Lugannani大米扩张的订单估算

首先，我们介绍以下引理。引理3。^θε-→^θ，^wε-→ ^wasε→ 0.证明。首先，我们检查（^θε）ε是有界的。通过（2.1），我们得到了^θε=（K′ε）-1（x）- （K′ε）-1（mε）=ZduK′ε（（K′ε）-1（mε+u（x- mε）x- mε），其中mε=K′ε（0）。通过[A5]，我们看到（mε）ε是有界的。因此，从[A3]中，我们得到|θε|≤δ（|x|+最大ε| mε）<∞.其次，我们观察到- K′ε（^θ）=K′ε（^θ）（^θε）-^θ）+Z（1）- u） K′′ε（^θ+u（^θε）-^θ）du（^θε-^θ）到达|^θε-^θ| ≤δ|十、- K′ε（^θ）|+supy∈C|K′′ε（y）| supε|^θε-^θ|对于一些紧集C R.ε→ 0，我们得到前一个断言。后一种说法紧随其后。上述引理暗示了以下推论。推论2。存在一个δ>0，使得εθε，εwε>0∈ [0，δ）.证明.自^θε-→^θ>0，我们可以找到一些δ>0，使得^θε>^θ/2>0适用于ε<δ。通过使用^w=pK′（0）^θ>0，以相同的方式获得关系^wε>0。根据上述推论，我们可以假设^θε和^wε是严格正的。提议3。^wε-qK′ε（^θε）^θε=O（ε）asε→ 0.证明。由于（^θε）ε和（^wε）ε有界且远离零，因此必须证明^wε-K′ε（^θε）^θε=O（ε）asε→ 0 . 根据^wε的定义，我们得到了^wε=2(-Kε（^θε）+K′ε（^θε）^θε）。利用Kε（0）=0和泰勒定理，我们得到了^wε- εθ′ε(-u^θε）（1- u） 杜。因此，| wε- K′ε（^θε）^θε|≤ 副食品|≤^θεy|K′′ε（y）|=O（ε）asε→ 0，我们的断言如下。我们写^θ′ε=dθdw（^wε）=limw→^wεdθdw（^wε）。注意，^θ′ε是存在的，因为θ（w）在^wε处是解析的。同样，我们可以定义^θ（n）ε=dnθdwn（^wε）=limw→ ^wεdnθdwn（^wε）。下一个命题在后面的计算中经常使用。提议4。^θ′ε=1/qK′（^θε）。证据

因为（5.5）右边的分子和分母都会随着w收敛到零→ ^wε，我们可以应用l\'H^opita l规则来获得^θ′ε=limw→^wεw- ^wεK′（θ（w））- x=limw→^wεK′（θ（w））θ′（w）=K′（θε）θ′ε。通过求解这个方程，我们得到了期望的结论。回想一下（5.8）中定义的函数g（w）是关于^Oε的解析函数，+：={w（θ）；θ∈ Oε∩(0, ∞)}. 下面的引理是直接使用mat-hematic归纳法得出的。引理4。对于每个n=0，1，2。而w∈^Oε，+，g（n）（w）=θ（n）（w）- ng（n）-1） 注意g（^wε）=^θε/^wε>0。因此，我们可以在^wε的邻域上定义h（w）=log g（w）。显然，我们有ψ（w）=h′（w）。因此，ψ（2m）（^wε）=h（2m+1）（^wε）。（5.11）不同但简单的计算给出了h′（w）=g′（w）g（w），h′（w）=g′（w）g（w）-（g′（w））g（w），（5.12）h′（w）=g′（w）g（w）-3g′（w）g′（w）g（w）+2（g′（w））g（w）。我们可以通过归纳法得出以下结论。引理5。对于每个n和w∈^Oε，+，h（n）（w）=mnXk=1akg（w）bknYi=0（g（ci，k）（w））di，k！对于一些mn，ak，bk，ci，kand di，kwithnXi=0cikdik=n.通过（5.11），引理3和5，有必要考虑m的g（m）（^wε）阶的估计∈ N.下一个命题给出了g′（^wε）的阶估计。提议5。g′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。通过引理4，我们得到wg′（w）=θ′（w）- g（w）=wθ′（w）- θ（w）w。将其与（5.5）相结合，我们g etwg′（w）=w（w）- ^wε）- θ（w）（K′（θ（w））- x） w（K′（θ（w））- x） 。（5.13）出租w→ ^wε，（5.13）右侧的分子和分母都收敛于零。然后，我们可以应用l\'H^opital规则来获得LimW→ ^wεwg′（w）=limw→^wε2w- ^wε- θ′（w）（K′（θ（w））- 十）- θ（w）K′（θ（w））θ′（w）K′（θ（w））- x+wK′（θ（w））θ′（w）=^wε-^θεK′（^θε）^θ′ε^wεK′（^θε）^θ′ε。（5.14）通过命题4和（5.14），我们可以看到g′（^wε）=limw→ ^wεg′（w）是存在的，可以给出asg′（^wε）=^wε-qK′（θε）θεwεqK′（θε）。

（5.15）我们的主张遵循m（5.15）和命题3。将（5.5）的两边与w区分开来，我们得到以下命题。提议6。对于w∈^Oε，+\\{wε}，θ′（w）=1- （θ′（w））K′（θ（w））K′（θ（w））- x、 （5.16）根据（5.13）和命题4和命题6，我们得出以下结论。提议7。对于w∈^Oε，+\\{wε}，g′（w）=w（1）- （θ′）K′（θ））- 2（K′（θ）- x） （wθ′）- θ） w（K′（θ）- x） ，以θ=θ（w）和θ′=θ′（w）为简洁。接下来，我们考虑θ（w）在^wε处的二阶导数^θ′ε=^θ（2）ε。提议8。^θ′′ε= -K′′（θε）3（K′′（θε））。（5.17）证据。将l\'H^opita l的规则应用于（5.16），并观察^θ′ε=- 利姆→ ^wε2θ′（w）θ′（w）K′（θ（w））+（θ′（w））K′（θ（w））K′（θ（w））θ′（w）=-2^θ′′ε-K′′（θε）（K′′（θε））。然后，我们通过求解上述方程得到我们的结论。提案9。g′′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。在命题7中应用l\'H^opital的等式规则，并使用命题8，wehavelimw→^wεwg′（w）=-^wεK′′（^θε）- 6（K′′（^θε））3/2（^wε-^θεqK′（^θε））3^wε（K′（^θε））。（5.18）类似于命题3，通过应用泰勒定理，我们得到^wε- K′（θε）θε+K′′（θε）θε=θεK′（θε）vε，（5.19），其中vε=-^θε3K′（^θε）ZK（4）(-u^θε）（1- u） 杜。注意，vε=O（ε）等于ε→ [A5]中的0。从（5.19）中，我们得到^wε=^θεqK′（^θε）s1-K′′（^θε）3K′（^θε）^θε+vε。因此，我们可以将（5.18）右边的分子改写为-K′′（^θε）^θε-K′′（θε）θε+θεK′（θε）vεK′′（θε）-6（K′′（^θε））^θε（s1）-K′′（θε）3K′（θε）θε+vε- 1)= -K′′（^θε）^θε-K′′′（^θε）^θεK′′（θε）+K′（θε）θεK′（θε）+O（ε）=（K′′（θθε））θε+O（ε）=O（ε）asε→ 0.这里，我们使用关系√对于小x，1+x=1+x/2+O（x），K′′′（^θε）=O（ε），vε=O（ε）为ε→ 0.这就完成了证明。事实上，我们可以重新定义上述主张。

根据泰勒定理，我们观察到^wε- K′′（θε）θε+K′′′（θε）θε-K（4）（^θε）^θε=^θεK′（^θε）~vε以达到^wε=^θεqK′（^ε）s1-K′′（θε）3K′（θε）θε+K（4）（θε）12K′（θε）θε+vε，其中vε=θε12K′（θε）ZK（5）(-u^θε）（1- u） 杜= O（ε）asε→ 0.然后，通过类似于上述命题证明中的计算，我们得到了3^wε（K′′（^θε））limw→^wεwg′（w）=-K′′（^θε）^θε-K′′（θε）θε+K（4）（θε）θε+θεK′（θε）~vεK′′（θε）-6（K′′（^θε））^θε（s1）-K′′（θε）3K′（θε）θε+K（4）（θε）12K′（θε）θε+vε- 1)= -K′′（^θε）^θε-K′′′（^θε）^θεK′′（θε）+K′（θε）θεK′（θε）-K′（θε）θεK（4）（θε）+（K′（θε））θεK′（θε）3K′（θε）θε！+O（ε）=^θε（K′′（^θε））-K′′（θε）θεK（4）（θε）+O（ε）asε→ 0，我们在其中应用了关系式√1+x=1+x/2-对于小x，x/8+O（x）。这意味着g′（wε）=5（K′′（θε））36（K′（θε））-K（4）（^θε）12K′（^θε）！^θε^wε+O（ε）asε→ 这里，我们计算θ（w）在^wε（^θ′′ε）处的三阶导数。提议10。θ′′ε=5（K′′′（θε））12（K′′（θε））7/2-K（4）（^θε）4（K′′（^θε））5/2。（5.21）证据。区分（5.16）的两边，我们有θ′（w）=-3θ′θ′K′（θ）+（θ′）K′′（θ）K′（θ）- x、 （5.22）现在我们应用（5.22）的l\'H^opital规则来获得^θ′′ε=limw→^wεθ′（w）=-(-（K′′′（θε））3（K′′（θε））7/2+3′θ′ε-2（K′′θε）（K′θε）7/2+K（4）（K′θε）（K′θε）5/2）。这可以简化为^θ′′ε=5（K′′′（^θε））3（K′′（^θε））7/2-K（4）（^θε）（K′′（^θε））5/2。我们得到了想要的断言。将（5.21）代入（5.20），我们有以下建议。提议11。g′（^wε）=（^θεqK′（^θε））3^wε×^θ′ε+O（ε），ε→ 现在我们准备证明下一个命题。提议12。g′′（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。通过引理4，它认为wg′（w）=θ′（w）- W6=^wε的3g′（w）。让w→ ^wε并替换（5.23），我们有^wεlimw→ ^wεg′′（w）=^θ′ε- 3.^θεqK′（^θε））3^wε×^θ′ε+O（ε）=θ′′′εwε^wε- （^θεqK′（^θε））+ O（ε）。通过[A5]和命题10，我们可以看到t^θ′′ε=O（ε）。

此外，命题3暗示^wε- （^θεqK′（^θε））=^wε-^θεqK′（^θε）^wε+^wεθεqK′（^θε）+^θεK′（^θε）= O（ε），ε→ 通过上述论证，我们推断出^wεg′（^wε）=O（ε）为ε→ 0接下来我们估计n的θ（n）ε和g（n）（wε）≥ 4.我们假设fn（w）=θ（n）（w）（K′（θ（w））- x） 。引理6。fn+1（w）=f′n（w）- 每个n的K′′（θ（w））θ′（w）θ（n）（w）≥ 1.证据简单的计算得到θ（n+1）=ddwfnK′（θ）- 十、=f′n·（K′（θ）- 十）- fn·K′（θ）θ′（K′（θ）- x） =f′n- θ（n）K′（θ）θ′K′（θ）- x、 这意味着所需的断言。提议13。每n≥ 3.以下两种说法成立。（i） 有非负整数mn，ani，rni，sni，kni，2，克尼-2（i=1，…，mn）使fn（w）=-K（n）（θ（w））（θ′（w））n- nK′（θ（w））θ′（w）θ（n）-1） （w）-mnXi=1aniK（rni）（θ（w））（θ′（w））snin-2Yj=2（θ（j）（w））克尼，詹德·阿尔森-2（2Xj=2Xj）- 1） kni，j+rni=n，rni≥ 每i=1，…，则为2，明尼苏达州。（ii）fn（^wε）=0。证据我们将用归纳法证明断言（i）。首先，我们考虑n=3的情况。通过命题6和引理6，我们知道f（w）=1- K′（θ（w））（θ′（w））和f（w）=f′（w）- K′（θ（w））θ′（w）θ′（w）=-K′′（θ（w））（θ′（w））- 3K′（θ（w））θ′（w）θ′（w）；（5.24）因此，（i）对于n=3是正确的。现在我们假设（i）适用于{3，…，n}中的任何整数。因此，fn+1（w）=f′n（w）- K′′（θ）θ′θ（n）=-K（n+1）（θ）（θ′）n+1- （n+1）K′′（θ）θ′θ（n）-nnK（n）（θ）（θ′）n-1θ′+nK′（θ）（θ′）θ（n）-1） +nK′（θ）θ′θ（n）-1） 利用引理6，其中fni（θ）=K（rni+1）（θ）（θ′）sni+1n-2Yj=2（θ（j））kni，j+sniK（rni）（θ）（θ′）sni-1θ′n-2Yj=2（θ（j））kni，j+n-2Xl=2kni，lK（rni）（θ）（θ′）sni（θ（l））kni，j-1θ（l+1）n-2Yj=2:j6=l（θ（j））kni，j。用n+1替换n再次得到（i）。通过归纳，（i）保持n≥ 3.断言（ii）与（2.1）的定义相同，且定义为fn（w）。14号提案。每n≥ 我们有^θ（n）ε=O（εn）-1） asε→ 0.证明。当n=2时，[A5]和命题8的断言是显而易见的。

我们支持该评估适用于1，N- 1.通过定义fn，我们得到θ（n）（w）=fn（w）K′（θ（w））- xfor w 6=^wε。通过第13（ii）条和^θε的定义，我们可以看到上述等式右侧的数值和分母通过lettingw收敛到零→ ^wε。因此，我们可以应用l\'H^opital规则来获得^θ（n）ε=limw→^wεf′n（w）K′（w）θ′（w）=f′n（wε）qK′（θε）。（5.25）通过引理6和命题13，我们看到f′n（^wε）的形式为f′n（^wε）=-nqK′（^θε）^θ（n）ε-mnXi=1aniK（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，j（5.26）对于某些mn，ani，rni，sni，kni，2，克尼-1（i=1，…，mn）带n-1Xj=2（j- 1） kni，j+rni=n+1。通过（5.25）-（5.26），我们得到了^θ（n）ε=（n+1）qK′（^θε）mnXi=1aniK（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，j。这里，通过假设^θ（j）ε=O（εj）-1） asε→ 0表示j=2，j=n-1和[A4]我们看到，术语k（rni）（^θε）（^θ′ε）snin-1Yj=2（^θ（j）ε）kni，jhas阶O（εrni-2+Pj（j）-1） kni，j）=O（εn-1） asε→ 因此，^θ（n）ε=O（εn-1） asε→ 因此，断言对于n也是正确的。归纳法完成了proo f。引理7。每n≥ 3，g（n）（^wε）=O（ε）asε→ 0.证明。命题12对n=3的断言是正确的。为了n≥ 这个断言由引理4、命题14和归纳法得到。定理2的证明。因为（φ（^wε））0≤ε≤1有界时，必须表示ψ（m）（^wε）=O（εmin{2m+1,3}），ε→ 0英尺或米≥ 从（5.11）-（5.12）中，我们得到ψε（^wε）=g′（^wε）g（^wε）=O（ε）作为ε→ 根据命题5，ψ′′ε（^wε）=g′′′（^wε）g（^wε）-g′（^wε）g′（^wε）g（^wε）+2（g′（^wε））g（^wε）=O（ε）asε→ 0根据命题5、9和12。为了我≥ 2，我们通过引理5和7得到这个断言。6扩展6。1高阶LR公式的误差估计在本小节开头，我们介绍以下命题。15号提案。对于每个n，g（n）（^wε）=∞Xk=n+1n！K^θ（k）ε(-^wε）k-N-1.（6.1）证据。

利用引理4和归纳法，我们发现g（n）（^wε）可以表示为^wn+1εg（n）（^wε）=nXk=0(-1） n-kn！K^wkεθ（k）ε=(-1） nn！θ（^wε）+nXk=1(-1） n-kn！K^wkεθ（k）ε。（6.2）结合（6.2）与泰勒展开式n！θ（^wε）=-N(θ(0) - θ（^wε））=-∞Xk=1n！K^θ（k）ε(-^wε）k，我们得到了所需的断言。这里，根据命题14，有正常数Cn（带n≥ 2） ，使得|θ（n）ε|≤ Cnεn-1.（6.3）因此，如果我们假设下面的进一步条件[A6]，那么当ε很小时，级数（6.1）会收敛。[A6]存在ε∈ （0，1）使∞Xk=2Ckk！εk<∞.此外，我们还得到了以下定理。定理3。假设[A1]–[A6]。然后h（n）（^wε）=O（εn），ε→ 每n保留0≥ 1.此外，ψεm（^wε）=O（ε2m+1），ε→ 每米0次≥ 0.证明。这是（6.1）和引理5的直接结果。根据上述定理，我们看到有正常数C′n（其中n≥ 2） 例如| h（n）（^wε）|≤ C′nεn，因此|ψεm（^wε）|≤ φ（^wε）C′2m+1（2m）！！ε2m+1。现在我们介绍条件[A7]。[A7]存在ε∈ （0，1）使∞Xm=1C′2m+1（2m）！！ε2m+1<∞.显然，我们有下面的定理。定理4。假设[A1]–[A7]，且（1.3）成立。然后，展开式（3.5）成立。请注意，[A6]–[A7]是在一般情况下很难直接验证的技术条件。然而，第4节的结果表明，定理3-4的断言在许多情况下可能是有效的。6.2 Daniels密度函数公式的应用在本小节中，我们研究了Daniels（1954）鞍点近似公式的阶估计，该公式近似于概率密度函数。让x∈ R和定义^θ（n）ε，^wε，如第5.2节所述。

通过类似于第2节的论证，我们可以证明以下“精确”丹尼尔展开式：fε（x）=∞在合适的条件下，Xm=0Θm（6.4），其中fε是με的概率密度函数，Θm=φ（^wε）^θ（2m+1）ε（2m）！！。就i.i.d.随机变量的样本平均值而言，丹尼尔斯（1954年）和丹尼尔斯（1980年）对（6.4）的研究分别为（3.3）和（2.5）。在一般情况下，我们可以在例如[A1]–[A5]、[B1]–[B2]和以下附加条件下获得（6.4）。[A8]存在ε∈ （0，1）使∞Xn=1Cnn！！εn<∞,其中Cn>0是（6.3）中出现的常数。我们可以通过类似于第5节和第6小节的公式轻松展示以下内容。1（我们在这里省略proo f）。定理5。假设[A1]–[A5]。此外，假设（6.4）成立。那么Θm=O（ε2m）作为ε→ 每米0≥ 此外，如果我们进一步假设[A8]，它认为fε（x）=MXm=0Θm+O（ε2（m+1））为ε→ 每米0≥ 0.7关于r和OM变量（X（ε））ε>0的一般参数化序列的结论性注释，假设X（ε）的第次累积具有O（εr）阶-2） asε→ 每个r为0≥ 3.我们推导了右尾概率的“精确”Lugannnani-Rice展开式X（ε）>X= 1.- Φ（^wε）+∞Xm=0ψεm（^wε），其中x∈ R固定为给定值。特别是，我们得到了展开式中每个项的阶估计。对于前两项，我们将ψε（^wε）=O（ε）和ψε（^wε）=O（ε）作为ε→ 分别为0。在某些附加条件下，mth项满足ψεm（^wε）=O（ε2m+1）为ε→ 0.使用这些，我们为每m，m建立了（3.5）≥0

作为数值例子，我们选择了金融市场中的随机波动模型；我们检查了LR公式的订单估计值的有效性。以下是与这项工作相关的有趣且重要的未来研究课题。（i） 分析极右尾概率X（ε）>Xε,使用与经典LR公式兼容的LR型展开式（见引言中的备注1）。在这种情况下，鞍点发散为ε→ 0允许我们通过使用Watson引理（见Watson（1918）或Kolassa（1997））避免计算（2.7）的困难。因此，我们可以预期条件[B3]可以省略；这个条件是在我们导出精确的LR展开式时施加的。（ii）寻求比[A6]–[A7]更多的“自然”条件来获得误差估计（3.5）。（iii）研究具有非高斯基的广义LR展开的阶估计。在没有订单估计的扩张研究中，Wood、Booth和Butler（1993）、Rogers和Zane（1999）、Butler（2007）以及Carr和Madan（2009）。高阶近似项的显式形式在本节中，我们介绍了ψε（^wε）和ψε（^wε）的推导。

首先，我们可以归纳计算r的^θ（r）ε≥ 4.用同样的方法证明这个命题。16号提案。^θ(4)ε= -K（5）（θε）5（K′′（θε））+K（3）（θε）K（4）（θε）（K′（θε））-8（K（3）（^θε））9（K′′（^θε）），^θ（5）ε=-K（6）（θε）6（K′′（θε））7/2+35（K（4）（θε））48（K′（θε））9/2+7K（3）（θε）K（5）（θε）6（K′（θε））9/2-35（K（3）（θε）K（4）（θε）8（K′′（θε））11/2+385（K（3）（θε））144（K′（θε））13/2，θ（6）ε=-K（7）（^θε）7（K′′（^θε））-280（K（3）（θε）27（K′′（θε））+200（K（3）（θε））K（4）（θε）9（K′′（θε））-25（K（4）（^θε））3（K′′（^θε））-20（K（3）（K′θε））K（5）（K′θε）3（K′θε）+2K（4）（K′θε）K（5）（K′θε）（K′θε）+4K（3）（K′θε）K（6）（K′θε）3（K′θε）=-K（8）（^θε）8（K′′（^θε））9/2-85085（K（3）（^θε））1728（K′′（^θε））19/2-25025（K（3）（θε）K（4）（θε）192（K′′（θε））17/2+5005（K（3）（θε））（K（4）（θε））64（K′（θε））15/2-385（K（4）（θε））64（K′′（θε））13/2+1001（K（3）（θε））K（5）（θε）24（K′（θε））15/2-231K（3）（θε）K（4）（θε）K（5）（θε）8（K′（θε））13/2+63（K（5）（θε））40（K′（θε））11/2-77（K（3）（θε）K（6）（θε）8（K′’（θε））13/2+21K（4）（θε）K（6）（θε）8（K′（θε））11/2+3K（3）（θε）K（7）（θε）2（K′（θε）11/2。其次，通过继续（5.12）中的差异，我们得到了h（4）（w）=g（4）（w）g（w）-6（g′（w））g（w）+12（g′（w））g′（w）g（w）-3（g′′（w））g（w）-4g′（w）g（3）（w）g（w），h（5）（w）=g（5）（w）g（w）-24（g′（w））g（w）-60（g′（w））g′（w）g（w）+30g′（w）（g′（w））g（w）+20（g′（w））g（3）（w）g（w）-10g′（w）g（3）（w）g（w）-5g′（w）g（4）（w）g（w），h（6）（w）=g（6）（w）g（w）-120（g′（w））g（w）+360（g′（w））g′（w）g（w）-270（g′（w））（g′（w））g（w）+30（g′（w））g（w）-120（g′（w））g（3）（w）g（w）+120g′（w）g′（w）g（3）（w）g（w）-10（g（3）（w））g（w）+30（g′（w））g（4）（w）g（w）-15g′（w）g（4）（w）g（w）-6g′（w）g（5）（w）g（w），h（7）（w）=g（7）（w）g（w）+720（g′（w））g（w）-2520（g′（w））g′（w）g（w）+2520（g′（w））（g′（w））g（w）-630g′（w）（g′（w））g（w）+840（g′（w））g（3）（w）g（w）-1260（g′（w））g′（w）g（4）（w）g（w）+210（g′（w））g（3）（w）g（w）+140g′（w）（g（3）（w））g（w）-210（g′（w））g（4）（w）g（w）+210g′（w）g′（w）g（4）（w）g（w）-35g（3）（w）g（4）（w）g（w）+42（g′（w））g（5）（w）g（w）-21g′（w）g（5）（w）g（w）-7g′（w）g（6）（w）g（w），其中g（w）和h（w）定义为（5.8）。