不完全Radner平衡模型的Taylor逼近

因此，对于任意H∈ 哎，我们有德惠X0，HT+g（一）（YT）我≤ 埃胡*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rTX0，HT+g（一）（YT）我≤ 埃胡*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rTg（i）（YT）i=EhU*我q（i）d^q（i）dPe-rTi+q（i）Ehd^q（i）dPe-rT^X（i）T+g（i）（YT）i=EhUi^X（i）T+g（i）（YT）i、 第二个不等式是由（H·S）t的^Q（i）-上鞅性质产生的，第一个等式是由（^H（i）·S）的^Q（i）-鞅性质产生的，最后一个等式来自定义U中的一阶条件*, 参见，例如，狐猴4。3（i）在[12]中。这证实了^H（i）在（A.20）中达到了最高点。第2步：基于上一步，我们可以重新编写优化问题（2.3）assupc∈R- E-人工智能（c+g）- eaierTc-aiu（i）（0,0）.对于^c（i）可以直接解决这个问题，并且（A.18）可以确保清除条件pii=1^c（i）=0。定理4.1的证明。函数α（i）（t）∈ R、 β（i）（t）∈ Rd和γ（i）（t）∈ RD×Dfor t≥ 0和i=1，2。。。，I由耦合的常微分方程决定。（γ（i））′=ai（γ（i）+（γ（i））T（\'C\'CT- CCT）（γ（i）+（γ（i））T）-τ∑（γ（i）+（γ（i））T\'-C\'CTIXj=1（γ（j）+（γ（j））T）+2aiτ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！\'C\'CTIXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！，γ（i）（0）=j（i），（β（i））′=ai（γ（i）+（γ（i））T）（\'C\'CT- CCT）β（i）+aiτ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T！\'C\'CTIXj=1β（j）-τ∑IXj=1（γ（j）+（γ（j））T）！“C”CTβ（i）-τ∑（γ（i）+（γ（i））T\'-C\'CTIXj=1β（j），β（i）（0）=h（i），（α（i））\'=tr（γ（i）+（γ（i））T）CCT+2aiτ∑\'CTIXj=1β（j）-τΣIXj=1（β（j））T“C”CTβ（i）-人工智能|CTβ（i）|- |βCT（i）|, α（i）（0）=f（i）。由于右手边是局部Lipshitz连续的，被视为左手边的函数，因此存在一个唯一的解决方案，直到某个爆炸时间TRiccati∈ (0, ∞]根据皮卡德·林德尔定理。对于i=1，2。。。，我们考虑二次公式u（I）（t，y）：=α（I）（t）-（t）+β（i）（T）-（t）Ty+yTγ（i）（T）-t） y，t∈ [0，T]，y∈ 路。

（A.22）通过计算各种导数，我们可以看到（A.22）解出了定理A.5中的耦合偏微分方程组。还有待验证，这里我们将指出如何将定理3.1的证明调整到g（i）是二次函数的当前情况。第一个问题是动力学过程V（i）的鞅性质（A.21）。与之前一样，过程V（i）（t，^X（i）t，Yt）-其中u（i）由（A.22）和V（i）（t，X，y）定义：-E-人工智能呃(T)-t） x+u（i）（t，y）- 是P下的局部鞅，具有动力学性质（a.21）。为了证明V（i）是鞅，我们注意到偏导数yu（i）是y的一个有效函数，具有成熟时间系数的确定连续函数。因此，（A.13）定义的函数λ也是y的一个有效函数。因为dY=C（t）dWtwe可以使用[11]中的推论3.5.16来证明V（i）在[0，t]上对t<TRiccati是可压缩的。其次，我们需要证明d（^X（i）te的^Q（i）-鞅性质-rt）=（^H（i）t）Td^Q（i）通过V（i）定义，如定理3.1的证明所示。动力学（A.21）和Girsanov定理产生了^Q（i）-布朗运动dW^Q（i），mt:=dW（m）t+λ（t，Yt）mdt，m=1。。。，N、 dW（m）t+ai余（i）（t，Yt）TC（t）mdt，m=N+1。。。，因此，dYt=C（t）的^Q（i）-动力学的漂移是具有有界时间相关系数的Yt的一个函数。因为S的波动率是e-rt，它需要验证平方可积性性质y^Q（i）hRT^H（i）tdti=RTE^Q（i）h^H（i）tidt<∞ 其中^H（i）由（A.19）定义。

为此，我们定义了停止时间：τ（k）：=inf{s>0:| Ys |≥ k}∧ T、 为了k∈ N.因为函数λ和yu（i）是一个具有一致有界时间依赖系数的函数，上面的W^Q（i）表达式允许我们找到两个正常数和C（独立于k），使得e^Q（i）|Yt∧τ（k）|≤ C+CE^Q（i）“Zt∧τ（k）| Ys | ds#=C+CE^Q（i）“Zt∧τ（k）|Ys∧τ（k）|ds#≤ C+CZtE^Q（i）|Y∧τ（k）|我们在上一个不等式中使用了托内利定理。地图[0，T] T→E^Q（i）[|Yt]∧τ（k）|]由支配收敛定理连续。因此，Gronwall不等式产生了界^Q（i）|Yt∧τ（k）|≤ 切克，切克∈ [0，T]。法图引理产生^Q（i）|Yt|≤ 林恩芬→∞E^Q（一）|Yt∧τ（k）|≤ 切克，切克∈ [0，T]。和λ（710）的初始值yu（i）确保E^Q（i）h^H（i）t我≤ CeCt。后一个表达式在[0，T]上是不可理解的，其声明如下。定理4.2的证明。在这个证明中，函数λ，~u和当赋能函数（4.1）由泰勒近似（4.3）指定时，y)u指定理4.1（及其证明）中的函数。λ和λ的定义（A.13）和（4.2）以及三角形不等式λ（t，Yt）-λ（t，Yt）我≤τ∑C（t）TIXi=1Eh余（i）（t，Yt）- y~u（i）（t，Yt）i、 因此，这就足以证明，嗯ydu（i）（t，Yt）- ydu（i）（t，Yt）我≤ CT1+α，d=1。。。，D、 i=1。。。，我

（A.24）由yu（i）用f替换为f（i）（u），其中f（i）（u）由（A.14）定义，我们得到|ydu（i）（t，y）- ydg（一）（y）|≤ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）yd（y）- L（t，t）z）- g（i）yd（y）dz+ZTtZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdf（i）（u）s、 y- L（t，s）zdzds.（A.25）（A.25）中的第一项可估计如下：ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）yd（y）- L（t，t）z）- g（i）yd（y）dz=ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）y-yd（s）TL（t，t）zdz=ZRDe-|z |（2π）D/2g（i）y yd（s）T- g（i）y yd（y）TL（t，t）zdz≤ [y-yg（i）]ZRDe-|z |（2π）D/2 | s- y |α| L（t，t）z | dz≤ [y-yg（i）]ZRDe-|z |（2π）D/2 | L（t，t）z |α| L（t，t）z | dz≤ c[y-yg（i）]α（T- t） （1+α）/2ZRDe-|z |（2π）D/2 | z |α+1dz=c[y-yg（i）]α（T- t） （1+α）/2。第一个等式由中值定理产生，其中s=s（z）位于连接y的线段上- L（t，t）z和y。第三个和第四个不等式是由柯西-施瓦茨得出的：|L（t，t）z |≤ ||L（t，t）| | F | z |结合引理A.2（3）。（A.25）中的第二项可以类似地估算：ZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-Tzdf（i）（u）s、 y- L（t，s）zdz=ZRDe-|z |（2π）D/2L（t，s）-TzDf（i）（u）s、 y- L（t，s）z- f（i）（u）s、 ydz≤ [f（i）（u）]αZRDe-|z |（2π）D/2 | | L（t，s）-T | | F | z | L（T，s）z |αdz≤ c[f（i）（u）]α（s- t） α-1.通过将s与[t，t]积分，我们得出（A.25）的总体估计：|ydu（i）（t，y）-ydg（i）（y）|≤ C（T）- t） （1+α）/2。（A.26）我们还有|ydg（一）（y）- ydg（i）（y）|=|ydg（一）（y）- ydg（一）（0）- y ydg（i）（0）Ty |=|y ydg（i）（s）Ty- y ydg（i）（0）Ty|≤ |y ydg（一）（s）- y ydg（i）（0）| | y|≤ [y-yg]α| y | 1+α。（A.27）在这里，第一个等式的定义如下所示。第二个等式是由连接y和0的线段上的点s=s（y）的中值定理产生的。最后，我们认为存在一个常数C，这样|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|≤ C（T）- t） （1+| y |）。

（A.28）为了看到这一点，我们首先注意到|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|=ydg（i）（0+y ydg（i）（0）Ty- β（i）（T）- t） d-γ（i）（T）- t） +γ（i）（t）- t） tYD.因为β（i）（0）d=ydg（i）（0）中值定理给出了∈ [0，T- t] 以至于|ydg（一）（0）- β（i）（T）- t） d |=|（β（i））′（s）d（t）- t） |≤ C（T）- t） 因为导数（β（i））在[0，t]上有界（常数C不依赖于t，只要t<TRiccati）。涉及γ（i）的估计值与之类似，如下（A.28）。通过将（A.26）、（A.27）和（A.28）的估计值结合起来，我们得出|ydu（i）（t，y）- ydu（i）（t，y）|≤ |ydu（i）（t，y）- ydg（i）（y）|+|ydg（一）（y）- ydg（i）（y）|+|ydg（i）（y）- ydu（i）（t，y）|≤ C（T）- t） 1+α+| y | 1+α+（t- t） （1+| y |）. （A.29）最后，通过（A.29）我们得到了ydu（i）（t，Yt）- ydu（i）（t，Yt）我≤ZRDΓ（0，t，y）ydu（i）（t，y）- ydu（i）（t，y）dy≤ CZRDΓ（0，t，y）T1+α+| y | 1+α+T（1+| y |）dy≤ CT1+α。最后一个不等式成立，因为我们正在考虑T∈ （0，1]和自ZrdΓ（0，t，y）|y|1+αdy≤ cZRDtD/2e-|y |δt | y | 1+αdy≤ cT1+α，对于t∈ [0，T]。这一估计源自Γ的定义（A.4）和引理A.2中提供的边界参考文献[1]S.Biagini和M.Sirbu（2012）：关于信贷额度不确定时可接受性的说明，随机，84157-169。[2] P.O.Christensen，K.Larsen和C.Munk（2012）：具有异质投资者和非计划收益风险的证券市场均衡，J.Economo。理论147、1035–1063[3]P.O.Christensen和K.Larsen（2012）：具有随机收入波动性的不完全连续时间证券市场，工作论文，http://www.andrew.cmu.edu/user/kasperl/.[4] D.Cuoco和H.He（1994）：不完全金融市场的有限维经济中的动态均衡，工作论文。[5] R.Dana和M.Jeanblanc（2003）：连续时间的金融市场，斯普林格。[6] D。

杜菲（2001）：动态资产定价理论，第三版，普林斯顿大学出版社。[7] D.Duffee和R.Kan（1996）：利率的收益率因子模型，数学金融，6379–406。[8] L.C.埃文斯（2010）：偏微分方程，第二版，美国数学学会。[9] A.Friedman（1964）：抛物线型偏微分方程，Prentice HallInc。[10] R.A.Horn和C.R.Johnson（2013）：矩阵分析，第二版，剑桥大学出版社。[11] I.Karatzas和S.E.Shreve（1991）：布朗运动和随机微积分，第二版，斯普林格。[12] I.Karatzas和S.E.Shreve（1998）：数学金融方法，斯普林格。[13] N.V.Krylov（1996）：关于Hlderspace中椭圆方程和抛物线方程的讲座，数学研究生课程，第12卷。AMS，普罗维登斯。[14] O.A.Ladyzenskaja、V.A.Solonnikov和N.N.Ural\'ceva（1968）：抛物线c型线性和拟线性方程，数学专著翻译，第23卷。AMS，普罗维登斯。[15] A.N.Shiryaev和A.S.Cherny（2002）：向量随机积分和资产定价的基本定理，斯特克洛夫数学研究所学报，237，第12-56页。[16] 赵宇（2012）：在完整的B Rownian市场环境中的Stoch astic eq uilibria i a g e普通课程，奥斯汀大学博士论文。[17] G.ˇZitkovi\'c（2012）：不完全市场随机均衡的一个例子，Finan。斯托克。16, 177–206.