货币隐含波动率斜率的小到期渐近性

函数H的梅林变换，在（0，∞), 定义为（MH）（s）=Z∞Ts-1H（T）dT。在H为零且为零的适当生长条件下，该积分定义了复杂平面开放垂直条带中的解析函数。函数H可以通过梅林反演（见[22]中的公式（7））：（4.1）H（T）=2πiZκ+i从变换中恢复∞κ-我∞（MH）（s）T-sds，其中κ是MH分析性条带中的实数。对于（4.1）的有效性，证明H是连续的，y是7→ （MH）（κ+iy）是可积的。用s表示∈ R是解析性条带左边界的实部。应用中的一个典型情况是，MH在s处有一个极点，并允许向左半平面进行非均质延伸，在s>s>s>处有更多极点。还假设亚纯延拓满足增长估计为±i∞ 允许将（4.1）中的集成路径向左移动。然后我们用留数定理收集每个极点的贡献，并得出一个展开式（见[22]中的公式（8）），H（T）=Ress=S（MH）（S）T-s+Ress=s（MH）（s）T-s+。因此，基本原理是将变换的奇点映射到T-H在零处的渐近展开。MH的单极点是T的幂次幂，而双极点产生一个额外的对数因子logT，如展开式T所示-s=T-si（1）- （对数T）（s）- si）+O（（s）- 是的。主要结果：数字看涨价格和斜率渐近XT的mgf M（z，T）在一条z中是解析的-< Re（z）<z+，由临界矩（5.1）z+=sup{z给出∈ R:E[ezXT]<∞}和（5.2）z-= inf{z∈ R:E[ezXT]<∞}.由于X是一个L′evy过程，临界时刻不依赖于T。

我们将从傅里叶表示[29]P[ST]中获得关于转移概率（即数字调用价格）的渐近信息≥ 1] =P[XT≥ 0]=2iπZa+i∞A.-我∞M（z，T）zdz=πReZ∞M（a+iy，T）a+iydy，（5.3），其中垂直整合等值线的真实部分满足a∈ (0, 1) （z）-, z+，并且始终假定积分收敛。我们将分析这个积分的渐近行为，对于T↓ 0，通过计算其梅林变换。概率（数字价格）P[XT的渐近性≥ 0]从（5.3）中可以明显看出。对数M作为T函数的线性使我们能够以半显式形式评估梅林变换。引理4。假设S=eXis是鞅，σ>0。那么，对安雅来说∈ （0，1），函数（5.4）H（T）：=Z的梅林变换∞eTψ（a+iy）a+iydy，T>0，由（5.5）（MH）（s）=Γ（s）F（s），0<Re（s）<给出，其中（5.6）F（s）=Z∞(-ψ（a+iy））-sa+iydy，0<Re（s）<。此外，如果Re（s），则|（MH）（s）|呈指数衰减∈ （0，）是固定的和| Im（s）|→∞.Lemma 4的证明见附录。在汉德进行梅林变换后，我们现在开始在i∞ 到P[XT]的展开式≥ 0]对于T↓ 0.以下结果涵盖了NIG和Meixner模型，以及广义回火稳定模型，所有这些模型的σ均大于0。详见第6节。定理5。假设S=eXis是鞅，σ>0。进一步假设有常数a∈ （0,1），c∈ C、 ν∈ [1,2）和ε>0，使得拉普拉斯指数满足（5.7）ψ（z）=σz+czν+O（zν-ε） ，Re（z）=a，Im（z）→ ∞.然后ATM数字呼叫价格满足（5.8）P[XT≥ 0]=+CTv+o（Tv），T↓ 0，式中C~nν=~nν2πσ~ν-1米（e）-iπ∧νc）Γ(-带/ν=（2）-ν)/2 ∈ (0,].

对于ν=1，这简化了toP[XT≥ 0]=+Re（c）σ√2π√T+o(√T），T↓ 与引理2一起，这个定理暗示了以下推论，这是我们关于隐含波动率斜率T的主要结果↓ 0.推论6。在定理5的假设下，ATM隐含的挥发率斜率表现如下：（i）如果ν=1，则↓0Kσimp（K，T）|K=1=-Re（c）σ-σ、 用（5.7）中的c。（ii）如果1<ν<2且Cν6=0，则Kσimp（K，T）|K=1~ -√2πC|νT|-1/2，T↓ 0.定理5的证明。从（5.3）和（5.4）我们知道（5.9）P[XT≥ 0]=πRe H（T）。我们现在用Mellin反转公式（4.1）表达H（T），其中包含κ∈ (0,).引理4证明了这一点，引理4产生了MH沿垂直光线的指数衰减。（很明显，H的连续性也是反变换所必需的。）因此，我们有（5.10）H（T）=2πiZ1/4+i∞1/4-我∞Γ（s）F（s）T-sds，T≥ 0.如第4节所述，我们现在证明Γ（s）F（s）有一个亚纯延拓，然后将（5.10）中的积分路径向左移动，并收集剩余。众所周知，Γ是亚纯的，极点位于非正整数上，10 S.GERHOLD，I.C.G¨UL¨UM和A.PINTERso，因此有必要讨论（5.6）中定义的F的延拓。正如在第四章的证明中，我们把h（y）：=-ψ（a+iy），y≥ 为了证明所设计的亚纯延拓的指数衰减，可以方便地拆分积分：F（s）=Zyh（y）-sa+iydy+Z∞yh（y）-sa+iydy（5.11）=:A（s）+F（s），0<Re（s）<。常数y≥ 0将在稍后指定。它很容易捕捉到平面的一半。由（5.7）可知，函数h具有展开式（精确地说，ε可能减小）（5.12）h（y）=σy+~cyν+O（yν）-ε） ，y→ ∞,式中c：=(-ciν>1，-（c+σa）iν=1。在s=0时，F（或F）不是解析的，原因是（5.11）中的第二个积分在y大时无法收敛。

因此，我们将以下收敛诱导积分从F中减去：~G（s）：=Z∞y（σy）-sa+iydy=-πi（aσ）-seiπssin 2πs-Zy（σy）-sa+iydy（5.13）=:G（s）+A（s）。请注意，Gis是亚纯的，Ais分析Re（s）<。从膨胀（5.14）h（y）-s=（σy）-s-2~csσσ-syν-2秒-2+O（yν）-2名Re（s）-2.-ε） ，y→ ∞,对于s fixed，我们看到函数（5.15）~F（s）：=Z∞是啊h（y）-s- （σy）-s戴安娜王妃的分析-ν<Re（s）<，很明显，对于0<Re（s）<我们有（5.16）~F（s）=F（s）+G（s）。因此，我们建立了带的∧F的亚纯延拓-νν<Re（s）<。为了更进一步，我们研究了（5.14）中的第二项，以及L’EVY模型11定义的波动率斜率：-2~csσσ-sZ∞yyν-2秒-2a+iydy=-2~cπσσ-ssaν-2秒-2e（2s-ν+3）πi/2sinπ（ν- 2s）+2~csσσ-sZyyν-2秒-2a+iydy=：G（s）+A（s）和补偿函数F（s）：=Z∞耶+iyh（y）-s- （σy）-s+2csσσ-syν-2秒-2.dy.By（5.14），函数Fis分析Re（s）∈ (-~ν -ε/2, (ν -1)/2). 此外，根据定义，我们有F（s）=F（s）+G（s），-νν<Re（s）<ν-1，~F对区域的亚纯延拓-~ν - ε/2<Re（s）<已确定。为了将（5.10）中的积分路径向左移动，我们必须确保积分收敛。这是下面引理7的内容，它也证明了适当y的存在≥ 0，用于定义Fin（5.11）。通过留数定理，我们得到了（5.17）H（T）=Ress=0（MH）（s）T-s+Ress=-ν（MH）（s）T-s+2πiZκ+i∞κ-我∞（MH）（s）T-sds，T≥ 0，其中κ=-~ν - ε/4和MH现在当然表示Mellin变换的亚纯延拓。然后我们计算余数。根据（5.11）和（5.16），MH在s=0附近的延拓由Γ（s）（a（s）+F（s）+G（s）给出。因此，Ress=0（MH）（s）T-s=A（0）+F（0）+A（0）+Ress=0Γ（s）G（s）T-s=Ress=0Γ（s）G（s）T-s（5.18）=π+i（γ）- 对数（aσ）/√2） +logt），其中γ是欧拉常数。

注意A（0）=-定义为A（0）和F（0）=0。剩余的余数（5.18）可以直接从（5.13）计算出来（例如，使用计算机代数系统），并且有实部π。请注意，对数项logt，由零位的双极产生（见第4节末尾），只出现在虚部。回顾（5.9），我们发现（5.17）右侧的第一项由此产生（5.8）的第一项。12 S.GERHOLD、I.C.G¨UL¨UM和A.Pinter类似地，我们计算出了ν>1=-ν（MH）（s）T-s=Ress=-~nνΓ（s）G（s）T-s=Γ(-νν）2π“2~csσσ-sπaν-2秒-2e（2s-ν+3）πi/2T-s#s=-~ν.在ν=1的情况下，函数Galso在-~ν = -, 我们得到了=-ν（MH）（s）T-s=Ress=-1/2Γ（s）（G（s）+G（s））T-s=rπi~cσ- aσ√T一个简单的计算表明，在这两种情况下，所述的C/ν公式都是正确的。（5.17）右边的积分显然是O（T-κ） =o（T/ν），因此证明是完整的。引理7。这是一个很好的例子≥ 0使得在定理5的证明中构造的MH的亚纯延拓，取决于（5.11）中| F的定义，以指数形式衰减为| Im（s）|→ ∞.引理7在附录中得到了证明。6.例句我们现在将我们的主要结果（定理5和推论6）应用于几个具体的模型。例8。正态逆高斯模型的拉普拉斯指数ψ（z）=σz+uz+δ（p^α）- β-p^α- （β+z），其中δ>0，α>max{β+1，-β}. （符号^α应避免与定理1中的α混淆。）因为S是鞅，我们必须有u=-σ+δ（p^α）- (β + 1)-p^α- β).（2.1）中u和b之间的关系为u+βδ/p^α- β=b，从z=0时拉普拉斯指数ψ的导数可以看出。L′evy密度为ν（dx）dx=δ^απ| x | eβxK^α| x|,其中Kis是二阶和指数1的修正贝塞尔函数。首先假设σ=0。自K（x）~ 1/x代表x↓ 0，条件（H-α）满足，α=1，c+=c-= δ/π.

定理1第（iv）部分中的可积条件易于检验，我们得出结论↓0P[XT≥ 0]=+πarctanuδ, σ = 0.注意b*= u=b-δ^απR∞K（^αx）（eβx）- E-βx）dx。因此，通过引理2，NIG模型的隐含效用斜率满足要求Kσimp（K，T）|K=1~ -p2/π弧tan（u/δ）·T-1/2，T↓ 0, σ = 0, u 6= 0.图250.050.0-150.150.0-150.010.150.150.0。参数σ=0.085，α=4.237，β=-3.55，δ=0.167，成熟度T=0.1（左面板），T=0.01（右面板）。这些参数根据[8]附录A中的标准普尔500买入价格进行了校准。虚线是斜率近似值（6.1）。我们用Mathematica进行了校准和绘图，使用了买入价格的傅里叶表示法。现在假设σ>0。Sincep^α- （β+z）=-iz+O（1）作为Im（z）→ ∞,展开式（5.7）变成ψ（z）=σz+（u+i）z+O（1），Re（z）=a，Im（z）→ ∞.因此，我们可以应用定理5得出结论，ATM数字价格满足[XT]≥ 0] =+uσ√2π√T+o(√T），T↓ 0, σ > 0.推论6的第（i）部分给出了隐含波动率斜率的极限↓0Kσimp（K，T）|K=1=-uσ-σ=Δσ（p^α- β-p^α- (β + 1)), σ > 0.（6.1）当且仅当β>-.参见图1中的数值示例。让我们再次强调，我们确定了斜率的正确符号，而我们发现显式渐近性并不能非常准确地逼近斜率的值。尽管如此，在图1的右侧面板中，我们在非常短的时间内放大，以表明我们的近似值给出了本例中的渐近正确切线。例9。Meixner模型的拉普拉斯指数为ψ（z）=σz+uz+2^d logcos（^b/2）cosh(-^aiz- i^b），其中^d>0，^b∈ (-π、 π）和0<^a<π-^b。

（我们遵循Schoutens[37]的符号，除了我们写u而不是m，以及^a，^b，^d而不是a，b，d）14 S.GERHOLD，I.C.G–UL–UM和a.Pinter L’evy密度是ν（dx）dx=^dexp（^bx/^a）x sinh（πx/^a）。我们可以继续类似于例8。对于σ=0，我们再次应用第1项的第（iv）部分，其中α=1，现在c+=c-=^d^a/π。因此，limT↓0P[XT≥ 0]=+πarctan^a^d, σ=0，且Kσimp（K，T）|K=1~ -p2/πarctan^a^d· T-1/2，T↓ 0, σ = 0, u 6= 0.现在假设σ>0。拉普拉斯指数的展开式是ψ（z）=σz+（u+^a^di）z+O（1），Re（z）=a，Im（z）→ ∞.根据定理5，Meixner模型中的ATM数字价格满足[XT]≥ 0] =+uσ√2π√T+o(√T），T↓ 0.隐含波动率斜率的极限由IMT给出↓0Kσimp（K，T）|K=1=-uσ-σ=^dσlogcos（^b/2）cosh(-（^a+^b）i）！，σ > 0.例10。CGMY模型的拉普拉斯指数为（6.2）ψ（z）=σz+uz+CΓ(-Y）（（M）- z） Y- 我的+（G+z）Y- GY），其中我们假设C>0，G>0，M>1，0<Y<2，y6=1。σ=0和Y的情况∈ （0，1）无需讨论，因为这是[4]中命题8.5的特例。我们的命题3也可以应用，因为CGMY过程在这种情况下有有限的变化。如果σ=0且Y∈ （1，2），然后ATM数字呼叫价格收敛到T1/2阶，斜率爆炸-1/Y。这是[21]中推论3.3的特例。请注意，[4]中的命题8.5在这里不适用，因为对于CGMY模型，该命题中的常数Cm消失，因此无法获得斜率的前导项。第二节中的定理1（iv）也没有用处；它给出了正确的数字呼叫限制价格，但没有提供获得斜率渐近所需的二阶项。现在我们继续讨论σ>0的情况，这是我们的主要关注点。

ψ在i处的展开式∞ isψ（z）=σz+cyz+uz+O（zY）-1） ，Re（z）=a，Im（z）→ ∞,复常数cY:=CΓ的L’EVY模型的隐含波动率斜率(-Y）（1+e-iπY）。首先假设0<Y<1。然后，我们继续类似于前面的例子，应用定理5和推论6。因此，ATM数字价格满足（6.3）P[XT≥ 0] =+uσ√2π√T+o(√T），T↓ 0，隐含波动率斜率的极限由IMT给出↓0Kσimp（K，T）|K=1=-uσ-σ=σCΓ(-Y）（（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY）。（6.4）现在假设1<Y<2。原则上，定理5是适用的，其中ν=Y；然而，（5.8）中的常数C/ν为零，因此我们不能立即得到展开式的第二项。所发生的是，H的梅林变换（见定理5的证明）可能有更多的极点-< Re（s）<0，但它们都没有贡献，因为相应的残基具有零实部。因此，（6.3）和（6.4）也适用于1<Y<2。详见A.Pinter即将发表的博士论文。请注意，（6.3）和（6.4）也源于Figueroa-L\'opez和\'Olafsson[21]的并行工作。对于0<Y<1，它们也遵循[4]中的命题8.5，但对于1<Y<2，则不是这样，因为当将该命题专门化为CGMy模型时，该命题的常数Cm消失。在下面的例子中，我们讨论了广义回火稳定模型。[4]中研究的回火稳定模型是通过设置α得到的-= α+.例11。广义回火稳定过程[10]是CGMY模型的推广，L′evy密度ν（dx）dx=C-|x | 1+α-E-λ-|x|(-∞,0）（x）+C+|x | 1+α+e-λ+|x |（0，∞)（x） 式中，α±<2，C±，λ±>0。

对于α±6∈ 广义回火稳定过程的拉普拉斯指数为ψ（z）=σz+uz+Γ(-α+C+(λ+- z） α+- λα+++ Γ(-α-)C-(λ-+ z） α-- λα--.对于σ>0，α+∈ （1,2）和α-< α+我们有以下展开式：ψ（z）=σz+Γ(-α+C+e-iπα+zα+O（zmax{1，α-}), Re（z）=a，Im（z）→ ∞.现在，我们应用定理5，其中ν=α+，并发现ATM数字呼叫isP的二阶展开式[XT≥ 0]=+CTv+o（Tv），T↓ 0,16 S.GERHOLD，I.C.G¨UL¨UM和A.Pinter，其中ν=1- α+/2 ∈ （0，）和实康斯坦茨ν=ν2πσ~ν-1Γ(-α+C+Im（e）-iπ∧νe-iπα+|{z}=sin(-π(1+α+/2))Γ(-~ν).根据推论6（ii），ATM隐含波动率斜率爆炸，但比T慢-1/2:Kσimp（K，T）|K=1~ -√2πC|νT|-1/2，T↓ 0.请注意，这些结果也来自于同时发表的论文[21]，该论文处理了类似稳定的模型。如果σ>0且α+<1，则推论6的第（i）部分适用，公式（6.3）和（6.4）适用。7.Lee矩公式的稳健性正如我们已经提到的，我们的一阶斜率近似对斜率的大小给出了有限的准确性，但通常能够成功地识别其符号，即微笑是否随时间增加或减少。这是一个自然的问题，这个标志是否提供了关于微笑整体的信息：如果坡度为正，是否意味着右翼比左翼陡峭，反之亦然？为了解决这个问题，回想一下李的矩公式[28]。假设临界力矩z+和z-, 如（5.1）和（5.2）所述，Lee的公式明确表示（7.1）lim supk→∞σimp（K，T）√k=rψ（z）+- 1） 坦德（7.2）林苏普→-∞σimp（K，T）√-k=rψ(-Z-)T、 其中T>0是固定的，k=logk，ψ（x）：=2- 4(√x+x- x） 。根据托利公式，机翼的坡度取决于临界力矩的大小。在L’evy模型中，临界时刻不依赖于T。

我们现在寻求的相容性属性变成：（7.3）limk→∞σimp（K，T）√k> 林克→-∞σimp（K，T）√-K对于所有T>0当且仅当（7.4）Kσimp（K，T）|K=1>0，对于所有足够小的T。也就是说，微笑的右翼比远离货币的左翼更陡峭，当且仅当货币斜率的小到期日为正时。我们现在表明，这对于几个有限活动的L’evy模型是正确的。通过我们的方法，这当然可以扩展到其他有限活动模型。然而，对于默顿和库恩跳跃扩散模型来说，这并不成立。以下定理中的参数范围与第6节中的示例相同。L’EVY模型的隐含波动率斜率定理12。以下模型的条件（7.3）和（7.4）是等效的。对于后三种情况，我们假设σ>0或u6=0方差γσ=0，b6=0oNIGoMeixneroCGMYPut不同的是，这些模型不能（在短期成熟时）产生微笑，比如说，其最小值位于对数K=K=0的左侧，因此具有正的ATM斜率，但其左翼比右翼陡峭。证据对于所有这些模型来说，关键时刻都是明确的。此外，众所周知，（7.1）和（7.2）中的lim sup通常可以用agenuine极限代替，例如使用Benaim和Friz[6]给出的标准。对于我们的所有模型，mgf上的条件都很容易验证；事实上，Benaim和Friz[6]明确地将方差gamma模型与b=0和Nigg模型联系起来。因此，我们必须证明（7.4）等价于ψ（z）+- 1) > Ψ(-Z-).由于ψ在（0，∞), 后一个条件相当于z+- 1 < -Z-. 还需要检查等效性（7.5）z+- 1 < -Z-<==> (7.4).方差伽马模型的mgf为（见[31]）M（z，T）=eT bz（1- θνz-^σνz）-T/ν，其中^σ，ν>0和θ∈ R