Heston模型极大似然估计的渐近性质

通过Cc（R+×R，R）和C∞c（R+×R，R），我们分别表示紧支撑下R+×R上的两次连续可微实值函数集，以及紧支撑下R+×R上的完全可微实值函数集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，它还指出（Y，X）是一个正则过程。请注意，（1.1）的第一个等式的这些陈述是众所周知的。2.1提议。设（η，ζ）为独立于（Wt，Bt）t的随机向量∈R+P（η）∈R+=1。那么，尽管如此∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1，1），有一个（路径）唯一强解（Yt，Xt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（（Y，X）=（η，ζ））=1和P（Yt）∈ R+代表所有t∈ R+=1。此外，对于所有s，t∈ R+和s 6 t，Yt=e-b（t）-（s）Y+aRtse-b（s）-u） du+σRtse-b（s）-u）√尤德武,Xt=Xs+Rts（α- βYu）du+σRts√于( dWu+p1- dBu）。（2.1）此外，（Yt，Xt）t∈R+是一个规则的有效过程，具有最小生成器（Af）（y，x）=（a- by）f′（y，x）+（α- βy）f′（y，x）+yσf′1,1（y，x）+2σf′1,2（y，x）+σf′2,2（y，x）,（2.2）式中（y，x）∈ R+×R，f∈ Cc（R+×R，R），和f′i和f′i，j，i，j∈ {1,2}，分别表示f关于其第i个变量、第i个变量和第j个变量的一阶和二阶偏导数。证据根据山田和渡边的一个定理（例如，见Karatzas和Shreve[27，命题5.2.13]），对于（1.1）中的第一个方程，s强烈的唯一性成立。池田和渡边[24，例8.2，第221页]，有一个（路径）唯一的非负强解（Yt）t∈（1.1）中第一个方程的R+，任何初始值η，使得P（η∈ R+=1。显然，（2.1）中的第二个方程给出了（路径）唯一的斯特龙g解（Xt）t∈（1.1）中s秒方程的R+。

接下来，应用It^o的过程公式（Yt）t∈R+，我们得到（ebtYt）=bebtYtdt+ebtdYt=bebtYtdt+ebt（a）- bYt）dt+σpYtdWt= 所有t的aebtdt+σEBTPYTDWT∈ R+，这意味着（2.1）中的第一个等式。现在我们来检查一下（Yt，Xt）t∈R+是一个具有给定最小生成器的有效过程。我们可以假设初值是确定的，比如，（Y，X）=（Y，X）∈ R+×R，因为时间齐次马尔可夫过程的最小生成元不依赖于马尔可夫过程的初始值。根据它的公式，对于所有的f∈ Cc（R+×R，R）我们有f（Yt，Xt）=f（y，x）+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+p1- 星展银行+Ztf′（Ys，Xs）（a）- bYs）ds+Ztf′（Ys，Xs）（α- βYs）ds+σZtf′1,1（Ys，Xs）Ysds+2σ∑Ztf′1,2（Ys，Xs）Ysds+σZtf′2,2（Ys，Xs）Ysds= f（y，x）+Zt（Af）（Ys，Xs）ds+Mt（f），t∈ R+，其中mt（f）：=σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+p1- 星展银行, T∈ R+，Af由（2.2）给出。这足以证明（Mt（f））t∈R+是一个局部马丁盖尔，与（Wt，Bt）t对应的强化过滤有关∈R+和（η，ζ），按照Karatzasand Shreve[27，第5.2节]的规定建造。然而，事实证明，这是一个关于这个过滤的平方可积鞅，因为中兴（（f′（Ys，Xs））Ys）ds 6 CZtE（Ys）ds<∞, T∈ R+，中兴通讯（（f′（Ys，Xs））Ys）DS6 CZtE（Ys）ds<∞, T∈ R+，带有一些常数C，C∈ R++，其中积分的完整性后跟（2.3）E（Ys）=E-bsy+aZse-南部布杜∈ R+，参见Cox等人[15，等式（19）]或Jeanblanc等人[26，定理6.3.3.1]。最后，我们检验了转移半群（Pt）t∈状态空间R+×R对应于（Yt，Xt）t的R+∈R+是一个正则半群，具有（2.2）给出的极小生成元。

用Dawson和Li[16]，“0 00 0#，S，”aα#，“-b 0-β 0#, 0, 0!是一组与有效过程（Yt，Xt）t相对应的容许参数∈R+，式中（2.4）S:=“σ”σσσσσ#.因此，Duffee等人[19]中的定理2.7（另见Daws on和Li[16]中的定理6.1）表明，对于这组容许参数，存在一个正则半群（Qt）t∈由（2.2）给出的最小生成器中的R+。杜菲等人[19]中的T heorem 2.7，C∞c（R+×R，R）是对应于半群（Qt）t的最小生成元的核心∈R+。我们检查了相应的半单元生成器∈R+和（Qt）t∈R+（定义在R+×R上的边界实值函数的Banach空间上）重合∞c（R+×R，R），通过定义一个核，我们得到它们在R+×R上有界实值函数的Banach空间上重合∈R+是微型发电机（2.2）中的一个常规有效过程。我们还注意到，我们可以使用Du ffee等人[19]中的Lemm a 10.2来得出（Yt，Xt）t∈R+是一个带有内置发电机（2.2）的常规有效流程，因为我们已经检查了（Mt（f））t∈R+是关于过滤（Ft）t的鞅∈R+代表任何人∈ Cc（R+×R，R）。接下来，我们给出一个关于（Yt，Xt）t的第一时刻的结果∈R+。我们注意到，Hurn等人[23，等式（23）]推导出了（Yt，Xt），t的期望值的相同公式∈ R+，通过不同的方法。还要注意的是，E（Yt），t的公式∈ R+是众所周知的。2.2提议。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1和E（Y）<∞, E（|X |）<∞.

然后“E（Yt）E（Xt）#=”E-英国电信-βRte-布杜1#“E（Y）E（X）#+”Rte-布杜0-βRt后悔-bvdvdu t#“aα，t∈ R+。因此，如果b∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=ab，limt→∞T-1E（Xt）=α-βab，如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=a，极限→∞T-2E（Xt）=-βa，如果b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab，limt→∞ebtE（Xt）=βbE（Y）-βab.证明。当（Y，X）=（Y，X）具有任意（Y，X）时，证明该陈述是有效的∈ R++×R，从那时起，命题的陈述遵循总期望定律。E（Yt），t的公式∈ R+可以在Cox等人[15，等式（19）]或Jeanblanch等人[26，定理6.3.3.1]中找到。接下来我们观察到ZtpYud(Wu+p1- Bu）T∈R+（2.5）是一个平方可积鞅，因为“ZtpYud(Wu+p1- Bu）#=中兴（于）都∞,其中积分的完整性如下（2.3）。取（2.1）中第二个方程的两边的期望值，并利用（2.5）中过程的鞅性质，我们得到e（Xt）=x+Zt（α）- βE（Yu））du=x+αt- βZtE-购买+蓝色-bvdvdu=x- βyZte-budu+αt- β-aZt祖伊-bvdv达特∈ R+。此外，如果b∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=limt→∞E-bty-ab（e）-英国电信- 1)=ab，limt→∞T-1E（Xt）=极限→∞xt+β再见-英国电信- 1t+α+βabtE-英国电信-1.-B- T= α -βab.如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=极限→∞T-1（y+at）=a，极限→∞T-2E（Xt）=limt→∞xt-βyt+αt-βa= -βa.If b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=limt→∞y+ab（ebt）- 1)= Y-ab，limt→∞ebtE（Xt）=xlimt→∞ebt+βbylimt→∞(1 - ebt）+αlimt→∞tebt+βablimt→∞1.- ebt-B- 特伯特=βby-βab。基于期望（E（Yt），E（Xt））作为t的渐近行为→ ∞ , 我们将介绍SDE给出的Heston过程分类（1.1）。2.3定义。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1。

我们称之为（Yt，Xt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地。在续集中-→,D-→ 安达。s-→ 将分别表示概率收敛、分布收敛和几乎确定收敛。下面的结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的遍历性∈在亚临界情况下，如Feller[21]，Cox等人[15，方程（20）]，Li和Ma[31，定理2.6]或定理3.1（α=2，T heorem4），由（1.1）中的第一个方程给出R+。Barczy等人[6]中的1.定理2.4。设a，b，σ∈ R++。让（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y）的第一个方程的唯一强解∈ R+=1。（i） 然后YtD-→ Y∞作为t→ ∞, 以及Y的分布∞再见了吗-λY∞) =1+σ2bλ-2a/σ，λ∈ R+，（2.6）即Y∞具有参数为2a/σ和2b/σ的伽马分布，henceE（Yκ∞) =Γ2aσ+κ2bσκΓ2aσ, κ ∈-2aσ，∞.尤其是E（Y）∞) =ab.如果a∈σ, ∞, 然后是EY∞=2b2a-σ.（ii）假设随机初始v值yh与Y的分布相同∞, 过程（Yt）t∈R+是严格静止的。（iii）对于所有Borel可测函数f:R→ R使得E（| f（Y∞)|) < ∞, 我们有（2.7）TZTf（Ys）dsa。s-→ E（f（Y）∞)) 作为T→ ∞.在下一句话中，我们解释为什么我们只假设过程X被观察到。2.5备注。我很高兴∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，然后通过SDE（1.1），hXit=σZtYsds，t∈ R+。根据Jacod和Shiryaev[25]中的定理I.4.47 a）和I.4.52，新界Xi=1（Xin）- 十一-1n）P-→ hXitas n→ ∞, T∈ R+。这种收敛几乎只适用于一个合适的子序列，该序列的成员是（Xs）s的可测函数∈[0，t]，因此，利用Dudley[18]中的定理4.2.2和4.2.8，我们得出hXit=σRtYsds是（Xs）s的可测函数∈[0，t]。

此外，（2.8）hXit+h- hXith=σhZt+htYsdsa。s-→ σYtas h→ 0，t∈ R+，因为Y几乎肯定有连续的采样路径。特别是，hXihhy=σhyzhysda。s-→ σYy=σas h→ 因此，对于任何固定的T>0，σ是（Xs）s的可测量函数∈[0，T]，即可以从样本（Xs）s中确定∈[0，T]（前提是（Y，X）从某个已知的非随机初始值（Y，X）开始）∈ (0, ∞) ×R）。然而，我们也指出，这个可测量的函数仍然是抽象的。因此，通过（2.8），对于所有t∈ [0，T]，Ytis是（Xs）s的可测函数∈[0，T]，也就是说，它可以从样本（Xs）s中确定∈[0，T]（前提是（Y，X）从某个已知的非随机初始值（Y，X）开始）∈ (0, ∞) ×R）。最后，我们注意到样本量T在上面是固定的，因此不需要知道任何短样本le（Xs）s∈[T]进行上述计算。接下来，我们给出参数σ、σ和 使用连续时间观测（Xt）t∈[0，T]中的一些T>0（前提是（Y，X）从某个已知的非随机初始值（Y，X）开始）∈ (0, ∞)×R）。由于这个结果，我们不考虑这些参数的估计，它们应该是已知的。2.6备注。

我很高兴∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，那么对于所有的T>0，S=RTYsds“hY-iThY，XiThXiT，XiThXiT#=：bst几乎肯定，其中（hY，Xit）T∈R+表示Y和X的二次交叉变化过程，因为通过S DE（1.1），hY iT=σZTYsds，hXiT=σZTYsds，hY，XiT=σZTYsds。这里有一个统计量，即存在一个可测函数Ξ：C（[0，T]，R）→ R2×2这样的thatbST=Ξ（（Xs）s∈[0，T]），其中C（[0，T]，R）表示[0，T]定义的连续实值函数空间，因为（2.9）nP新界i=1Yi-1n新界Xi=1尹- 易-1nXin- 十一-1n尹- 易-1nXin- 十一-1nP-→bSTas n→ ∞,哪里十、 表示实数x的整数部分∈ R、 注2.5，（2.9）中序列的成员是（Xs）s的可测函数∈[0，T]，可以使用达德利[18]中的定理4.2.2和4.2.8。下一步证明（2.9）。根据J acod和Shiryaev[25]中的定理I.4.47 a）和I.4.52，新界Xi=1（尹）- 易-1n）P-→ 为什么，新界Xi=1（Xin）- 十一-1n）P-→ hXiT，新界Xi=1（尹）- 易-1n）（Xin）- 十一-1n）P-→ 希塔斯n→ ∞. 因此新界Xi=1尹- 易-1nXin- 十一-1n尹- 易-1nXin- 十一-1nP-→ZTYsdsbSTas n→ ∞, 参见范德法特[40，定理2.7，第（六）部分]。此外，n新界Xi=1Yi-1na。s-→ZTYsds as n→ ∞因为Y几乎肯定有连续的采样路径。这里是PRTYsds∈ R++= 1.如果ω∈ Ohm 是这样的[0，T] s 7→ Ys（ω）是连续的，而Yt（ω）∈ R+代表所有t∈ R+，则wehaveRTYs（ω）ds=0当且仅当所有s的Ys（ω）=0∈ [0，T]。使用Barczy等人[5]中定理3.1的证明方法，我们得到了P（RTYs=0）=0，如所需。因此（2.9）遵循概率收敛的性质。

3最大似然估计的存在性和唯一性从本节开始，我们将考虑具有已知非随机初值（y，x）的赫斯顿模型（1.1）∈ R++×R，我们装备Ohm, F、 P随着强化过滤（Ft）t∈R+对应于（Wt，Bt）t∈R+，按照卡拉萨斯和什里夫[27，第5.2节]的规定建造。注意（Ft）t∈R+满足通常条件，即过滤（Ft）t∈R+是右连续的，F包含F中的所有P-零集。设P（Y，X）表示由（Yt，Xt）t导出的概率测度∈在可测空间（C（R+，R+×R），B（C（R+，R+×R）））上，赋予自然过滤（Gt）t∈R+，由Gt给出：=~n-1t（B（C（R+，R+×R）），t∈ R+，式中φt:C（R+，R+×R）→ C（R+，R+×R）是映射φt（f）（s）：=f（t）∧ s） ，s，t∈ R+，f∈ C（R+，R+×R）。这里C（R+，R+×R）表示定义在R+上的R+×R值连续函数集，Db（C（R+，R+×R））是其上的Borelσ-代数。此外，尽管如此∈ R++，设P（Y，X），T:=P（Y，X）| GT是P（Y，X）对GT的限制。3.1引理。让我们∈σ, ∞, b、 α，β∈ R、 σ，σ∈ R++，以及 ∈ (-1, 1). 让（Yt，Xt）t∈R+和（eYt，eXt）t∈R+是初始值为（y，x）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R++×R（ey，ex）∈ R++×R使得（y，x）=（ey，ex），对应于参数（a，b，α，β，σ，σ，)和（σ，0，0，0，σ，σ，), 分别地那么不管怎样∈ R++，度量值P（Y，X），和P（eY，eX），皮重相对彼此是绝对连续的，P（Y，X）的Radon–Nikodym导数，相对于P（eY，eX），T（所谓的似然比）取形式l（Y，X），（eY，eX）T（Ys，Xs）s∈[0，T]= exp（ZTYs）a- 比斯- σα - βYs#s-1“dYsdXs#-中兴通讯“a”- 比斯- σα - βYs#s-1“a- bYs+σα- βYs#ds），其中S在（2.4）中定义。证据

首先需要注意的是，SDE（1.1）可以用矩阵形式“dYtdXt#=”来编写-b 0-β0#“YtXt#+”aα#！dt+pYt“σ” σp1- #“dWtdBt#，t∈ R+。（3.1）还应注意，在条件a下∈σ, ∞, 我们有P（Yt）∈ R++适用于所有t∈ R+=1，例如，参见Revu z和Yor[37]第442页。我们打算使用Liptser和Shiryaev[32]第7.6.4节中的公式（7.139）。我们必须检查他们的条件（7.137），其形式为（3.2）PZTYs“a”- bYsα- βYs#s-1“a- bYsα- βYs#+Ys“σ#s-1“σ#ds<∞!= 1. T∈ R+。这里注意矩阵S是可逆的，因为σ，σ∈ R++和 ∈ (-1, 1). 由于Y几乎肯定有连续的样本路径，条件（3.2）保持ifPZTYsds<∞= 1为所有T∈ R+。（3.3）因为Y几乎肯定有连续的采样路径，而P（Yt∈ R++，T∈ R+=1，我们有∈[0，T]Yt∈ R++）对于所有T=1∈ R+，产生（3.3）。注意，在条件a下∈σ, ∞, Ben Alaya和Kebaier[10]中的定理1和3也暗示了（3.3）。应用Liptser和Shiryaev[32]第7.6.4节中的公式（7.139），我们得到了该声明。我们提请注意，第7.6.4节进水口和Shiryaev[32]也需要条件（4.110）和（4.111），但Liptser和Shiryaev[32]中的Lipschitz条件（4.110）不适用于SDE（1.1）。然而，我们可以在Liptser和Shiryaev[32]中使用公式（7.139），因为他们使用条件（4.110）和（4.111）只是为了确保他们认为第7.6.4条中的SDE具有唯一的强解（见Liptser和Sh iryaev[32]中定理7.19的证明）。根据命题2.1，在当前引理的条件下，SDE（1.1）有一个（路径）唯一强解。

根据引理3.1，在其条件下，对数似然函数满足（1- ) 对数L（Y，X），（eY，eX）T（Ys，Xs）s∈[0，T]=中兴通讯A.- 比斯- σσ-(α - βYs）σ戴斯+-（a）- 比斯- σ)σσ+α - βYsσdXs-中兴通讯（a）- （比斯）- σσ-2.（a）- bYs）（α-βYs）σ+（α- βYs）σds=aZTdYsσYs- dXsσYs+ bZT-dYsσ+ dXsσ+ αZT- dYsσYs+dXsσYs+ βZT dYsσ-dXsσ-aZTdsσYs+abZTdsσ-bZTYsdsσ-αZTdsσYs+αβZTdsσ-βZTYsdsσ+aαZT dsσYs- （bα+aβ）ZT dsσ+bβZTYsdsσ-ZTdYsYs+ZTσdXsσYs+ZTσdsYs=θdT-θθ-ZTdYsYs+ZTσdXsσYs+ZTσdsYs，其中θ：=abαβ, dT:=d（σ，σ，)T（Ys，Xs）s∈[0，T]:=RTdYsσYs- dXsσYsRT-dYsσ+ dXsσRT- dYsσYs+dXsσYsRT dYsσ-dXsσ,AT:=A（σ，σ，)T（Ys，Xs）s∈[0，T]:=RTdsσYs-RTdsσ-RT dsσYsRT dsσ-RTdsσRTYsdsσRT dsσ-RTYsdsσ-RT dsσYsRT dsσRTdsσYs-RTdsσRT dsσ-RTYsdsσ-RTdsσRTYsdsσ.如果我们乘以σ，σ∈ R++， ∈ (-1，1），初始值（y，x）∈ R++×R和T∈ R++，然后概率度量P（Y，X），由（Yt，Xt）t导出∈与参数（a，b，α，β，σ，σ，), 哪里∈σ, ∞, b、 α，β∈ R、 对他人绝对尊重。因此，将哪种度量作为定义模型的参考度量并不重要（我们选择了与参数（σ、0、0、0、σ、σ、，)). 如需了解更多详细信息，请参阅Liptser和Shiryaev[32，第35页]。随机对称矩阵AT可以写成确定对称矩阵和随机对称度量矩阵的Kronecker乘积，即AT=σ-σσ-σσσRTdsYs-RT1-ds-RT1 dsRTYsds.第一个矩阵是严格的正定义。第二个矩阵是严格正定义的，当且仅当frtysdsrtsys>T。