Lugannani大米扩张的订单估算

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英文标题：
《Order Estimates for the Exact Lugannani-Rice Expansion》
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作者：
Takashi Kato, Jun Sekine, Kenichi Yoshikawa
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The Lugannani-Rice formula is a saddlepoint approximation method for estimating the tail probability distribution function, which was originally studied for the sum of independent identically distributed random variables. Because of its tractability, the formula is now widely used in practical financial engineering as an approximation formula for the distribution of a (single) random variable. In this paper, the Lugannani-Rice approximation formula is derived for a general, parametrized sequence of random variables and the order estimates of the approximation are given.
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中文摘要：
Lugannani-Rice公式是一种用于估计尾部概率分布函数的鞍点近似方法，最初研究的是独立同分布随机变量之和。由于其易处理性，该公式现在在实际金融工程中被广泛用作（单个）随机变量分布的近似公式。本文导出了一般参数化随机变量序列的Lugannani-Rice近似公式，并给出了近似的阶估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Order_Estimates_for_the_Exact_Lugannani-Rice_Expansion.pdf (382.56 KB)

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关键词：Anna UGA distribution Applications Differential

Lugannani–RiceExpansionTakashi Kato确切订单估算*Jun Sekine+Kenichi Yoshikawa第一版：2013年10月12日本版：2014年6月15日摘要Lugannani–Rice公式是一种用于估计尾部概率分布函数的鞍点近似方法，最初研究的是独立同分布随机变量之和。由于其易处理性，该公式现在在实际金融工程中被广泛用作（单个）随机变量分布的近似公式。本文针对随机变量的一般参数化序列（X（ε））ε>0和阶估计（asε），导出了Lu gannani–Rice ap近似公式→ 给出了ap近似值的0）。关键词：鞍点近似法、Lugannani–Rice公式、阶数估计、渐近展开、随机波动率模型1简介鞍点近似法（SPA）提供了使用累积量生成函数（CGF）逼近概率密度函数和尾部概率分布函数的有效方法。在数理统计中，SPA方法起源于Daniels（1954），其中给出了独立同分布（i.i.d.）随机变量（Xi）i的样本平均值Xn=（X+·····+Xn）/n的密度函数的近似公式∈N、 假设x定律是密度函数。Lugannani和Rice（1980）推导出了右尾概率的以下近似公式：P（`Xn>x）=1-Φ（^wn）+φ（^wn）^un-^wn+ O（n）-3/2）（1.1）作为n→ ∞.

这里，Φ（w）和φ（w）分别是标准的正态分布函数及其密度函数φ：=Φ′，而^unan和^wn则用X的CGF K（·）表示*大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部，地址：日本大阪市丰中町町内山町1-3号，邮编：560-8531，电子邮件：kato@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp+大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部，地址：日本大阪市丰中町町1-3号，邮编：560-8531，电子邮件：sekine@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp——三井住友银行，电子邮件：k。yoshi6208@gmail.comMathematical学科分类（2010）6 2E17、91G60、65D15JEL分类（2010）C63、C65和K（·的鞍点θ）。也就是说，^θsatis K′（^θ）=x。丹尼尔（1987年）、詹森（1995年）、科拉萨（1997年）、巴特勒（2007年）、其中的参考文献等研究了相关的水疗配方。严格来说，卢甘纳尼-赖斯（LR）公式（1.1）应被解释为一个无症状的结果，即n→ ∞. 然而，由于其可处理性，它作为右尾概率的近似公式在金融工程的许多实际应用中很受欢迎。这个近似值（X>X）≈ 1.-Φ（^w）+φ（^w）^u-^w. 当LR（1）在公式中被应用时，n.1！对于SPA公式的财务应用，我们建议读者参考罗杰斯和赞恩（19 99）、熊、黄和萨洛佩克（2005）、阿萨哈利亚和余（2006）、杨、赫德和张（2006）、格拉斯曼和金（2009）以及卡尔和马丹（2 009）等论文。

有趣的是，尽管近似公式（1.2）缺乏理论上的合理性，但它在许多金融例子中仍然表现得出奇地好。本文的目的是从渐近理论的角度提供L R公式（1.2）的“广义用法”有效性的度量。我们考虑一个随机变量（X（ε））ε>0的广义参数化序列，并假设X（ε）的rth累积量具有O（εR）阶-2） asε→ 每个r为0≥ 3.这意味着X（ε）在法律上收敛于非正态分布的随机变量（第3节的注释2为这一假设提供了动力）。下一步我们推导出展开式X（ε）>X= 1.- Φ（^wε）+∞Xm=0ψεm（^wε），（1.3），我们称之为精确LR展开式（见第2节定理1）。这里，^wε由（2.1）和（2.3）和ψεm（^wε）（m）给出∈ Z+）由（2.8）给出。然后我们证明了ψε（^wε）=O（ε）和ψεm（^wε）=O（ε）为ε→ 0代表所有人∈ N（1.4）在某些条件下。这是本文的主要结果（详见第3节定理2）。备注1。我们不认为顺序估计（1.4）和classicalLR公式（1.1）的扩展（1.3）处理不同的情况，尽管它们可能有一些重叠。让ε：=√Nand X（ε）：=ε1/εXi=1Xi，其中（Xi）i∈Nis是r和OM变量的i.i.d.序列。然后，我们可以检查x（ε）定律是否满足应用第3节定理2所需的条件（见第3节备注2（iv））。所以，（1.3）与（1.4）保持一致。另一方面，经典的LR公式（1.1）给出了极右翼t轨道概率的近似公式：PX（ε）>Xε= 1.- Φ（^wε）+φ（^wε）^uε-^wε+ O（ε）asε→ 0.在本文中，基于金融应用的动机（例如第4节中的看涨期权定价），我们选择分析右尾概率P（X（ε）>X），而不是极右尾概率P（X（ε）>X/ε）。

有关相关备注，请参见第7节（i）。本文其余部分的组织如下。在第2节中，我们介绍了“精确的”LR扩展：我们首先从形式上推导它，然后提供一个技术条件，以确保扩展的有效性。第3节说明了我们的ma结果：我们推导了精确LR展开（1.3）中高阶项的阶估计。第4节讨论了一些例子：我们介绍了两个随机波动率（SV）模型，并对高阶LR公式的准确性进行了数值检查。第5节包含了必要的证明：第5.1小节给出了定理1的证明，第5.2小节给出了定理2的证明。第6节讨论了定理2的一些扩展：在附加条件下，我们得到了更精确的估计ψεm（^wε）=o（ε2m+1）为ε→ 0代表m∈ N、 以及Mth阶LR公式绝对误差的相关阶估计。此外，我们还介绍了丹尼尔斯型公式的误差估计，它是概率密度函数的近似公式。最后的第7节包含了结束语。在附录中，我们介绍了一些用于推导ψε（^wε）和ψε（^wε）显式形式的工具包。2精确的卢甘纳尼-赖斯展开式在本节中，我们推导了精确的LR展开式（1.3），它是原始LR公式的自然推广。

为了便于阅读，我们在这里介绍了推导该公式的形式计算，并将严格的论证留待第5.1节（另请参见Rogersand Zane（1999）中的附录）。设（με）0≤ε≤1作为R上的一个概率分布族，定义分布函数Fε和尾部概率函数FεbyFε（x）=με((-∞, x] ），\'Fε（x）=1- Fε（x）。我们用Kε表示με的CGF，即Kε（θ）=logZReθxμε（dx）。我们假设以下条件。[A1]对于每个ε∈ [0,1]，有效域Dε={θ∈ R|Kε（θ）|<∞} Kε的值包含一个包含零的开放区间。[A2]对于每个ε∈ [0,1]，με的支撑等于整条线R。此外，με的特征函数是可积的；那就是，Z∞-∞Z∞-∞eiξxμε（dx）dξ<∞,我在哪里=√-1是虚单位。众所周知，Kε是解析的，并且在Dε的内部Oε上是凸的。此外，[A2]意味着με有一个密度函数，因此Kε是一个严格的凸函数（例如，见Durrett（2010））。由于K′ε的范围与[A1]-[A2]下的R重合，我们总是可以找到解^θε=^θε（x）∈ OεtoK′ε（^θε）=x（2.1）对于任何x∈ R.我们称^θε为给定x的Kε的鞍点。这里，请注意，Kε是解析连续的，作为定义在Oε×iR上的函数。现在，我们推导（1.3）。在本节结束之前，我们确定ε∈ [0,1]和一个x∈ 对于εx，我们需要用εx表示εx∞C-我∞exp（Kε（θ）- 任意c的xθ）dθ（2.2）∈ Oε\\{0}（见5.1小节中的命题1）。接下来，我们表示^wε∈ R as^wε=sgn（^θε）q2（x^θε- Kε（^θε）），（2.3），其中sgn（a）=1（a）≥ 0), -1（a<0）。请注意，由于计算x^θε，因此^wε得到了很好的定义- Kε（^θε）=Kε（0）- Kε（^θε）+K′ε（^θε）^θε=Z（1）- u） K′ε(-u^θε）du^θε≥ 利用Kε的凸性和泰勒定理。

我们考虑w和θ之间变量的以下变化：- ^wεw=Kε（θ）- xθ。（2.5）然后，将（2.2）右侧的变量θ替换为w，并应用柯西积分定理，我们看到‘Fε（x）=2πiZγεexpW- ^wεwθ′（w）θ（w）dw=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwθ′（w）θ（w）dw，（2.6），其中γε是w-空间中与线{θε}×iR相对应的约旦曲线，θ（w）（=θε（w））由（2.5）定义为关于w的隐式函数。注意，θ（w）对每个w都有很好的定义，并且在适当的条件下对每个轮廓进行分析。表示ψε（w）=θ′（w）θ（w）-w=ddwlogθ（w）w,我们可以将（2.6）分解为‘Fε（x）=Nε（x）+2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwψε（w）dw，其中nε（x）=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwdww。Nε（x）是标准正态分布的尾部概率；也就是说，Nε（x）=Φ（wε），其中Φ（w）=Z∞wφ（y）dy，φ（y）=√2πe-y/2。这里，如果^wε6=0，我们看到ψε在{^wε}×iR上是解析的；因此，我们得到了2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεwψε（w）dw=2πiZ^wε+i∞^wε-我∞经验W- ^wεw∞Xn=0ψ（n）ε（^wε）n！（w）- ^wε）ndw=2πe- ^wε/2Z∞-∞E-y/2∞Xn=0ψ（n）ε（^wε）n！（iy）ndy=2πe- ^wε/2∞Xn=0inψ（n）ε（^wε）Z∞-∞E-y/2ynn！dy=∞Xm=0ψεm（^wε），（2.7），其中我们定义了ψεm（w）=φ（w）(-1） 米（2米）！！ψ（2m）ε（w）=φ（w）(-1） 米（2米）（2米）- 2） ·4·2ψ（2m）ε（w）。（2.8）这是精确的LR扩展（1.3）。请注意，0阶近似公式‘Φ（^wε）+ψε（^wε）对应于原始LR公式（1.1）。

实际上，我们看到ψε（^wε）=φ（^wε）^θεqK′ε（^θε）-^wε.公式Φ（^wε）+ψε（^wε）+ψε（^wε）的一阶近似值也通常被称为LR公式，其中我们有ψε（^wε）=φ（^wε）^θεqK′ε（^θε）^λ-^λ-^θεK′ε（^θε）^λ-^θε（K′′ε（^θε））3/2-^wε！^λ=K（3）ε（^θε）K′ε（^θε）3/2，^λ=K（4）ε（^θε）K′ε（^θε）.高阶项ψε（^wε）和ψε（^wε）的显式形式如附录所示。上述精确LR展开式（1.3）的主要推导可在严格的不适用条件下进行，如以下条件。[B1]对于每个ε∈ [0,1]存在Δε，Cε>0，使得Δε≤ | K′ε|≤ Cε在Oε×iR上。[B2]全纯映射的范围ιε：Oε×iR-→ C定义为ε（θ）=Kε（θ）- xθ- （Kε（^θε）- x^θε）包括一个包含{2ιε（^θε+it）的凸集；t∈ R} 及(-∞, 0]，[B3]∞Xn=1|ψ（n）ε（wε）|/（n！！）<∞.在这些条件下，我们获得以下内容，其证明见第5.1小节。定理1。假设[A1]–[A2]和[B1]–[B3]。然后（1.3）成立。3阶近似项估计在实际应用中，我们需要用M截断公式（1.3）∈ N′Fε（x）≈\'FMε（x）：=\'Φ（^wε）+MXm=0ψεm（^wε）。（3.1）我们称之为（3.1）Mth LR公式的右侧。本节的目的是推导ψm（^wε）（m=0，1，…）作为ε的阶估计→ 0.我们∈ R、 这是一个任意值，比如t hatZRyu（dy）6=x.（3.2），然后我们施加以下附加假设。[A3]存在一个δ>0，使得K′ε（θ）≥ 每个θ的δ∈ Oε和ε∈ [0, 1].[A4]对于每个ε，都有一个区间Iε Dε使得IεR等于ε→ 0; 也就是说，我ε Iε′foreachε≥ ε′和∪εIε=R。[A5]对于每个非负整数R，K（R）ε（θ）与ε一致收敛于K（R）（θ）→ 在R的任何紧致子集上为0。此外，对于每个整数R≥ 3，K（r）ε（θ）的阶数为O（εr）-2） asε→ 以下意义上的0：对于每个压缩集C R、 它认为lim supε→0supθ∈Cε-（r）-2） |K（r）ε（θ）|∞.

（3.3）备注2。（i） 为了推导公式（1.3），我们需要^θε6=0。对于（3.2）和[A5]下的小ε，该条件满足。有关详细信息，请参见第5.2节中的Coro llary 2。（ii）从[A4]中，我们可以看到，对于每个压缩集C 有一个ε使得 Dε表示ε≤ ε. 因此，[A5]中的断言对于小ε是有意义的。没有证据表明[A4]的有效条件之一是[A4\']DεR，ε→ 0.（iii）[A5]意味着K（r）（θ）=0代表r≥ 3.因此，K（θ）=mθ+σθ∈ R和σ>0，其中σ的正性来自（[A2]或[A3]。因此，u是具有平均值m和方差σ的非正态分布。请注意，Kis的有效域等于R，这与[A4]一致。（iv）满足[A5]要求的示例如下。让我来帮你∈ N是平均值为零的i.i.d.随机变量，设Xn=（X+·Xn）/√n、 让我们来看看/√nbe及其分布。我们看到（u1/√n） nsatis fies[A5]由中心极限定理（设置ε：=1/√n） 。第4节作为附加示例介绍了具有小“vol o f vol”参数的SV模型。现在，我们介绍我们的主要定理。定理2。假设条件[A1]–[A5]成立。然后ψε（^wε）=O（ε）和ψεm（^wε）=O（ε），两者都是ε→ 每米0≥ 1.回忆一下这里的符号aε=O（εr）意味着lim supε→0ε-r|aε<∞ .备注3。可以很自然地认为ψεm（^wε）=O（εkm）与ε相同→ 0表示某些公里>3。换句话说，为了证明ψεm（^wε）=Θ（ε）之间的关系可能不适用于m≥ 2.这里，an=Θ（bn）是巴赫曼-朗道“大θ”符号，意思是0<lim infnanbn≤ lim supnanbn<∞.在[A1]-[A5]条件下，我们没有得到更精确的ψεm（^wε）（m）估计≥ 2） 定理2给出了这一点。在第6.1节中，我们表明，通过假设[A6]–[A7]，我们得到ψεm（^wε）=O（ε2m+1）作为ε→ 每米0（3.4）≥ 0和‘Fε（x）=’Φ（^wε）+MXm=0ψεm（^wε）+O（ε2M+3）作为ε→ 每米0（3.5）≥ 0

在下一节中，我们还通过使用示例对这些结果进行了数值演示。4示例在本节中，我们将介绍一些示例并应用我们的结果。4.1赫斯顿SV模型作为第一个例子，我们将赫斯顿的SV模型（赫斯顿（1993））。我们考虑以下随机微分方程（SD E）：dXεt=-Vεtdt+pVεtdBt，dVεt=κ（b- Vεt）dt+εpVεt（ρdBt+p1- ρdBt），Xε=X，Vε=V，其中κ，b>0，ρ∈ [-1,1]和ε≥ 0.已知上述SDE在2κb时具有唯一解（Xεt，Vεt）≥ ε. 该过程（Xεt）被视为风险集合的对数价格过程，在风险中性概率测度下，随机波动过程（pVεt）t（无风险率被设置为零f或简单性）。我们的目标是在T>0的时间内近似尾部概率Fε（x）=P（xεT>x）。这里ε≥ 0是“vol of vol”参数，用于描述波动过程的分散性。在本节中，我们考虑小ε的情况。注意，当ε=0时，Xε为正态分布。为了应用我们的主要结果，我们验证了με=P（XεT）的条件[A1]–[A5]∈ ·) 持有首先，满足[A1]，并给出ε>0的με的CGF的显式形式为asKε（θ）=xθ+2κbε(κ - ερθ) - 对数qε（θ）-v（θ）- θ） sinh（ppε（θ）T/2）ppε（θ）qε（θ）（4.1）0.850.870.890.910.930.950 0.2 0.4 0.6 0.8 1图1：infθ的曲线图∈DεK′ε（θ）。水平轴对应于ε。在原点附近，其中pε（θ）=（κ- ερθ)+ ε(θ - θ） ，qε（θ）=coshppε（θ）T+κ- ερθppε（θ）sinhppε（θ）T（参见Rollin、Castilla和Utzet（2010）或Yoshikawa（2013））。注意，当ε=0时，我们有k（θ）=σ（θ）- θ） 其中，θ=v+bT- b） （1）- E-κT）/κ。此外，Rollin、Castilla和Utzet（2010）中的定理3.3和推论3.4暗示了[A2]。