提款保险的随机建模与公允价值评估

（16） 注意，第一项在（6）和（9）中明确给出，它不依赖于τ。因为第二项仅通过其截断的对应项τ依赖于τ∧ τD（k）≤ τD（k），而τ=τD（k）是次优的，我们实际上可以考虑在有限的停止时间集合S={τ上最大化∈ F:0≤ τ<τD（k）}。因此，第二项简化了toG（y；p）=supτ∈SIE（ZτD（k）τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}- αe-rτD（k）{τ<τD（k）}| D=y）。然后，利用{τ<τD（k），τ<∞} = {Dτ<k，τ<∞}, 除了X的强马尔科夫性质，我们还可以写出eg（y；p）=supτ∈锡恩-rτf（Dτ；p）1{τ<∞}| D=yo，式中f（y；p）=1{y<k}IE（ZτD（k）e-rtp-dt- αe-rτD（k）- c | Dτ=y）。（17） 因此，我们通过简单地注意到f（y；p）=f（y；p）来完成证明- c（比较（17）和（6））。利用这种分解，我们可以从最优停止问题G（y）中确定最优取消策略，我们将在下一小节中明确解决该问题。3.2. 最佳取消策略为了确定（15）中V（y；p）的最佳取消策略，有助于解决固定p中由g（16）表示的最佳停止问题。为了简化符号，让我们用f（·）=f（·；p）和<<f（·）=f（·；p）表示。我们的解决方法包括两个主要步骤：1。我们推测了一类由τ：=τ定义的候选停止时间-D（θ）∧ τD（k）∈ S、 τ在哪里-D（θ）=inf{t≥ 0:Dt≤ θ} ，0<θ<k.（18）这导致我们寻找一个候选的最佳阈值θ*∈ （0，k）使用平滑粘贴原理（参见（22））。2。我们通过鞅论证严格地验证了基于阈值θ的取消策略*这确实是最优的。第一步。从拉普拉斯函数ξ（·）的性质（见下面的引理7.2），我们知道了相应的函数f（·）：=f（·）- （15）中的c是一个递减的凹面。

因此，如果f（0）≤ 0，则（15）的第二项为非正项，保护买方最好不取消保险，即τ=∞. 因此，在寻找非平凡的最佳运动策略时，只研究f（0）>0的情况是有效的，这相当于top>r（c+αξ（0））1- ξ(0)≥ 0.（19）对于（18）中推测的每个停止规则，我们显式地计算（15）asg（y；θ）：=IEne的第二项-r（τ）-D（θ）∧τD（k））~f（Dτ-D（θ）∧τD（k））|D=yo（20）=IE{e-rτ-D（θ）{τ-D（θ）<τD（k）}f（θ）|D=y}+IE{e-rτD（k）{τD（k）≤τ-D（θ）}f（k）|D=y}=eσ（y）-θ） sinh（Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）-θ） ）~f（θ），如果y>θ~f（y），如果y≤ θ. （21）候选最佳消除阈值θ*∈ （0，k）可从平滑粘贴条件中找到：Yy=θg（y；θ）=f（θ）。（22）这相当于求根θ*式中：F（θ）：=uσ- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ))~f（θ）-~f（θ）=0，（23），其中~f和~~。接下来，我们证明根θ*存在且唯一（有关证明，请参见第7.2节）。引理3.2。存在唯一的θ*∈ （0，k）满足平滑粘贴条件（22）。第二步。用候选最优阈值θ*从（22）中，我们现在验证候选值函数g（y；θ*) 支配奖赏函数f（y）=f（y）- c、 回想一下g（y；θ）*) =~f（y）代表y∈ (0, θ*).引理3.3。对应于候选最佳阈值θ的值函数*满意度（y；θ）*) >~f（y），Y∈ (θ*, k） 。我们在7.3中提供了证据。通过g（y；θ）的定义*) 在（20）中，重复调节产生停止的过程{e-r（t）∧τ-D（θ）*)∧τD（k））g（Dt∧τ-D（θ）*)∧τD（k））；θ*)}T≥0是一个鞅。为了你∈ [0, θ*),我们有∑f（y）- uf（y）- r~f（y）=-Cσξ（y）- uξ（y）- r（ξ（y）- ξ(θ))= -Crξ（θ）<0，其中C=α+pr。

因此，进程{e-r（t）∧τD（k））g（Dt∧τD（k））；θ*)}T≥0实际上是asuper鞅。为了最终证明，我们注意到∈ (θ*, k） 以及任何停止时间τ∈ S、 g（y；θ）*) ≥ IE{e-rτg（Dτ；θ）*) | D=y}≥ IE{e-rτf（Dτ）|D=y}。（24）在τ上最大化，我们看到g（y；θ）*) ≥ G（y）。另一方面，当τ=τ时，（24）变成等式-D（θ）*), 这就得到了逆不等式g（y；θ）*) ≤ G（y）。因此，停止时间τ-D（θ）*) 确实是最优停止问题G（y）的解。总之，保护买方将继续支付保险费，直到提款过程D降至θ水平*或达到合同规定的k级，以先到者为准。在图2（左）中，我们展示了最佳抵消水平θ*. 正如我们的证明所示，最优停止值函数g（y）与内禀值f（y）=f（y）平滑连接- y=θ时的c*. 在图2（右）中，我们显示了公平保费P*这是直观的，因为对于更大的水位下降尺寸k，水位下降时间τD（k）几乎肯定更长，且在τD（k）处的付款固定在α。预计保护买家将在更长的时间内支付，但保险费率较低。最后，使用最优取消策略，我们还可以计算合同终止的预期时间，无论是由于提款还是自愿取消。准确地说，我们有3.4号提案。对于0<θ*< y<k，我们有p{τ-D（θ）*) ∧ τD（k）|D=y}=（y- θ*)ρτ（y）- θ*; K- θ*) + （y）- k） e2μσ（y）-k） ρτ（k）- YK- θ*)§u，（25），其中ρτ（·，·）在命题2.3中定义。证据根据最优对消策略，我们得到了τ-D（θ）*) ∧ τD（k）=τx+y-θ*∧ τy-k、 P-a.s.其中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}。

将可选抽样定理应用于均匀马尔可夫（Mt）∧τx+y-θ*∧τy-k） t≥0MT=Xt- 如果▄u6=0，或Mt=（Xt），则▄ut- σt如果|u=0，我们得到（25）中的结果。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4压降y值f（y）-cg（y；*)g（y；*)-f（y）+c=c（a）平滑粘贴0。3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70.20.40.60.811.21.41.6kFair保费P*可取消支取保险（b）公平保费与kFigure 2：左面板：最佳停止值函数g（实心）占主导地位，并平滑地粘贴到本质值f=f上- c（虚线）。当提款过程降至θ时，最好立即取消保险*= 0.05（ATG和f满足）。参数为r=2%，σ=30%，y=0.1，k=0.3，c=0.05，α=1，p为公允溢价p*= 1.5245. 在y=0.1时，根据公平溢价方程V（y；P*) = 0和henceg（y；θ）*) = 这里是f（y）。右图：相对于合同规定的提款级别k，可撤销提款保险的公平保费降低。备注3.5。在有限到期情况下，候选停止时间集更改为{τ∈ F:0≤ T≤ T}in（14）。与命题15一样，溢价率p在时间零点的合同价值VT（y；p）仍然允许分解VT（y；p）=-fT（0，y；p）+sup0≤τ ≤领带{e-rτ（fT（τ，Dτ；p）- c） 1{τ<τD（k）}| D=y}，其中ft（t，y）=pr- （α+pr）ξT（T，y），ξT（T，y）是τD（k）的条件拉普拉斯变换∧ （T）- t） ：ξt（t，y）=IE{e-r（τD（k）∧（T）-t） ）|Dt=y}，0≤ T≤ τD（k）∧ T.这个问题不再是时间齐次的，公平保费可以通过数值求解相关的最优停车问题来确定。4.纳入支取或有事项我们现在考虑一份保险合同，该合同为支取或有事项的任何特定支取提供保护。

如果提款事件发生在提款或到期之前，本保险合同可能提前到期，从而停止保费支付。从投资者的角度来看，提款的实现意味着几乎不需要为提款投保。因此，对于投资者来说，这种应急准备是一种有吸引力的降低成本的功能。4.1. 有限到期情形首先，我们考虑具有有限到期T的情形。具体而言，如果在相同规模的提款或到期日T之前发生k单位提款，则投资者将收到保险金额α，并在此后停止支付保费。因此，对投资者的风险中性贴现预期收益由v（y，z；p）=IEy，z给出(-ZτD（k）∧τU（k）∧Te-rtpdt+αe-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}），（26）其中期望值是根据定价度量Qy，z（·）计算的≡ Q（·| D=y，U=z）。公平溢价*选择时，合同在时间零点的值为零，即v（P*) = 应用（27）到（26），我们得到了公平保费的公式：P*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}。（28）因此，公平保费包括计算期望IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}与τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ T为了确定合理的保费P*在（28）中，我们首先写下：=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}（29）=中兴通讯-rttQy，z（τD（k）<τU（k）∧ t） dt。（30）右侧概率的特例Q0,0是使用[30]中的结果（等式（39）-（40））得出的，即Q0,0（τD（k）<τU（k）∧ t） =e-2ukσ+2ukσ- 1（e）-ukσ- eukσ）-∞Xn=12nπCnexp-σCn2kt×(1 - (-1） 东北-ukσ）1+nπσtk-4ukσCn+ (-1） nukσe-ukσ, （31）式中Cn=nπ+uk/σ。因此，可以通过数值积分计算期望值（30）。在一般情况下∨ z>0，我们得到以下结果。提议4.1。

在模型（4）中，对于0≤ y、 z<k和y∨ z>0，我们有qy，z（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）=Fuy（t）dt+Guz（t）dt- Guk-y（t）dt，（32），其中fuy（t）：=σk∞Xn=1（nπ）e（y）-k） σexp-σCn2ktsinnπ（k）- y） k，（33）Guz（t）：=σk∞Xn=1（nπ）e-uzσexp-σCn2kt×nπσt- 2kCnknπkcosnπzk+μσsinnπzk+nπCnnπk2kuCnσ+zsinnπzk+1.-uzσ-2ukCnσcosnπzk. （34）证据。首先，我们将[6]中（2.7）关于成熟度t的两边进行区分，得到qy，z（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）=q（t，x，y+x- k、 y+x）dt+Zx-zy+x-Kkq（t，x，u，u+k）du其中q（t，x，u，u+k）dt=Qy，z（τu∈ dt，τu+k>t），其中τw:=inf{t≥ 0:Xt=w}表示w∈ {u，u+k}。[3]的定理5.1中导出的函数q由q（t，x，u，u+k）=σk给出∞Xn=1（nπ）eu（u-x） σexp-σCn2ktsinnπ（x）- u） 积分得到（32），这就完成了证明。同样，我们表示τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ 塔西，z{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}=-中兴通讯-rttQy，z（τD（k）∧ τU（k）>t）dt。（36）为了计算这一点，我们注意到概率的等价性（在过程（X，X，X）对X的反映下）：Qy，zu（τU（k）∈ dt，τD（k）>t）=Qz，y-u（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）。（37）因此，我们-tQy，zu（τD（k）∧ τU（k）>t）dt=Qy，zu（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）+Qy，zu（τU（k）∈ dt，τD（k）>t）=Fuy（t）dt+Guz（t）dt- Guk-y（t）dt+F-uz（t）dt+G-uy（t）dt- G-uk-z（t）dt。（38）式中，Qy，zu表示X具有漂移u的定价度量。因此，我们可以再次计算τD（k）的空间变换∧ τU（k）∧ T进行数值积分，得到公平溢价P*通过（28）申请提款保险。备注4.2。期望值IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}与τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ 皮重实际上是联系在一起的。这是透过（37）：IEy，z{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}=LTr+RTr，其中Ltri是（29）中定义的期望值，而RTr:=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}}。（39）备注4.3。如果保护买方在ti=i时定期支付保险费t、 i=0。

. . , N- 1t=t/n，然后是公平的高级isp（n）*=αIEy，zE-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}Pn-1i=0e-rtiQy，z{τD（k）∧ τU（k）>ti}。（40）与连续保费情况相比，公平保费p（n）*这里涉及一个概率的总和：Qy，z{τD（k）∧ τU（k）>ti}，每一个都由上面的（38）给出。4.2. 永久性案例现在，我们认为提款保险合同不会在固定时间到期，但一旦发生k级提款/提款，该合同就会立即到期。为了研究这个永恒的例子，我们取T=∞在第26页。正如下一个命题所显示的，我们有一个简单的关于公平溢价的闭式解*, 允许即时计算公平保费，并可进行敏感性分析。提案4.4。永久支取保险公平保费P*是byP给的*=rαL∞r1- L∞R- R∞r、 （41）凡∞r=Fuy+Guz- Guk-y、 R∞r=F-uz+G-uy- G-uk-z、 （42）fuy:=euσ（y）-k） sinh（yΞru，σ）sinh（kΞru，σ），Guz:=Ξru，σ2r/σe-σz-μσsinh（zΞru，σ）- Ξru，σcosh（zΞru，σ）sinh（kΞru，σ）。（43）证据。在永久情况下，公平溢价由byP支付*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）<τU（k）}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k））}=rαL∞r1- L∞R- R∞r、 我在哪里∞r=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）<τU（k）}}和r∞r=IEy，z{e-rτD（k）{τU（k）<τD（k）}。为了得到我的处方∞兰德R∞r、 我们先把（35）的两边乘以e-R与t积分∈ [0, ∞).然后我们得到∞r=IEy，z{e-rτy+x-k{τy+x-k<τy+x}+Zx-zy+x-K基伊，z{e-rτu{τu<τu+k}}du，其中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}。利用[4，第295页]中的公式，我们得到了u≤ 十、-z<x+y≤u+kIEy，z{e-rτu{τu<τu+k}}=eμσ（u-x） 新罕布什尔州（（u+k）- x） Ξru，σ）sinh（kΞru，σ），基伊，z{e-rτu{τu<τu+k}=Ξru，σeμσ（u-x） sinh（（x）- u） Ξru，σ）sinh（kΞru，σ）。积分产生L∞r、 r的计算∞R根据建议3.1证明中的讨论。

这就完成了命题的证明。最后，提案4.5给出了在提款之前实现提款的概率，即在提款后合同到期之前将保护金额支付给买方。让y，z≥ 使y+z<k，然后p（τD（k）<τU（k）| D=y，U=z）=e2μσ（y-k） ρτ（k）- Yk） +e-2¨μσ（k）-y） +2¨μσ（k）- Y- z）- E-其中ρτ（·；·）在命题2.3中定义。证据从命题4.4的证明中，我们得到p（τD（k）<τU（k）|D=y，U=z）=limr→0+（Fuy+Guz- Guk-y） =e2||σ（y）-k） ρτ（k）- Yk） +limr→0+（Guz- Guk-y） 。最后，L\'H^opital规则给出了最后一个极限和（44）。在图3（左）中，我们看到公平溢价随着到期日T的增加而增加，这是因为到期时或到期前提款事件的可能性更高。对于永久性案例，我们在图3（右图）中说明，更高的波动率会导致更高的公平溢价。从这一观察来看，预计在动荡的市场中，提取保险将变得更加昂贵。5.可违约股票的提款保险与市场指数相比，个别股票可能会经历持续下跌或突然违约事件的大幅提款。因此，为了投保0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.60.70.8到期TFair保费P*支取保险，不同的波动水平=20%=30%=40%（a）公平溢价与到期日T0。1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.500.511.522.533.54波动率公平保费P*支取保险，各种k k=30%k=50%k=70%（b）（永久）公平保费与波动率σ图3：左图：支取保险的公平保费随着到期日T增加。右图：永久支取保险的空中保费也随着波动率σ而增加。

参数为r=2%、y=z=0.1、α=1和k=50%（左）。随着股票的下跌，将违约风险纳入股票价格动态是非常有用的。为此，我们将我们的分析扩展到一种形式（基于强度）违约风险降低的股票。在风险中性度量Q下，可违约股票价格S根据todSt=（r+λ）Stdt+σStdWt演变-~St-dNt，~S=~S>0，（45），其中λ是单跳过程Nt=1{t的恒定默认强度≥ζ} ，带ζ~ exp（λ）与Q下的布朗运动W无关。在ζ处，股票价格立即降至零并永久保持不变，即对于a.e.ω∈ Ohm,~St（ω）=0，T≥ ζ(ω). 在[20]和最近的[17]等文献中，也考虑过类似的股权模式。提款事件的定义与（5）中的类似，其中原木价格现在由Xt=（原木S+（r+λ）给出-σ） t+σWt，t<ζ-∞, T≥ ζ、 我们遵循第2节对提取保险合同的类似定义。违约事件的一个主要影响是导致提款，合同将立即到期。在这种情况下，保费支付至τD（k）∧ τU（k）如果它发生在默认时间ζ和到期时间T之前，或者直到默认时间ζ，如果T≥ τD（k）∧ τU（k）≥ ζ. 注意，如果在ζ之前没有出现大小为k的上升或下降，则下降时间τD（k）将与默认时间一致，即τD（k）=ζ。买方的预期价值由v（y，z；p）=IEy，z给出(-ZτD（k）∧τU（k）∧ζ∧Te-rtpdt+αe-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}）。（46）同样，基于X的停止时间τD（k）和τU（k）不依赖于X，因此，合同值v是初始提取y和提取z的函数。在该可违约股票模型下，我们获得以下有用的公平溢价公式。提议5.1。

到期日为T的提取保险的公平保费，写在（45）中的默认股票上，由P给出*=α{rLTr+λ+λ- λRTr+λ- λe-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）}1- LTr+λ- RTr+λ- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T），（47），其中（30）和（39）分别给出了LTr+λ和RTr+λ。证据如（28）所示，公平溢价P*满足感*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k）∧ζ∧T）}。（48）我们首先计算分子中的期望值。哎呀{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}}=ZTλe-λtIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧t} }dt+IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}}·Qy，z（ζ>T）+IEy，z{e-rζ{τD（k）∧τU（k）≥ζ、 ζ<T}}=ZTe-（r+λ）ssQy，z（τD（k）≤ τU（k）∧ s） ds+ZTλe-（r+λ）tQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ t） dt=LTr+λ+λr+λ1.- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ 中兴通讯-（r+λ）ttQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ t） dt=LTr+λ+λr+λ{1- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ （T）- LTr+λ- RTr+λ}。（49）接下来，τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ ζ ∧ T由y，z{e给出-r（τD（k）∧τU（k）∧ζ∧T）}=IEy，z{e-r（τD（k）∧τU（k）{τD（k）∧τU（k）<ζ∧T}}+e-rTQy，z（τD（k）∧ τU（k）>T，ζ>T）+IEy，z{e-rζ{τD（k）∧τU（k）≥ζ、 ζ<T}}=ZTe-（r+λ）ssQy，z（τD（k）∧ τU（k）≤ s） ds+e-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）>T）+λr+λ{1- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ （T）- LTr+λ- RTr+λ}=LTr+λ+RTr+λ+λr+λ{1- LTr+λ- RTr+λ}+e-（r+λ）Trr+λQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）=λr+λ+rr+λ{LTr+λ+RTr+λ+e-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）}。（50）重新排列（49）和（50）收益率（47）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.10.20.30.40.50.60.70.8永久下降保险违约强度公平溢价P*图4：公平溢价（实数）作为默认强度λ的函数，它支配着直线αλ。Asλ→ ∞, 公平溢价*→ αλ. 参数：r=2%，σ=30%，y=z=0.1，k=0.5，α=1。通过服用T→ ∞ 在（47）中，我们以封闭形式获得永久提款保险的公平保费。提议5.2。