金融市场临界性的统计物理学视角

我们可以证明，该模型能够生成具有非高斯特征值的相关矩阵[26]，如在真实金融时间序列[36]中观察到的，但也可以生成无标度资产树和无序周期[4]。这种成对模型提供了关于临界操作点可能性的更多见解。然后，吉布斯分布的重标度被视为所有参数的重标度-1.这种重新缩放是对参数空间切片的研究，该切片对应于随机性变化。T的小值表示共动，大值表示随机性。在这项工作中，拉格朗日乘子是用正则化的伪最大似然[32]估计的，见C的简短描述。我们注意到，接近T=1时，许多模型是可区分的，p参数的轻微变化可能会导致测量的观测值发生重大变化。人们应该比较艺术和经验的结果。首先，我们用实时序列中估计的拉格朗日参数模拟艺术数据。蒙特卡罗马尔可夫链（MCMC）定义如下。如果条件扩散概率p（si，t=-是的，t-1 | s-i、 t）大于区间[0,1]上统一定律的面积化，其中s-i、 这是不包括第三方实体的构成。每一次试飞都会记录一个配置，它定义了蒙特卡罗13/23步（MCS）[37]。详情见D。图4用虚线（1×10平衡MCS和1×10记录MCS）显示了应用于这些人工数据的程序结果。这与经验方差一致，两个峰值（蓝色和虚线曲线）位于相同的T参数值。如果拉格朗日参数{Jij}为正，则方向分布应为单峰f或大T值，而双峰分布则为小T值。

作为定性检验，我们检查经验分布是单峰分布还是双峰分布，如果我们改变随机性水平T，它们可以变成双峰分布，那么有序-无序转变是可能的。如图16第一行所示，指数集的经验分布为imodal，而股票集的分布则为单峰分布，正如前面的实证分析所预期的那样。图16的第二行显示了在不同的随机性水平下，经验氯离子分布和模拟的Pm（T）分布之间的差异。指数集是一个相当有序的系统，概率质量在极值处达到峰值-1，1的网络定位。对于高水平的随机性（T=2），存在无序红色状态。图16的第三幅图显示了从低水平（蓝色）到高水平（红色）的概率密度函数的连续变形。这种变形与相应尺寸的二维最近邻伊辛模型进行了比较，没有单独的偏差。-10.5欧元。指数-10.20.40.60.8mDJ（每日）-10.20.40.60.8mDJ（最小值）-1010.5mSP100-10.10.2mEmp。数据（T=1）-10.1艺术。数据（T=2）-10.10.2艺术。数据（T=1）-10.10.20.3艺术。数据（T=0.8）-1.-0.50艺术。欧元指数-1.-0.5 0m2D Ising（N=9）-1.-0.500.51.5艺术。DJ（分钟）-1.-0.5 0m2D Ising（N=2 5）图16：第一行：为几个数据集演示了经验概率密度函数（pdf）。第二行：网络方向的经验概率质量函数（pmf）与模拟结果的人工分布的比较。第三行：使用10个随机性水平T值（分别在[0.8,2]范围内，蓝色到红色）来检查DF是否可以从单峰持续到双峰，结果与没有单独偏差的2D近邻伊辛模型进行比较。

pdf和pmf按5×10 Monte Carlo步长估算。已安装的maxent模型允许有序-无序转换，这使得它们在临界性检查中的使用更加合理。如[31]所述，此类模型易于在临界点T=1附近累积，但在该区域也具有高度可分辨性。因此，我们检查他们是否返回与实证结果一致的Tmaxin线。可以估计重叠参数q=N的方差14/rqo-1.∑is（1）is（2）i和对数似然的变化。重叠参数测量上标（1）和（2）所示的两个相同系统的配置之间的相关性。已知v变量Ru和Rqa达到了重定标参数的临界值[30]。如果工作点确实很关键，我们应该在T=1附近找到峰值。结果如图17.0.5 1 1.50.51.5Tmax=0.74 Tmax=0.78TDow-Jones（最小）0.5 1 1.50.51.5Tmax=0.82 Tmax=0.86TDow-Jones（每日）0.5 1 1 1 1.50.51.5Tmax=0.90 Tmax=1.04TEur所示。指标0。5.1 1.50.51.5Tmax=0.96 Tmax=0.98TSP100图17：8个指数集、道琼斯指数（每日和每分钟抽样）和SP100指数的重叠参数（虚线）和对数可能性（整线）的方差。在5×10MCS的平衡期后，每个点的计算量超过5×10MCS。左坐标上的最大似然表示方差。我们注意到，峰值确实位于经验值附近。对于指标集，经验和模拟Tmax之间的相对差异等于2%，略微被低估。对于道琼斯指数（min），相对差异相当于6%，略微高估，而对于道琼斯指数（da-ly），Tmax高估了14%。

前两个模型与数据一致，并得出相同的结论：指标集接近临界值（1）- Tmax≤ 道琼斯指数远未达到临界点（1）- Tmax≥ 25%). 道琼斯指数（每日）的经验值和模拟值之间的较大偏差可能是由于拉格朗日参数估计中的推断误差造成的。M/N比率（实体数的样本长度）太小，比道琼斯指数（分钟）小十倍。因此，SP100索引的临界缩放参数可能会出现相同的相对误差。由于模拟结果与经验结果一致，我们对尺寸大于N=8的数据进行模拟，以完成FIG。我们用previ15/23ous MCMC模拟了一个长度为5×10的二元样本，也用多元GARCH过程模拟了一个人工样本，已知该过程捕获了聚集波动性，并且比Ga-ussian过程更肥。我们得到了与经验一致的结果。重缩放参数Tcritis的临界值如图18所示。临界值随尺寸增大而增大，但仍远未达到T=1.5 10 150.20.40.6实体数图18：响应函数Ru达到其最大值时的T参数值VS实体数。正方形代表真实数据，五边形代表多元GARCH（2，2）过程，点代表M CMC。我们注意到，2010年，12807家公司（不包括投资基金）在证券交易所上市（见http://www.world-exchanges.org/)因此，没有明显的理由考虑限制N→ ∞. 尽管规模较小，但市场场所系统明显更接近临界值。这可能是由于有关基础股票的指数的信息聚合[38]。

一组指数可以作为一个规模更大的系统运行。此外，我们可以证明金融网络表现出小世界组织[6]，我们知道复杂网络上的伊辛模型是一个仅在临界温度下的小世界模型[10]。6讨论股票市场嵌入在非均匀背景中。因此，它们应该是异质的，并经历有规律的时期，其间穿插着令人惊讶的事件。在复杂的经济背景下，反应性是一种预期行为。以福岛核事故或2008年次贷危机为例，市场反应明确而迅速。所有股票在一个有组织的fa shion中迅速下跌。这种行为有助于确保所获得的利益，或在情况进一步恶化时防止过度损失。然后，当情况似乎稳定下来，或者股价大幅下跌，使股票变得便宜和有吸引力时，市场会以有序的方式再次上涨。在任何时间尺度上都会遇到这种股票价格的大规模看跌波动[39]。在这些阶段，市场表现出巨大的关联结构和有序状态[40,27,4]，对应于关联强度的增加。此类戏剧性事件影响全球市场（所有经济部门）。另一方面，一些事件（如结束对环保产品、核能等的国家补贴）会对单个或少数经济部门产生影响。然后，临界性被认为是导致同质性的全球效应和导致贸易异质性的局部效应之间的竞争。我们已经看到，对于欧洲指数集，香农熵在工作点T=1附近有一个扩散点。我们认为，随着随机性的变化，微态数急剧增加（或减少）。

熵与平均微态数的对数有关，我们可以通过简单的RU（T）/T积分得到这个量。我们观察到，最大的斜率大约位于距离饱和区（斜率接近于零）较远的实际工作点T=1处。在工作点附近，微态数的对数几乎是线性的，具有较大的斜率，因此拉格朗日参数的变化将导致微结构发生剧烈（以指数16/方式）变化。这表明市场网络具有很强的结构可塑性。熵还衡量股票之间的统计依赖程度。如果股票没有相互影响，系统将被视为一个随机系统，协方差小，反应性低。因此，熵将达到其最大值。在相反的情况下，如果股票相关性最大（意味着反应性也很低），那么就不再存在任何不确定性，整个市场状态将在知道单个状态的情况下是可预测的，熵将为零。因此，如果熵的斜率在操作点达到最大值，这意味着市场处于边缘。任何变化都可能导致市场要么走向随机（无序、独立交易），要么走向高度互动（有序、同步交易）状态。因此，我们期望利用即时信息实现更大的可预测性：使用第i个实体的系统配置截肢-i、 人们应该能够高精度地预测这个实体的状态。这将是另一部作品的主题。最后，从信息聚合来看，欧洲指数集比道琼斯指数更接近临界点[38]。

一组指数是股票价格的加权平均数。考虑到股票是金融网络的基本枢纽，指数代表超级枢纽，作为一个规模大得多的系统。在指数集中，典型的相对聚类大小也比较小，每个聚类包含大约30%的实体总数，如图19[4]所示。对于道琼斯指数而言，聚类规模约为指数规模的10%。因此，相关结构在指数集中具有更大的相对大小，这可能与共同运动和波动之间的正确平衡相匹配。0.6 0.8 1.0 1.2 1.4AEXCACBELIBEXIBDAXEURSTFTSE1.5 2CVxxOmJJMRKPFEKFTKOPGTVZAACADDMMMAXPBACTRVDISGEBAUTXMCDHDWMTCSCOINTCMSFITBMHPQfigure 19：每个数据集的集群说明。指数集的集群（左）返回欧洲经济的一部分。道琼斯指数（右）的聚类回归了不同的经济部门（技术、分销、航空业、电视广播、金融、化工和工业公司、电信、消费品、医疗保健、石油）。从数据分析和模拟中，我们看到欧洲市场似乎在对数可能性方差接近其最大值的点上运行。指数经验函数返回欧洲指数的Top=0.92 a s渐近值（因此最大值），道琼斯指数在分钟抽样时返回Top=0.70。熵不是对数似然的线性函数。通过模拟数据对TOPE进行估计，返回的值接近1，但怀疑该值被高估了约15%。对于道琼斯指数，大17/模拟样本M=5×10（使用通过拟合真实数据获得的参数）返回一致的顶部值 0.65.

此外，金融系统更接近危机开始时的临界状态，这意味着巨大的波动和配置的均匀分布的巨大偏差。这种演变也表明了一个自我组织的过程。市场是一个高度适应的系统。通过自组织，市场对变化或意外事件做出强烈反应，并且其本身并不认为所有可能的事件都是等概率的。然而，通过数据分析，股票交易系统并不完全是临界的，道琼斯指数也远未达到临界状态。此外，金融系统并不稳定在同一个地区，而且在危机发生前就接近临界状态。这是一个有趣的发现，因为在这种模型中，大型雪崩更可能发生在接近临界状态的地方[41]。感谢我要感谢B.De Rock和P.Emplit提供的有益评论和讨论。这项工作是在苏威布鲁塞尔经济与管理学院的财政支持下进行的。一个实际的回答。对返回进行二值化。2.测试统计意义，并确定相应的最大尺寸N.（a）计算配置的经验分布^ps.（b）计算mk（精确采样k次的配置数量）和Ki的经验分布（在样本中观察到配置Si的次数）。（c） 推导它们的熵H[s]和H[K]。（d） 确定H[s]与H[K]关系的最大值。获取响应函数Ru并找到其最大值。重复几次(~ 100）组随机选择的实体。对于每组：（a）计算配置P（s）的经验分布。（b） 将经验分布重新缩放为PT（s）=P（s）1/T∑{s} P（s）1/T（c）计算RU=Tstws（T）=-∑{s}PT（s）log PT（s）。（d） 存储其最大值的坐标。4.

与真正关键系统的有限尺寸版本相比。（a） 计算相对差x=（顶部- Tmax）/Top，其中Top=1。（b） 计算PT=Tmax（s）和Pemp（s）之间的库尔贝克-莱布勒散度（KLD）。（c） 将后一个KLD值与2D近邻伊辛模型的PT=Tcrit（s）和PT=（1+x）Tcrit（s）之间的KLD进行比较。5.按照B中所述，对齐普夫定律进行统计检验。6.检查S（U）与U之间的线性关系，其中U=对数P（S）。将经验结果与模拟结果进行比较。（a） 输入拉格朗日参数（见C）。（b） 使用蒙特卡罗马尔可夫链（seeD）模拟数据。（c） N.d）如果通过计算变量的阶数N=18，则可通过计算变量的阶数N=18计算无序度-1.∑is（1）is（2）i（上标表示的两个副本，与效用函数U的协方差相关）。比较常见尺寸的经验和模拟结果。Tmax的模拟v值与通过拟合经验关系Tmax（N）返回的渐近值之间存在较大差异（>10%），这可能表明拉格朗日参数的推断存在差异[31]，因此拟合较差。B离散幂律[34]给出了幂律的统计检验。我们将此测试调整为具有na tur al上限的离散幂律。在考虑离散情况之前，我们注意到如果分布p（x）~ 十、-β有一个确定的上限xmax，那么累积分布函数（CDF）在对数图中不会是一条直线，因为[X]≥ x] =CstZxmaxxy-βdy=Cst1- βhx1-βmax- x1-βi（8），其中常数将分布标准化为1且β>1。取两边的对数，它是P[X]≥ x] =原木x1-β- x1-βmax+ logCstβ-1（9）[34]中提出的统计方法包括以下方案1。

使用最大似然估计确定幂律与数据的最佳拟合。2.计算Kolmogorov-Smirnov（KS）统计量的优度。KS统计量是经验CDF和估计幂律CDF之间的最大绝对值。3.产生大量(~ 1000）的合成数据集。4.计算p值，作为合成数据集KS统计的分数，其值超过真实数据的KS统计。5.如果p值足够小(~ 0.05），排除了幂律。基于N个观测Ll（β）=Lnl（β）=-βN∑i=1ln xi- N lnxmax∑x=1x-β!（10） 取关于β的导数，得到MLEβMLE满足神经网络∑i=1ln xi=∑xmaxx=1x-βMLEln-xmax∑xmaxx=1x-βMLE（11）βMLE的标准偏差是通过对βMLEL（β）=L（βMLE）+2！L（β）ββMLE（β- βMLE）（12）识别高斯近似项-ln（σ）√2π) -十、-βσ, 它是∑βMLE=vuutN“ζ′（xmax，βMLE）ζ（xmax，βMLE）-ζ′（xmax，βMLE）ζ（xmax，βMLE）#（13） 19/式中ζ（xmax，β）=∑xmaxx=1x-β和素数代表关于β的导数。合成数据以离散幂律分布，上界有限，如下所示。在[0,1]中生成均匀随机变量u的实现，计算∑xmaxx=1x-β和累积和∑xy=1y-β. 最小的整数x∑xy=1y-β≥U∑xmaxx=1x-β被储存。重复此过程以生成所需长度的样本。C正则化伪最大似然rPML方法是估计成对最大熵模型拉格朗日参数的一种有效方法，而公共最大似然是不可追踪的[32]。