 对于任何t>0；见[5]。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理7one是中间情况，其中1- 以这样一种方式关注于零，即在不处于递减退化设置的情况下，获得不确定的缩放极限。我们将在下一节中详细介绍这种情况。2.3. 几乎不稳定Hawkes过程的非退化标度极限。在这一节中我们给出了我们的主要结果：关于适当重整化的几乎不稳定的Hawkes过程序列的退化标度极限。在给出这个定理之前，我们希望提供它是如何推导出来的直觉。让我们来看看与NT有关的马丁-盖尔过程，也就是t≥ 0，MTt=NTt-ZtλTsds。我们还设置了ψT，通过ψT（T）在R+上定义的函数=∞Xk=1（φT）*k（t），其中（φt）*1=k的φTand≥ 2，（φT）*kdenotes（φT）的卷积乘积*（k）-1） 对于函数φT，注意ψT（T）在cekφTk<1时定义良好。在续集中，可以方便地使用另一种形式的强度。我们得到以下结果，其证明在第4节中给出。提议2.1。尽管如此，t≥ 0，我们有λTt=u+ZtψT（T-s） uds+ZtψT（T-s） dMTs。现在回想一下，我们在[0，T]上观察了这个过程（NTt）。为了能够给出一个适当的极限定理，这里的过程存在于相同的时间间隔上，我们重新调整我们的过程，使它们定义在[0,1]上。为此，我们考虑t∈[0,1]λTtT=u+ZtTψT（T-s） uds+ZtTψT（T-s） dMTs。对于空间中的标度，自然乘法因子为（1-在）。实际上，在静止情况下，λTtisu/（1）的期望值-kφTk）。因此，强度的量级为（1-在）-1.

这就是为什么我们定义t=λTtT（1-在）。（1） 理解CTtwill的渐近行为是为重整化过程序列推导合适的标度极限的关键。我们将看到，这一行为与8 T.JAISSON和M.Rosenbaumf函数ψT的行为密切相关。关于ψT，我们可以首先指出，函数定义为x≥ 0乘以ρT（x）=TψTkψTk（tx）（2）是随机变量的密度xt=TITXi=1Xi，其中（Xi）是密度为φ的i.i.d.随机变量，是参数为1的几何随机变量- 在(k>0，P[IT=k]=（1）-在（aT）k-1). 现在让z∈R.随机变量XT的特征函数，用bρT表示，满足bρT（z）=E[eizXT]=∞Xk=1（1-在（aT）k-1E[ei（z/T）Pki=1Xi]=∞Xk=1（1-在（aT）k-1.^φzTk=φ（z/T）1-（在/（1）-^φ（z/T）-1） ，其中φ表示X.SinceZ的特征函数+∞sφ（s）ds=m<∞,函数^φ在点0处的一阶导数等于im时连续可微。因此，当T和φ（zT）都趋向于1时，bρT（z）等于1-izm/（T（1）-至少。因此，我们在这里精确地看到，合适的区域，我们得到了x的一个离心极限定律，即存在λ>0，这样t（1-在）→T→+∞λ.（3） 当（3）成立时，我们写出d=m/λ。事实上，我们刚刚证明了以下结果。提议2.2。假设（3）成立。在假设1下，随机变量Xt的序列在规律上收敛于参数为1/d的指数随机变量。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理9这个简单的结果当然不是新的。例如，在[32]中详细研究了这些类型的随机变量几何曲面。还要注意，当Xis呈指数分布时，即使对于固定的T，xt也呈指数分布。假设fr om现在在（3）上保持并设置uT=T（1）- aT//λ（因此取1）。

命题2。2特别重要，因为它给出了ψTin在该设置下的渐近行为。事实上，它告诉我们，ψT（tx）=ρT（x）在λuT处≈λ我-x（λ/m）λ=me-x（λ/m）。现在让我们回到过程CTt，我可以写CTt=（1）-aT）u+uZtuTλψT（ts）ds+Zt√λψT（T（T）-s） ）qCTsdBTs，（4）带BTT=√T√uTZtTdMTspλTs.（5）通过研究它的二次变化，我们将讨论bt如何表示收敛于布朗运动的鞅序列。所以，用布朗运动B和ψT（tx）来试探性地替换bt-xλ/min（4），我们得到c∞t=u（1-E-t（λ/m））+√λmZte-（t）-s） （λ/m）pC∞SDB。应用It^o公式，给出∞t=Zt（u）-C∞s） λmds+√λmZtpC∞sdBs，精确对应于CIR过程满足的随机微分方程（SDE）。在说明使前面的启发式推导变得严格的定理之前，我们考虑一个额外的假设。假设2。存在Kρ>0，因此对于所有x≥ 0和T>0，|ρT（x）|≤Kρ。请注意，假设2实际上并没有真正的限制性。事实上，如果φ减小，那么任何ρ都会减小。因此，由于|ρT（0）|是有界的，假设2在这种情况下成立。此外，从[38]（第214页，第5点）我们得到如果kφk∞< ∞ 安德烈+∞|s|φ（s）ds<+∞, 接着是假设2。10 T.JAISSON和M.ROSENBAUMFrom[32]（第5章，引理4.1），得到假设2的另一个有效条件是，密度为φ的随机变量X可以写成（定律）形式X=E+Y，其中E遵循指数定律，参数γ>0，Y独立于E。我们现在给出主要定理。定理2.2。一个（3）持有的ssu me。

在假设1和2下，（1）中定义的重整化霍克斯强度（CTt）序列，对于Skorood地形y，收敛于[0,1]上的下列Cox–Ingersoll–Ross随机微分方程的唯一强解定律：Xt=Zt（u-Xs）λmds+√λmZtpXsdBs。此外，重整化霍克斯过程的序列vtt=1-对于Skorohod拓扑，ATTNTTT在定律上收敛于processZtXsds，t∈ [0, 1].2.4. 讨论理论2。2意味着当kφkis接近1时，如果观测时间t被适当地选择[这是1/（1）阶]- kφk）]，对于重标度过程，可以获得非简并行为（既不是爆炸性的，也不是确定性的）例如，这可以用于霍克斯过程参数的统计估计。事实上，根据霍克斯过程的小尺度特性设计估算程序是一项非常艰巨的任务：非参数方法很难使用，并呈现各种不稳定性（见[4,20]），而eas参数方法当然对模型规格非常敏感；见[20,21]。考虑到中间规模，其过程行为类似于CIR模型，可以使用专门开发的统计方法来估计CIR参数；有关调查，请参见[3]。当然，只有参数λ、m和u可以通过这种方式覆盖。因此，这种方法显然存在信息损失。然而，它仍然让我们能够获得在实践中很重要的数量；见第1节。在某种意义上，它可以与基于极值理论的极端分位数估计方法相比较，在这种方法中，我们假设i.i.d.样本的随机变量属于某个最大稳定吸引域。

事实上，这两种方法介于全参数方法和全非参数方法之间，前者假设参数形式（对于几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理，即随机变量定律或函数φ），后者使用函数估值器（重分函数或φ），以达到感兴趣的量（分位数或φ的Lnorm）CIR过程是模拟金融中随机（平方）波动的一种非常经典的方法；参见著名的赫斯顿模型[25]。此外，人们普遍认为，累计订单流量和综合平方波动率之间存在线性关系；例如，见[41]。因此，我们的设置kφkis接近1，并且在定理2中得到了限制行为。2似乎与marketdata非常一致对于霍克斯过程的平稳版本，我们可以证明T（1）阶NTTI的方差-kφTk）-3.例如，见[13]。在此之前，如果T（1- aT）趋于零，即kφTkgo等于e，则方差为（1）-aT）TNTT随着T的进入而爆炸。因此，这种情况与斯图在这里去世的情况非常不同，因此超出了本文的范围协会+∞sφ（s）ds<+∞ 对于使用命题2通过指数函数逼近ψtb至关重要。2.现在让我们考虑肥尾情况，其中前面的积分是有限的。更准确地说，让我们取一个函数φ，它的阶数为x1+α，0<α<1，当x到单位时。在这种情况下，遵循命题2的证明。我们可以看到下面的结果，在这里我们借用命题2的符号。2.提议2.3。设EαCbe是一个随机变量，其特征函数满足[eizEαC]=1-C（iz）α。假设φ（z）- 1.~σ（iz）α对于某些σ>0，0<α<1和（1- aT）Tα→λ > 0.

然后Xt向随机变量Eασλ收敛。因此，当内核的形状为x阶时-（1+α），“右”观察量表不再是T~ 1/(1 -kφk），但T~ 1/(1 -kφk）1/α。还要注意的是，如果我们用Eα，β来表示（α，β）Mittag–Le Frienger f函数，即Eα，β（z）=∞Xn=1znΓ（αn+β）（参见，例如[40]），则密度φαcofeαCis与该函数相关，因为φα（x）=xα-1Eα，α(-12 T.JAISSON和M.ROSENBAUMNow让我们考虑一下渐近设置，其中uT=uTα-1，φT=aTφ，aT=1-λTα和φ如命题2中所示。3.如果我们将第2节中使用的相同的神经论参数应用于重整化强度TT=λTtT（1）-aT）Tα-1，对于我们的HawkeSitentials序列，我们得到了以下类型的极限定律：Xt=uZtφασ/λ（t-s） ds+Ztφασ/λ（t-（s）√λpXsdBs。然而，这些启发性的论点远不是证据。实际上，在这种情况下，我们可能需要处理一个非半鞅极限。此外，在本文的证明中很重要的紧性性质更难显示（尤其是函数φαCis notbounded）。我们将此案例留作进一步研究在经典的时间序列设置中，让我们提到文献[8]，作者研究了不稳定整值自回归模型（INAR过程）的渐近行为。在这种情况下，CIR过程也出现在极限。事实上，这并不令人惊讶，因为INAR过程与霍克斯过程有一些相似之处。特别是，它们在某种程度上可以被视为Hawkes进程，其内核是Dirac函数的总和。3.理论的推广2。2.价格模型。在上一节中，我们研究了e维几乎不稳定的Hawkes过程。

例如，在金融应用中，当内生订单的数量远大于外生订单的数量时，它们可用于建模订单的到达，这在实践中似乎是如此；见[19,21]。在本节中，我们考虑[6]中介绍的高频pr ice模型，该模型基本上被定义为两个霍克斯过程的差异。使用与定理2.2相同的方法，我们研究了该模型在稳定条件接近饱和时的极限行为。3.1. 基于霍克斯的价格模型。在[6]中，中间价（Pt）t的逐点移动≥0是通过二维霍克斯过程建模的，如下所示：≥0，Pt=N+t-N-t、 式中（N+，N-) 是一个具有强度的二维Haw-kes过程λ+tλ-T=uu+Ztφ（t）-s） φ（t）-s） φ（t）-s） φ（t）-（s）dN+sdN-s,几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理，其中φ和φ是两个非负可测函数，其稳定性条件为+∞φ（s）ds+Z+∞φ（s）ds<1是满意的。该模型考虑了微观结构水平上价格的离散性和负自相关。此外，在[5]中，当我们在大时间尺度上考虑这个价格时，稳定性条件意味着经过适当的重整化后，它会收敛到布朗运动（具有给定的波动率）。3.2。缩放限制。在与第2节相同的理论中，我们考虑了稳定性条件几乎被违反时基于霍克斯的过程的标度极限。更准确地说，在构造[5]的多元霍克斯过程之后，对于每个观察区间[0，T]，我们定义了霍克斯过程（NT+，NT-) 激烈地λT+TλT-T=uu+ZtφT（T）-s） φT（T）-s） φT（T）-s） φT（T）-（s）dNT+sdNT-s,对于φ和φT，两个非负可测函数。

注意，在这个结构中，NT+和NT-没有常见的跳跃；详见[5]。我们考虑以下假设。假设3。对于i=1、2和t∈R+，φTi（t）=在φi（t）处，其中（aT）t≥0是一个正数序列，收敛到一，因此对于所有T，aT<1，φ和φ是两个非负可测函数，包括z+∞φ（s）+φ（s）ds=1和z+∞s（φ（s）+φ（s））ds=m<∞.此外，φ的支撑具有非零勒贝格测度，对于i=1，2，φiis可与导数φ′i区分，因此kφ′ik∞< +∞ 和kφ′ik<+∞.我们还将做出以下技术假设。假设4。设ψT+=Xk≥1（在（φ+φ）处）*kρT（x）=TψT+kψT+k（tx）。14 T.JAISSON和M.Rosenbaumt存在kρ>0，因此对于所有x≥ 0和T>0，|ρT（x）|≤Kρ。我们使用重新规范化的价格过程ptt=T（NT+T-新界-T）。（6） 下面的定理表明，如果我们在正确的时间间隔内考虑重新标度的价格过程，也就是说，如果我们取T的阶数为1/（1）- kφk-kφk），其渐近行为类似于赫斯顿模型；见[25]。定理3.1。设φ=φ-φ. 假设（3）成立。在假设3和4下，基于霍克斯的价格模型（PTt）序列在Skorohod拓扑中收敛于[0,1]定义的Heston型过程P离散余弦变换=2uλ-计算机断层扫描λmdt+mpCtdBt，C=0，dPt=1-kφkpCtdBt，P=0，具有（B，B）二维布朗运动。4.证据。我们在这一节收集了定理2的证明。1，命题2。1，定理2.2和3.1。在下文中，c表示一个常数，该常数可能因行而异。4.1. 定理2.1的证明。让v∈ [0, 1].

从[5]中的引理4，我们得到了[NTTV]=uTV+uZTVψT（tV- s） s dsandNTT v-E[NTT v]=MTT v+ZT vψT（T v- s） MTsds。因此，使用thatkψTk=kφTk1-kφTk，我们推导出1-kφTkT（NTT v）-E[NTT v]）≤1.-kφTkT（1+kψTk）支持∈[0，T]| MTt|≤Tsupt∈[0，T]| MTt |。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理现在回想起来，Mt是一个具有二次变分过程NT的平方可积鞅。因此我们可以应用Doob不等式监督∈[0，T]MTt我≤4支持∈[0，T]E[（MTt）]≤ 4E[NTT]≤ 4uT1-kφTk。因此，我们最终获得supv∈[0,1]1.-kφTkT（NTT v）-E[NTT v]）≤4uT（1-kφTk），它给出了从T（1）开始的结果-kφTk）趋于一致。4.2. 命题的证明2。1.从λT的定义出发，利用φ在[0，T]上有界的事实，我们可以写出λTt=u+ZtφT（T）-s） dMTs+ZtφT（T-s） λTsds。我们现在回想一下下面的经典引理；例如，参见[5]以获取证据。引理4.1。如果f（t）=h（t）+Rtφt（t- s） f（s）ds与h是可测局部有界函数，则f（t）=h（t）+Ztψt（t-s） h（s）ds。我们将这个引理应用于由h（t）=u+Ztφt（t）定义的函数h-s） dMTs。因此，我们得到λTt=u+ZtφT（T-s） dMTs（7）+ZtψT（T）-（s）u+ZsφT（s）-r） dMTrds。现在注意使用Fubini定理和ψT*φT=ψT-φT，我们得到ztψT（T-s） ZsφT（s）-r） dMTrds=ztr≤sψT（T）-s） φT（s）-r） ds dMTr16 T.JAISSON和M.ROSENBAUM=ZT-rψT（T）-R- s） φT（s）ds dMTr=ZtψT*φT（T）-r） dMTr=ZtψT（T-r） dMTr-ZtφT（T-r） dMTr。我们用最后这个等式来结束证明重写（7）。4.3. 理论证明2。在开始证明T heorem 2.2之前，我们给出了一些初步的引理。4.3.1. 初步引理。我们从φ及其四阶变换φ（相关特征函数）的一些引理开始。引理4.2。让δ>0。对于任何带| z的实数z，存在ε>0 such|≥ δ,|1 -^φ（z）|≥ ε.证据

因为φ是有界的，所以φ（z）趋于零，因为z趋于完整。因此，存在b>δ，对于所有z，存在| z |≥ b、 |^φ（z）|≤.现在，让M表示^φ的实部的上确界[-B-δ]∪[δ，b]，由于^φ是连续的，这个上确界是在某个点z上得到的。我们有m=Re（^φ（z））=E[cos（zX）]，X是一个密度为φ的随机变量。由于φ是连续的，几乎可以肯定，X不属于2π/zZ。T hus M=E[cos（zX）]<1。因此，取ε=min（，1- M）我们有引理。使用kφ′k<+∞, 通过部分积分，我们立即得到下面的引理。引理4.3。让z∈ R.我们有|φ（z）|≤ c/| z |。现在我们来看看（2）中定义的乐趣。我们有以下结果。引理4.4。对于所有实z和T，都存在c>0≥ |T（124b）≤ C1.∧Z.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。首先注意，作为随机变量的傅里叶变换，|bρT |≤1.此外，使用引理。2加上Z+∞xφ（x）dx=m<+∞,我们得到存在δ>0和ε>0，如果| x |≤ δ、 |Im（^φ）（x）|≥m | x |和if |x |≥δ,|1 -^φ（x）|≥ε.因此，我们推断如果| z/T|≤ δ、 |bρT（z）|=(1 -aT）φ（z/T）1-^φ（z/T）≤(1 -aT）aT|Im（^φ）（z/T）|≤2(1 -aT）塔姆| z|≤c/| z |还有，多亏了Lemma4。3，如果| z/T |≥ δ| bρT（z）|≤(1 -aT）|φ（z/T）| 1-^φ（z/T）|≤c（1）-aT）T | z |ε≤c/| z |。下一个引理给出了ρT引理4.5的l收敛性。设ρ（x）=λme-xλ/mbe参数为λ/m的指数随机变量的密度。我们有以下收敛性，其中|·|表示R+上的Lnorm:|ρT-ρ|→0.证明。利用傅里叶等距，我们得到|ρT-ρ|=2π| bρT- bρ|。来自命题2。对于给定的z，我们有（bρT（z）- bρ（z））→ 0.谢谢你。4.我们可以应用支配收敛定理，它给出了这种收敛也发生在L。现在我们给出ρT引理4.6的一个Lipschitz型性质。