不完全Radner平衡模型的Taylor逼近

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英文标题：
《Taylor approximation of incomplete Radner equilibrium models》
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作者：
Jin Hyuk Choi and Kasper Larsen
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the setting of exponential investors and uncertainty governed by Brownian motions we first prove the existence of an incomplete equilibrium for a general class of models. We then introduce a tractable class of exponential-quadratic models and prove that the corresponding incomplete equilibrium is characterized by a coupled set of Riccati equations. Finally, we prove that these exponential-quadratic models can be used to approximate the incomplete models we studied in the first part.
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中文摘要：
在指数投资者和布朗运动控制的不确定性的背景下，我们首先证明了一类一般模型的不完全平衡的存在性。然后，我们引入了一类可处理的指数二次模型，并证明了相应的不完全平衡由一组耦合的Riccati方程描述。最后，我们证明了这些指数二次模型可以用来逼近我们在第一部分研究的不完全模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Taylor_approximation_of_incomplete_Radner_equilibrium_models.pdf (267.6 KB)

2022-5-5 02:17:05 上传

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关键词：Radner Taylor Quantitative Optimization equilibrium

美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学数学科学系非完全平衡模elsJin Hyuk Choi的泰勒近似15213电子邮件：jinhyuk@andrew.cmu.eduKasper美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学拉森数学科学系15213电子邮件：kasperl@andrew.cmu.eduJune2018年4月摘要：在指数投资者和受布朗运动支配的不确定性的背景下，我们首先证明了一类一般模型的不完全平衡的存在性。然后，我们引入了一类可伸缩的指数二次模型，并证明了相应的不完全平衡点由一组耦合的Riccati方程描述。最后，我们证明了这些指数二次模型可以用来近似我们在第一部分研究的不完全模型。1引言在具有异质指数效用投资者的多维自回归布朗环境中，我们首先证明了不完全均衡的存在。每个投资者的捐赠都允许包含不可交易的风险成分，这意味着模型的不完整性。其次，我们构造了一类不完全模型，其平衡点由耦合的Riccati方程描述。然后，我们证明了这类易于处理的模型可以作为我们首先考虑的一般模型的泰勒近似。我们构造了一个例子，表明已建立的收敛速度（视为时间范围的函数）无法得到改善。完整的模型，即投资者收入流（捐赠）可以交易的模型，在文献中得到了广泛的研究，参考文献包括教科书[12]、[6]和[5]。或者，当投资者的捐赠无法交易时，基础模型是不完整的。

目前关于具有非退火禀赋和连续时间交易的布朗模型中平衡点的存在性的文献非常有限。与不完全平衡相关的理论在数学上更为复杂，因为不存在所有可能平衡的简单优先参数化。对于完整的模型，representativeagent通过恒定的帕累托系数权重提供这种参数化。工作文件[4]概括了代表性代理的概念，包括考虑模型不完整性所需的随机权重（非帕累托效率）。然而，[4]需要对偶优化器的某些属性，这些属性很难预先验证（参见[4]中的定理4和5）。本文[2]提出了一个基于多维布朗运动的模型，该模型产生了不完全均衡包含形式，并量化了收入不完全性对均衡利率的负影响。工作文件[3]将[2]扩展到包括非贸易随机收入波动成分，并表明这一特征既可以降低均衡利率，又可以提高均衡股权溢价。本文[17]使用Banach的不动点定理来确保一个模型中的平衡存在，该模型中的噪声由一个布朗运动和一个独立的指示过程产生。论文[16]在禀赋衰减性质下，利用Schauder不动点定理证明了多重布朗运动情况下不完全平衡的存在（见[16]中的假设2.3.1]）。我们展示了如何将[17]中的证明调整到我们的设置中，其中，基础因子过程是由多粒子运动驱动的多维Ornstein-Uhlenbeck过程。此外，我们删除了[16]中使用的上述衰减特性。

与[17]和[16]相比，我们的设置还包括一个内生决定的利率。在本文的第二部分，我们构造了一类指数四分体模型，其相应的平衡点由一组耦合的Riccati方程描述。这类模型具有很强的可处理性，因为它由简单耦合的常微分方程描述。我们证明，一般情况下的完全均衡可以通过用二次泰勒近似替换个人投资者的禀赋来近似（在短时间范围内）。这种近似属于指数二次模型。随着时间范围的消失，与近似均衡相对应的风险过程的市场价格（以L-形式）收敛于与一般均衡相对应的风险过程的市场价格。我们举例说明，我们已经确定的收敛速度（总体上）是无法提高的。本文的结构如下：在下一节中，我们建立了模型，并分析了个人投资者的问题。第三节给出了主要的存在性结果，第四节介绍了泰勒近似并建立了其收敛性。所有证据都在附录中。2模型设置2。1数学设置和符号对于向量x，我们用x的转置表示Ohm, F、 P是一个概率空间，其中W=（W（1）。。。，W（D））是D维布朗运动，即每个坐标过程都是一维布朗运动，所有坐标过程都是独立的过程。我们考虑单位时间范围，让过滤（Ft）t∈[0,1]是W产生的常见强化过滤。为了简单起见，我们将假设F=F。我们简要回顾一下随机积分的以下标准符号，例如[15]。

对于二维过程X和Y，X是连续半鞅，我们写Y∈ Lt（X）如果Y是一个渐进可测过程，那么向量随机积分rsyudxu=（Y·X）对于s是很好的定义∈ [0，t].2.2因子过程基本的马尔可夫因子过程将用Y=（Yt）t表示∈[0,1]定义如下：我们考虑确定性、可测性和局部有界函数[0,1]→ RDB和C:[0,1]→ RD×D。那么，以下D维Alornstein-Uhlenbeck工艺得到了很好的定义：=A（t）+B（t）Ytdt+C（t）dWt，Y∈ RD.（2.1）这种对基础因素的选择过程已广泛应用于金融业。特别是，Vasicek和Hull White的期限结构模型以及它们的多因素扩展都基于这种动力学。我们参考[7]了解更多细节。2.3金融模型我们考虑一种纯交换经济，即存在一种单一的消费品，所有价格都在其中报价。投资者只能在初始（t=0）和到期（t=t）时消费，而交易可以在整个[0，t]期间持续进行∈ （0，1）。除了货币市场账户S（0），投资者还可以交易N种非股息支付证券S=（S（1）。。。，我们总是认为≤ 当N<D时，得到的模型是不完整的。在下一节中，我们将提供以下假设成立的条件。集合M表示等价的局部鞅测度Q的集合，即Q∈ M是一个P-等价概率测度，在该测度下，S:=S/S（0）具有零漂移。假设2.1。存在一个连续函数λ：[0，T]×RD→ r和A常数r∈ R例如：1。货币市场账户采用恒定利率r，即其价格过程为S（0）t=ert。

风险证券的价格过程的动力学在asdS（n）t中有很好的定义=λ（t，Yt）+rS（n）tdt+dW（n）t，S（n）=1，n=1，2。。。，N.（2.2）2。过程λ（t，Yt））t∈[0，T]确保M不是空的。在假设2.1中，利率被认为是恒定的，因为投资者只能在最初和到期时消费。由于风险证券不支付股息，其波动性结构和初始值仍然不确定。我们在（2.2）中使用的对角波动率结构因其符号简单而被选择，并且可以很容易地被一般的随机波动率矩阵取代。（2.2）中n维向量λ（t，Yt）的第n个分量是通过定义S（n）的超额无风险收益，也被称为W（n）风险过程的市场价格。2.4拉德纳均衡模型∈ N系数ai>0:Ui（b）：=-E-哎呀，哎呀∈ R.我们假设每个投资者的主观概率测度为P。我们对投资者在T时支付的捐赠进行建模∈ （0，1）通过连续函数g（i）：RD→ Rwheras投资者的初始捐赠用g（i）表示∈ R代表我∈ {1,2，…，I}。注[1]讨论了在R上定义效用函数时，可接受性的几个可能概念。我们将使用以下投资者特定的可接受性概念。我们∈ {1,2，…，I}。在假设2.1下，对于固定的衡量标准^Q（i）∈ 我们认为这是一个过程∈ 如果（H·S）是a^Q（i）-supermartingaleon[0，T]，在这种情况下，我们写H∈ Ai=Ai^Q（i）.

投资者i，i=1，2。。。，一、 寻求（^c（I），^H（I））∈ R×Aisuch：supc∈R、 H∈爱辉c+g（一）+ 用户界面十、-c、 HT+g（一）YTi=EUi（^c（i）+g（i））+Ui十、- ^c（i），^H（i）T+g（i）YT,（2.3）式中，dXx，Ht:=rXx，Htdt+PNn=1（Ht）nλ（t，Yt）无损检测+dW（n）t对于Xx，H：=x。我们采用了拉德纳平衡的以下定义，有关更多信息，请参阅【5】中的第5章。定义2.2（拉德纳）。直到时间T的平衡∈ （0，1]是一个常数r和满足假设2.1的函数λ，从而存在测度^Q（i）∈ M和（^c（i），^H（i））∈ R×Ai^Q（i）使配对（^c（i），^H（i））满足（2.3）i=1，2。。。，一、 市场也很清楚：对于Leb，IXi=1^c（I）=0，IXi=1^H（I）t（ω）=0 P-a.e.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. (2.4)投资者财富过程中的自我融资属性确保，无论何时（2.4）持有，货币市场也会清算，参见[17]中的备注2.5。因此，我们将在下文中专门关注（2.4）。2.5坐标的变化我们将证明，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设（2.1）中的A=B=Y=0。为了看到这一点，我们让Φ：[0，1]→ RD×Dbe下列线性矩阵方程的唯一解tΦ（t）=B（t）Φ（t），Φ（0）=ID×D，t∈ [0,1]，其中B是（2.1）中的矩阵，ID×Dis是D×D-单位矩阵。唯一解Φ（t）存在，且对所有t都是非奇异的≥ 0.然后，我们可以定义过程Yt:=ZtC（s）dWs，~C（t）：=Φ-1（t）C（t），t∈ [0, 1].[11]中第5.5.6节中的结果产生了表示g（i）（YT）=g（i）（YT）式，其中g（i）（y）：=g（i）Φ（T）Y+ZTΦ-1（s）A（s）ds+y, Y∈ RD.（2.5）这一论点证明了以下假设中的动力学（2.6）。有关H–older空间的讨论，请参见附录A.1。假设2.3。存在α∈ （0,1）和δ>δ>0，使得因子过程满足t=ZtC（u）dWu，t∈ [0, 1].

（2.6）这里是函数C:[0,1]→ RD×d表示C是α-H–older连续且δ| y|≥ yTC（t）C（t）Ty≥ δ| y |，y∈ RD，t∈ [0, 1]. (2.7)3一般存在结果3.1。根据假设2。3:We fixα∈ （0，1）我们让g（一）Ii=1C2+α（RD）。那就不存在了∈ （0，1]这样，对于所有T<T，在定义2的意义上存在一个平衡（r，λ）。2.这个结果在几个方向上扩展了[16]中的定理6.3.1：首先，定理3.1中不需要[16]中假设2.3.1的decayproperty。其次，正如第2.5节所讨论的，假设2.3考虑了基础因素过程中的自回归性。最后，定理3.1包括均衡利率部分。从证明定理3.1中我们可以看到，存在一个常数常数>0，它只依赖于（δ，δ，D，α，ai，I，N），使得≥constmaxi=1，。。。，I | g（I）| 1+α。换句话说，大的捐赠函数（用H？older标准衡量）产生的担保有效期限更小。4近似我们首先介绍指数四分法模型的高度易处理类。然后，我们证明了这些模型可以作为我们在第3.4.1节中考虑的一般不完全模型的二次泰勒近似。指数四分法模型定义了禀赋函数g（i）：RD→ R出现在优化问题（2.3）中的二次形式g（i）（y）：=f（i）+（h（i））Ty+yTj（i）y，y∈ RD，（4.1）式中f（i）∈ R、 h（i）∈ RD和j（i）∈ 下一个定理的证明表明，赋能函数（4.1）对应的拉德纳平衡（r，λ）可以用矩阵值二阶耦合常微分方程组来表征。因此，平衡点的存在性问题可以简化为确保耦合Riccati方程组的解的存在性。

在下一个定理中，D×N矩阵C（t）的定义是，对于i=1，…，让C（t）ij表示C（t）ij。。。，D和j=1。。。，N.定理4.1。让Y由（2.6）定义，让g（i）由（4.1）定义，因为i=1，2。。。，然后存在一个恒定的TRiccati∈ (0, ∞] 因此，对于所有最成熟的函数，我们都有如下结果：存在常数r和连续函数β（i）：[0，T]→ RD，γ（i）：[0，T]→ RD×D，i=1，2。。。，一、 使得函数λ（t，y）：=τ∑C（t）TIXi=1β（i）（T）- （t）+γ（i）（t）+γ（i）（t- t） tY, T∈ [0，T]，（4.2）与r一起构成定义2.2意义上的平衡。定理4.1（见附录A.4）的证明中提供了表征βi和γii的常微分方程组。4.2泰勒近似下列结果表明，风险过程的市场价格源自近似g（一）Ii=1及其二阶泰勒近似可用于从原始模型逼近风险过程的市场价格。我们定义g（i）（y）：=g（i）（0）+yg（i）（0）Ty+yTyyg（i）（0）y，y∈ RD，（4.3）对于i=1，2。。。，I.上一节和理论4介绍了该功能表。1产生相应的平衡。定理4.2。假设2.3：对于α∈ （0，1）我们让g（一）Ii=1 C2+α（RD）和λ是由Theo re m 3.1产生的风险函数的相应公式库市场价格。我们让函数g（i）由（4.3）定义，并由定理4.1产生的风险函数λ的对应均衡市场价格。那么λt、 Yt）-~λt、 Yt我≤ 常数T1+α，t∈ [0，T]，（4.4），其中常数常数依赖于T和T，且T<T∧ TRiccati，其中t>0是定理3.1的到期日，TRiccati>0是mTheorem 4.1的到期日。收敛速度（4.4）仅对到期日T有效∈ （0，T∧特里卡蒂）。

因此，泰勒近似只能保证在短期内有效。此外，在这种情况下，近似平衡存在于比原始平衡更短的区间内。如果T>triccative，我们希望近似时间T之前的不完全平衡，我们可以用其更简单的一阶类似物取代二阶泰勒近似（4.3）：~g（i）（y）：=g（i）（0）+yg（i）（0）泰，泰∈ RD.在这种情况下，对应于一阶泰勒近似的不完全平衡存在于整个时间范围内[0,1]。风险过程的近似市场价格变得确定性，定理4.2的结论仍然有效，其中（4.4）中的指数1+α替换为。我们用一个例子来结束这一节，说明定理4.2中建立的收敛速度（4.4）一般是最优的。例4.3。让α∈ （0,1）是固定的。我们考虑了一个单代理模型，即i:=1，风险规避系数a:=1，以及完整模型Yt:=W（1）t。我们定义了函数f（x）：=2.- |x | 1+α，|x |≤ 1,(2 - |x |）1+α，|x |∈ （1,2），0，其他。（4.5）我们还需要函数F（x）：=Rx-2f（y）dy代表x>-2和F（x）：=0 for x≤ -2.然后我们得到f∈ C1+α（R），因此为F∈ C2+α（R）。我们有λ=yu和g（1）（y）=F（y）的特征偏微分方程屠+yu-(yu）=0，u（T，y）=F（y），（4.6）见附录中的定理A.5。（4.6）的显式解由u（t，y）=-自然对数ZRp2π（T）- t） e-x2（T-t） e-F（y）-x） dx, B∈ R、 （4.7）参见[8]中的第4.4.1a章。λ的表达式=yu读数λ（t，y）=RRe-x2（T-t） e-F（y）-x） F′（y）- x） dxRRe-x2（T-t） e-F（y）-x） dx。（4.8）在近似模型中，我们将（4.6）中的F替换为F（y）：=F（0）+F′（0）y+F′（0）y=2+2y，y∈ R.在这种情况下，公式（4.8）产生相应的风险函数∧λ（t，y）=2的市场价格。