不完全Radner平衡模型的Taylor逼近

对于t:=0，（4.4）的左侧变成|λ（0，0）-λ（0，0）|=RRe-x2Te-F(-x） (二)- f(-x） ）dxre-x2Te-F(-x） dx≥√2πTZRe-x2Te-F(-x） (二)- f(-x） ）dx≥ E-4.√2πTZe-x2Tx1+αdx第一个等式成立，因为λ≤ 2=λ，高斯核积分为1。第一个不等式成立是因为F是正的，而第二个不等式成立于| F |≤ 2和| F |≤ 4.最后一个表达式具有某些常数大于0所需的formconst T1+α。FSX的Proo∈ Rdwe表示j’th坐标，而| x |表示通常的欧几里得2范数。如果X∈ Rd×nha是一个逆X-1我们用X表示-t X的转置-1.我们将使用字母c表示仅取决于（δ，δ，D，α，ai，I，N）的各种常数。如果常数也依赖于一些H–older范数，我们将使用字母C。常数C和C从不依赖于任何时间变量。我们不从一行到另一行重新标记c和c。A.1 H¨older空格在本节中，我们将简要回顾与边界连续函数的H¨older空格相关的标准符号，参见，例如[13]。我们是xα∈ （0，1）在下面的内容中。范数| g |和半范数[g]α由|g |：：=supx定义∈RD | g（x）|，[g]α：=supx，y∈RD，x6=y | g（x）- g（y）| | x- y |α，g∈ 丙(右)。我们用yg是g的导数的向量，并且yyg表示g’s二阶导数的矩阵。H¨older规范定义为|g|α：=|g|+[g]α，g∈ C（RD），|g | 1+α：=|g |+|yg |+[yg]α，g∈ C（RD），|g | 2+α：=|g |+|yg |+|y yg |+[y-yg]α，g∈ 对于k=0,1,2，C（RD）和相应的H¨older空间用Ck+α（RD）表示。在这些表达式中，只要涉及的量是向量或矩阵，我们就求和。

国企。g、 ,|yg |表示SPDD=1|ydg |对于函数g=g（y）∈ 丙(右)。对于时间和状态函数，我们也需要抛物线H¨older空间。对于此类函数，通常的上确界范数定义为|u |：：=sup（t，x）∈[0，T]×RD | u（T，x）|，u∈ C（[0，T]×RD）。我们用tu函数u=u（t，x）对时间的偏导数。上述H¨older范数的抛物线形式定义为|u |α：=|u |+[u]α，u∈ u+1240|于|+[yu]α，u∈ C0,1（[0，T]×RD），|u | 2+α=|图|+[tu]α+| u |+|于|+|yu |+[y-yu]α，u∈ C1,2（[0，T]×RD），其中余和y yu表示关于状态变量的一阶和二阶导数，[h]α：=sup（t，x），（s，y）∈[0，T]×RD，（T，x）6=（s，y）|h（T，x）- h（s，y）|（p | t）- s |+| x- y |）α，h∈ {于，yu，恩。相应的抛物线H¨older空间用Ck+α（[0，T]×RD）fork=0，1，2表示。我们用一个简单的不等式来结束这一节，稍后我们会用到这个不等式。引理A.1。对于h，h，hand，hincα（[0，T]×RD），我们有：|hh-~h~h |α≤|H-~h |α| h+~h |α+| h+~h |α| h-~h |α. （A.1）证据。[13]中的方程式（3.1.6）产生了h，h∈ Cα（[0，T]×RD）不等式[hh]α≤ | h |[h]α+[h]α|h |。从这个不等式和|·|α的定义，我们得到|hh |α=|hh |+[hh]α≤ |h | | h |+[hh]α≤ |h |α| h |α。因此|hh-~h~h |α=（h）-~h）（h+~h）+（h+~h）（h）-~h）α、 三角形不等式产生（A.1）。A.2线性代数的估计我们从线性代数的以下结果开始，我们需要下一节。对于D×D正有限矩阵X，我们用| | X | | F表示Frobenius范数，即| | X | | F:=DXi，j=1Xij。我们注意到柯西-施瓦茨不等式成立：|Xx |≤ ||X | | F | X |代表X∈ 引理A.2。让C满足假设2.3。我们定义了D×D矩阵∑（t，s）：=ZstC（u）C（u）Tdu，0≤ t<s≤ 1.

（A.2）（1）函数∑是对称的，正定义，满足：∑（t，s）ij |≤δ（s）- t） ，δ（s）- （t）≤ ∑（t，s）ii，i，j=1。。。，D.（2）逆∑（t，s）-1存在且对称、正定义且满足δ（s- （t）≤ ∑（t，s）-1ii≤δ（s- t） ，i=1。。。，D.因此，∑（t，s）-1ij|≤δ（s）-t） 对于i，j=1。。。，D.（3）Cholesky分解中的下三角矩阵L（t，s）∑（t，s）=L（t，s）L（t，s）Tsatis fies | L（t，s）ij |≤qδ（s）- t） ，L（t，s）ii≥pδ（s）- t） ，i，j=1。。。，D.（4）对于0≤ 我们有| | L（t，s）- L（t，s）| | F≤ C√T- 这里c是常数，仅取决于δ，δ，D。（5）存在常数c，仅取决于δ，δ，D，因此对于i=1。。。，D:q∑（t，s）-1ii-q∑（t，s）-1ii≤ c分钟(√s- t、 t- t（s）- t） ），0≤ t<t<s.证明。（1） ：对称性来源于（A.2）。为了你∈ RD，假设2.3的条件（2.7）∑（t，s）y | y |=ZstyTC（u）C（u）Ty | y | du∈ [δ（s）- t） ，δ（s）- t） ]。（A.3）因此，∑（t，s）也是正定义。让y作为i的基向量ei∈ 我们看到δ（s）- （t）≤ ∑（t，s）ii≤ δ（s）- t） 。最后，不等式∑（t，s）ij |≤p∑（s）- t） ii∑（s）- t） jj，看问题7.1。[10]中的P1产生（1）。（2） ：因为∑（t，s）-1是正定义，∑（t，s）的特征值-1是∑（t，s）特征值的倒数。然后，从第（1）部分和问题4.2中引出所声称的不等式。[10]中的P3。最后一个估计值来自∑（t，s）-1ij|≤q∑（s）- （t）-1ii∑（s）- （t）-1jj。（3） ：为了查看第一项索赔，我们注意到∑（t，s）=L（t，s）L（t，s）和（1）producexj=1L（t，s）ij=∑（t，s）ii≤ δ（s）- t） 。为了看到第二个主张，我们使用推论3.5.6、定理4.3.17和推论7.2.9in[10]来表示∑（t，s）ii=si’th主子∑（t，s）（i-1）∑（t，s）的第主子≥pδ（s）- t） 。（4） ：我们用归纳法证明了这一点。

在第（1）部分中，我们有| L（t，s）- L（t，s）|=p∑（t，s）-p∑（t，s）≤p∑（t，s）- ∑（t，s）=p∑（t，t）≤qδ（t）- t） 。对于诱导步骤，我们假设有一个常数c，使得| L（t，s）ij-L（t，s）ij|≤C√T- t对于j=1。。。，K- 1和i=j。。。，D.对于j=i=k，我们有| L（t，s）kk- L（t，s）kk |=|L（t，s）kk- L（t，s）kk | L（t，s）kk+L（t，s）kk≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）t）kkt，∑-K-1Xj=1L（t，s）kj- L（t，s）kj≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）δ（t）- t） +k-1Xj=1 | L（t，s）kj- L（t，s）kj | L（t，s）kj+L（t，s）kj|≤pδ（s）- t） +pδ（s）- （t）δ（t）- t） +2c（k）- 1)√T- tqδ（s）- （t）.第一个不平等来自（3）。第二个不等式来自（1）。最后一个不等式来自（3）和归纳假设。最后一项由c限定√T- t对于某些常数c.对于j=k和i=k+1。。。，D我们可以使用∑=ll来获得表示（t，s）ik=∑（t，s）ik-主键-1j=1L（t，s）kjL（t，s）ijL（t，s）kk，0≤ t<s，并使用类似于上一个对角线情况的参数来获得上界。总之，我们有Frobenius范数估计| | L（t，s）- L（t，s）| | F≤ C√T- t、 （5）：使用t∑（t，s）-1= -∑（t，s）-1.t∑（t，s）∑（t，s）-1我们看到了0≤ t<s:tq∑（t，s）-1ii=p∑（t，s）-1ii∑（t，s）-1C（t）C（t）t∑（t，s）-1.二、≤qδ（s）- t） δ∑（t，s）-1∑（t，s）-1.二、.因此，（2）给出了界限tq∑（t，s）-1ii≤ c（s）- （t）-3/2，对于某些常数c，中值定理产生q∑（t，s）-1ii-q∑（t，s）-1ii≤ 计算机断层扫描- t（s）- t） 3/2。这个不等式结合（2）得出了证明。A.3热方程的正则性我们让∑（s，t）由（A.2）定义，我们让Γ表示以下D维（非齐次）高斯核：Γ（t，s，y）：=e-yT∑（t，s）-1y（2π）D/2et∑（t，s）1/2, 0 ≤ t<s≤ T、 y∈ 路（A.4）引理A.3。为了f∈ Cα（[0，T]×RD）我们对所有T∈ [0，T]和y∈ RD:ydZTtZRDΓ（t，s，x- y） f（s，x）dxds=-ZTtZRDΓyd（t，s，x- y） f（s，x）dxds，对于d=1。。。，D.证据。

我们首先假设fis在紧支撑下是连续可微的。在这种情况下，支配收敛定理和部分积分产生了这种主张。对于F相关连续和有界，我们近似如下：我们First Fix R>0。由于Γ（t，·，·，·）和Γyd（t，·，·，·）在[t，t]×R上都是可积的，我们可以找到Mn>R，这样zttz····|≥锰-RΓ（t，s，x）dxds≤n、 ZTtZ | x|≥锰-R|Γyd（t，s，x）|dxds≤n、 n∈ N.每N∈ N、 紧支撑函数的密度允许我们找到一个连续可微的紧支撑函数fn，这样| fn|≤ |f |，sup | x|≤Mn，s∈[t，t]| fn（s，x）- f（s，x）|≤n、 对于| y |≤ R我们有{x∈ RD:|x+y |>Mn} {x∈ RD:|x |>Mn- R} 因此，ZTtZRDΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds≤ZTtZ | x+y|≤MnΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds+ZTtZ | x |>Mn-RΓ（t，s，x）fn（s，y+x）- f（s，y+x）dxds≤Tn+2 | f | n.对于| y |用Γyd替换可以发现类似的估计（在y中也是一致的）≤ 兰德·t∈ [0，T]我们定义了函数sgn（T，y）：=ZTtZRDΓ（T，s，x- y） fn（s，x）dxds，n=0，1。。。，h（t，y）：=-ZTtZRDΓyd（t，s，x- y） f（s，x）dxds。由于我们有紧密的支持，我们有ydgn=-RTtRRDΓydfndxds。因此，0=limn→∞副食品|≤R | gn（t，y）- g（t，y）|=limn→∞副食品|≤R|ydgn（t，y）- h（t，y）|。微积分的基本定理为|y |≤ R:g（t，y，…，yd，…，yd）- g（t，y，…，0，…，yD）=limn→∞gn（t，y，…，yd，…，yd）- gn（t，y，…，0，…，yD）=limn→∞Zydydgn（t，y，…，ξ，…，yD）dξ=Zydh（t，y，…，ξ，…，yD）dξ。自从ydgni连续且一致收敛于h（在| y |≤ R） 我们知道H也是连续的。然后我们可以申请获得ydg=h。由于R>0是任意的，因此该声明如下。引理A.4。假设2.3：对于α∈ （0,1）和T∈ [0,1]我们让f∈Cα（[0，T]×RD）和g∈ C2+α（RD）可以给出。

然后存在常数c=c（δ，δ，α，D）和唯一解u∈ （ut+tr）的C2+α（[0，T]×RD）(y-yu（i）CCT）+f=0，u（T，y）=g（y），（A.5），满足| u | 1+α≤ C|g | 1+α+√T | f |α. （A.6）证据。[14]第4章中的定理5.1确保了（a.5）的唯一C2+α（[0，T]×RD）解u的存在性。从[11]中的第5.7B节，我们得到了费曼-卡克表示：u（t，y）=ZRDΓ（t，t，x）- y） g（x）dx+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（s，x）dxds。（A.7）从陈述（A.7）中，我们立即获得| u（t，y）|≤ |g |+（T）-t） |f |提供范数估计|u|≤ |g |+T | f |，（A.8）由于∑（T，s）是正定义的，因此对于下非奇异三角矩阵L（T，s），存在唯一的Cholesky分解∑（T，s）=L（T，s）L（T，s）T。此外，∑（t，s）-1=L（t，s）-TL（t，s）-1.当改变变量时，通过使用det（L（t，s））=det（∑（t，s）），我们可以重新写入（A.7）asu（t，y）=ZRDe-|z |（2π）D/2g（y）- L（t，t）z）dz+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（s，x）dxds。（A.9）自从g∈ C2+α我们可以在gintegral上应用支配收敛定理，我们可以在（A.9）中的f-积分上应用引理A.3来产生：uyd（t，y）=ZRDe-|z |（2π）D/2gyd（y）- L（t，t）z）dz-ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdfs、 y- L（t，s）zdzds，（A.10）在替换z=L（t，s）之后-1（y）- x） 在f积分中。自| | L（t，s）-T | | F=tr∑-1（t，s））≤Dδ（s）-t） 根据引理A.2（2），柯西-施瓦茨不等式产生| uyd（t，y）|≤ | gyd |+| f | ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDdzds≤ |gyd |+| f | ZTtZRDe-|z |（2π）D/2 | | L（t，s）-T | | F | z | dzd s≤ |gyd |+D | f | ZTtpδ（s- t） ZRDe-|z |（2π）D/2 | z | dzds。通过计算积分，我们得到了估计值| uyd|≤ | |c |d√T | f |。（A.11）估计半范数[yu]α我们将提供四个估计值，当组合产生该估计值时。

我们从0<t<t<t和y，y开始∈ RD.对于我们的第一次估算ZRDe-|z |（2π）D/2gyd（y）- L（t，t）z）- gyd（y）- L（t，t）z）dz≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2Y- L（t，t）z- y+L（t，t）zαdz，≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2|Y- y |+| L（t，t）- L（t，t）| | F | z|αdz≤ [gyd]αZRDe-|z |（2π）D/2|Y- y |+c | t- t | 1/2 | z|αdz。第一个等式是由于插值不等式，它确保[gyd]α<∞, 例如，参见[13]中的定理3.2.1。第二个不等式使用Cauchy-Schwartz的正弦性质，而最后一个不等式来自引理A.2（4）。第二个估计是：ZttZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdfs、 y- L（t，s）zdzds=ZttZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDFs、 y- L（t，s）z- Ft、 ydzds≤ c[f]αZtt√s- 扎德-|z |（2π）D/2 | z||s- t | 1/2+| s- t | 1/2 | z|α-dzds≤ c[f]α| t- t |（α+1）/2，其中第一个不等式如前所示。第三个估计值与之类似，如下所示：ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDFs、 y- L（t，s）z- Fs、 y- L（t，s）zdzds≤ c[f]αZTt√s- 扎德-|z |（2π）D/2 | z||Y- y |+| t- t | 1/2 | z|αdzds。对于第四个也是最后一个估计，我们首先考虑了d=d的情况，即L的三角形结构-1和L-Twe haveq∑-1DD=L-1DD=L-TDD。这给了我们ZTtZRDe-|z |（2π）D/2nL（t，s）-TzD-L（t，s）-Tz自由度s、 y- L（t，s）zdzds=ZTtZRDe-|z |（2π）D/2nq∑（t，s）-1DD-q∑（t，s）-1DDozD×Fs、 y- L（t，s）z- Ft、 ydzds≤ c[f]αZTtmin(√s- t、 t- t（s）- t） ）ZRDe-|z |（2π）D/2 | zD ||s- t | 1/2+| s- t | 1/2 | z|αdzds，其中不等式来自引理A.2（5）。通过执行以下替换，情况d<d可以简化为情况d=d：Welet J是通过交换d×d-单位矩阵的第d行和第d行而得到的d×d-矩阵，我们让＠L是Cholesky分解J∑J=＠L＠LT中的下三角矩阵。

对于z:=L-1J（y）- x） 我们有∑（t，s）-1（y）- 十）d=J∑（t，s）-1（y）- 十）D=J∑（t，s）-1JJ（y）- 十）D=L（t，s）-TzD、 其中，JJ是D×D-单位矩阵，J∑-1J=~L-TL-1.这四个估计与三角形不等式以及表示（A.10）一起产生抛物线半范数估计[uyd]α≤ C|g | 1+α+√T | f |α. （A.12）最后，通过组合三个估计值（A.8）、（A.11）和（A.12），并使用T≤ 我们得出抛物线范数估计（A.6）。定理A.5。在定理3.1的假设下：存在T∈ （0，1）对于所有的T<T，对于i=1，2，…，在u（i）=u（i）（T，y）中的非线性PD E-s系统。。。，我：tu（i）+2ai |λ|- λT\'CT余（i）+ai|“CT余（一）|- |计算机断层扫描余（一）|+tryu（i）CCT= 0，u（i）（T，y）=g（i）（y），其中，C如定理4.1所示，耦合函数λ定义为λ（T，y）：=τ∑C（T）TIXj=1yu（j）（t，y），（A.13）有一个独特的解决方案u（i）Ii=1 C2+α（[0，T]×RD）。证据我们确定：=C1+α（[0，T]×RD）如果我∈ N、 以及规范：kvkST:=maxi∈{1,2，…，I}| v（I）| 1+α，v∈ 圣路易斯C1+α（[0，T]×RD），|·| 1+α是Banach空间，我们还有（ST，| |·| | ST）是aBanach空间。下面我们将使用引理A.4中的符号。对于i=1。。。，我确定了地图的第I坐标∏（I）∏：ST→ Β（x，t）∏- y） g（i）（x）dx+ZTtZRDΓ（t，s，x）- y） f（i）（v）（s，x）dxds，其中f（i）：ST→ Cα（[0，T]×RD）由f（i）（v）：=2ai |λ（v）定义|- λ（v）T\'CTyv（i）+ai|“CTyv（一）|- |计算机断层扫描yv（一）|, （A.14）λ（v）：=τ∑CTIXj=1yv（j）。基于引理A.1，我们得到了v，~v∈ 估计值：| f（i）（v）|α≤ ckvkST，| f（i）（v）- f（i）（v）|α≤ c（kvkST+kvkST）kv- 对于常数c，vkST（A.15）。

通过将（A.6）与（A.15）相结合，我们得到了|∏（i）（v）| 1+α的估计≤ C|g（i）|1+α+√T kvkST,|π（i）（v）- π（i）（~v）|1+α≤ C√T（kvkST+kvkST）kv- ■vkST。因此，通过∏的定义，我们得到了估算的sk∏（v）kST≤ Cmax1≤我≤I | g（I）| 1+α+√T kvkST,k∏（v）- π（~v）kST≤ C√T（kvkST+kvkST）kv- ■vkST。（A.16）为了确保∏是收缩映射，我们考虑实数R>0和t∈ （0，1）使得（这些常数R和Texist）cmax1≤我≤I | g（I）| 1+α+pTR≤ R、 2cpTR≤.（A.17）对于T∈ （0，T）我们定义了R球BT:={v∈ ST:kvkST≤ R}C1+α（[0，T]×RD）I.估算（A.16）和参数限制（A.17）产生∏映射到BT，并且∏是BT上的收缩映射。由于空间（ST，| |·| | ST）是完整的，因此存在唯一的固定点u∈ 地图∏的边界。点特性∏（u）=u意味着u（i）由（A.7）给出，f:=f（i）（u）∈Cα（[0，T]×RD）。通过唯一性，我们得到u（i）∈ C2+α（[0，T]×RD）。因此，功能u（i）Ii=1 C2+α（[0，T]×RD）求解所述PDE系统。A.4剩余证明用我D×N矩阵，其上N行为单位矩阵xin×N，其中所有剩余项均为零。定理3.1的证明。我们将使用定理A.5，并让T<T。然后我们可以通过（A.13）以及常数：=τ∑TIXi=1来定义函数λ=λ（T，y）u（i）（0,0）- g（一）. （A.18）证明分为以下两个步骤：步骤1：对于i=1。。。，我们定义了N维过程^H（I）t:=aier（t-（t）λ（t，Yt）- 人工智能C（t）t余（i）（t，Yt）, T∈ [0，T]，（A.19），其中“C（T）ij表示i=1的C（T）ij。。。，D和j=1。。。，N我们将证明^H（i）在某个集合Ai=Ai（^Q（i））中是可容许的，并且在某个集合中达到了上确界∈爱辉X0，HT+g（i）YTi、 （A.20）我们注意到，在（A.20）中，由于指数参考结构，初始财富是不相关的。

我们定义了函数V（i）（t，x，y）：=-E-人工智能呃(T)-t） x+u（i）（t，y）以及过程d^X（i）t:=r^X（i）tdt+（^H（i）t）tt（dt）λ+我TdWt^X（i）：=0。它^o引理产生了V（i）=V（i）（t，^X（i）t，Yt）到bedV（i）=xV（i）（^H（i））T我TdWt+(yV（i））TC（t）dWt=-V（i）nλT- 人工智能yu（i））T\'C我T+ai(余（我）不知道。（A.21）自yu（i）和λ是有界的，我们可以利用Novikov条件来证明V（i）确实是P-鞅。因为V（i）（t，^X（i）t，Yt）是鞅，所以我们有q（i）：=E埃尔图伊^X（i）T+g（i）（YT）∈(0, ∞). 然后，我们可以通过FT:d^Q（i）dP:=V（i）上的RadonNikodym导数确定P-等价概率测度^Q（i）T、 ^X（i）T，YTV（i）（0,0,0）=erTU′i^X（i）T+g（i）（YT）q（i），i=1，2。。。，一、 其中，最后一个等式来自终端条件u（I）（T，y）=g（I）（y）。接下来我们将证明^Q（i）∈ M.根据V（i）的鞅性质，我们得到了d^Q（i）dPFt#=V（i）（t，^X（i）t，Yt）V（i）（0，0，0），t∈ [0，T]。因此，dV（i）的动力学（A.21）与Girsanov定理一起确保了∧s:=s/s（0）是N维^Q（i）-鞅，因此，^Q（i）∈ M.因为)S的灵活性是e-r由（A.19）定义的过程^H（i）是一致有界的，我们得到了过程^X（i）te-rtis a^Q（i）-t的鞅∈ [0，T]，因此，^H（i）∈ 人工智能。最后，对^H（i）最优性的验证是相当标准的，如下所示。芬切尔不等式产生Ui（x）≤ U*i（y）+xy代表所有x∈ R和y>0在哪里*iis是Ui的凸共轭，即U*i（y）：=supx∈R用户界面（x）-xy.