提款保险的随机建模与公允价值评估

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英文标题：
《Stochastic Modeling and Fair Valuation of Drawdown Insurance》
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作者：
Hongzhong Zhang, Tim Leung, Olympia Hadjiliadis
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  This paper studies the stochastic modeling of market drawdown events and the fair valuation of insurance contracts based on drawdowns. We model the asset drawdown process as the current relative distance from the historical maximum of the asset value. We first consider a vanilla insurance contract whereby the protection buyer pays a constant premium over time to insure against a drawdown of a pre-specified level. This leads to the analysis of the conditional Laplace transform of the drawdown time, which will serve as the building block for drawdown insurance with early cancellation or drawup contingency. For the cancellable drawdown insurance, we derive the investor\'s optimal cancellation timing in terms of a two-sided first passage time of the underlying drawdown process. Our model can also be applied to insure against a drawdown by a defaultable stock. We provide analytic formulas for the fair premium and illustrate the impact of default risk.
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中文摘要：
本文研究了市场支取事件的随机建模和基于支取的保险合同公允价值评估。我们将资产提取过程建模为当前与资产价值历史最大值的相对距离。我们首先考虑一个普通的保险合同，根据该合同，受保护的买方在一段时间内支付固定的保险费，以针对预先指定水平的提取进行保险。这导致了对提款时间的条件拉普拉斯变换的分析，该变换将作为提前取消或提款应急的提款保险的构建块。对于可取消的提款保险，我们根据基础提款过程的双边首次通过时间推导出投资者的最佳取消时间。我们的模型也可用于防止可违约股票的提款。我们提供了公平溢价的分析公式，并说明了违约风险的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-5 02:46:06 上传

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关键词：公允价值 随机建模 价值评估 cancellation Quantitative

提款保险的随机建模与公允价值，*, Tim Leungb，Olympia Hadjilia统计系，哥伦比亚大学，纽约阿姆斯特丹大道1255号，纽约州，纽约州，哥伦比亚大学，纽约州，哥伦比亚大学，工业工程与运营研究系，纽约州，纽约州，布鲁克林学院，布鲁克林大学研究生中心，NY 11209摘要本文研究了市场支取事件的随机建模和基于支取的保险合同的公允价值评估。我们将资产提取过程建模为当前与资产价值历史最大值的相对距离。我们首先考虑一个普通的保险合同，根据该合同，保护买方在一段时间内支付固定的保费，以确保AGAISTA支取达到预先规定的水平。这导致了对提款时间的条件拉普拉斯变换的分析，该变换将作为提前取消或提款应急的提款保险的构建块。对于可取消的提款保险，我们根据基础提款过程的双边首次通过时间推导出投资者的最佳取消时间。我们的模型也可以用于防止违约股票的提款。我们提供了公平溢价的分析公式，并说明了违约风险的影响。关键词：提款保险；提前取消；最优停车；违约风险。JEL学科分类：C61、G01、G13、G22。1.导言最近的金融危机标志着资产价格的一系列急剧下跌，例如，标准普尔下调美国债务评级，以及欧洲国家的违约投机。许多个人和机构投资者对市场大幅下跌持谨慎态度，因为它们不仅会导致投资组合损失和流动性冲击，而且还预示着潜在的即将到来的衰退。

众所周知，对冲基金经理的薪酬通常基于基金在过去创纪录的最高点或最高点（见[2,12,13,27]等）的表现。因此，提款事件会直接影响经理的收入。此外，大规模的资金削减还可能导致投资者赎回基金的数量激增，并导致经理的工作被终止。因此，基金经理有强烈的动机寻求针对提款的保险。如[18]、[24]等所述，这些市场现象促使提款作为路径依赖的风险度量进行应用。另一方面，Vecer[28,29]认为，一些市场交易合约，如vanilla和lookback puts，“只有有限的能力*相应的authorEmail地址：hzhang@stat.columbia.edu（张洪忠），leung@ieor.columbia.edu（梁锦松），ohadjiliadis@brooklyn.cuny.edu（奥林匹亚Hadjiliadis）预印本于2018年7月17日提交给爱思唯尔，以确保市场提款。”他通过模拟研究了看涨期权的收益率，并对标的资产的最大提款权进行了减记，并讨论了动态交易策略，以对冲与单一资产或指数相关的提款权。最近的工作[6]提供了非平凡的静态策略，使用市场交易的障碍数字期权，在提款事件上近似合成欧洲风格的数字期权。这些观察结果表明，提款保护对机构投资者和个人投资者都是有用的，综合提款保险也有好处。在本文中，我们讨论了提款的随机建模，并研究了针对提款事件的多个保险合同的估值。更准确地说，提取过程定义为资产价值从其历史最大值的当前相对下降。

在最简单的形式中，提取保险涉及投资者（protectionbuyer）持续支付保费，以确保标的资产价值提取到预先规定的水平。为了让投资者在管理路径依赖型提款风险方面更灵活，我们加入了提前终止合同的权利。这种提前取消功能类似于许多常见保险产品中出现的退保权，如股权指数年金（参见[8]、[21]、[22]）。由于时间的灵活性，如果投资者发现不太可能发生提款（例如，当基础价格继续上涨时），他/她可能会停止预付款支付。在我们的分析中，我们严格地表明，投资者的最佳取消时机是基于基础提款过程的非平凡的首次通过时间。换句话说，投资者的取消策略和合同估值不仅取决于标的资产的当前价值，还取决于其与历史最大值的距离。应用最优停止理论和降深过程的分析性质，导出了最优消除阈值，并通过数值例子加以说明。此外，我们还考虑了一份相关的保险合同，以保护投资者在提款之前免受提款的影响。换句话说，如果提款事件发生在提款之前，保险合同将提前到期。从投资者的角度来看，当提款实现时，几乎不需要为提款投保。因此，这种支取意外情况会自动停止预付款支付，这是一个有吸引力的功能，可能会降低支取保险的成本。我们的模型也可以很容易地扩展到包含与标的资产相关的违约风险。

为此，我们观察到，持续的价格波动以及跳转到默认事件都可能触发价格下降。在其他结果中，我们提供了提取保险的空中保费公式，并分析了违约风险对提取保险估值的影响。在现有文献中，提款也出现在许多金融应用中。Pospisil and Vecer[24]运用偏微分方程方法研究投资组合价值和对冲策略对提取和提取的敏感性。提款流程也被纳入到投资组合优化的交易约束中（参见[13,9,7]）。Meilijson[19]讨论了回望美式看跌期权在行使时间内的减持作用。有几项研究侧重于一些与提款相关的概念，如最大提款[10,18,28,29]和市场崩盘速度[31]。另一方面，提取和提取的统计模型也具有实际意义，我们参考了最近的研究[5,15,26]等。对于我们的估值问题，我们经常使用提取和提取的联合法则。为此，来自[14]、[25]、[30]和[32]的一些相关公式是有用的。与现有文献和我们之前的工作相比，本文的贡献是三倍的。首先，我们得出了为若干提款事件投保的空中保险费，包括到期日和到期日，以及诸如提款应急和提前终止等新条款。特别是，提前终止选项可以分析一个新的最优停止问题（见第3节）。Werigorough求解最优终止策略，该策略可以表示为提取过程的首次消息时间。

此外，我们将标的资产的违约风险（在其他提款相关研究中缺乏这一特征）纳入我们的分析，并研究其对提款保险费的影响。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了一个用于支取和支取的随机模型，并制定了一个普通支取保险的估值。在第3节和第4节中，我们分别研究了可撤销提款保险和具有提款意外事件的提款保险。作为扩展，我们将在第5节讨论可违约股票的提款保险估值。第6节总结全文。我们给出了第7.2节中一些引理的证明。提取保险的模型我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）满足通常条件。风险中性定价度量Q用于我们的估值问题。在测度Q下，我们通过几何布朗运动st=rdt+σdWt（1）对风险资产S建模，其中W是Q下的标准布朗运动，产生过滤（Ft）t≥0.我们将S和S分别表示为S的运行最大值和运行最小值的过程。在编写合同时，保险人可以使用之前参考期记录的历史最大值和最小值。因此，在合同开始时，参考最大值s、参考最小值s和股价不必重合。这一点如图1所示。与S相关的运行最大和运行最小进程如下，St=S∨小吃∈[0，t]Ss, St=s∧infs∈[0，t]Ss. （2） 在这里，我们表示a∨ b=最大值（a，b）和a∧ b=最小值（a，b）.01-七月-2011年1月-八月-2011 01-九月-2011 01-十月-2011年1月-十一月-201177.057.17.157.27.25原木价格初始提取图1:2011年1月7日至2011年1月11日标准普尔指数的日原木价格。

为了便于说明，7月被用作参考周期，以记录历史运行的最大值和最小值。在参考期结束时，运行最大值s=7.21，原木价格x=7.16，因此初始提款y=0.05。我们注意到，由于标准普尔下调美国债务评级，2011年8月出现了大规模提款。我们确定了停止时间%D（K）=inf{t≥ 0:St/St≥ K} 和%U（K）=inf{t≥ 0:St/St≥ K} （3）分别为S第一次达到K个单位的相对下降和K个单位的相对上升。在不丧失一般性的情况下，我们假设1≤ s/s<K，因此%D（K）∧ %D（K）>0，几乎可以肯定。为了便于分析，我们将研究原木价格。因此，我们定义Xt=log stsothatext=x+ut+σWt，（4）其中x=log Sandu=r-σ. 用Xt=log Stand Xt=log Stto分别表示原木价格过程的运行最大值和运行最小值。然后，S的相对下降和上升相当于原木价格X的绝对下降和上升，即τD（k）=inf{t≥ 0:Dt≥ k} τU（k）=inf{t≥ 0:Ut≥ k} ，（5）式中k=logk（见（3）），Dt=Xt- Xt和Ut=Xt- Xt。请注意，在当前模型下，抛售时间τD（k）=%D（k）和τU（k）=%U（k），它们不依赖于x或相当于初始股价。2.1. 支取保险和公平保费我们现在考虑基于支取事件的保险合同。具体而言，为规模为k的提款事件寻求保险的protectionbuyer将在提款时间τD（k）之前持续支付固定保费。作为回报，保护买方将在τD（k）时收到保险金额α。这里，p、k和α的值是在收缩时预先规定的。

本提取保险的合同价值为f（y；p）=IE(-ZτD（k）e-rtp-dt+αe-rτD（k）|D=y（6）=pr-α+prξ（y），（7），其中ξ是由ξ（y）：=IE{e定义的τD（k）的条件拉普拉斯变换-rτD（k）|D=y}，0≤ Y≤ k、 （8）这相当于计算条件拉普拉斯变换ξ，它允许一个封闭形式的公式，如我们接下来所示。提议2.1。条件拉普拉斯变换函数ξ（·）由ξ（y）=eμσ（y）给出-k） sinh（Ξru，σy）sinh（Ξru，σk）+e（Ξru，σk）- y） ）sinh（Ξru，σk）e-uσkΞru，σru，σcosh（Ξru，σk）-μσsinh（μru，σk），0≤ Y≤ k、 （9）式中Ξru，σ=q2rσ+μσ。证据确定提款过程（Dt）首次≥0降低到θ级≥ 0乘以τ-D（θ）：=inf{t≥ 0:Dt≤ θ}. （10） 利用τ上过程D的强马尔可夫性-D（0），我们对t有这个≤ {k，τ（Dt）=e-rτD（k）|Dt}=IE{e-rτD（k）{τD（k）<τ-D（0）}|Dt}+IE{e-rτ-D（0）{τD（k）>τ-D（0）}Dt}ξ（0）=eμσ（Dt）-k） sinh（Ξru，σDt）sinh（Ξru，σk）+euσDtsinh（Ξru，σ（k- Dt）sinh（Ξru，σk）ξ（0）。（11） 因此，问题归结为已知的结果ξ（0）（见[16]）：ξ（0）=e-uσkΞru，σru，σcosh（Ξru，σk）-Ξru，σk）。将其代入（11）得到（9）。因此，（6）中的合同价值f（y；p）对于任何保险费率p都是明确给出的*由方程f（y；P）得出*) = 0，哪个yieldsP*=rαξ（y）1- ξ（y）。（12） 备注2.2。我们的公式可以适用于预付提取保险的情况。实际上，我们可以在（6）中设置p=0，那么这个合同在时间零点的价格是f（y；0）。另一方面，如果保险费是在预先规定的时间T内支付的，而不是在随机提取时间内支付的，则保险费现金流的现值（e-rT- 1） 将以（2.7）的预期取代第一学期。在这种情况下，在开始时将合同价值设定为零，公平溢价由P给出*（T） ：=f（y；0）r1-E-rT>0。

在第4节中，我们讨论了如果提款事件发生在提款或到期之前，持有人将停止支付保费的情况。对于保险公司和保护买方来说，了解提款预计会持续多长时间是很有用的。这就导致我们计算出尺寸k下降的预期时间≥ 0，在物理测度P下。测度P相当于Q，其中S的漂移是年化增长率ν，而不是无风险率r。在测度P下，对数价格为xt=x+~ut+σWPt，其中- σ/2，其中wp是P-布朗运动。提议2.3。尺寸k的预计下降时间由iep{τD（k）|D=y}=y·ρτ（y；k）+（y）给出- k） ·e2¨σ（y）-k） ρτ（k）- Yk） △u+ρτ（y；k）·e2△σk-2/μσk- 其中ρτ（y；k）：=eμσysinh（~μσ（k）-y） ）sinh（**k）。证据利用过程（Xt）t的马尔可夫性≥我们知道τD（k）=τx+y-K∧ τx+y+（τD（k）o θτx+y）·1{τx+y<τx+y-k} ，P-a.s.式中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}，θ·是标准的马尔可夫移位算子。如果|u6=0，将可选采样定理应用于一致可积鞅（Mt∧τx+y-K∧τx+y）t≥0MT=Xt- ~ut，我们得到了{τx+y-K∧ τx+y | x=x}=y·P（τx+y<τx+y-k | X=X）+（y）- k） ·P（τx+y）-k<τx+y | x=x）~u。此外，利用P（τx+y<τx+y-k | X=X）=ρτ（y；k），P（τX+y-k<τx+y | x=x）=e2μσ（y）-k） ρτ（k）- Yk） [14]中的等式（11）：IEP{τD（k）|D=0}=e2μσk-2/μσk- 1（2μ|σ），我们得出|u6=0的证明。μ=0的情况是通过取极限μ来获得的→ 0.3. 可撤销提款保险由于在保险和衍生品市场中很常见，投资者可能会要求提前自愿终止合同。典型的例子包括美式期权和有退保权的股票指数年金。

在本节中，我们将一个可取消的功能纳入提款保险，并研究终止合同的最佳时机。有了可取消的提款保险，保护买方可以在预先指定的提款规模k之前的任何时间支付固定费用c终止头寸。对于α的名义金额和保险费率p，本合同的公平估值可以从最优停止问题中找到：V（y；p）=sup0≤τ <∞IE(-ZτD（k）∧τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}+αe-rτD（k）{τD（k）≤τ}| D=y）（14）表示y∈ [0，k）。公平溢价P*使合同价值在开始时为零，即V（y；P*) = 0.我们观察到，由于合同到期并在τD（k）支付，取消并在τD（k）支付费用c永远不是最佳选择。因此，有必要考虑一组较小的停止时间：={τ∈ F:0<τ<τD（k）}，由严格受τD（k）约束的F-停止时间组成。我们将在第3.2节中说明，候选停止时间集实际上是下降停止时间τ=τ-D（θ）由各自的阈值θ索引∈ （0，k）（见（10））3.1。合同价值分解接下来，我们证明了可撤销提款保险可以分解为普通提款保险和美式提款保险索赔。这为合同价值的显式计算以及最优终止策略提供了一个很好的视角。提议3.1。可取消支取保险价值允许分解：V（y；p）=-f（y；p）+supτ∈溶剂同位素效应E-rτ（f（Dτ；p）- c） |D=y, （15） 其中f（·；·）在（6）中定义。证据让我们考虑V（D；p）的一个变换。首先，通过重新排列（14）中的第一个积分并使用1{τ≥τD（k）}=1- 1{τ<τD（k）}，我们得到v（y；p）=IE(-ZτD（k）e-rtp-dt+αe-rτD（k）|D=y）+sup0≤τ <∞IE（ZτD（k）τD（k）∧τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}- αe-rτD（k）{τ<τD（k）}|D=y）{z}=:G（y；p）=-f（y；p）+G（y；p）。