Lugannani大米扩张的订单估算

同样的来源也告诉我们，当ερ<κ时，Dε也是真的 Iε：=[uε，-, uε，+]，其中uε，-< 0<uε，+由uε，±=ε给出- 2κρ±p4κ+ε- 4κρε2ε(1 - ρ).我们可以很容易地看到uε，+∞ uε，- -∞ asε↓ 0; 因此，[A4]符合吉川（2013）定理3.1中的[A5]。最后，我们通过数值计算每个ε的K′ε的最小值来确定[A3]。我们将参数设置为κ=1、b=1、x=0、v=1、ρ=0.3、T=1和x=1。然后我们得到图1，这意味着[A3]成立。备注4。Rollin、Castilla和Utzet（2010）中的定理3.1给出了一种计算下限θ的方法*ε,-上界θ*ε、 +有效域Dε的值。当我们设置上述参数时，边界θ*ε、 通过θ获得±s*ε、 +=argmin{qε（θ）；θ∈ （uε，+，αε，+1）}，θ*ε、 +=argmax{qε（θ）；θ∈ (αε,-1，uε，-)},式中，qε（θ）=cosp-pε（θ）T+κ- ερθp-pε（θ）sinp-pε（θ）和αε，-1<0<αε，+1是pε（θ）的解-4π/T。注意Kε（θ）由[uε]上的（4.1）给出，-, uε，+]和byKε（θ）=xθ+2κbε(κ - ερθ) - 对数qε（θ）-v（θ）- θ） sin（p-pε（θ）T/2）p-pε（θ）~qε（θ）-100-500 0.2 0.4 0.6 0.8图2：θ图*ε、 ±（实线）和uε，±（虚线）。注意θ*ε,+> θ*ε,-anduε，+>uε，-. 水平轴对应于ε-35-25-15-5-3-2-10对数（ε）ψ0ψ1ψ2图3：赫斯顿SV模型中m=0,1,2时|ψεm（^wε）的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数|ψεm（^wε）|。关于Dε\\[uε，-, uε，+]。在图2中，我们数值计算了uε、±和θ*ε、 ε的±1∈ （0,1）。这表明了修改后的条件[A4\']。现在我们验证了m=0,1,2的近似项ψεm（^wε）的阶数。图3表示小ε近似值的对数plo t。在这个图中，我们可以找到对数|ψεm（^wε）|和对数ε之间的线性关系。

我们通过线性回归和getlog |ψε（^wε）|=1.1365 logε来估计它们之间的关系- 4.5611，R=0.9996，对数|ψε（^wε）|=3.3152对数ε- 7.8203，R=0.9999，对数|ψε（^wε）|=4.9068对数ε- 10.928，R=0.99。然后我们可以通过数值确定ψεm（^wε）=O（ε2m+1）为ε→ 0表示m=0，1，2，这与定理2和（3.4）一致（另见第6.1节中的定理3）。接下来，我们计算LR公式的相对误差。我们假设标准公式=\'Φ（^wε），第0公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε），第一公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε），第二公式=\'Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε）。我们定义了P（XεT>X）的近似值^P的相对误差：RE=^PP（XεT>X）- 1.. （4.2）为了确定P（XεT>X）的真值（表1中的“真”），我们直接用c=θε计算积分（2.2）。εP（XεT>X）回归正态0第1第2正态0第1第2正态0第2。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E-03 2.60E-04 4.11E-050.06029 0.07184 0.06063 0.06025 0.06028 1.92E-01 5.69E-03 7.22E-041.40E-04表1：P（XεT>X）的近似值和ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1的相对误差-0.50%-0.25%0.00%0.25%0.50%0.51ε相对误差图4：P的相对误差（XεT>X）。水平轴表示ε。结果如表1和图4所示。我们发现，当ε变小时，相对误差减小。此外，我们还可以验证高阶LR公式给出了更精确的近似值。特别是，即使ε不小，“1”和“2”公式的精度也相当高。图5显示了由AE定义的绝对误差的对数图=^P- P（XεT>X）.

（4.3）我们发现logε和log AE函数之间存在线性关系：通过线性回归，我们得到log AENormal=1.1460 logε- 4.5447，R=0.9996，对数AE0th=3.2951对数ε- 7.8692，R=0.9999，对数AE1st=4.9353对数ε- 9.7660，R=0.9999，对数AE2nd=6.9894对数ε- 11.050，R=0.99。这表明mth-LR公式的误差为O级（ε2m+3），即ε→ 0，这与第6.1节中的（3.5）和定理4一致-35-25-15-5-3-2-100第1-2正态图5：P（XεT>X）绝对误差的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。在本节末尾，我们将讨论期权定价的应用。我们计算欧洲看涨期权价格看涨ε=E[max{exp（XεT）- 五十、 风险中性概率测度P下的0}]（4.4），其中L>0是履约价格。Callε的显式形式由Heston（1993）获得，因此我们可以计算精确值，直至与数值积分相关的截断误差。罗杰斯和赞恩（1999）提出将LR公式应用于（4.4）。在这里，我们简要回顾一下这样做的程序。首先，我们重写（4.4）asCallε=E[exp（XεT）；XεT>l]- LP（XεT>l），其中l=logl。对于上述等式右侧的第二项，我们直接应用lr公式。为了评估第一项，我们定义了一种新的概率度量（称为份额度量），方法是：氡-Nikodym densitydQdP=exp（XεT）E[exp（XεT）]=exp(-Kε（1））exp（XεT）。由此我们得到[exp（XεT）；XεT>l]=exp（Kε（1））Q（XεT>l）。现在，我们可以很容易地找到分布Q（XεT）的CGFKε（θ）∈ ·):~Kε（θ）=Kε（θ+1）- Kε（1）。显然，Kε（θ）满足了我们的假设[A1]–[A5]。因此，我们可以将LR公式应用于Q（XεT>l）。现在我们将标的资产的初始价格EXO设定为100，执行价格L设定为105。

对于模型参数，我们设置κ=6，b=0.3，ρ=0.3，v=0.2。我们用CallεNormal、Callε0th、Callε1和Callε2nd表示Callε的近似值，分别使用LR公式\'Normal\'、\'0th\'、\'1st\'和\'2nd\'。RE和AE分别与（4.2）和（4.3）中的相同，尾部概率为期权价格。表2和图6总结了结果。在尾概率的情况下，我们可以看到LR公式产生了高度精确的近似值。ε看涨期权价格回复正常0次1次2次正常0次1次2次0次。9.5.95E-08 7.7 7.9.9 9.9 9.9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9.9 9 9 9.357 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.357 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.357 9 9.357 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.177 9.231 9.224 3.82E-02 5.01E-03 8.79E-04 1.16E-04表2:Callε和相对误差的近似值在Heston SV模型中，ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图6:Heston SV模型中调用ε绝对误差的对数-对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。4.2 Wishart SV模型接下来，我们介绍Wishart SV模型。布鲁（1991）首次研究了威斯哈特过程；Gouri’eroux（2006）首次将其用于描述多元随机波动性。从那时起，已经在多个领域研究了使用Wishart过程对多元随机波动性进行建模，例如Fonseca、Grasselli和Tebaldi（2007年，200年8月）、Grasselli和Tebaldi（2008年）、Gouri\'ero ux、Jasiak和Sufana（2009年）以及Benamid、Bensusan和ElKaroui（2010年）。我们考虑以下SDE:dYεt=-tr∑εt]dt+tr[p∑εt（dWtR′+dBt√我- RR′），d∑εt=(Ohm′Ohm + M∑εt+εtM′）dt+εnp∑εtdWtQ+Q′（dWt）′p∑εto，Yε=Y，∑ε=∑，其中I是n维单位矩阵，R，M，Q∈ 注册护士 Rn和ε≥ 0

这里，tr[A]是A的轨迹，A′表示A的转置矩阵。Ohm ∈ 注册护士 假设Rn满足Ohm′Ohm = βQ′qf或某些β≥ （n）- 1)ε. （Wt）tand（Bt）皮重Rn Rn值过程，其组成部分是相互独立的标准布朗运动。过程（Yεt）被视为风险中性概率测度下证券的低价格。（ε∑t）是一个描述多元随机波动性的n维矩阵值过程。我们验证了r'Fε（x）=P（YεT>x）的精确LR展开式的近似项的有效性-35-25-15-5-3-2-10对数（ε）ψ0ψ1ψ2图7:Wishart SV模型中m=0,1,2的|ψεm（^wε）的对数-对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数|ψεm（^wε）|。με=P（YεT）的CGF的显式形式∈ ·) 在布鲁（1991年）、丰塞卡（Fonseca）、格拉塞利（Grasselli）和特巴尔迪（Tebaldi）（2008年）等地进行了研究。为了简化，我们只考虑n=2的情况，并将r、M和Q的形式限制为：=r 00 r, M=-m 00-M, Q=q 00 q, Σ=σ0 σ.我们将参数设置为r=-0.7，q=0.25，m=1，β=3，y=0，σ=1，T=1，x=1。与第4.1节中的情况类似，我们可以在图7中找到对数|ψεm（^wε）|和对数ε之间的线性关系，其中m=0，1，2。线性回归假设|ψε（^wε）|=0.9740对数ε- 4.9496，R=0.9999，对数|ψε（^wε）|=2.8128对数ε- 10.943，R=0.9995，对数|ψε（^wε）|=5.2875对数ε- 14.474，R=0.99。因此，对于这种情况，我们也可以通过数值确定ψεm（^wε）=O（ε2m+1），ε→ 0形式=0，1，2。现在我们研究LR公式的相对误差。

我们通过公式“正常”、“第0”、“第1”和“第2”对P（YεT>x）的近似值进行比较，公式的定义与第4.1节中的定义相同，真实值通过直接计算（2.2）中的积分计算得出。εP（YεT>x）回归正态0第1第2正态0第1第2正态0第2。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 7.92E-06-6.20E-071 0.06568 0.05908 0.06567 0.06568 0.06568 1.00E-01 9.12E-05 4.59E-06-2.52E-05表3：P（YεT>x）的近似值和ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1的相对误差。与第4.1节中的情况类似，我们展示了表3和图8中公式的相对误差和绝对误差的对数图。我们还可以确认LR公式是高度精确的。使用图8所示的数据，我们得到了线性回归结果log AENormal=0.9732 logε- 4.9507，R=0.99，-40-30-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图8:P（YεT>x）绝对误差的对数对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。对数AE0th=2.7930对数ε- 1 0.979，R=0.99 94，对数AE1st=5.3063对数ε- 1 3.339，R=0.99 99，对数AE2nd=7.1747对数ε- 1.5.937，R=0.99，表示（3.5）。在本节末尾，我们确认了期权定价应用的有效性。与（4.4）类似，我们考虑欧洲调用选项调用ε=E[max{exp（YεT）- 五十、 0}]且执行价L>0。为了确定期权价格的真实价值，我们采用了Benabid、Bensusan和El K aroui（2010）提出的封闭式公式。我们将标的资产的初始价格设定为ey 0=100和L=105。对于初始波动率，我们将σ=0.25。

其他参数与前一种情况相同。ε看涨期权价格回复正常0次1次2次正常0次1次2次0次。10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10 4.33E-03 5.41E-03 5.55E-03表4：调用ε和相对误差的近似值在WishartSV模型中，ε=0.2,0.4,0.6,0.8,1。结果如表4和图9所示。虽然线性关系如图6所示并不清晰，但我们可以看到，LR公式在每种情况下都非常精确。5.证明。定理1的证明在本小节中，我们证明了第2节中所示的形式计算。为了便于修改，我们在本节中使用的符号中省略了ε-30-20-10-3-2-10对数（ε）0第1-2正态图9:Wishart SV模型中调用ε绝对误差的对数图。水平轴表示对数ε。纵轴表示对数AE。提议1。假设[A1]–[A2]保持不变。那么F（x）=2πiZc+i∞C-我∞exp（K（θ）-xθ）dθ表示c∈ O\\{0}。证据在不丧失一般性的情况下，我们可以假设c>0和x≥ 0.根据[A2]和定理3。3.5在Durrett（2010）中，u的密度函数f存在，且有界且连续。此外，f（y）=2πZRe-iξy~n（ξ）dξ保持不变，其中φ（ξ）=exp（K（iξ））是u的特征函数。然后我们有对于每小时>x的u（（x，R]）=2πZRxZRe-iξy~n（ξ）dξdy=2πiZi∞-我∞F（z）dzby Fubini定理，其中F（z）=ZrXe（s-y） 采埃孚（s）戴兹。现在，考虑这四条线，Γ C、 定义为Γ={it；t∈ [-l、 l]}，Γ={t+il；t∈ [0，c]}，Γ={t- 白细胞介素；T∈ [0，c]}，Γ={c+it；t∈ [-l、 l]}对于给定的l>0。根据柯西积分定理，我们得到了zΓ∪Γ∪Γ∪ΓF（z）dz=0。

（5.1）在这里，我们观察到ZΓ∪ΓF（z）dz=2iZrXe（s）-y） tf（s）sin l（s）- y） dydsdt=2iZcZRf（s）t+lhe（s）-x） t(-因为- x） +t sin l（s）- x） ）+e（s-R） t（l cos l（s）- R）- t sin l（s）- R） ）最后ZΓ∪ΓF（z）dz≤4（l+c）clZRecsf（s）ds=4（l+c）cleK（c）。自从c∈ O、 右边的积分是有限的。因此，左手边必须收敛到零，如l所示→ ∞. 结合这个结果和（5.1），我们得到u（（x，R]）=2πiliml→∞ZΓF（Z）dz=2πiliml→∞ZΓF（Z）dz=2πiZc+i∞C-我∞ZrXe（s）-y） zf（s）dydsdz=2πiZc+i∞C-我∞ZRxeK（z）-YZDYZ。（5.2）自ZC+i∞C-我∞Z∞|埃克（z）-yz | dy | dz |≤ceK（c）<∞,我们可以接受极限R→ ∞ 在（5.2）的右侧；我们得出结论，F（x）=2πiZc+i∞C-我∞Z∞xeK（z）-yzdydz=2πiZc+i∞C-我∞埃克（z）-xzdzz，这是命题1的断言。现在，我们给出了变量变化的严格定义（2.5）。对于每个θ∈ D、 我们可以定义w=w（θ）∈ R byw（θ）=^w+sgn（θ）-^θ）rn（K（θ）- xθ）-K（^θ）- x^θo、 （5.3）很明显，w（θ）是解析的。此外，通过简单的计算，我们观察到wdθ=sgn（θ-^θ）·K′（θ）- xp^w+2（K（θ）- xθ）=K′（θ）- xw（θ）- ^w.（5.4）这里我们看到w（θ）是在^θ处的lso分析。实际上，与（2.4）类似，我们有w（θ）=^w+sgn（θ）-^θ）pk（θ）|θ-^θ|=^w+pk（θ）（θ）-其中k（θ）=ZK′（θ+u（θ-^θ）du。根据[A2]，k（θ）是正的，thuspk（θ）是实解析的。因此，函数w（θ）在O上是实解析的。现在我们可以取极限θ→^θin（5.5）得到w′（^θ）=limθ→^θK′（θ）- xw- ^w=limθ→利用l\'H^opital规则，求出θK′（θ）w′（θ）。这意味着（w′（^θ））=K′（^θ）6=0。因此，我们推断存在一个邻域U C of w（^θ）=^w和U上的全纯函数θ（w），例如θ（w（z））=z代表z∈ 在这里，我们注意到引理1。θ /∈ D意味着K′（θ）不在R证明上。让我来∈ 通过[A2]，我们得到了K′（y）6=0。

因此，我们可以找到K′（y）的邻域U和解析反函数（K′）-1定义在U上的K。在她手上，[A2]意味着（K）-1 | U∩Ris是解析D值函数，因此（K′）-1（y）∈ D引理1立即暗示推论1。让z∈ D×iR。如果z6=^θ，那么K′（z）6=x；因此，w′（θ）6=0。现在，我们考虑θ（w）的解析延拓。在本节结束之前，我们假设[A1]–[A2]和[B1]–[B3]保持不变。通过[B2]，（5.4）和推论1，我们可以定义一个开集^U上的解析函数θ（w），该开集包含一个凸集，该凸集包括直线{w}×i和曲线{w（^θ+它）；t∈ R} 。注意，（5.4）直接表示θ′（w）=w- ^wK′（θ（w））- x（5.5）对于每个w6=^w，通过定义，关系式（2.5）适用于^U。因此，如果我们将曲线η和γ定义为η={^θ+it；t∈ R} ，γ={w（θ）；θ∈ η} 那么θ（w）也可以定义，并且是对γ的解析。然后，我们可以应用变量的变化来获得‘F（x）=2πiZηexp（K（θ）- d）θxθexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw。在第2节中，我们需要条件^θ6=0。在本节中，我们只考虑^θ>0；对于^θ<0的情况，这些参数是类似的。在任何情况下，我们有^θ6=0，η不通过0。在这里，我们看到^w>0。实际上，如果^w=0，那么（2.4）中的不等式必须改为等式。然而，假设^θ>0和[A2]意味着（2.4）的左手侧为正。这是一个矛盾。此外，根据定义，^w必须是非负的。这些参数意味着γ不超过0。提议2。ZγexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw=Z^w+i∞^w-我∞经验W- ^wwθ′（w）θ（w）dw。为了证明这个命题，我们准备了一个引理。引理2|θ（w）-^θ| ≥ |W- ^w|/√C.证据。根据[B1]和泰勒定理，我们得到| w- ^w |=2 |K（θ（w））- xθ（w）- （K（θ）- x^θ）|≤ C |θ（w）-^θ|，表示断言语句。命题2的证明。

通过柯西积分定理，可以证明→±∞supc∈O∩MZLclexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw= 0（5.6）对于（0，∞) , 其中Lcl={^w+t（c- ^w）+il；T∈ [0,1]}和l∈ R.到（5.5），我们得到ZLclexpW- ^wwθ′（w）θ（w）dw≤ |C- ^w|exp-^w+lZexpt（c）- ^w）t（c）- ^w）+il（K′（θ）- x） θdt≤ 经验C- L（|c |+| w |）（|c |+| w |+| l |）infw∈Lcl|（K′（θ（w））- x） θ（w）|。（5.7）通过[B1]和引理2，我们观察到infw∈Lcl|（K′（θ（w））- x） θ（w）|≥ δinfw∈Lcl |θ（w）-^θ| infw∈Lcl |θ|≥ δ·| l|√C·|l|√C- |^θ|对于足够大的l，我们从（5.7）中得到（5.6）。定理1的证明。从命题1和命题2，我们得到（2.6）。现在我们验证了ψ在{w}×iR上的全纯性。我们定义（w）=对数θ（w）- logw=logg（w），g（w）=θ（w）w（5.8），当定义θ（w）时，设w6=0，其中logz是z的对数的主值。因为θ（w）在{w}×iR线上是解析的，所以h也是解析的。我们可以很容易地看到h′（w）=ψ（w）。这意味着ψ（w）也是解析的；这允许泰勒级数展开：ψ（w）=∞Xn=0ψ（n）（^w）n！（w）- ^w）n（5.9）代表w∈ {w}×iR。为了完成定理1的证明，必须检查（2.7）中的计算。使用（5.9）和关系z∞-∞E-y/2yndy=√2π（n）- 1) !! （n是偶数），0（n是奇数），（5.10）我们有∞Xn=0n！Z∞-∞E-y/2 |ψ（n）（^w）|·| y | ndy≤√2π|ψ（^w）|+∞Xm=1（2米）！{|ψ（2m）（^w）|+|ψ（2m）-1） （^w）|}Z∞-∞E-y/2（y2m+1）dy≤√2π（|ψ（^w）|+2∞Xm=1 |ψ（2m）（^w）|+ψ（2m）-1） （^w）|（2m）！！）。根据[B3]，上述不平等的右侧是有限的。因此，我们可以应用富比尼定理，我们可以交换（2.7）中的和和和积分。那就是，Z∞-∞E-y/2∞Xn=0ψ（n）（^w）n！（iy）ndy=∞Xn=0ψ（n）（^w）n！因茨∞-∞E-y/2yndy。我们再次使用（5.10）完成定理1的证明。5.2定理2的证明为了简单起见，我们只考虑^θ>0的情况。