几乎不稳定Hawkes过程的极限定理

存在c>0，因此对于所有x≥ 0，y≥0和T≥ 1，|ρT（x）-ρT（y）|≤ cT | x-y | 18 T.JAISSON和M.ROSENBAUMProof。我们只需计算ρT R+的导数，即给定的（ρT）′（x）=Tφ′（tx）TkψTk+φ′*ρT（T x）.用kψTk=aT/（1）-aT）以及T（1-在）→ λ、 我们得到|（ρT）′（x）|≤T（ckφ′k∞+ kφ′kkρTk∞). 我们现在考虑为x定义的函数Ft≥ 0字节英尺（x）=mλaTuTρT（x）-E-我们有以下明显的推论。推论4.1。我们有z | fT（x）| dx→ 0.推论4.2。存在c>0，因此对于任何z≥ 0 |英尺（z）|≤ c、 推论4.3。存在c>0，因此对于任何z≥ 0，| bfT（z）|≤ CZ∧1..推论4.4。存在c>0，因此对于所有x≥ 0，y≥ 0和t≥1，|英尺（x）-英尺（y）|≤ cT | x-y |。最后，我们给出了一个引理，关于与函数fT相关的积分差。引理4.7。对于任何0<ε<1，都存在cε，使得对于所有t，s≥ 0，ZR（fT（t-u）-英尺（秒）-u） ）杜≤cεt-s | 1-ε.证据定义gTt，s（u）=英尺（t）-u）-英尺（秒）-u） ，我们很容易得到| bgTt，s（w）|=| e-iwt-E-iws | | bfT（w）|。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理19因此，从推论4.3以及E-iwt-E-iwsw（t）-（s）≤1，我们得到Zr（fT（t-u）- 英尺（秒）-u） ）杜≤捷克| bgTt，西南| dw≤捷克共和国-iwt-E-iws|W∧1.dw≤cZR1+εE-iwt-E-iwsw（t）-（s）1.-εW∧1.w1-εdw | t-s | 1-ε≤cεt-s | 1-ε. 4.3.2. 理论第一部分的证明2。2.我们现在从定理2中第一个断言的证明开始。2.我们把这个证据分成几步。第一步：方便地重写CT。在这一步中，我们的目标是获得CTt的可测量表达式。设d=m/λ。受命题2中ψt的极限行为启发。在方程式下写下-E-电汇（日）+√λmZte-（t）-s） /dqCTsdBTs，其中RTTI明显定义。

通过p arts积分（用于有限变量过程），我们得到CTT=RTt+udZte-v/ddv+√λmZtqCTvdBTv-√λmdZt兹夫-（五）-s） /dqCTsdBTsdv。然后说√λmdZve-（五）-s） /dqCTsdBTs=d（CTv-RTv-u(1 - E-v/d）），我们最终得出vCtt=UTt+dZt（u-CTs）ds+√λmZtqCTsdBTs，（8）20 T.JAISSON和M.ROSENBAUMwithUTt=RTt+dZtRTsds。为了研究CTt的渐近行为，表（8）将非常方便。事实上，我们将证明UTtvan ishes（8）几乎代表了一个随机微分方程。第2步：UT收敛的准备工作。我们现在想证明过程的顺序（UTt）∈对于KoroHod拓扑，[0,1]在定律上收敛到零，因此在[0,1]（u.c.p.）上的紧集上一致收敛。我们在这里展示，要做到这一点，研究一个比UT（稍微）简单的过程就足够了。首先，很明显，显示（RTt）t的收敛性∈[0,1]到零也给出了UT的收敛性。现在回想一下RTT=u（1-在）-u(1 -E-电汇（日）-ZtaTTψTkψTk（ts）ds+√λZtψT（T（T）-s） )-我-（t）-s） /dqCTtdBTs。由于注意到一，第一项趋于零。对于t∈ [0,1]，命题2。2给出了ztattψTkψTk（ts）dstoward 1的收敛性- E-t/d.利用Dini定理，我们得到了[0，1]上的收敛实际上是一致的。因此，使用等式（5），我们可以看到（YTt）t仍然保持不变∈[0,1]将es归零，其中ytt=Zt（mψT（T-u） )-E-（t）-u） /d）dMTt，其中MTT=MTtT/T。第三步：YT的有限维收敛。我们现在展示了（YTt）t的有限维收敛性∈[0,1].引理4.8。对于任何（t，…，tn）∈[0，1]n，我们有以下收敛规律：（YTt，…，YTtn）→ 0.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。

首先，NTtT/t给出了时间t的二次变化，其在时间t的可预测补偿器过程是简单相等的OTZTTλTsds。再加上e[λTt]=u+uZtψT（T-s） ds≤ u+uaT1-在≤cT，我们得到[（YTt）]≤ cZt（mψT（T-s） )- E-（t）-s） /d）ds。现在说明th atmψT（T（T-s） )-E-（t）-s） /d=fT（t-s） 其中，对于x<0，fti定义为fT（x）=0，而fT（x）=mλaTuTρT（x）-E-x/D为x≥ 0，ρt方程（2）中引入的函数。来自推论4。1，E[（YTt）]→0，这将给出结果。第四步：Kolmogorov型不等式f或YT。为了证明YT向0的收敛性，需要证明它的紧密性。我们有以下关于YT增量矩的Kolmogorov型不等式，这是获得紧度的第一步。引理4.9。对于任何ε>0，存在cε>0，因此对于所有T≥ 1,0 ≤t、 s≤ 1，E[（YTt）-YTs）]≤cε|T-s|3/2-ε+T | T-s | 1-ε.（9） 证据。设uE[MT]表示MT的四阶矩度量；定义和属性见[30]中的附录。我们有-YTs]=TZ[0，T]Yi=1英尺T-山雀-英尺s-山雀!uE[MT]（dt，dt，dt，dt）。22 T.JAISSON和M.Rosenbaumt因此，使用[30]中的引理A.17，我们得到[（YTt-YTs）]≤中兴通讯英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜。然后，用柯西-施瓦兹不等式和推论4。2和引理4.7，我们得到了英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜≤ cεTp | t-s | 1-ε和对于p=2,3,4,ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州pdu≤ cεT | T-s | 1-ε、 这使我们能够完成p屋顶。第五步：紧密性。

让我们用网格1/T定义YT的线性插值，~YT=YTtT/T+（tT-tT)（YT）(tT+1） /T-YTtT/T） 。我们用这个插值来表示t- s=1/T，（9）右侧的两个项具有相同的数量级，对于T-s>1/t第二项可忽略不计。我们有下面的引理。引理4.10。顺序（~YT）很紧。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。我们想应用经典的Kolmogorov紧度准则（见[10]），该准则指出，如果存在γ>1和c>0，那么对于任何0≤s≤ T≤1，E | | YTt-~YTs|≤c|t-s |γ，然后| y太紧了。当然，这种不平等并不是持续的。让nTt=tT 和nTs=圣. 设0<ε，ε′≤1/4和T≥ 1.有三种情况：o如果nTt=nTs，使用引理4。9.我们得到了-~YTs]小于| t-s|TE[（Y（nTt+1）/T-YnTt/T）]≤ cεT4（3/2-ε） T | T-s|≤ cεT4（3/2-ε） T | T-s | 1+ε′T4（3-ε′).因为0<ε，ε′≤1/4，这导致脚趾[（~YTt-~YTs）]≤ cεt-s|1+ε′.o如果nTt=nTs+1，则E[（~YTt-~YTs）]≤ cE[（~YTt）-~YTnTt/T）]+cE[（~YTnTt/T）-~YTs）]≤cεt-s|1+ε′.o如果nTt≥nTs+2，再次使用引理4。9.我们得到了-~YTs）]≤ cE[（~YTt）-~YTnTt/T）]+cE[（~YT（nTs+1）/T-~YTs]+cE[（~YTnTt/T）-~YT（nTs+1）/T）]≤ cεT1+ε′+cεnTtT-nTs+1T3/2-ε≤ cεt-s|min（3/2-ε,1+ε′).因此，科尔莫戈罗夫标准成立，这意味着YT的紧密性。我们现在表明，Yt和Yt之间的差异一致趋于零。引理4.11。我们有以下概率收敛：sup | t-s|≤1/T | YTt-YTs|→ 0.24 T.贾森和M.罗森鲍姆屋顶。

回想一下，0≤s≤ T≤ 1.| YTt-YTs|=ZsfT（t-u）- 英尺（秒）-u） dMTu+ZtsfT（t-u） dMTu.因此，我们有| YTt-YTs |小于zst | fT（t-u/T）-英尺（秒）-u/T）|（dNTu+λudu）T+ZtTsT | fT（T）-u/T）|（dNTu+λudu）T.使用推论4。2和4.4，我们得到| YTt-YTs|≤ c|t-s|NTT+ZTλTudu+ CNTtT-NTsT+ZtTsTλTuduT.考虑一下nowsup |T-s|≤1/T | YTt-YTs |。这比CT小NTT+ZTλTudu（10） +2c最大值=0，。。。，TTNT（（i+1）/T）T-NT（i/T）T+Z（（i+1）/T（i/T）TλTudu.从[30]中的引理A.5，我们有NTT+ZTλTudu≤计算机断层扫描。因此，（10）右侧的第一项趋于零。对于第二项，我们在[30]中使用引理A.15（t=i+1TT和s=iTT），它给出了TNT（（i+1）/T）T-NT（i/T）T+Z（（i+1）/T（i/T）TλTudu≤计算机断层扫描。所以，对于任何ε>0，使用马尔可夫不等式，我们得到TNT（（i+1）/T）T-NT（i/T）T+Z（（i+1）/T（i/T）TλTudu≥ε≤cTε。从这个不等式中，由于极大值m被取下了许多T阶项，我们很容易推断（10）右边的第二项的概率趋于零。我们以陈述YT收敛性的命题来结束这一步。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理254.1。该过程将[0,1]上的UCP收敛到0。证据我们有SUPT∈[0,1]| YTt|≤ 监督∈[0,1]| | YTt |+支持∈[0,1]| | YTt-YTt |。来自Lemmas4。8和4.10，我们得到，在Skorohod拓扑的定律中，y趋于零。这意味着UCP的趋同。应用引理4。我们得到了结果。第6步：SDE序列的限制。在最后一步中，我们展示了过程（CTt）的收敛性∈[0,1]朝向CIR进程。为了做到这一点，我们使用了一个事实，即Ct几乎可以用随机微分方程的形式写成。事实上，回想一下CTT=UTt+dZt（u- CTs）ds+√λmZtqCTsdBTs，带btt=√T√uTZtTdMTspλTs。然后我们的目标是将[33]中的定理5.4应用于CT。

这一结果本质上表明，对于一系列SDE，当定义方程的函数和过程满足某些收敛性质时，SDE的解的规律收敛到极限SDE的解的规律。我们现在检查这些收敛性。过程序列（BT）是一个以c为界的鞅序列/√u. 此外，对于t∈ Tt=Tt的二次变化是t+zttdmsttλTs.现在，请注意zttdmsttλTs≤EZTTλTsds≤c/（Tu）。因此，对于任何t，我们都可以得到∈ [0，1]，点t处（BT）的二次变化概率收敛于t。因此，我们可以应用定理VIII。3.11in[28]推导出（BTt）t∈[0,1]对于Skorohod拓扑学向布朗运动收敛。由于UTt收敛到一个确定性极限，我们得到了偶（UTt，BTt）的乘积拓扑的收敛定律∈[0,1]至（0，Bt）∈[0,1]，其中26 T.JAISSON和M.ROSENBAUMB是布朗运动。（0，Bt）的分量是连续的，产品sp ace上的Skorohod拓扑也会发生最后收敛。最后，回想一下（CIR）随机微分方程xt=Zt（u- Xs）dds+√λmztpxsdbs在[0,1]上给出了一个唯一的强解。这与前面的元素一起，使我们能够很容易地将[33]中的定理5.4应用于sequenceCT，从而得出结果。4.3.3. 定理2第二部分的证明。2.我们现在给出定理2.2的第二部分的证明，它涉及Hawkes过程序列NT。LetVTt=（1）-在）TNTtT。我们写了evtt=ZtCTsds+^MTt，其中^MTt=（1）-aT）TNTtT-ZtTλTsds这是一个鞅。利用Doob不等式，我们得到监督∈[0,1]^MTt我≤4E[（^MT）]≤ 4.(1 -aT）TE[NTT]≤4u(1 -aT）T→此外，对于Skorokod拓扑，（CT，t）在[0，1]到（C，t）的律上收敛。

最后一条评论和[31]中关于随机积分序列极限的定理2.6给出了结果lt.4.4。理论证明3。1.我们首先介绍一些符号。在这个证明中，我们写出φT=φT-φTandψT=+∞Xk=1（φT）*k、 此外，我们设置CTT=λT+tT+λT-几乎不稳定HAWKES过程的tTTLIMIT定理和定义（B）Tt=ZtTdMT+s+dMT-sqT（λT+s+λT）-s） ，（B）Tt=ZtTdMT+s-dMT-sqT（λT+s+λT）-s） ，其中MT+s=NT+s-ZsλT+sds，MT-s=NT-s-ZsλT-sds。最后，我们设置MT+t=MT+ttt，MT-t=MT-T tT。我们把理论的证明分成了两半。1分为几个步骤。第一步：方便重写。在第一步中，我们用更方便的形式重写了价格、强度和鞅过程。我们有λT+T-λT-t=Ztφt（t-s） （λT+s）-λT-s） ds+ZtφT（T-s） （dMT+s）-dMT-s） 。因此，与命题2的证明方法相同。1，我们得到λT+T-λT-t=Ztψt（t-s） （dMT+s）-dMT-s） 。从最后一个表达式中，我们很容易得到+t-新界-t=Zt（1+ψt（t-u） ）（dMT+u-dMT-u） ，（11）带有ψT（x）=ZxψT（s）ds。最后，请注意mt+t-机器翻译-t=t（MT+t）-机器翻译-T=ZtqCTsd（B）Ts.（12）步骤2：初步结果。对于s∈ [0,1]，我们定义=λT+sT-λT-sTT。我们得到了以下重要结果。引理4.12。该过程将[0,1]上的UCP收敛到0。28 T.JAISSON和M.ROSENBAUMProof。我们写的是t=ZtfT（t-s） d（MT+s）-机器翻译-s） ，其中fT（x）=ψT（tx）。注意推论4。1、4.2、4.3和4.4都是有效的，如果在他们的声明中，FTI被理论上的FTI所取代。2，我们已经证明了过程ytt=ZTfT（t）收敛到零-s） dMTs。因此，采用相同的策略，但以FTA和MTBYMT取代FTA+-机器翻译-, 很明显，我们得到了结果。第三步：收敛（B，B）。在这一步中，我们证明了（B，B）向二维布朗运动的收敛性。为此，我们研究了过程的二次（共）变化。让我∈ {1,2}，j∈ {1, 2}.

Wedenote by[（Bi）T，（Bj）T]T时间T的bian和Bj的二次共变异。引理4.13。我们有以下概率收敛：[（Bi）T，（Bj）T]T→t1i=j.证明。有三种情况：o如果i=j=1，则使用该NT+和NT-如果没有常见的跳跃，我们得到[（B）T，（B）T]T=ZtTdNT+s+dNT-sT（λT+s+λT）-s） =t+ZtTdMT+s+dMT-sT（λT+s+λT）-s） 。傅·瑟莫尔，EZtTdMT+s+dMT-sT（λT+s+λT）-（s）≤ctTu→因此我们得到了i=j=1的结果如果i=j=2，则证明类似如果i=1和j=2，[（B）T，（B）T]T=ZtTdNT+s-dNT-sT（λT+s+λT）-s） =ZtTdMT+s-dMT-s+λT+sds-λT-sdsT（λT+s+λT-s） 。对于i=j=1的情况，我们很容易得到zttdmt+s-dMT-sT（λT+s+λT）-（s）→0.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理29仍需证明ZTtde定义的ZTtde=ZtXTsCTsds收敛到零。对于任何ε>0，我们有| ZTt|≤Zt1.∧XTsεds+ZtCTs<εds。来自外稃4。12，我们有收敛到零的过程。Fu rthermore，在引理4.15中，我们将证明CT在[0，1]上向C指定的CIR过程收敛。因此，由于限制过程是连续的，我们有（XT，CT）到（0，C）的联合收敛。我们现在使用Skorohod表示定理（不改变符号）。几乎可以肯定的是，我们没有足够大的食物∈[0,1]|XTs |≤ε、 小吃∈[0,1]|CTs-Cs|≤ε.这意味着1.∧XTsεds+ZtCTs<εds≤ ε+ZCs<2εds。回想一下，在有限的时间间隔内，CIR过程的零点集具有零勒贝格测度。因此，利用支配收敛定理，我们很容易看到，方便地选择ε，可以使前面不等式中的第二项任意变小，这就完成了证明。因此，对于任何T，（B）和（B）Tare，两个具有统一边界跳跃和二次（共）变化的鞅满足引理4。13.因此，定理八。[28]中的3.11给出了以下引理。引理4.14。

我们有（（B）T，（B）T）→ （B，B），在定律中，对于Sk-orohod拓扑，其中（B，B）是二维布朗运动。第四步：（CT，（B）T）的收敛。这一步的目的是证明耦合（CT，（B）T）在定律上收敛于（C，（B）），具有C aCIR过程和Ba布朗运动，与C无关。更准确地说，我们有以下引理。30 T.JAISSON和M.ROSENBAUMLemma 4.15。对于Skorhod拓扑，过程偶（CT，（B）T）在[0,1]上向（C，B）收敛，其中，独立于C和C的布朗运动是满足CT=Zt的CIR过程2uλ-铯λmds+mZtpCsdWs，具有另一布朗运动，与B.Proof无关。让我们考虑一下进程NT=NT++NT-. 这是一个强度为λTt=λT+T+λT的点过程-t=2u+aTZt（φ+φ）（t-s） dNTs。因此，我们处于理论2的框架内。2:NTI是一个Hawkes过程，其内核的范数在适当的速度下趋向于1，其重整化强度Ct收敛于CIR。注意，这里的重整化因子是1/T，而不是（1）- 在），这不是一个问题，因为（3）成立。因此，我们得到了Ct对CIR的收敛性。为了获得联合收敛性，我们只需要给出与定理2相同的证明。2（直到出现明显的变化），但将[33]中的时间定理5.4与引理4一起使用。14第五步：技术成果。第五步是证明两个技术结果。第一个例子如下。引理4.16。进程rtt=ZtZ+∞T（T-u） ψT（s）ds d（MT+u）-机器翻译-u） 在[0,1]上将UCP收敛到0。证据我们写的是t=ZtfT（t-u） d（MT+u）-机器翻译-u） ，其中ft（x）=Z+∞txψT（s）ds。结果跟引理4的证明一样。12现在我们给出这一步的最后一个引理。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理31引理4.17。我们有∞Z∞xφi（s）ds dx<∞.证据

使用分部积分和假设4，我们得到∞Z∞xφi（s）ds dx=Z∞xφi（x）dx+limx→∞xZ∞xφi（s）ds≤ 200万。第6步：证据结束。我们最终展示了理论3。1.在这一步中。使用（11）我们写下=1+kφk1-kφk（MT+t）-机器翻译-（t）-ZtZ+∞T（T-u） ψT（s）ds d（MT+u）-机器翻译-u）-kφk1-kφk-aTkφk1-aTkφk（MT+t）-机器翻译-t） 。利用[31]中的T heorem 2.6以及引理4.15和方程（12），我们得到了过程MT的收敛性+-机器翻译-, 超过[0,1]，对于目的论，指向ZTPCSDBs。此外，在引理4.16中，我们知道PTT分解的第二项趋于零。最后，第三项也从φk<1开始消失。这就完成了证明。致谢。我们感谢Emmanuel Bacry的几次有趣的讨论。参考文献[1]Adamopoulos，L.（1976）。地震聚类模型：区域比较。国际数学地质学协会杂志8463–475。[2] Ait-Sahalia，Y.，Cacho Diaz，J.and Laeven，R.J.（2010）。莫德林利用相互激励的跳跃过程进行金融传染。技术报告，美国国家经济研究局，马萨诸塞州剑桥。[3] Alaya，M.B.and Kebaier，A.（2012）。平方根差异的参数估计：遍历和非遍历情况。斯托克。M模型28609-634。MR2995525[4]Bacry，E.，Dayri，K.和Muzy，J.-F.（2012）。对称Hawkes过程的非参数核估计。应用于高频财务数据。欧元。菲斯。J.B 85 1–12.32 T.JAISSON和M.ROSENBAUM[5]Bacry，E.，Delattre，S.，Hoffmann，M.和Muzy，J.F.（2012）。霍克斯过程的尺度限制及其在金融统计中的应用。预印本。AvailableARXIV:1202.0842。[6] Bacry，E.，Delattre，S.，Hoffmann，M.和Muzy，J.F.（2013）。用相互激励的点过程模拟微观结构噪声。定量。金融1365-77。MR3005350[7]Bacry，E.和Muzy，J.-F.（2013）。