Heston模型极大似然估计的渐近性质

因此，（7.7）左侧随机向量的特征函数采用公式eExp（iuRTdBs）√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdWsRTYsds1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）！=E-（u+u）/2exp（ξT（u，v，v，v）-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)!,式中ξT（u，v，v）：=iuRT√YsdWsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs。按（7.8），适用于所有人（u，v，v，v）∈ R、 E（exp{ξT（u，v，v，v）}）→ Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！（7.9）作为T→ ∞. 利用| exp{ξT（u，v，v）}|=1，我们得到Eexp（ξT（u，v，v，v）-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)!- E（exp{ξT（u，v，v，v）}）6e | exp{ξT（u，v，v，v）}|经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.!= E经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.!→ 0作为T→ ∞,由支配收敛定理，自，由（4.8）和（4.9），exp(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1=exp(-T ebT/2uuEBTRTYTDTRTYT1/2)- 1a。s-→ 0作为T→ ∞,根据柯西-施瓦兹不等式，经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.6 exp（T|uu|RTYtdtRTdtYt1/2）+16 exp{uu}+1对于所有T∈ R++。使用（7.9），我们得出结论（iuRTdBs）√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdWsRTYsds1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）！→ E-（u+u）/2Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！作为T→ ∞. 注意，由于Zis独立于ofeY-1/bandR-1/比尤都，我们有-（u+u）/2Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！=E（eiuZ）E（eiuZ）E（eiuZ）Eexp（iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/beYudu），其中（Z，Z）是二维标准正态分布随机向量，与（Z，eY）无关-1/b，R-1/beYudu），因此我们得到了（7.7），其中Z:=（Z，Z）。最后，我们证明了（7.2）。以类似的方式，到（3.6），我们有ZTYsds1/2（bbT）- b） =T ebT/2（ebTRTYsds）1/2σRTdWs√YsRTdsYs- σRT√YsdWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，以及ZTYsds1/2（bβT- β） =T ebT/2（ebTRTYsds）1/2σRTdWs√YsRTdsYs+σ√1.-RTdsYs1/2RTdBs√YRTdsYs1/2!- σRT√YsdfWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，前提是RTYSDSRTYSDS>T持有a.s。

到（4.8），我们得到了ebT/2ebTRTYsds1/2a。s-→-Vb1/2=0作为T→ ∞,因此，（4.8），（7.3），（7.4），（7.5），（7.6），（7.7），Slutsky引理，连续映射定理和P（eY）-1/b∈ R++=1，P（R）-1/beYudu∈ R++=1（由于P（eYt）∈ R++，T∈ R+=1）接受第二个语句。的确球棒- abαT- αRTYsds1/2（bbT）- b）RTYsds1/2（bβT- β)D-→D-→1.--嗯-1/bbR-1/beYudu电动汽车-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）σeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）-嗯-1/bb1/2eV- （S1/2Z）-嗯-1/bb1/2\"σeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z#- （S1/2Z）作为T→ ∞, 其中S1/2Z=（S1/2Z），（S1/2Z）. 7.2备注。Overbeck[35，定理3]已经推导出了超临界CIR过程中具有非随机和随机标度的BBT的渐近行为。我们还注意到，Ben Alaya和Kebaier[10，定理1，案例3]描述了超临界过程b的MLE的渐近行为，假设a∈ R++是众所周知的。事实证明，在这种情况下，极限分布与我们在（7.1）中得到的不同。7.3推论。在定理7.1的条件下，b和β的极大似然估计是弱相合的，而a和α的极大似然估计不是弱相合的。（还记得早些时候，b的MLE事实上是强一致的，见定理4.4。）证据为了说明a和α的最大似然估计不是弱一致的，它需要说明P（eV 6=0）>0，因为Zis独立于随机向量（eY）-1/b，R-1/beYudu），以及R-1/beYudu>0= 1（见备注2.6末尾）。我们有P（eV=0）=P洛基-1/b- 圆木=A.-σZ-1/beYudu6便士嗯-1/b>y< 1，y在哪里∈ R++。事实上，池田和渡边[24，第222页]，E（E）-λeY-1/b）=1 +σ(-2b）λ-2a/σ，λ∈ R+，亨西-1/bhas伽马分布，参数2a/σ和-2b/σ。附录A连续局部鞅的极限定理下面我们回顾一些连续局部鞅的极限定理。

我们利用这些极限定理来研究（a，b，α，β）的极大似然估计的渐近性质。首先，我们回顾连续局部鞅的强大数定律。A.1定理。（Liptser和Shiryaev[33，引理17.4]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。设（ξt）t∈R+是一个渐进的可测量过程，如PZtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ztξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（A.1）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（A.2）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被放松到可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近性质，参见van Zanten[42，定理4.1]。A.2定理。（van Zanten[42，定理4.1]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P成为满足通常条件的过滤概率空间。Mt（t）∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。假设存在一个函数Q:R+→ Rd×d证明Q（t）是allt的一个不变（非随机）矩阵∈ R+，极限→∞kQ（t）k=0和q（t）hM-itQ（t）P-→ ηη作为t→ ∞,其中η是一个d×d随机矩阵。

然后，对于定义在(Ohm, F、 我们有（Q（t）Mt，v）D-→ （ηZ，v）as t→ ∞,式中，Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。我们注意到，如果函数Q仅在区间[t]上定义，定理A.2仍然成立，∞)用一些t∈ R++。为了推导定理A.2的结果，可以使用下面的引理，这是由于K\'atai和Mogyor\'odi[28]而产生的L emma 3的多维版本，参见Barczy和Pap[8，引理3]。A.3引理。让我们∈R+是一个k维随机过程，使得t将不分布转化为t→ ∞. 让（Vt）t∈R+成为一个l-维随机过程，如VtP-→ 瓦斯特→ ∞, 其中V是一个l-多维随机向量。如果g:Rk×Rl→ RDI是一个连续函数，theng（Ut，Vt）- g（Ut，V）P-→ 0作为t→ ∞.参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.（2008）。闭式似然表达式表示多变量差异。《统计年鉴》36（2）906–937。[2] Ait-Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007年）。随机波动模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》83 413–452。[3] Azen cott，R.和Gadhyan，Y.（2009）。耦合随机动力学的精确参数估计。离散和连续动力系统，A系列。动力系统，微分方程和应用。第七届AIMS会议，美国德克萨斯州阿灵顿，补充l.，44-53。[4] 巴尔多，J。和Platen，E.（2013年）。多维差异的泛函与金融应用。博科尼和斯普林格系列5，查姆斯普林格，博科尼大学出版社，米兰。[5] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2013）。关于临界过程的参数估计。电子统计杂志7647–696。[6] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2014）。网络因子模型的平稳性和遍历性。

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