税收和资本条件下勒维风险模型的幂恒等式

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英文标题：
《Power identities for L\\\'evy risk models under taxation and capital
  injections》
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作者：
Hansjoerg Albrecher and Jevgenijs Ivanovs
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we study a spectrally negative L\\\'evy process which is refracted at its running maximum and at the same time reflected from below at a certain level. Such a process can for instance be used to model an insurance surplus process subject to tax payments according to a loss-carry-forward scheme together with the flow of minimal capital injections required to keep the surplus process non-negative. We characterize the first passage time over an arbitrary level and the cumulative amount of injected capital up to this time by their joint Laplace transform, and show that it satisfies a simple power relation to the case without refraction. It turns out that this identity can also be extended to a certain type of refraction from below. The net present value of tax collected before the cumulative injected capital exceeds a certain amount is determined, and a numerical illustration is provided.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了一个光谱负的列维过程，它在其最大运行时被折射，同时在一定水平上从下方反射。例如，这种过程可用于对保险盈余过程建模，该过程根据损失结转计划纳税，以及保持盈余过程非负所需的最小资本注入流。我们通过联合拉普拉斯变换刻画了任意水平上的首次通过时间和到目前为止的累计注入资本量，并表明它满足一个简单的幂函数关系。事实证明，这个恒等式也可以从下面延伸到某种类型的折射。确定了累计注入资本超过一定数额之前征收的税款的净现值，并提供了数字说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Power_identities_for_Lévy_risk_models_under_taxation_and_capital_injections.pdf (400.6 KB)

2022-5-5 02:19:27 上传

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关键词：风险模型 恒等式 illustration Quantitative Differential

税收和资本注入下L’EVY风险模型的权力恒等式Hansj¨ORG ALBRECHER和JEVGENIJS IVANOVSAbstract。在本文中，我们研究了一个光谱负的L’evy过程，它是折射率最大的过程，同时在一定水平上从下方反射。例如，此类流程可用于根据损失结转计划对纳税的保险盈余流程进行建模，以及保持盈余流程非负所需的最低资本注入流量。我们通过联合拉普拉斯变换描述了任意水平上的首次通过时间和到目前为止的累计注入资本量，并表明它满足无折射情况下的简单幂关系，推广了[3]和[6]的结果。事实证明，这个恒等式也可以从下面延伸到某种类型的折射。确定了累计注入资本超过一定数额前征收的税款的净现值，并给出了数值说明。1.导言本文的目的是研究谱负L′evy过程的平交量的某些幂关系，这些过程是由保险应用所驱动的。具体地说，假设一个保险组合的盈余过程由一个谱负的evy过程建模，并且当盈余过程达到其运行最大值时，根据损失结转方案，通过支付一定比例的保费收入γ来实现对利润的纳税。对于恒定的γ值，[3]和[6]表明，由此产生的过程保持正的可能性通过简单的幂关系与不纳税的过程密切相关（扩展见[1,16,18]）。

实施的税收规则也可以被视为股东的一般利益参与计划，在γ=1的特殊情况下，该计划可简化为横向股息壁垒策略。在经典模型中，当盈余为负时，业务就会停止，因此，当盈余为负时，自然会考虑将盈余恢复为零所需的资本量，然后继续业务运营。在横向股息支付和保险索赔的复合泊松模型下，[10]考虑了这个问题，[15]表明股东以这种方式“拯救”保险业务是最优的（另一种注入方案见[20]）。在本文中，我们考虑一般情况下的注资低于零≤ 1.这相当于研究光谱负L’evy过程的平交道口事件，该过程在其运行最大值处折射，同时在零处反射。我们通过J-Laplace变换描述了任意水平上的首次通过时间和截至目前为止的累计注入资本量，并建立了无折射情况下的简单幂关系。关键词和短语。光谱负L’evy过程、退出问题、集体风险理论、保险、注资、股息、替代性破产概念。在瑞士国家科学基金会项目200020-143889.2 H.ALBRECHER和J.Ivanovs的支持下，从证明中可以清楚地看出，如果将下面的反射推广到最低限度的折射，那么这种能量恒等式就无法成立。然而，如果折射总是在相同的固定水平上开始，那么一种力量认同仍然成立。在第2节中，我们将讨论同时折射和反射。第3节陈述了第4节证明的主要结果。

在第5节中，我们考虑了在累计注入资本超过指数金额之前，利用所得公式确定税收净现值的应用，并给出了复合泊松风险模型的具体数值例子。最后，在第6节中，我们用另一个例子来说明权力恒等式具有广泛的普遍性。具体来说，我们使用我们的证明技术，将首次通过时间（无需注资）的电力税身份扩展到最近在文献中考虑的放松的单位概念。2.折射和反射对于任何随机过程的c`adl`ag样本路径Xt，考虑Yt=Xt定义的b级（从上方）的Xt反射- 美国犹他州≤ b、 其中UTI是U=0的非递减c`adl`ag函数∨ （十）- b） ，其增长点包含在集合{t≥ 0:Yt=b}。该识别以独特的方式进行，并意味着Ut=0∨（Xt）-b） ，其中Xt=sup{Xs:0≤ s≤ t} ，参见例[13]。本质上，UT进化为上确界过程。对于任意γ∈ R我们称这个过程为Xt- γUta折射在保险风险理论中有一定的解释。对于γ=1，我们检索了反映的过程，该过程可以模拟一个保险盈余过程，根据屏障b的屏障策略支付股息，而γ∈ （0，1）是指根据损失结转计划征税的保险盈余过程（参见例[3，6]）。γ<0的值可指具有与最大值的增加成比例的刺激的模型。最后，γ>1的情况可以解释为抑制，这将在后续文章中不再进一步考虑。一般来说，γ可以取决于Ut的当前值（或折射率本身的运行最大值），这将导致更一般的Xt形式的过程-车辙γ（x）dx。

然而，为了简单起见，我们将在整个工作过程中假设γ是一个常数，并仅在备注4.1中给出一些注释。本文主要研究从上方折射的速率为γ的过程≤ 1，并从下面反映。这种方法可以通过使用上方的单面折射和下方的局部单面反射来定义，然后将路径段粘合在一起，也可参见[8，第XIV.3节]，其中使用类似的程序来定义双面反射。更准确地说，对于给定的间隔[a，b]，我们进行以下操作，其中a是从下方反射的水平，b是从上方折射的初始水平。首先，我们考虑一个自由过程，直到它退出[a，b]，此时我们开始从下方反射（它通过a退出）或从上方折射（它通过b退出）。假设（w.l.o.g.）为后者，我们考虑相应折射低于a的时间，然后从下方开始反射。当该反射超过运行最大值时，从上方开始折射，以此类推，参见图1，以了解该过程的说明。上述程序在附录中以算法的形式进行了严格描述，其中我们还考虑了双面折射。对于目前的模型，其结果是表示（1）Yt=Xt+Lt- γUt、税收和注资3batt3t2t1b（2）图1。从上方折射并从下方反射的样本路径。假设X∈ [a，b]和γ≤ 1避免抑制的情况。此外，ltanduta是非递减的c`adl`ag函数，ltanduta的增长点包含在集合{t中≥ 0:Yt=a}和{t≥ 0:Yt=Yt∨ b} 分别。最后，请注意，Lt和Ut是相互关联的，并且都取决于参数γ。幂恒等式在这项工作中，我们假设Xt是一个谱负的L′evy过程，具有Laplace指数ψ（α），因此EeαXt=eψ（α）tforα≥ 0

确定首次通过时间τ±y=inf{t≥ 0:±Xt>y}并回忆起所有q≥ 存在唯一的连续函数Wq:[0，∞) → R+，比如Wq（y）>0表示y>0，（2）Ex[e-qτ+y；τ+y<τ-] = Wq（x）/Wq（y）代表y≥ 十、≥ 0，y>0，安德烈∞E-αyWq（y）dy=1/（ψ（α）- q） 对于大于ψ（α）最右边零的α- q、 这个WQI被称为尺度函数。对于有税的L’evy风险模型，[6]表明，在不按幂恒等式征税的情况下，某些概率和概率可能与其类似物有关。现在我们将把这种能量恒等式推广到从上方折射和从下方反射的设置中。考虑（1）中给出的一个过程，其中X=X>0，反射屏障位于a=0水平，上方的折射率为γ≤ 1立即应用，即b=x（使用反映L’evy过程的恒等式将我们的结果直接扩展到b>x）。设alsoTy=inf{t≥ 0:Yt>y}是y级以上折射的第一次通过时间。定理3.1。对于γ<1和q，θ≥ 它认为（3）Eγxe-数量-θLTy=Exe-数量-θLTy1.-γ、 y在哪里≥ x>0和Eγx表示（1）定义的模型的期望运算符，其中a=0和b=x。应注意的是，可以使用反映evy过程的结果来识别（3）的右侧。特别是，[12]显示（4）Exe-数量-θLTy=Zq，θ（x）/Zq，θ（y），4H.阿尔布雷舍和J.伊万诺夫斯其中，Zq，θ（x）是由Zq，θ（x）=eθx[1]给出的所谓二阶标度函数- (ψ(θ) - q） Zxe-θyWq（y）dy]，当θ=0时，参见[21]。

观察thatlimθ→∞Exe-数量-θLTy=Ex[e-数量；LTy=0]=Ex[e-qτ+y；τ+y<τ-] =Wq（x）Wq（y）。类似地，对于θ→ ∞ （3）的左边变成了第一次通过时间的变换，如果它发生在破产之前，那么我们将恢复[6]的税收身份（3.1）作为特殊情况。在γ=1的情况下（对应于根据x级障碍策略支付股息），我们有Ty=∞ 尽管如此≥ x、 相反，我们看（5）ρy=inf{t≥ 0:Ut>y}，这是累计股息（或税费）金额首次超过y级。定理3.2。对于q，θ≥ 0和x>0，y≥ 0它认为（6）Exe-qρy-θLρy=e-λq，θ（x）y，其中λq，θ（x）=Zq，θ（x）/Zq，θ（x）=θ-(ψ(θ) - q） Wq（x）Zq，θ（x）。在某种程度上不同的形式下，该公式也出现在[12]中。我们注意到θ=∞ 必须取λq（x）=Wq+（x）/Wq（x），这与偏移量密切相关，参见。g、 [17，Lem.8.2]。备注3.1。对于γL<1的双面折射（见附录），功率标识（3）无法保持。反射γL=1的情况很特殊，因为在这种情况下，我们知道在第一次通过时间Ty时到（较低）反射屏障的距离（换句话说，定义双面折射的算法中的a（n）是恒定的，见附录）。然而，从第4节中的证明可以清楚地看出，如果修改模型，并认为从下方开始的折射总是从固定的a级开始，或者总是从运行最大值（而不是从当前运行最小值开始）的固定距离开始，那么在γL<1.4的情况下，功率标识（3）也会保持不变。证明在这一节中，我们证明定理3.1和定理3.2。我们通过对同时折射和反射过程的路径进行某种修改来构建一个辅助过程。

这种修改保留了偏离最大值的情况，但会导致与自由过程相同的“最大值行为”。此外，与γ=1相对应的辅助过程在其第一次通过时表现出缺乏记忆性，因为较低的反射屏障始终与最大值保持恒定距离。这会产生一个特定的指数λ（x），并允许将该过程与不同γ对应的过程联系起来，见引理4.1。随后，强马尔可夫性质被应用于建立感兴趣数量的微分方程，然后得到结果。税收和资本注入5改变我们的流程是很方便的，因此X=0，并在该级别应用下面的反射-x<0。还记得上面的折射是立即应用的。注意eγe-qtyc可以写成Pγ（Ty<∞) 对于指数终止过程，即当XT在独立的指数分布时间eqwith rateq下进入额外的吸收状态时≥ 0.双变换EγE-数量-θlty是在lty超过独立的指数分布的eθ时，通过额外杀戮获得的。因此，有必要分析Pγ（Ty<∞)对于一个双杀的过程。让我们来定义一些关于Yt路径的术语和符号。流程Yt路径的分段-Yt在这种差异严格为负的时间间隔内，称为Yt偏移（从最大值开始）。

偏移的起始水平是Yt的相应值。接下来，考虑路径的三元组（Yt、Lt、Ut）（其中每个组件取决于γ的选择）和定义＠Yt=Xt+Lt=Yt+γUt。从Yton的结构可以看出Yt=（1- γ） Ut，这会立即产生Yt=Ut。让▽Ty=inf{t≥ 0:~Yt>y}我们看到~Ty=ρyand对于γ<1也有（7）~Ty=T（1）-γ） y.值得注意的是，我们本可以避免构造辅助过程，因为可以使用停止时间ρyin而不是Ty。但接下来的论点就不那么吸引人了。当γ=1时，反射势垒始终位于距离最大值x恒定的位置，这与Xt的强马尔可夫性质一起意味着（8）P（~Ty+z<∞|~Ty<∞) = P（~Tz<∞)对于所有的y，z>0（请注意，终止时间eqand eθ的无记忆性是至关重要的）。由（8）可知，存在λ（x）≥ 0使得（9）P（~Ty<∞) = E-λ（x）y，其中x表示反射屏障之间的距离。这提供了定理3.2直到λ（x）的证明。引理4.1。它适用于所有人≤ 1 thatPγ（~Th<∞) = P（~Th<∞) + o（h）as h↓ 0.证明。在下文中，我们将需要比较不同γ的~yt过程的样本路径，因此在整个证明过程中，我们写下~Yγ和~Tγyto，以明确它们对γ的依赖性。为了便于阐述，首先考虑γ=0的情况，其中Ytis是一个反映在水平上的过程-x、 让δ≥ 0是x从最大超出高度x的第一次偏移的起始高度；这也是导致反射（即Lt增加）的第一次偏移的起始水平。注意，在事件{δ>h}上，时间)than和)thz重合。

下面我们专门研究互补事件{δ≤ h} 。在第一次通过时缺乏对Yt的记忆意味着Yt从[0，h]开始并导致反射的次数定义了一个由h.6 h.ALBRECHER和J.IVANOVS索引的（杀死的）L’evy过程-xxδT1hT12H2H图2。~Yt和~Yt的示意性采样路径（带虚线）。因此{Th<∞} 这个数是泊松分布的。利用)Ytat)的内存不足，我们可以看到p（δ≤ h、 ~Th<∞,~T2h=∞) = P（δ）≤ h、 ~Th<∞)P（~Th=∞)= O（h）（λ（x）h+O（h））=O（h）。因此考虑{δ≤ h、 ~Th<∞} 我们可以假设T2h<∞ 而且只有一次Yt偏移从[0,2h]开始，并导致反射。图2比较了Yt和Yt的样本路径，发现Th<∞, 因为对于任意的γ，它们之间的差异由h限定≤ 它以（1）为界- γ） 因此可以取h+（1）- γ） h代替2h完成这部分证明。现在让我们考虑一下{Th<∞}. 请注意，Th=∞ 只能根据eθ作为杀戮的结果发生。因此，只需要证明这种情况发生的概率为o（h）。事实上，这足以表明，对于非终止过程，Ytit保持p（δ≤ h、 eθ∈ （L~Tδ）- h、 由eθ的独立性得出。同样，对于一般γ，上述显示中的h替换为（1）- γ） h。结合引理4.1，（9）和（7）我们得到了γ<1（10）Pγ（Th<∞) = P（~Th/（1）-γ)< ∞) + o（h）=1-λ（x）1- γh+o（h）as h↓ 0.现在让我们回到原始设置，其中X=X，反射屏障位于0级；我们用px来表示相应的定律。定理3.1的证明。假设γ<1，并使用强马尔可夫性质ypγx（Ty<∞) = Pγx（Tx+h<∞)Pγx+h（Ty<∞).根据x（x+P）我们有∞) = 1.-λ（x）1-γh+o（h）as h↓ 0