几乎不稳定Hawkes过程的极限定理

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英文标题：
《Limit theorems for nearly unstable Hawkes processes》
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作者：
Thibault Jaisson, Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Because of their tractability and their natural interpretations in term of market quantities, Hawkes processes are nowadays widely used in high-frequency finance. However, in practice, the statistical estimation results seem to show that very often, only nearly unstable Hawkes processes are able to fit the data properly. By nearly unstable, we mean that the $L^1$ norm of their kernel is close to unity. We study in this work such processes for which the stability condition is almost violated. Our main result states that after suitable rescaling, they asymptotically behave like integrated Cox-Ingersoll-Ross models. Thus, modeling financial order flows as nearly unstable Hawkes processes may be a good way to reproduce both their high and low frequency stylized facts. We then extend this result to the Hawkes-based price model introduced by Bacry et al. [Quant. Finance 13 (2013) 65-77]. We show that under a similar criticality condition, this process converges to a Heston model. Again, we recover well-known stylized facts of prices, both at the microstructure level and at the macroscopic scale.
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中文摘要：
由于霍克斯过程的可处理性和对市场数量的自然解释，霍克斯过程如今被广泛应用于高频金融。然而，在实践中，统计估计结果似乎表明，通常只有几乎不稳定的霍克斯过程才能正确地拟合数据。所谓几乎不稳定，我们的意思是它们内核的$L^1$范数接近于统一。在这项工作中，我们研究了几乎违反稳定性条件的过程。我们的主要结果表明，经过适当的重新缩放后，它们的行为类似于集成的Cox-Ingersoll-Ross模型。因此，将金融秩序流建模为几乎不稳定的霍克斯过程可能是重现其高频率和低频率程式化事实的好方法。然后，我们将这一结果推广到Bacry等人提出的基于霍克斯的价格模型。[Quant.Finance 13（2013）65-77]。我们证明了在相似的临界条件下，这个过程收敛到赫斯顿模型。再次，我们从微观结构层面和宏观层面上恢复了众所周知的价格程式化事实。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Hawk 不稳定 Applications Econophysics Differential

《应用概率年鉴2015》，第25卷，第2600-631DOI期：10.1214/14-AAP1005c数学统计研究所，2015年，Thibault Jaisson和Mathieu Rosenbaum’Ecole Polytec Hnique e Paris和Universit’e Pierre et Marie Curie（巴黎6）提出的几乎不稳定Hawkes过程的极限定理。由于Hawkes过程的可处理性和对市场数量的自然解释，Hawkes过程如今广泛用于高频金融。然而，在实践中，统计模拟结果似乎表明，通常只有几乎不稳定的霍克斯过程才能正确地拟合数据。我们所说的几乎不稳定，是指它们的内核的形式接近统一。在这项工作中，我们研究了最不符合稳定性条件的过程。我们的主要结果表明，经过适当的重新缩放后，它们的行为类似于集成的Cox–Ingersoll–Ross模型。因此，将金融需求流建模为几乎不稳定的Hawkes过程可能是重现其高频和低频风格化事实的好方法。然后，我们将这一结果推广到Bacry等人提出的基于霍克斯的价格模型。[定量金融13（2013）65–77]。我们证明了在相似的临界条件下，这个过程收敛到赫斯顿模型。再次，我们从微观结构层面和宏观层面上恢复了众所周知的价格程式化事实。1.导言。Hawkes过程（Nt）t≥0是自激点过程，其在时间t时的强度，用λt表示，其形式为λt=u+X0<Ji<tφ（t-Ji）=u+Z（0，t）φ（t）-s） dNs，其中u是一个正实数，φ是一个回归核和时间t之前的过程的Jiarethe点；有关更准确的定义，请参见第2节。

这些过程于1971年由霍克斯（见[22–24]）引入，目的是模拟地震及其余震；见[1]。然而，它们也用于其他各种学科。特别是2013年10月。AMS 2000学科分类。60F05，60F17，60G55，62P05。关键词和短语。点过程、霍克斯过程、极限定理、微观结构建模、高频数据、顺序流、Cox–Ingersoll–Ross模型、H eston模型。这是数理统计研究所在《应用概率年鉴》2015年第25卷第2600–631期中发表的原始文章的电子版。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。2 T.JAISSON和M.Rosenbaum近年来，随着（超）高频数据的可用性，金融已成为霍克斯流程应用的主要领域之一。在金融领域引入霍克斯流程可能是因为ChavezDemoulin等人（见[14]）在风险价值估计的背景下，以及Bowsher（见[12]），他使用霍克斯框架联合研究了ied交易时间和中期报价变化。然后，在[9]中，鲍文和豪斯建立了所谓的潜在因子强度霍克斯模型，并将其应用于交易数据。这种方法的另一个先驱是Hewlett。他在[26]中考虑了外汇市场的特殊情况，并对买卖交易数据进行了双变量霍克斯过程。最近，Bacry等人根据两种Hawkes工艺的不同，开发了一种微观结构模型，形成报价；见[6]。此外，Bacry and Muzy在[7]中扩展了这种方法，他们设计了一个能够研究市场影响的框架。

除了中期报价和交易价格之外，还通过霍克斯流程调查了完整的限价订单数据（不仅是市场订单，还包括限价订单和取消）。特别是，在[34]一个十变量多维Hawkes过程中，大量使用了这种方法。请注意，除了微观未来问题外，霍克斯过程也被引入到其他社会问题的研究中，如日常数据分析（见[17]）、金融传染（见[2]）或信用风险；见[18]。霍克斯过程之所以在财务建模中流行，主要有两个原因。首先，这些过程代表了泊松过程的一个非常自然且易于处理的扩展。事实上，与点过程和传统时间序列相比，泊松过程通常被视为i.i.d.随机变量的对立面，而霍克斯过程p扮演着自回归过程的角色；有关这个类比的更多细节，请参见[16]。霍克斯过程吸引力的另一个解释是，通常很容易对这种建模做出令人信服的解释。要做到这一点，霍克斯过程的分支结构非常有用。回想一下，在假设kφk<1的情况下，其中kφk表示φ的形式，霍克斯过程可以表示为一个计算过程，其中移民根据参数为u的泊松过程到达。然后每个移民按照强度函数φ的非齐次泊松过程生育子女，这些子女也按照同一非齐次泊松过程生育子女；见[24]。现在考虑一下，例如，购买（或出售）市场订单的经典案例，正如上面提到的几篇论文所研究的那样。

然后，移民可以被视为外生命令，而孩子则被视为由其他命令触发的命令。除了使我们能够建立这种种群动力学解释，假设kφk<1在霍克斯过程的研究中是至关重要的。为了避免这种情况，让我们把自己放在霍克斯过程（Nt）开始的经典框架中-∞. 在这种情况下，如果想要得到一个关于几乎不稳定的HAWKES过程的平稳极限定理，那么条件kφk<1是必要的。此外，即使在非平稳环境中，为了获得过程的经典遍历性质，通常也需要这个条件；见[5]。由于这些原因，在霍克斯文献中，这种条件通常被称为稳定条件。从实用的角度来看，最近人们对参数kφk非常感兴趣。例如，Hardiman、Bercot和Bouch au d（见[21]）以及Filimonov和S ornette（见[19,20]）使用Haw-kes过程对中期报价数据的分支解释来测量所谓的市场内生性程度。这个度数简单地用kφk来定义，也被称为b牧场比率。对kφkgo的这种解释背后的直觉如下：参数kφk对应于一个人的平均子女数，kφk对应于一个人的平均孙辈数。因此，如果我们称集群为移民的后代，集群的平均大小由pk给出≥1kφkk=kφk/（1）-kφk）。

因此，内生事件的平均比例为φ1/（内生事件的平均比例）-kφk）d除以1+kφk/（1）-kφk），等于kφk。这个分支比可以用霍克斯过程的参数和非参数估计方法来测量；See[36,37]表示基于似然的方法，See[4,39]表示函数φ的函数估计。在[21]中，对1998年至2012年间的E mini S&P期货的kφkare进行了非常稳定的估计，结果在统计学上接近于1。在[19]中，获得了多个资产的0.7–0.8级价值。目前，两个小组正在就这些结果的有效性进行辩论。特别是，在[21]中，有人认为[19]中指数核的选择可能会导致纯粹的结果，而[20]中强调了可能影响[21]中研究的各种偏见。在任何情况下，我们都可以注意到，两组的kφk值都接近一，这与[4]的结果一致，其中对德国国债和Dax期货进行了估计。这一看似持久的统计结果应该让霍克斯过程的用户非常担心。事实上，在参数被推到极限的情况下，应用统计模型几乎是不合适的。事实上，kφkon经验数据的这些值并不令人惊讶。事实上，高频金融中最有记录的典型事实之一是持续性（或长记忆）流动和市场活动度量；例如，参见[11,35]。与自回归p过程一样，通常的霍克斯过程只能表现出短期依赖性，无法再现这一经典经验特征；详见[29]。尽管Hawkes Processs的市场数据相对不足，但它拥有许多吸引人的特性，人们可以尝试将其应用于某些特定情况。

在[21]中，建议我们使用Br’emaud和Massouli’e在[13]中介绍的Hawkes过程的“无祖先”版本。4 T.JAISSON和M.ROSENBAUMFor su-ch过程，kφk=1，但为了保持平稳性和强度的精确预期，需要使用u=0。这可能是一个相关的方法。然而，将参数u设置为0并不完全令人满意，因为该参数具有良好的解释（外生顺序）。此外，在实践中，它并不等于零，见[21]。最后，时变u是一种简单的方法，可以反映市场上观察到的季节性；参见[7]（然而，为了简单起见，我们在本文中使用常数u>0）。这些kφk的经验测量值接近于1，是这项工作的起点。实际上，我们的目标是研究早期不稳定霍克斯过程在大时间尺度上的行为，这与这些估计相对应。更准确地说，我们考虑在[0，T]上观察到的一系列霍克斯过程，其中T进入单位。在范数严格小于1的固定核（不依赖于T）情况下，Hawkes p进程的缩放限制已在[5]中研究过，关于非线性Hawkes进程的情况，另见[42]f。在这个框架中，Bacry等人为Hawkes过程的适当规范化序列获得了一个确定性极限，因为它是偶然重标度Poisson过程的情况。在由两个霍克斯过程的差组成的价格模型中，极限处存在布朗运动（具有一定的波动性）。这两个结果实际上相当直观。实际上，正如泊松p过程和自回归模型一样，霍克斯过程具有短记忆特性。在这项工作中，我们表明，当霍克斯过程几乎不稳定时，这些弱依赖的类行为在中间时间尺度上不再被观察到。

为此，我们认为Haw-kes过程的核依赖于T。更确切地说，我们将近不稳定条件转化为假设，即随着观察尺度T的趋于一致，核的标准值趋于1。我们的主要定理表明，当核的范数以正确的速度趋于一时（意味着观测尺度和核的范数以合适的方式平衡），我们的Haw-kes过程序列的极限不再是一个决定论过程，而是一个综合的Cox–Ingersoll–Ross过程（简称CIR），如[15]中所介绍的。在实践中，这意味着当在适当的时间尺度上服务于内核范数接近1的霍克斯过程时，它看起来像一个集成的CIR。此外，对于[6]中定义的价格模型，在极限情况下，在[5]中获得的布朗运动被赫斯顿模型取代；定义见[25]。这可能更符合经验数据。本文的组织结构如下。第2节给出了假设和主要结果，尤其是向综合CI R的收敛。第3节研究了两个霍克斯过程不同的情况。证据被归入第四部分。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理52。几乎不稳定的Hawkes过程的标度极限。在这一节中，我们给出了一系列几乎不稳定的Hawkes过程的极限beh-avior的主要结果。我们首先介绍我们的假设，并定义我们的渐近设置。2.1. 假设和渐近框架。我们考虑一个点过程序列（NTt）≥0被T索引。对于给定的T，（NTt）满意度=0，过程在时间间隔[0，T]上观察。此外，我们的渐近设置是观察尺度T趋于一致。

强度过程（λTt）定义为t≥ 0乘以λTt=u+ZtφT（T-s） dNTs，其中u是正实数，φTa是R+上满足kφTk<+∞. 对于给定的T，过程（NTt）定义在概率空间上(OhmT、 配备过滤装置（FTt）的∈[0，T]，这是由（NTs）s生成的σ-代数≤t、 此外，我们假设任何0≤ a<b≤T和A∈ FTa，E[（NTb）-NTa）1A]=EZbaλtsad,设置λTas为NT的强度。特别是，如果我们用（JTn）n表示≥1JU mp次（NTt），流程NTt∧JTn-Zt∧JTnλtsds是一个鞅，其特征是λT。从Jacod[27]中可以得到这样的构造。这个过程被称为霍克斯过程。现在让我们给出关于函数φT的更具体假设。我们用k.k表示∞L∞R+上的范数。假设1。对于t∈ R+，φT（T）=aTφ（T），其中（aT）T≥0是一个正数序列，收敛到一，这样对于所有T，aT<1，φ是一个非负可测函数，这样z+∞φ（s）ds=1和z+∞sφ（s）ds=m<∞.此外，φ与导数φ′是可微分的，因此kφ′k∞< +∞ 和kφ′k<+∞.当然，我们所说的T，暗指的是tn∈ 倾向于贫困。6 T.JAISSON和M.ROSENBAUMRemark 2.1。注意，在假设1下，kφk∞现在是最后一天。因此，函数φT的形式依赖于T，因此其形状是固定的，但其形式随T而变化。对于给定的T，这个形式等于，所以比一小，这意味着稳定条件有效。注意，在这个框架中，我们几乎没有爆炸，limn→+∞JTn=+∞.但是，请注意，我们不在固定设置下工作，因为我们的流程从时间t=0开始，而不是从时间t=0开始-∞.kφTkis大于1的情况对应于违反稳定性条件的情况。由于aT=kφTk<1趋于1，我们的框架是接近不稳定性的一种方式。

因此我们称我们的过程为几乎不稳定的霍克斯过程。当然，除了这里使用的乘法器，还有许多其他方法可以使φt的形式收敛为1。然而，这种参数化对于应用来说是足够的，并且非常方便地说明可以获得的不同状态。2.2. 观察量表。在我们的框架中，两个参数退化为完整性：T和（1）-在）-1.这两个序列之间的关系将决定Hawkes过程序列的缩放行为。回想一下，在[5]中，当kφkis固定且小于e时，经过适当的缩放后，霍克斯过程序列的极限是确定的，例如泊松过程的情况。如果1- 将“缓慢”降至零，我们可以期待相同的结果。事实上，我们可能没有足够大的空间来达到渐近区域，对于这样的区域，我们仍然远远没有统一。正如下一个定理所述，这正是所发生的。定理2.1。假设T（1-在）→ +∞. 然后，在假设1下，Hawkes过程序列是渐近确定的，在这个意义上，Lholds中的以下收敛：supv∈[0,1]1 -aTT | NTT v-E[NTT v]|→0.相反，如果1- 注意力太快而归零，情况很可能相当复杂。因此，对于给定的T，霍克斯过程可能已经非常接近不稳定性，而T不足以达到渐近状态。