提款保险的随机建模与公允价值评估

byP给出了（45）中可违约股票的永久提款保险的公平保费*=αrL∞r+λ+λ- λR∞r+λ1.- L∞r+λ- R∞r+λ，（51）式中∞r+λ和r∞r+λ在（42）中给出。在图4中，我们说明了永久情况下，公平溢价随着违约强度λ的增加而增加，对于高违约风险，其接近αλ。这一观察结果可以通过（51）中的限额正式显示出来，这是直观的，因为高违约风险意味着提款更有可能发生，而且最有可能是由违约触发的。6.结论我们已经研究了市场崩溃保险的实用性，并提出了一些可追溯的方法来评估提款保护。在几何布朗运动动力学下，我们给出了若干保险合同的公平保费公式，并检验了其与关键模型参数的关系。在可撤销提款保险中，我们表明，保护买方将监控提款过程，并在提款风险降低时以最佳方式停止支付保费。此外，我们还研究了违约风险对提取的影响，并导出了公平溢价的分析公式。在未来的研究中，我们设想本文中的估值和最优停止问题可以在其他价格动态下进行研究，尤其是当拉普拉斯变换和命中时间分布等下降公式可用时（见[25]）。虽然我们的分析重点是针对单一标的资产的提款保险，但对多个金融市场的提款进行建模，并调查一个市场发生的提款的系统性影响，是一件既困难又具有挑战性的事情。这将涉及对各种金融市场之间的相互作用进行建模[11]，并开发新的系统性风险度量[1]。

最后，市场缩减的想法和相关的数学工具也可用于其他领域，如投资组合优化问题[13,9]、风险管理[7]和信号检测[23]。确认我们感谢约翰·霍普金斯大学和哥伦比亚大学的研讨会参与者。我们也感谢INFORMS在2011年年度会议上为这项工作颁发的最佳演示奖。Tim Leung的工作得到了NSF拨款DMS-0908295的支持。奥林匹亚哈德吉利亚迪斯的工作得到了NSF拨款CCF-MSC-0916452、DMS-1222526和PSC CUNYgrant 65625-00 43的支持。最后，我们感谢编辑和匿名推荐人的有用评论和建议。7.引理的证明。1.支取时间的条件拉普拉斯变换为了准备第3节中关于可撤销支取保险的后续证明，我们现在总结τD（k）的条件拉普拉斯变换的一些性质（见（8））。提议7.1。条件拉普拉斯变换函数ξ（·）具有以下性质：1。ξ（·）为正且在（0，k）上增加。ξ（·）满足微分方程σξ（y）- 在Neumann条件ξ（0）=0.3下，μξ（y）=rξ（y），（52）。ξ（·）是严格凸的，即ξ（y）>0表示y∈ （0，k）。证据性质（i）直接来自ξ（y）和强马尔可夫性质的定义。属性（ii）直接来自（9）的差异。关于财产（三），证据如下。如果u≥ 0，则（52）意味着ξ（y）=2uσξ（y）+2rσξ（y）>0，y∈ （0，k）。如果u<0，则（11）和（52）表示y∈ （0，k），ξ（y）=Ξru，σ+μσξ（y）- e（σ）-Ξru，σ）yξ（0）, （53）ξ（y）=2uσξ（y）+2rσξ（y）=Ξru，σ+μσξ（y）-2uσΞru，σ+μσe（σ）-Ξru，σ）yξ（0）>0。（54）最后一个不等式来自以下事实：u<0和Ξru，σ+μσ>0。因此，严格凸性如下。7.2.

引理3.2的证明在（22）中，我们求根θ*式中：F（θ）：=uσ- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ))~f（θ）-~f（θ）=0。（55）为此，我们计算f（θ）=-（Ξru，σ）sinh（Ξru，σ（k）- θ） ）~f（θ）-Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) -uσ~f（θ）-~f（θ）。（56）因为f是单调递减的，从f（0）>0到f（k）=-α - c<0，存在唯一的θ∈ （0，k）使得∧f（θ）=0。我们有F（θ）=-~f（θ）>0乘以（55）和f（0）=（μσ-Ξru，σcoth（Ξru，σk））~f（0）<0，这意味着f（θ）=0至少有一个解θ*∈ (0, θ).此外，对于θ∈ （θ，k），~f（θ）<0，因此f（θ）>0乘以（55），在（θ，k）中没有根。接下来，我们通过证明所有θ的F（θ）>0来证明根是唯一的∈ (0, θ). 为此，我们首先从（6）中观察到，f可以表示为f（θ）=C（ξ（θ）- ξ（θ）），对于θ，θ∈ （0，k），其中C=（α+pr）>0和Cξ（θ）=pr- c、 把它们放到（56）中，我们用ξ来表示F（θ），而不是用F来表示。反过来，验证F（θ）>0被简化为：引理7.2。inf0<θ<θ<k（ξ（θ）+Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) -uσξ（θ）+（Ξru，σ）（sinh（Ξru，σ）（k）- θ)))(ξ(θ) - ξ(θ)))≥ 0，且在θ=θ=k时达到最大值。我们首先用（52）重写引理asinf0<θ<θ<k中的语句Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) +uσξ(θ) +（Ξru，σ）coth（Ξru，σ（k- θ)) -uσξ(θ)-（Ξru，σ）sinh（Ξru，σ（k）- θ))ξ(θ)≥ 0通过过程D·的强马尔可夫性质，函数ξ满足（11）的更一般版本。具体来说，对于0≤ y、 y<k，ξ（y）=eμσ（y）-k） sinh（Ξru，σ（y）- y） sinh（Ξru，σ（k）- y） ）+e/∑（y）-y） sinh（Ξru，σ（k）- y） sinh（Ξru，σ（k）- y） ξ（y）。（57）对y的定义∈ [0，k，∧（y）=e-uyσξ（y）sinh（Ξru，σ（k）- y） ）。（58）然后函数∧（·）满足（见（57））满足∧（y）- ∧（y）=e-ukσsinh（Ξru，σ（y- y） sinh（Ξru，σ（k）- y） ）·sinh（Ξru，σ（k）- y） ），y、 y∈ [0，k），（59），从中我们可以很容易地得到∧（y）=Ξru，σe-ukσsinh（Ξru，σ（k- y） ）>0，Y∈ [0，k）。

（60）直接计算表明∧（y）=e-uyσ（Ξru，σcoth）（Ξru，σ（k- y） )-uσ）ξ（y）+ξ（y）sinh（Ξru，σ（k）- y） ）>0，Y∈ [0，k）。因此，ξ（y）=∧（y）euyσsinh（Ξru，σ（k- y） )- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- y） )-uσ）ξ（y）。（61）使用（61），上述不等式等价于inf0<θ<θ<kΛ(θ)eθσΞ，Ξ- θ） ）+μσsinh（μru，σ（k）- θ))- Ξru，σeukσξ（θ）≥ 让我们用h（θ，θ）=eθσ来表示Ξru，σcosh（Ξru，σ（k- θ） ）+μσsinh（μru，σ（k）- θ))- Ξru，σeukσξ（θ）。我们将展示inf0<θ<θ<kH（θ，θ）≥ 注意，对于θ∈ [0, θ],Hθ= -2rσeΞθσsinh（Ξru，σ（k- θ） ）因此≤θ≤θH（θ，θ）=H（θ，θ）。此外θH（θ，θ）=-2rσeΞθσsinh（Ξru，σ（k- θ)) - Ξru，σeukσξ（θ）<0。因此，inf0≤θ≤θ<kH（θ，θ）=H（k，k）=0。这就完成了引理7.2的证明。由于我们的问题涉及θ<θ<k，引理7.2表示θ的F（θ）>0∈ （0，θ），这证明方程F（θ）=0最多有一个解。这就得出了光滑粘贴点θ的唯一性*∈ (0, θ).7.3. 引理3.3Proof的证明。让我们考虑j（y）：=g（y；θ*) -~f（y）=C（β（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）- ξ（θ）），y∈ [θ*, k） 。我们检查它对x:J（y）=C的导数β（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）, （62）J（y）=Cβ（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）, 其中β（y）=g（y；θ）*)f（θ）*)= eσ（y）-θ*)sinh（Ξru，σ（k）- y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*)), Y∈ (θ*, k） 。（64）利用函数β（·）的概率性质，我们知道它是正的和递减的。因此，如果≤ 0，我们有β（y）=2μ∑β（y）+2r∑β（y）>0=> J（y）≥ Cξ（y）>0。另一方面，如果u>0，从（64）我们有β（y）=uσ- Ξru，σβ（y）+Ξru，σeμσ（y）-θ*)-Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*)),β（y）=2μσβ（y）+2rσβ（y）=Ξru，σ-uσβ（y）+2μσru，σeμσ（y）-θ*)-Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*))> 0,=> J（y）≥ Cξ（y）>0。所以在这两种情况下（μ）≤ 0或u>0），J（·）是递增函数，J（y）>J（θ）*) = 0, Y∈ (θ*, k） 这意味着J（y）>J（θ）*) = 0, Y∈ (θ*, k） 。这就完成了证明。参考文献[1]Adrian，T.和Brunnermeier，M.（2009）。

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