货币隐含波动率斜率的小到期渐近性

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英文标题：
《Small-maturity asymptotics for the at-the-money implied volatility slope
  in L\\\'evy models》
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作者：
Stefan Gerhold, I. Cetin G\\\"ul\\\"um, Arpad Pinter
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the at-the-money strike derivative of implied volatility as the maturity tends to zero. Our main results quantify the behavior of the slope for infinite activity exponential L\\\'evy models including a Brownian component. As auxiliary results, we obtain asymptotic expansions of short maturity at-the-money digital call options, using Mellin transform asymptotics. Finally, we discuss when the at-the-money slope is consistent with the steepness of the smile wings, as given by Lee\'s moment formula.
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中文摘要：
当到期日趋于零时，我们考虑隐含波动率的货币履约衍生品。我们的主要结果量化了包含布朗成分的无限活度指数LSevy模型的斜率行为。作为辅助结果，我们利用Mellin变换的渐近性，得到了货币数字看涨期权短期到期的渐近展开式。最后，我们讨论了当货币斜率与李矩公式给出的微笑翅膀的陡度一致时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Small-maturity_asymptotics_for_the_at-the-money_implied_volatility_slope_in_Lév.pdf (460.08 KB)

2022-5-5 02:21:40 上传

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关键词：波动率 Quantitative asymptotics QUANTITATIV Exponential

Levymodelstefan GERHOLD，I.CETIN G¨UL¨UM和ARPAD PINTERAbstract中现金隐含波动率斜率的小成熟度渐近性。当到期日趋于零时，我们考虑隐含波动率的货币履约衍生品。我们的主要结果量化了包含布朗成分的有限活动指数L’evy模型的斜率行为。作为辅助结果，我们利用Mellin变换的渐近性，得到了货币数字看涨期权短期到期的渐近展开式。最后，我们讨论了当货币斜率与李矩公式给出的微笑翅膀的陡度一致时。1.引言近年来，有关期权价格渐近性和隐含波动性的文献激增（许多参考文献参见[4,24]）。这些结果对快速模型校准、定性模型评估和参数化设计具有实际意义。L’evy模型（和推广）中隐含波动水平的小时间行为已被详细研究[7,17,18,19,33,38]。另一方面，我们关注隐含波动率的货币斜率，即履约衍生工具，并研究其在到期日变小时的行为。对于差异模型，当成熟度趋于零时，通常存在一个极限微笑，极限斜率就是这个极限微笑的斜率（例如，对于赫斯顿模型，这是从[14，第5节]）。然而，我们的重点是指数L’evy模型。这里没有无限的微笑可以区分，因为隐含的波动性会扩大到货币[38]。

事实上，这是一个理想的特性，因为这样一来，L’evy模型更适合捕捉市场上观察到的陡峭的短期到期微笑。但这也意味着，极限斜率不能直接从隐含波动率本身的行为推断出来，需要单独分析。（请注意，如果到期日和原价以适当的方式共同趋于零，那么微笑是有限的[32]。）日期：2018年10月1日2010年数学科目分类。91G20、60G51、41A60、44A15。关键词和短语。隐含波动率，勒夫过程，数字期权，渐近性，梅林变换。JEL分类：G13。我们感谢Jos’e Fajardo、Peter Friz、Friedrich Hubalek、Andreas Kyprianou和MykhayloShkolnikov的有益讨论，并感谢奥地利科学基金（FWF）在P 24880-N25赠款项下提供的财政支持。特别感谢匿名推荐人的全面且非常有用的评论，其中一些评论导致我们改变了论文的核心。2 S.GERHOLD、I.G¨UL¨UM和A.PINTERIt证明，布朗成分的存在具有决定性的影响：没有布朗成分，ATM（在货币处）的斜率（在温和条件下）会爆炸。爆炸是T级的-1/2对于许多型号，但也可能较慢（CGMY Modely with Y∈ （1,2），例如。；参见示例10）。不过，我们的主要结果是关于含有布朗成分的L’evy模型。我们提供了一个结果（第5节中的推论6），将矩母函数的渐近行为转化为ATM斜率的渐近行为。当应用于具体模型时，我们发现斜坡可能会收敛到一个有限的极限（正态逆高斯、梅克斯纳、CGMYmodels），或者以低于T的速度爆炸-1/2（广义回火稳定模型；这种行为似乎是最现实的，见[5]）。

注意，一些研究[1,2,9]强调了布朗成分在拟合历史数据或期权价格时的重要性。特别是，在许多纯jumpL’evy模型中，ATM隐含波动率随着T收敛到零↓ 0（参见[38]中的命题5以获得精确的陈述），这似乎是不可取的。从实际角度来看，渐进斜率是模型校准的一个有用成分：例如，如果市场斜率为负，那么模型参数的简单约束也会迫使（渐进）模型斜率为负。我们的数值试验表明，即使成熟度不短，斜率的符号也可以通过一阶渐近近似可靠地识别。通过我们的公式，可以根据模型参数轻松确定渐近斜率（当然还有它的符号）。例如，当且仅当偏度参数满足β>-.为了得到这些结果，我们研究了在电话通话时的渐近性；它们与隐含波动率斜率的关系是众所周知的。而对于L′evy过程X，转移概率P[XT]的小时间行为≥ x] （在金融术语中，数字看涨价格）对于x 6=x（参见[20]和其中的参考文献）进行了充分的研究，对于x=x知之甚少。尽管如此，P[XT]的一阶渐近性≥ 十] 是可用的，如果不存在布朗成分，这将起作用。如果L’evy过程有布朗成分，那么众所周知limT→0P[XT≥ 十] =。在这种情况下，P[XT]的二阶项≥ 十] 需要获得斜率渐近性。为此，我们使用了一种新的方法，包括转换概率的梅林变换（w.r.t.时间）（第4节和第5节）。

我们相信，该方法对涉及L’evy过程时间渐近性的其他问题具有广泛的适用性，并希望在未来的工作中对此进行详细阐述。最后，我们考虑这样一个问题：钱坡上的积极因素是否要求右翼的微笑更陡峭，反之亦然。机翼陡度指的是此处的大走向渐近线。事实证明，对于我们考虑的几种有限活动模型来说，情况的确如此。这导致了对这些模型可以产生的微笑形状的模拟。安徒生和利普顿[4]最近发表的综合论文是为数不多的处理小时间L’evy斜率渐近性疾病的其他著作之一。除了关于各种模型和渐近机制的许多其他问题外，他们还研究了调和稳定模型的小成熟度ATM数字价格和波动率斜率L’EVY模型3的隐含波动率斜率（文献[4]中的命题8.4和8.5]）。这包括作为特例的CGMY模型（有关详细信息，请参见示例10）。他们的证明方法与我们的完全不同，利用了回火稳定模型特征函数的显式形式。他们主要利用支配收敛定理分析了凸性。另一方面，我们假设特征函数的某种渐近行为，并且仅在计算具体例子时使用其显式表达式。例如，我们的方法涵盖了无额外影响的广义回火稳定、NIG和Meixner模型的ATM斜率。最近的预印本[21]也与我们的工作密切相关。在这里，布朗成分被推广到随机波动率。另一方面，Levy测度的假设排除了NIG和Meixner模型等。第6节对我们的结果与[4]和[21]的结果进行了额外的比较。Al`os等人。

[3] 还研究了小时间隐含波动率斜率、短期波动率和跳跃，但假设后者具有有限的活动性，这不是我们的重点。关于大时间斜率的结果见[23]；另见[25]，第63f页。2.数字看涨价格我们用S=eX表示基础价格，标准化为S=1，用P.W.l.o.g.表示价格。利率设置为零，因此S是P-鞅。假设下面的日志X=（Xt）t≥0是一个具有特征三重态（b，σ，ν）和X=0的L’evy过程。XTisM（z，T）=E[ezXT]=exp（Tψ（z））的矩母函数（mgf），其中（2.1）ψ（z）=σz+bz+ZR（ezx）- 1.- zx）ν（dx）。如果L’evy过程有一个有限的第一时刻，那么这种表示是有效的，我们当然会假设，因为即使St=ext也应该是可积的。此外，如果Xhas路径是有限变化的，则nRR | x |ν（dx）<∞, ψ（z）=σz+bz+ZR（ezx）- 1） ν（dx），其中漂移bis由b=b定义-ZRxν（dx）。下面的定理收集了关于p[XT]的小时间行为的一些结果≥ 0]. 所有这些都是已知的，或者很容易从已知的结果中获得。我们主要感兴趣的是S=eXis是鞅的情况，因此P[XT≥ 0]具有货币数字看涨价格的解释。尽管如此，我们还是提到，对于第（i）-（iv）部分，这种假设是不必要的。在第（iv）部分中，使用了[35]中的以下4.GERHOLD、I.C.G¨UL¨UM和A.PINTERcondition:（H-α）L\'evy测度ν有一个密度G（x）/|x | 1+α，其中G是一个非负可测函数，允许在零处存在左极限和右极限：C+：=limx↓0g（x），c-:= 利克斯↑0g（x），带有c++c-> 0.定理1。

设X是具有特征三重态（b，σ，ν）的L′evy过程，X=0。（i） 如果X的变化有限，且b6=0，则限制↓0P[XT≥ 0]=（1，b>00，b<0。（ii）如果σ>0，则limT↓0P[XT≥ 0] =.（iii）如果X是一个L’evy跳跃扩散，即它有有限的活动跳跃且σ>0，那么p[XT≥ 0]=+bσ√2π√T+O（T），T↓ 假设σ=0，且（H-α）对某些α成立∈ [1，2）。如果α=1，我们另外假设c-= c+=：c和Rx-1 | g（x）- g(-x） |dx<∞.特林姆↓0P[XT≥ 0]=（+πarctanb）*πcifα=1，+απarctanβ-棕褐色απ如果α6=1，其中b*= B-R∞（g（x）- g(-x） ）/x dx和β=（c+- C-)/（c++c）-).（v） 如果存在鞅且L’evy测度满足ν（dx）=e-x/2ν（dx），其中ν是对称度量，则p[XT≥ 0] = Φ(-σimp（1，T）√T/2），其中Φ表示标准高斯cdf。证据（i） 我们有P[XT≥ 0]=P[T-1XT≥ 0]，但T-根据[36]中的定理43.20，1xT将a.s.收敛到b。（ii）如果σ>0，则T-1/2xt在分布中收敛到方差为σ的中心高斯随机变量（见[36]）。关于这种情况下的进一步CLT类型结果，请参见[13,27]。（iii）根据具有指数分布的第一跳变时间τ，我们发现[XT]≥ 0]=P[XT≥ 0|τ ≤ T]·P[τ≤ T]+P[XT≥ 0 |τ>T]·P[τ>T]=O（T）+P[σWT+bT≥ 0]（1+O（T））=P[σWT+bT≥ 0]+O（T）=Φ（b）√T/σ）+O（T）。（2.2）Levy模型5的隐含波动率斜率现在应用扩展（2.3）Φ（x）=+x√2π+O（x），x→ 0.（iv）根据[35]中的命题1，重标度过程Xε，αt:=ε-1Xεαt收敛为严格α稳定过程X*,αtasε↓ 0.限制↓0P[XT≥ 0]=limε↓0P[ε-1Xεα≥ 0]=P[X*,α≥ 0]，并且有必要评估后一种概率。对于α=1，X*,1具有具有特征指数log E[exp（iuX）的Cauchydistribution*,1） ]=ib*U- πc | u |，因此P[X*,1.≥ 0]=πarctanb*πc。

（我们的b*表示为γ*在[35]中）如果1<α<2，那么X*,α具有严格稳定的分布，其特征指数为log E[exp（iuX*,α)] = -|du |α1.- iβsgn（u）tanαπ,式中α±=-Γ(-α） 因为απc±≥ 0，dα=dα+dα-, β=dα+- dα-dα∈ (-1, 1).P[X]的理想表达式*,α≥ 0]然后从[11]开始。有关更多相关参考资料，请参见[17]。（v） 在此假设下，市场模型在[15,16]的意义上是对称的。该陈述是[15]中的定理3.1。方差伽马模型和0<Y<1的CGMY模型都是有限方差模型的例子（当然，只有当σ=0时），所以第1部分适用。第（三）部分显然适用于默顿和寇的著名JumpDiffusion模型。在第6节中，我们将讨论第（四）部分的两个示例（NIG和Meixner）。隐含波动率斜率和小到期数字期权（Black-Scholes）隐含波动率是指使Black-Scholes看涨期权价格等于看涨期权价格的波动率，其标的为：CBS（K，T，σimp（K，T））=C（K，T）：=E[（ST- K） +]。由于σimp（K，T）没有明确的表达式（见[26]），许多作者研究了近似值（例如，见引言中的参考文献）。隐含波动率斜率和数字看涨期权之间的以下关系是众所周知的[25]；我们给出了完整性的证明。（请注意，STY的绝对连续性适用于所有感兴趣的L’evy模型，见[36]中的定理27.4，并将一直假设。）6 S·格霍尔德、I·G¨UL¨UM和A·品特伦玛2。假设每T>0，sti定律绝对连续，且（3.1）limT↓0C（K，T）=（S）- K） +，K>0。那么，对于T↓ 0,(3.2)Kσimp（K，T）|K=1~r2πT-P[ST≥ 1]-σimp（1，T）√T√2π+Oσimp（1，T）√T.证据

根据隐函数定理，隐含波动率斜率有了相应的表示Kσimp（K，T）=KC（K，T）- KCBS（K，T，σimp（K，T））σCBS（K，T，σimp（K，T））。由于STis定律是绝对连续的，所以买入价C（K，T）是连续可微的w.r.T.K，并且KC（K，T）=-P[ST≥ K] 。插入Black Scholes织女星和数字价格的明确公式，并专门针对ATM情况K=S=1，我们得到Kσimp（K，T）| K=1=Φ(-σimp（1，T）√T/2）- P[ST≥ 1]√T~n（σimp（1，T）√T/2），其中Φ和φ分别表示标准高斯cdf和密度。根据[34]中的命题4.1，我们的假设（3.1）意味着年化隐含收益率σimp（1，T）√T趋向于零↓ 0.（参考文献[34]中使用的第二个假设是无套利界限-（K）+≤ C（K，T）≤ S、 对于K，T>0，但这些在这里是令人满意的，因为我们的买入价格是由鞅S.）使用展开式（2.3）和洎（x）生成的=√2π+O（x），我们由此得到（3.2）。当然，渐近关系（3.2）与[12]中给出的小额货币扩张是一致的，其中p2π/T- P[ST≥ K]作为隐含波动率的二阶项（即一阶导数）出现。引理2表明，为了获得ATM（ATM）斜率的一阶渐近性，我们需要ATM数字呼叫价格P的一阶渐近性≥ 1]. （回想一下S=1。）适用于有极限的模特↓0P[ST≥ 1] =，我们还需要数字呼叫的二阶项，以及σimp（1，T）的一阶项√TATM数字呼叫的极限值1/2是典型的fordi ffusion模型（见[27]），以及包含布朗运动的L’evy过程。对于不含扩散成分的有限活动模型，P[≥ 1] 也可能收敛到1/2（例如，在带有Y的CGMY模型中∈ （1，2）），但也可以使用其他限制值。

参见第6节中的示例。从定理1和引理2的（i）部分，我们可以立即得出以下结果。注意，我们始终假设X是S=eXisa鞅，S=1。提议3。假设L’evy过程X具有有限的变化（因此，σ=0是必要的），b6=0。然后，L’EVY模型的ATM隐含波动率斜率乘以波动率斜率Kσimp（K，T）|K=1~ -pπ/2sgn（b）·T-1/2，T↓ 0.注意T-在任何模型中，1/2是坡度最快的增长顺序（见Lee[30]）。如果X是σ>0的L′evy跳跃扩散，那么根据定理1（3.2）的第（iii）部分，以及σimp→ σ（隐含波动率收敛于即期波动率），我们得到了有限极限（3.3）limT↓0Kσimp（K，T）|K=1=-bσ-σ.（应当理解，替换K＝1将在限制器之前执行。）↓ 0.）注意，（3.3）右侧的表达式确实取决于跳跃参数，因为由条件E[exp（X）]=1确定的漂移b取决于它们。此外，（3.3）与方差斜率的形式计算一致↓0Kσimp（K，T）|K=1=-2b- [25]中第61f页的σ。事实上，（3.3）因跳跃差异而闻名，参见[3,39]。关于Mellin变换渐近性的一般评论引理2之后提到，如果我们想在含有布朗成分的L’evy模型中找到极限斜率，我们需要ATMdigital调用的二阶项。虽然这对于有限的活动模型来说很容易（见后退部分的末尾），但在有限的活动跳跃的情况下就更难了。我们将使用梅林变换的渐近性来确定这个二阶项。有关该技术的更多详细信息和参考资料，请参见示例[22]。