税收和资本条件下勒维风险模型的幂恒等式

因此Pγx+h（Ty<∞) →Pγx（Ty<∞), 此外（11）xPγx（Ty<∞) =λ（x）1- γPγx（Ty<∞).在形式上，这种计算只给出正确的导数。税收和注资7让我们利用现有理论来确定λ（x）。特别是第（4）条规定Px（Ty<∞) =Z（x）/Z（y）。因此，当x>0时，我们得到Z（x）/Z（y）=λ（x）Z（x）/Z（y），得到（12）λ（x）=Z（x）/Z（x），这也表明λ（x）在（0）上是连续的，∞).不难看出，对于任何γ<1且固定y>0的函数，Pγx（Ty<∞), 十、∈ （0，y]是连续且非零的。因此对于所有x∈ （0，y）我们有以下右导数：xln Pγx（Ty<∞) =λ（x）1- γ、 与Pγy（Ty<∞) = 1产量Pγx（Ty<∞) = -1.- γZyxλ（u）du。解的唯一性基于这样一个事实：在区间的每一点上具有右导数0的连续函数在此区间上是常数。所以我们有（13）Pγx（Ty<∞) = E-1.-γRyxλ（u）du，立即得到定理3.1的幂关系。最后，定理3.2是（9）和（12）的直接结果。备注4.1。当折射率γ（x）取决于能级时，假设某些正则条件（例如，γ（x）是连续的，且有界于1之外），仍然可以应用引理4.1推导微分方程（11）。在这种情况下，溶液的形式为pγx（Ty<∞) = E-Ryxλ（u）/（1）-γ（u））du。5.应用：利润参与和资本注入是定理3.1的应用，将Ytin（1）解释为timet的保险盈余过程，其中γUTI是投资者的利润参与计划（向投资者提供一定比例的γ），反过来，如果需要，投资者向公司注入最低限度的资本流，以防止其破产，也就是说，保持盈余为非负，LTT为截至时间t的注入总量。

或者，我们可以根据一个固定税率为0<γ<1（参见[3]）的亏损结转计划，将γUTA视为截至t时的利润纳税，然后，LTA将成为及时救助保险公司以防止破产所需的资本金额。考虑投资者愿意注入的累计金额的上限eθ，该上限被假定为一个独立的指数随机变量，带有比率参数θ≥ 0（这可以解释为投资者的不耐烦）。一旦超过这一限制，公司就不再得到救助，不得不停业。不同的是，对于每一个微小的所需注入h，投资者将以θh的概率停止支付（独立于其他所有因素）。这个概念扩展了经典破产的概念（取θ=∞), 这将在所得利润（或税收）和注入资本之间产生有趣的交易。该模型的预期贴现利润（税）付款可以写成V（γ）=γ1- γEγxZ∞E-qt{Lt<eθ}dYt，γ<1,8 H.ALBRECHER和J.Ivanovs其中q>0是贴现率。注意，每个dYt=dy对应于γ/（1）- γ） 缴税。回顾yti是连续的，使用变量参数的标准变化，Yt=y和t=Tywe得到v（γ）=γ1- γEγxZ∞xe-数量{LTy<eθ}dy=γ1- γZ∞xEγx[e-数量-θLTy]dy（14）=γ1- γZ∞十、Zq，θ（x）Zq，θ（y）1.-γdy，在第二步中，我们使用Fubini定理和eθ的独立性，在最后一步中，我们调用定理3.1。

该公式是[6]中公式（3.2）的扩展，该公式是关于θ的→ ∞ （在没有注资的情况下）。如果我们选择γ=1（在这种情况下，利润参与降低为水平股息壁垒策略），那么我们可以通过使用定理3.2以类似的方式得到预期贴现率V（1）由V（1）=ExZ给出∞E-qt{Lt<eθ}dUt=Z∞例如-qρy-θLρy]dy（15）=λq，θ（x）=Zq，θ（x）/Zq，θ（x）。如上所述，对于θ→ ∞ 我们回到没有注资的经典公式，其中Zis被W取代（参见[22]中的等式（3））。因此，只要函数Z有明确的表示，就可以显式地计算量V（γ）。例如，相位类型索赔的泊松流就是这种情况（关于明确案例的详细讨论，参见[11]）。5.1。一个数值例子。让我们考虑一个具体的简单例子，对于这个例子，比例函数W（x）有一个明确的形式，因此（14）中确定的预期贴现利润（税收）支付SV（γ）可以很容易地进行评估。我们假设驱动过程是aCram`er Lundberg风险过程Xt=x+ct-PN（t）n=1Mi，其中n（t）是速率为1的齐次泊松过程，保险索赔Mi是平均值为m的独立同分布指数随机变量，恒定保费强度选择为c=1，因此X的漂移由EX（1）=1给出- m、 进一步选择初始资本x=1、贴现系数q=0.01和投资者不耐烦参数θ=1。图3将V描述为不同漂移值下γ的函数。本质上，这些函数的形状与经典破产（θ=∞), 但由于工艺的使用寿命更长，绝对值更高。

该形状反映了γ值过大可能导致早期破产，从而导致较小的利润。在图4（a）中，通过比较θ=1和θ=∞ 对于EX（1）=0.3的位移，图4（b）描述了与经典破产情况相比V（γ）的增加。这种预期的利润增长是以注资为代价的，注资的预期价值不超过Eeθ=1。后者实际上是一个粗略的上限，因为两个原因：没有折扣，以及累积注入可能永远不会超过阈值eθ。这些结果表明，平均而言，投资者进行这些注资是非常有利的，尤其是对于差异v（γ）的γ- 五、∞（γ） 大于1。如果将这种差异与实际预期的税收和注资进行比较90.20.40.60.81.0图3。V（γ）表示漂移=（0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0，-0.1); 自上而下。0.20.40.60.81.0（a）V（γ）（厚）和V∞（γ） 0.20.40.60.81.0（b）V（γ）- 五、∞（γ） 图4。对于θ=1和θ=∞.贴现投资的影响将更加明显。然而，对注射剂净现值的分析要复杂得多，可能是未来工作的一个有趣方向。6.放松破产概念下的权力恒等式事实证明，类似于（3）的权力关系具有相当广泛的普遍性。

本质上，它只要求以无记忆的方式消除和修改（非税）过程的偏移（如反射）（换句话说，第一次通过时间后发生的事情独立于过去，并且与y年开始的原始过程具有相同的规律）。当然，仍然需要处理与EMMA 4.1中包含的技术细节类似的模型特定技术细节。为了举例说明，让我们考虑[2]和[5]中的一个例子，其中当风险过程低于零时，破产以θ>0的某个比率宣告（没有下面的反映）。换句话说，当花费在零以下的累积时间Xt超过一个独立的指数随机变量eθ（也可以引入θ对水平的依赖性，但为了清楚起见，我们不这样做，只注意将幂恒等式推广到任意可测量的局部有界函数θ（x）不会引起额外的问题）时，就会发生杀戮。和之前一样，我们假设XT是一个光谱负的L’evy过程（下面没有反映）。阿尔布雷彻和伊万诺夫斯基对占领时间的概念在这一背景下发挥了重要作用。LetM（A，t）=Zt{Xs∈A} dsbe是X在一个钻孔中花费的时间，设置为时间t。定理6.1。考虑模型（1），无以下反射（a=-∞, b=x≥ 0），设νθ为破产时间：νθ=inf{t≥ 0:M((-∞, 0），t）>eθ}。然后对于所有γ<1和q≥ 它认为eγx[e-数量；Ty<νθ]=例如-数量；Ty<νθ]1.-γ.证据在没有真正失去普遍性的情况下，我们可以假设q=0。你可以重复上一节的论点。事实上，由于没有过程Lt，许多事情都会简化。特别是，过程Yγt（和Xt）的路径是相同的，但不同的γ会导致过程处于破产危险的时间间隔不同，因此杀死点也不同。

为了（重新）建立引理4.1，我们必须证明，在一定意义上，“处于危险中”与时间τ+的差异很小。这足以证明（16）P（M）([-x+γh，-x+h），τ+h）>eθ=o（h）作为h↓ 此外，为了建立微分方程（11），我们必须证明（出于连续性的原因），对于任何t，x，（17）M（{x}，t）=0 a.s.。后一个事实是众所周知的，见[9，Prop.I.15]。因此，只剩下（16）项成立了。（16）中的概率可以从上面的byP（τ）来限定-十、-h<τ+h）P（M）([-(1 - γ） h，（1）- γ） h]，τ+x+（1）-γ） h）>eθ）。简而言之，这个过程必须在区间的上边界以下，然后我们从下边界开始，使条带变大两倍，以便从中间开始。第一可能性由1给出- W（x）- h） /W（x）=W-（x） /W（x）h+o（h），第二个随h减小为0↓ 0，因为我([-h、 h]，τ+y）→ 任何y>0 a.s.（使用（17）和以下事实）→ ∞ a、 美国还是Xt→ -∞ a、 美国）。这个证据得出结论。推论6.1。对于定理6.1和q的模型≥ 它认为eγx[e-数量；Ty<νθ]=Zq，Φ（x）Zq，Φ（y）1.-γ、 γ<1，Eγx[E-qρy；ρy<νθ]=exp-Zq，Φ（x）Zq，Φ（x）y！，γ=1，其中Φ是φ（Φ）=q+θ的唯一正解。证据它认为-qτ+y；τ+y<νθ]=Zq，Φ（x）/Zq，Φ（y），这可以由[19]或[4]的结果很容易地推导出来。其余部分来自定理6.1及其使用第4节思想的证明。税收和注资11附录在下文中，我们提出了一种算法，用于定义与区间[a，b]相对应的c`adl`ag样本路径XT的双面折射。假设X∈ [a，b]和γL，γU≤ 1.避免抑制。三重过程（Yt、Lt、Ut）迭代定义如下（参见。

图1描绘了b）处从上方的折射和a）处从下方的反射。算法：初始化（n=0）：Y（0）t=Xt，U（0）t=0，L（0）t=0，t=0和a（1）=a，b（1）=b，t=inf{t≥ 0:Xt/∈ [a，b]}。步骤（n=n+1）：X（n）t=Y（n）-1） tn+Xtn+t- XTT≥ 0.如果X（n）≥ b（n）：L（n）t=0和Y（n）t=X（n）t- γUU（n）是X（n）t，t的折射≥ 0从b级（n）的上方开始。放n=inf{t≥ 0:Y（n）t<a（n）}和tn+1=tn+n、 a（n+1）=a（n），b（n+1）=Y（n）n、 如果X（n）≤ a（n）：U（n）t=0和Y（n）t=X（n）t+γLL（n）是X（n）t，t的折射≥ 0从a（n）层下方开始。放n=inf{t≥ 0:Y（n）t>b（n）}和tn+1=tn+n、 a（n+1）=Y（n）n、 b（n+1）=b（n）。最后，我们设置yt=Y（n）t-tn，Lt=n-1Xi=0升（一）i+L（n）t-tn，Ut=n-1Xi=0U（i）i+U（n）t-TNT∈ [tn，tn+1）。观察上述程序确定了所有YTT的流程≥ 0，即tn→ ∞ 作为n→ ∞,因为c`adl`ag函数不能在有限的时间内多次穿过区间[a，b]；在这里，我们使用间隔[a（n），b（n）]增加的事实。仔细检查上述算法（以及已知的单面折射特性）表明，YT=Xt+γLLt- γUUt，其中ltu和uta是非递减的c`adl`ag函数。此外，Lt和Uta的增长点包含在集合{t中≥ 0:Yt=Yt∧ a} 和{t≥ 0:Yt=Yt∨ b} 分别。可能有意思的是，找到一种明确的双面折射表示法，类似于[7]和[14]中关于双面折射的解释。参考文献[1]H.Albrecher、S.Borst、O.Boxma和J.Resing。风险理论中的税收恒等式——一个简单的证明和扩展。保险数学。经济。，44(2):304–306, 2009.[2] H.Albrecher、H.U.Gerber和E.S.W.Shiu。Gamma-Omega模型中的最优红利屏障。欧元。精算师。J.，1（1）：43-552011。[3] H.Albrecher和C.Hipp。伦德伯格的税收风险流程。《基本法》DGVFM，28（1）：13-282007。[4] H.Albrecher和J.Ivanovs。

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