金融市场临界性的统计物理学视角

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英文标题：
《A statistical physics perspective on criticality in financial markets》
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作者：
Thomas Bury
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Stock markets are complex systems exhibiting collective phenomena and particular features such as synchronization, fluctuations distributed as power-laws, non-random structures and similarity to neural networks. Such specific properties suggest that markets operate at a very special point. Financial markets are believed to be critical by analogy to physical systems but few statistically founded evidence have been given. Through a data-based methodology and comparison to simulations inspired by statistical physics of complex systems, we show that the Dow Jones and indices sets are not rigorously critical. However, financial systems are closer to the criticality in the crash neighborhood.
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中文摘要：
股票市场是一个复杂的系统，表现出集体现象和特殊的特征，如同步性、以幂律分布的波动、非随机结构和与神经网络的相似性。这种特殊的特性表明，市场的运行处于一个非常特殊的阶段。通过类比物理系统，金融市场被认为是至关重要的，但很少有统计证据被给出。通过基于数据的方法，并与受复杂系统统计物理启发的模拟进行比较，我们表明，道琼斯指数和指数集并不是严格关键的。然而，金融系统更接近崩溃社区的临界状态。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> A_statistical_physics_perspective_on_criticality_in_financial_markets.pdf (523.96 KB)

2022-5-5 02:05:46 上传

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关键词：统计物理 金融市场 物理学 Fluctuations Mathematical

《金融市场关键性的统计物理学观点》托马斯布里斯堡服务歌剧院（CP194/5），布鲁塞尔自由大学，罗斯福大道50号，布鲁塞尔1050号，比利时邮政：tbury@ulb.ac.beAbstract：股票市场是一个复杂的系统，表现出集体现象和特殊特征，如同步、以幂律分布的函数、非随机结构和与神经网络的相似性。这种特殊性质表明，市场有一个非常特殊的点。金融市场被认为与物理系统类似，是至关重要的，但很少有基于统计的证据被给出。通过基于数据的方法，并与受复杂系统统计物理启发的模拟进行比较，我们表明道琼斯指数和指数集并不是严格临界的。然而，金融系统在坠机区更接近临界状态。内容1简介12临界性特征23抽样指数和证券交易所44结果55链接到最大熵模型136讨论16A实用配方18B离散幂律19C正则化伪最大似然20D蒙特卡罗马尔可夫链模拟201简介100年前，意大利经济学家帕累托提出了描述财富分配的幂律概念。这是一个与尺度不变性相关的主要概念，广泛应用于金融和经济学（分数布朗运动、去趋势波动分析、波动建模等）。尺度不变性在金融中至关重要，因为大绝对收益是幂律分布的[1]。这种缺乏任何特征尺度的现象乍一看令人惊讶，但它的基础是复杂系统理论。

由于复杂系统由许多相关实体组成，金融市场表现出集体行为，如同步或非随机结构、在大型相关结构中自我安排的倾向（如[2,3,4]、大型波动[5]和幂律[1]）。此外，金融网络与神经网络有着共同的特性[6]。我们可以在一类属于统计物理学的模型中恢复这些特征，这类模型是成对的最大熵模型，特别适合捕捉集体行为。人们知道，市场在临界状态下可能会表现出一些前一种特征，这些特征是在精确意义上定义的[7]，而最大熵模型可以描述在神经网络[8]和金融市场[4]中观察到的集体行为。因此，人们很容易认为金融市场是至关重要的[9]（在统计物理意义上），就像神经网络一样[10,11,12]。如何从经验上验证临界状态的存在并不明显。提出了1/2的临界性，即对数周期[13]的方法。现象学与临界现象的比较是通过用时间代替温度来完成的，因此时间成为控制参数[14]，但这只是一个类比，对数周期性应被理解为一种动态特征，而不是二阶相变。事实上，有几种动力学机制会产生对数周期性[15]。在这个特定的状态下，基于代理的模型表现出幂律和波动性聚集，也提出了临界性[16,17,18,19,20,21]。然而，不同的规则和模型导致相同的定性程式化事实。由于存在生成程式化事实的非关键机制，因此仍然存在歧义[22]。

此外，检测临界性并不是为复杂系统建模的任务，如果存在明显的关系。关键性检测的严格方法是反向（或基于数据）方法。以这种方式强调了尺度依赖性和尺度不变性之间的转换[23]。在这里，我们还要遵循[24]中描述并在[25]中应用的逆过程（从没有初始假设的数据开始）。该程序还受到统计物理学的启发，提供了临界性的几个统计测试。我们发现，即使观察到一些迹象，所考虑的金融系统也不是严格的关键。更可能的情况是，当金融系统接近崩溃时，金融系统不会保持在同一个状态，并重新关闭到临界状态。临界标度参数（见下文）在碰撞开始附近达到最大值。也就是说，对冲击的响应函数（冲击可以是外生变量或随机性水平的修正）有一个峰值，其位置随着系统规模向欧洲市场的运行点（概率分布为经验分布）扩展。道琼斯指数的运行点远未达到临界点，但如果指数规模足够大，临界点可能会达到。如果系统采样良好，且熵不是对数似然的线性函数，则配置的秩分布不是幂律。此外，我们使用两两最大熵模型[26，4]来检查对数似然的方差和重叠参数的方差是否达到其最大x轴坐标，与经验坐标一致。我们将经验结果与多元GARCH过程和蒙特卡罗马尔可夫链的模拟结果进行了比较。他们证实了实验结果。

最后，我们解释了金融市场的关键性。这些发现对于依赖于市场结构（例如，通过相关矩阵）的投资组合优化以及确定市场如何处理最终可能导致崩溃的信息非常重要。2临界状态的特征临界状态可以被认为是系统处于有序和无序之间的临界状态。如果没有不确定性，市场是完全有序的，因此是同质的（正或负）。在不确定性最大的相反情况下，市场是完全随机且不相关的；观察到正或负回报的概率等于其他市场交易所回报（正或负）的1/2。临界状态是这些极端状态的一半，让市场处于无序和高度异质的边缘。严格来说，只有在有限尺寸的系统中才能达到临界状态。对于有限系统，我们不会观察到分歧，但我们仍然会通过误用语言说关键，我们应该将经验结果与可能达到临界状态的模型的有限版本进行比较（例如，二维最近邻伊辛模型），如[25]所述。统计物理学提供了几种临界性测试。[24]中详述的签名将被迅速召回。首先，我们将金融系统定义为一组股票（或指数）。相对股票收益率被视为随机变量rt，可以改写为rt=sgn（rt）| rt |。股票回报的迹象有时被认为是不相关的，吸引的注意力较少。然而，在危机期间，相关性可能以复杂（非线性）的方式出现，就像同步一样[27]。研究方向（回报的标志）变化很有趣，因为类似伊辛的模型适合描述集体行为。

此外，相对回报率符号的性质比简单的独立随机变量的性质更微妙，并能反映金融市场的特殊结构[26,4]。净方向定义为m（t）=N-1.∑isi，t，如果m（t）>0，则t期间的市场趋势为正。为了研究方向变化，我们考虑2/23一组由二元变量si描述的N个市场指数或N个股票≡ sgn（ri）（对于所有i=1，·N，si=±1）。系统配置将由向量s=（s，··，sN）描述。如果相关股票的趋势为正且等于，则二元变量将等于一-1如果不是。配置（s、·、sN）也可以被视为回报的二元回归。可以将系统处于s状态的概率P（s）形式化为吉布斯分布P（s）=Z-1eU（s）且在不丧失通用性的情况下，将Z设置为1，从而定义效用函数（或能量H=-U、 势等）作为对数可能性：U（s）=对数P（s）。给定配置s的秩r（s）定义为比s相关的幂律值更高（更频繁）的配置数量-logp（s）=αlogr（s）+Cst是临界状态的强烈标志。在这个框架下，可以直接从足够大的样本中获得这些量，并测试齐普夫定律的有效性。该定律的另一个结果是香农熵的线性[25]，它测量平均惊喜或平均对数似然od，用效用函数表示[24]。一个较弱的特征是在操作点（在有限实体数量的限制下）的可能性方差的差异。对于有限系统，如果系统处于临界状态，则可能性的方差应在工作点附近达到峰值。也可以直接从数据中检查此功能。

经验相对频率的标度为asPT（s）=P（s）1/T/∑P（s）1/T；工作点对应于T=1。我们注意到，对于这样的AGIBS分布，我们有identityRU=-回族T=T-2hhUi-hUii=TsT（1），其中S（T）是沙农熵-∑{s}PT（s）重标分布的log PT（s），括号代表相对于PT（s）的平均值。从统计学的角度来看，这个极值是事件的等概率偏差最大的点。在这一点上的操作涉及对数似然的方差达到其最大值，而对于等概率事件，对数似然的方差等于零。对数似然的大方差也意味着它的平均值、熵和巨大的结构变化的大偏差。重定标度参数T可以被认为是一个随机性度量，改变这个参数会导致经验分布的重定。对于T>1，分布将更均匀，更接近图1所示的均匀分布。因此，剩余分布的熵将大于原始分布：越接近均匀分布，熵越大。我们注意到表达式TS/当抽样的概率表达式是可行的时-2.回族-回族允许通过蒙特卡罗模拟进行估计，即使直接采样不可行。当直接抽样可行时，可以估计经验分布为P（s）=M-1.∑Mi=1δsi，其中M是样本长度，计算任意T值的标度分布PT（s），然后使用关系式TS/T表示响应函数的经验推导。-1.-0.5 0 0.5 10.51.5净方向图1：在兰多唯象相位转换理论中遇到的双峰分布的重新缩放示意图。

原始概率密度由任意温度T下的整条线表示*; 重新标度的分布用虚线表示（T=0.25T）*) 以及虚线（T=10T*).3/3抽样指数和股票交易所我们观察了8个欧洲指数（AEX、BEL、CAC、DAX、EUROSTOXX、FTSE、IBEX、MIB）的开盘和收盘价格，样本长度M为2300个交易日（在2002-201年期间，连续九年引发两次全球危机）。我们之所以考虑欧洲证券交易所，是因为一些问题（债务危机等）是这些市场特有的，以确保时间序列的同时性。我们还观察了2002年至2011年3×10交易分钟和每日抽样的道琼斯指数股票。我们考虑了两种不同的时间尺度，来解释相关性降低时的差异。根据Eppseffect[28]，我们预计在低频（每日采样）下采样的系统应比在更高频率（例如分钟采样）下采样的系统更接近临界状态。正回报设置为1，负回报设置为1-1.第一个样本比可能的配置数量大十倍。实际上，每个变量si有两个可能的值，因此它们是2N=8=256个配置。第二个样本不够大，无法进行令人满意的概率估计（因此无法直接估计熵）。由于实体之间可能存在着强烈的相关性，因此不清楚样本结构是否良好。对于强相关实体，与独立实体相比，配置空间中的相关区域较窄。如果真实的配置分布是尖峰的，那么相关的状态就很少。在这种情况下，一个小样本（M<2N）就足以对配置分布进行适当采样。

在相反的情况下，实体是独立的，每个配置具有相同的统计权重，样本量必须大于（M>> 2N）。至关重要的是，要确定避免配置分布P[s]欠采样的最大实体数，因为幂律是在欠采样区域自发出现的[29]。特别是，如果P[s]是良好抽样的，齐普夫定律才是真正的特征。为了评估分析中要考虑的实体的最大数量，我们遵循[29]中描述的程序。适当采样和欠采样之间的界限由平面{H[K]，H[s]中最大值H[K]的坐标确定，其中H[s]是经验配置频率的熵，H[K]是随机变量Ki=K（si）的熵，这是在样本中观察到配置si的次数。除此之外，当H[s]增加时，H[K]降低，这意味着配置的采样次数（近似）相同。简言之，考虑到M个独立配置的样本（s、·sM），配置的经验分布为^ps≡ P[si=s]=M-1.∑Mi=1δsi，s。与样品中构型发生的次数相对应的随机变量Ki的分布写为P[Ki=k]=k mk/Mwhere mk=∑{s}δk，M^psis在样本中精确采样k次的配置数。他们的熵是-∑{s}pslog^ps=-∑kk mkMlogkM（2）H[K]=-∑kk mkMlogk mkM=H[s]-∑kk mkMlog mk（3）可以对这些量进行评估，以获得每个数据集的统计意义。图2中的要点是通过考虑增大系统尺寸而得到的。

每一个点都是通过这个平均值和对随机选择的几组实体进行平均得到的（见附录）。此外，理论极限由信息量最大的样本（图2中的整行）给出，这些样本是关于{mk，K>0}最大化H[K]并满足约束条件的样本≤ N∑kk mk=M和H[K]≤ H[s]，因为随机变量K是s的函数（完整的讨论和推导见[29]）。图2显示了每个数据集和通过成对最大熵模型模拟的艺术数据的统计意义（见D）。我们还模拟了临界点附近大小为N=25的阿什林顿-柯克帕特里克（SK）自旋玻璃的时间序列。欧洲指数被正确抽样，最多7个指数，道琼斯指数每分钟最多8个股票。将样本长度M增加15倍，最多可以考虑N=1个实体。定性观察表明，如果实体高度相关（低随机性），则几乎所有观察到的配置（单词）应为平均方向m（t）=N-1.∑isi，t4/05样本不足。N=7小时[s]欧元。标记0 5 10 15样本不足。N=8H[s]DJ（分钟采样）0 5 10 15 20取样不足。N=11H[s]艺术。DJ（M=5×10）051020欠采样。N=13H[s]SK-s针形玻璃（M=5×10）图2：数据集的统计意义。配置分布P[s]在平面{H[K]，H[s]}左侧正确采样，由虚线分隔。实线代表理论关系，H[K]是H[s]的函数。点代表每个数据集的经验值，随着系统大小的增加（在平面{H[K]，H[s]}中从左到右）。右下面板显示了尺寸为N=25的SK自旋玻璃在临界点附近的结果。对于欧洲指数集，每个p点通过（N）上的平均值计算。