货币隐含波动率斜率的小到期渐近性

其路径具有有限的变化，因此命题3表明（7.4）相当于b<0。临界力矩为z±=-νθ ±√2ν^σ+νθνσ，我们有-Z-+ 1.- z+=1+2θ/^σ。当且仅当ifb=ν时，这是正的-1日志（1）- θν -^σν）<0，这会产生（7.5）。对于其他三个模型，首先假设σ>0。第6节中的示例表明（7.4）相当于u<-σ. NIG模型的临界力矩为z+=^α- β和z-= -^α - β. 因此，z+- 1 < -Z-i仅当β>-, 这实际上相当于u+σ=δ（p^α- (β + 1)-p^α- β) < 0.对于Meixner模型，我们有z±=（±π）-^b）/^a，产生-Z-+ 1.-z+=1+2^b/a。另一方面，u+σ=-2^d logcos（^b/2）cos（（^a+^b）/2），当且仅当cos（^b/2）>cos（（^a+^b）/2时为负，这相当于^a+2^b>0.18s.GERHOLD，I.C.G¨UL UM，和a.Pinter最后，对于CGMY模型，我们有u+σ=-CΓ(-Y）（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY.从那以后∈ (0, 1), Γ(-Y）<0和函数x7→ xY- （x+1）y严格地在（0，∞), 我们看到u+σ<0当且仅当M- 1<G。这是所需的条件，因为显式表达式（6.2）显示z+=M和z-= -G.案例Y∈ （1，2）是类似的。仍需处理σ=0的情况。首先，注意临界力矩与σ无关。此外，从第6节中的示例中，我们可以看到（7.4）在且仅当u<0时成立。现在观察一下，在L’evy模型中加入布朗运动-如果要保持鞅性质，则σ等于漂移。因此，这个断言来自我们已经证明的σ>0。8.结论我们的主要结果（推论6）将对数基础的smgf的渐近性转化为ATM隐含波动率斜率的一阶渐近性。检查推论6的要求只需要mgf的泰勒展开，它在所有实际模型中都有明确的表达式。

如果需要，可以通过相同的证明技术获得高阶展开式。他们将以一种相对简单的方式从mgf的高阶展开式出发，通过收集梅林变换的进一步残基。在未来的工作中，我们希望将我们对mgf的假设与L’evy三重态的性质联系起来，这将为斜率如何依赖于模型特征提供更多的见解。附录A.引理4的证明和引理4的证明。因为S=eXis是鞅，所以我们有ψ（0）=E[X]<0。那么ψ（0）=0意味着对于所有足够小的a>0，ψ（a）<0。事实上，很容易从ψ（1）=0和ψ的凹度得出∈ （0，1）满足ψ（a）<0。让我们来看看这样一个a.FromRe(-ψ（a+iy））=-ψ（a）+σy+ZReax（1）- cos（yx））|{z}≥我们得到函数h（y）：=-ψ（a+iy），y≥ 0，满意度（A.1）关于h（y）>σy≥ 0，y≥ 0.对于0<Re（s）<定义函数g（T）=TRe（s）-1Z∞E-tre（h（y））|a+iy | dy，T>0。L’EVY模型的隐含波动率斜率19利用富比尼定理，替换T Re（h（y））=u，然后计算forRe（s）>0Z∞g（T）dT=Z∞|a+iy | Z∞E-T Re（h（y））TRe（s）-1dT dy=Z∞Re（h（y））-Re（s）| a+iy|Z∞E-乌雷（s）-1dudy=Γ（Re（s））Z∞Re（h（y））-从（a.1）开始，我们得到∞Re（h（y））-Re（s）| a+iy | dy≤ (σ)-Re（s）Z∞Y-2 Re（s）| a+iy | dy。限制Re（s）<确保最后一个积分是有限的，从而确保g的可积性。使用支配收敛定理和富比尼定理，H的梅林变换现在可以计算为z∞H（T）Ts-1dT=Z∞a+iyZ∞E-th（y）Ts-1dT dy.替换th（y）=u给出了结果。

注意h（y）通常是非实的；然而，很容易看出，欧拉积分Γ（s）=Z∞我们-1e-udu，Re（s）>0，仍然代表伽马函数，如果积分是沿着从零发出的任何复杂射线进行的，只要射线保持在右半平面。后者成立，因为Re（h（y））>0。对于大的| Im（s）|，仍需证明梅林变换MH（s）=Γ（s）F（s）的指数衰减。首先，注意imψ（a+iy）=by+σay+ZR（eaxsin xy+xy）ν（dx）=O（y），y→ ∞,这与（A.1）一起产生ε>0的存在，使得| arg h（y）|≤π - ε表示所有y≥ 0.然后我们用Re（s）估算∈ （0，）固定，| F（s）|≤Z∞E-Re（s log h（y））|a+iy | dy=Z∞E-Re（s）log | h（y）|+Im（s）arg h（y）| a+iy | dy≤ e（π/2）-ε） | Im（s）| Z∞（σy）-Re（s）|a+iy | dy.积分收敛，因此这个估计是足够好的，因为斯特林公式产生| s）|=exp-π| Im（s）|（1+o（1））. 20 S.GERHOLD，I.C.G¨UL¨UM和A.PINTERProof引理7。回想一下，在定理5的证明中，我们将以下F（s）的亚纯延拓定义为条带-~ν -ε<Re（s）<：A（s）+G（s）+F（s），-~nν<Re（s）<，A（s）+G（s）+G（s）+F（s），-~ν -ε<Re（s）<（ν）- 1).正如引理4的证明末尾所指出的，斯特林公式暗示|Γ（s）|=exp-π| Im（s）|（1+o（1））. 通过（5.5），可以证明F（s）的延拓是O（exp（（π）- ε） |Im（s）|）对于某些ε>0。函数?和?显然是O（1）。至于（5.11）中定义的A，我们有| A（s）|≤齐伊-Re（s log h（y））|a+iy | dy=Zy |h（y）|-Re（s）eIm（s）arg h（y）|a+iy | dy.现在注意|h（y）|-Re(s)≤（（σy）-Re（s）0<Re（s）<，（最大值0≤Y≤y | h（y）|）-Re(s)Re(s)≤ 0和thatexp（Im（s）arg h（y））≤ exp（（π）- ε） |Im（s）|）对于某些ε>0，如引理4的证明所述。仍需确定（5.15）中定义的F的界限。（Fis的界完全类似，我们省略了细节。）在下文中，我们假设-νν<Re（s）<。

到（5.12），我们有（O是统一的w.r.t.s，andy≥ 0仍然是任意的）：~F（s）=Z∞是啊（σy）-s（1+O（yν）-2))-s- （σy）-sdy=Z∞ya+iy（σy）-s（1+O（yν）-2))-s- 1.dy.（A.2）我们现在选择y，对于一些常数C>0，对数| 1+O（yν）-2)|≤π,arg（1+O（yν）-2))≤π,对数（1+O（yν）-2))≤ Cyν-2.坚持到底≥ y、 （通过稍微滥用符号，这里是O（yν）-2） 当然，表示隐藏在O（yν）后面的函数-2） 在（A.2）中）尽管如此，w∈ C我们估计| ew- 1| ≤ |w | e | Re（w）|。利用（A.2）中的这一点，我们发现L’EVY模型的隐含波动率斜率（1+O（yν）-2))-s- 1.=经验(-s对数（1+O（yν）-2))) - 1.≤ |s对数（1+O（yν）-2） exp | Re | s log（1+O（yν）-2))|)≤ C|s|yν-2exp（π| Im（s）|），其中C=Cexp（πsups | Re（s）|），因此|F（s）|≤ C | s | eπ| Im（s）| Z∞yy-2 Re（s）+ν-3dy=expπ| Im（s）|（1+o（1））.参考文献[1]Y.Ait-Sahalia，从离散数据判断基础连续时间模型是否是一种差异，《金融杂志》，57（2002），第2075-2113页。[2] Y.Ait-Sahalia和J.Jacod，布朗运动对高频数据建模是必要的吗？，安。统计学家。，38（2010），第3093-3128页。[3] E.Al`os，J.A.Le`on和J.Vives，关于具有随机波动率的跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为，Finance Stoch。，11（2007），第571-589页。[4] L.Andersen和A.Lipton，《指数L’evy过程的渐近性及其效用微笑：调查和新结果》，Int.J.Thero。阿普尔。《金融》，第16期（2013年）。论文编号1350001，共98页。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatherel，《粗波动下的定价》，量化金融，16（2016），第887-904页。[6] S.Benaim和P.Friz，《微笑渐近II：具有已知矩生成函数的模型》，J.Appl。Probab。，45（2008），第16-32页。[7] S.I.Boyarchenko和S.Z.Levendorskii，非高斯Merton-Black-Scholes理论，第卷。

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