Heston模型极大似然估计的渐近性质

At的特征值与所讨论的etwo矩阵的特征值的乘积一致（考虑到它们的多重性），当且仅当ifRTYsdsRTdsYs>T时，矩阵ATis严格正定义，在这种情况下，逆A-1具有以下形式（应用身份） B）-1=A-1. B-1） A-1T=σ-σσ-σσσ-1.RTdsYs-T-TRTYsds-1=SRTYsds TTRTdsYs(1 - )RTYsdsRTdsYs- T.因此我们有2（1）- ) 对数L（Y，X），（eY，eX）T（Ys，Xs）s∈[0，T]= -(θ - A.-1TdT）在（θ）- A.-1TdT）+d助教-1TdT- 2ZTYSYS+2ZTσdXsσYs+ZTσdsYs，前提是rtysdsrtdsys>T。回想一下σ，σ∈ R++和 ∈ (-1，1）应该是已知的。然后最大化（1）- ) 对数L（Y，X），（eY，eX）T（Ys，Xs）s∈[0，T]in（a，b，α，β）∈ r根据观测值（Xt）t确定（a，b，α，β）的温度∈[0，T]的形式为bθT=baTbbTbαTbβT= A.-1TdT，前提是rtysdsrtdsys>T。r和dom向量dt可以表示为dt=σ-σσRTDYS-RTdYs+-σσσRTdXsYs-RTdXs.应用id实体（A） B） （C） D） =（交流） （BD），我们可以计算sRTYsds TTRTdsYsdT=sσ-σσRTYsds TTRTdsYsRTDYS-RTdYs+s-σσσRTYsds TTRTdsYsRTdXsYs-RTdXs=\"1 - #RTYSDSRTDYS- T（YT）- y） 尝试- （YT）- y） RTdsYs+\"1 - #RTYsdsRTdXsYs- T（XT- x） TRTdXsYs- （XT）- x） RTdsYs.因此，我们获得baTbbTbαTbβT=DSRTYS- TRTYSDSRTDYS- T（YT）- y） 尝试- （YT）- y） RTdsYsRTYsdsRTdXsYs- T（XT- x） TRTdXsYs- （XT）- x） RTdsYs,（3.4）前提是RTYSDSRTDSYS>T。

事实证明，在计算（a，b，α，β）的最大似然误差时，不需要知道参数σ，σ的值∈ R++和 ∈ (-1, 1).注意，（a，b）的最大似然估计基于观测值（Xt）t∈[0，T]对于赫斯顿模型（Y，X），根据观测值（Yt）T，与（a，b）的最大似然估计相同∈[0，T]关于CIR过程Y，参见，例如，Overbeck[35，公式（2.2）]或Ben Alaya和Kebaier[11，第3.1节]。在下一条评论中，我们指出，（a，b，α，β）的MLE（3.4）可以使用离散时间观测f或X来近似，这可以用于实际应用中，在数据不连续记录不可用的情况下进行重新评估。3.2备注。对于随机积分srtdxsysandrtysin（3.4），我们有（3.5）新界Xi=1Xin-十一-1nYi-1nP-→ZTdXsYsand新界Xi=1Yin- 易-1nYi-1nP-→Ztyssas n→ ∞,根据Jacod和Shiryaev[25]中的P Proposition I.4.44，采用确定性细分的Riemann序列在里面∧ T我∈N、 N∈ N.因此，存在可测函数Φ，ψ：C（[0，T]，R）→ Rsuch thattdxsys=Φ（Xs）s∈[0，T]）和rtdysys=ψ（（Xs）s∈[0，T]），因为（3.5）中的收敛几乎肯定沿着合适的子序列保持，根据注释2.5，（3.5）中的两个序列的成员都是（Xs）s的可测函数∈[0，T]，可以使用达德利[18]中的定理4.2.2和4.2.8。此外，由于Y几乎肯定有连续的采样路径，n新界Xi=1Yi-1na。s-→ZTYsds as n→ ∞, 安德新界Xi=1Yi-1na。s-→ZTDSSYSAS n→ ∞,因此，（3.4）的右侧h和d是（Xs）s的可测量函数∈[0，T]，也就是说，这是一个统计数据。此外，可以定义一个序列（bθT，n）n∈θ=（a，b，α，β）的Nof估计量仅基于离散时间观察（阴，心）i∈{1,...,新界}这样bθT，nP-→bθn→ ∞. 这也被称为完全渐近。这一现象类似于Ait-Sahalia[1]使用的近似MLE，如导言中所述。

使用SDE（1.1）可以检查球棒- 修道院院长- bbαT- αbβT- β=RTYsdsRTdsYs- TRTYSDSRTDYS- T（YT）- y）- aRTYsdsRTdsYs+AttrtDsys- （YT）- y） RTdsYs- bRTYsdsRTdsYs+bTRTYsdsRTdXsYs- T（XT- 十）- αRTYsdsRTdsYs+αTTRTdXsYs- （XT）- x） RTdsYs- βRTYsdsRTdsYs+βT=RTYsdsRTdsYs- TσRTYsdsRTdWs√Y- σTRT√YsdWsσTRTdWs√Y- σRTdsYsRT√YsdWsσRTYsdsRTdfWs√Y- σTRT√YsdfWsσTRTdfWs√Y- σRTdsYsRT√YsdfWs,（3.6）假设RTYSDSRTDSYS>T，其中进程fws:=Ws+p1- B，s∈ R+是标准的维纳过程。下一个引理是关于baT，bbT，bαT，bβT.3.3引理。如果∈σ, ∞, B∈ R、 σ∈ R++，Y=Y∈ R++，然后ZTYsdsZTYsds>T= 1为所有T∈ R++，（3.7），因此，假设α，β∈ R、 σ∈ R++， ∈ (-1，1），X=X∈ R、 存在一个独特的MLEbaT，bbT，bαT，bβT尽管如此，T∈ R++。证据首先注意P（Yt∈ R++适用于所有t∈ R+=1，在Lemma3的发布中有详细说明。1.我们有P（RTYsds<∞) = 1为所有T∈ R+，因为Y几乎肯定有连续的轨迹，而且P（RTYsds<∞) = 1乘（3.3）。每个T∈ R++，p utAT:={ω∈ Ohm : t 7→ Yt（ω）在[0，T]}上是连续且正的。然后在∈ F、 P（AT）=1，对于所有ω∈ 根据柯西-施瓦兹不等式，我们有ztys（ω）dsZTYs（ω）ds∈ [T，∞),仅当KT（ω）Ys（ω）=LT（ω）Ys（ω）对于几乎每个s∈ [0，T]与一些KT（ω），LT（ω）∈ R+KT（ω）+LT（ω）∈ R++。显然，KT（ω）=0意味着LT（ω）=0，因此KT（ω）6=0和Ys（ω）=LT（ω）KT（ω）几乎每个月1/2∈ [0，T]。HenceYs（ω）=yF代表所有s∈ [0，T]如果ω∈ ATandRTYs（ω）dsRTYs（ω）ds=T。

由于确定性过程的二次变化是同零过程，因此二次变化过程（hY it）t∈[0，T]of（Yt）T∈[0，T]在eventAT上应为相同的零∩ω ∈ Ohm :ZTYs（ω）dsZTYs（ω）ds=T.因为hY it=σRtYsds，t∈ R+，对于所有t，我们有rtys（ω）ds=0∈ [0，T]在活动中∩ω ∈ Ohm :ZTYs（ω）dsZTYs（ω）ds=T.然而，nω∈ Ohm :t=0ω, 从t 7开始→ Yt（ω）是连续的，并且对于所有ω在[0，T]上为正∈ 在因此，由于P（AT）=1，我们有PRTYsdsRTYsds=T= 04最大似然估计的一致性首先我们考虑了次临界赫斯顿模型的情况，即当b∈ R++.4.1定理。如果b∈ R++，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，则（a，b，α，β）的极大似然估计是强相合的，即。，baT，bbT，bαT，bβTa、 美国。-→ （a，b，α，β）asT→ ∞, 每当∈σ, ∞, 它是弱一致的，即。，baT，bbT，bαT，bβTP-→ （a，b，α，β）作为T→ ∞, 每当a=σ时。证据在这两种情况下，我们都必须显示坐标收敛。因此，对于几乎确定的收敛性，可以使用四个事件与概率1的交集是一个概率为1的事件，对于概率收敛性，可以使用van der Vaart[40，定理2.7，第（vi）部分]。根据引理3.3，存在唯一的极大似然估计baT，bbT，bαT，bβT（a，b，α，β）对于所有T∈ R++，其形式如（3.4）所示。通过（3.6），我们得到了bαT- α=σ·RTdfWs√YsRTdsYs-σTRTdsYs·RT√YsdfWsRTYsds1-TRTYsds·TRTdsYs（4.1）提供了RTYSDSRTDSYS>T（意味着RTYSDSRTDSYS∈ 首先我们考虑a的情况∈σ, ∞. （a，b）的极大似然估计的强相合性已由Overbeck[35，定理2，第（ii）部分]证明。

根据定理2.4第（i）部分，E（Y）∞) =阿班德Y∞=2b2a-σ、 因此，定理2.4的第（三）部分是指Tztysdsa。s-→ E（Y）∞) 和TZTDSYSA。s-→ EY∞作为T→ ∞.（4.2）此外，由于E（Y∞), EY∞∈ R++，（4.2）yieldsZTYsdsa。s-→ ∞ 还有Ztdsysa。s-→ ∞ 作为T→ ∞.应用连续局部鞅的强大数定律（例如，见定理a.1），我们得到了bαT- αa.s。-→σ· 0 -σ2b2a-σ· 01 -ab·2b2a-σ=0作为T→ ∞,我们还使用了，由于σ，上面的分母不是零∈ R++。接下来我们考虑a=σ的情况。（a，b）的极大似然估计的弱相合性来自Ben Alaya和Kebaier[11]中定理7的第1部分。我们又有了E（Y）∞) =ab∈ R++，意味着Tztysdsa。s-→ E（Y）∞) 和Ztysda。s-→ ∞ 作为T→ ∞.（4.3）由于Ben Alaya和Kebaier[10，提案4]，我们有TZTDsysd-→ τas T→ ∞,（4.4）式中τ：=inf{t∈ R++：Wt=bσ}，采用标准维纳过程（Wt）t∈R+。自P（τ）∈R++=1，我们得出结论RTDSYS=TTRTdsYsD-→ 0·τ=0作为T→ ∞,因此，（4.5）TRTdsYsP-→ 0作为T→ ∞,这意味着alsoRTdsYs=TTRTdsYsP-→ 0作为T→ ∞.因为函数R++ T 7→rtdsysa单调递减，我们得到了rtdsysa。s-→ 0和ztdsysa。s-→ ∞ 作为T→ ∞.利用（4.1）和连续局部鞅的强大数定律（见定理1），我们得到了bαT- αP-→σ· 0 - 0 · 01 -ba·0=0作为T→ ∞.由于（4.5），这里我们只有概率收敛。通过（3.6），我们得到了bβT- β=σTRTYsds·RTdfWs√YsRTdsYs- σ·RT√YsdfWsRTYsds1-TRTYsds·TRTdsYs（4.6）提供了RTYSDSRTDSYS>T（意味着RTYSDSRTDSYS∈ 首先我们考虑a的情况∈σ, ∞. 再次应用连续局部鞅的强大数定律（如定理a.1），我们得到了bβT- βa.s。-→σE（Y）∞)· 0- σ· 01 -E（Y）∞) EY∞= 0作为T→ ∞,我们还使用了，由于σ，上面的分母不是零∈ R++。接下来我们考虑a=σ的情况。

利用（4.5）和（4.6），我们得到了bβT- βP-→σE（Y）∞)· 0- σ· 01 -E（Y）∞)· 0=0作为T→ ∞.为了处理su percritical Heston模型∈ R--, 由于Dietz和Kutoyants[17]，我们需要Toeplitz引理的以下完整版本。让{~nT:T∈ R+}是R+上的一系列概率测度，使得所有T的φT（[0，T]）=1∈ R+，和limT→∞对于所有K，φT（[0，K]）=0∈ R++。对于每个有界可测函数f:R+→ R的极限为f(∞) := 极限→∞f（t）存在，我们有极限→∞Z∞f（t）~nt（dt）=f(∞).作为一个特例，我们有以下Kronecker引理a的完整版本，参见K¨uchler andSorensen[30，引理B.3.2].4.3引理。让a:R+→ R+是一个可测量的函数。放置b（T）：=RTa（T）dt，T∈ R+。假设limT→∞b（T）=∞. 然后对于每个有界可测函数f:R+→ R的极限为f(∞) := 极限→∞f（t）存在，我们有极限→∞b（T）ZTa（T）f（T）dt=f(∞).下一个定理说明了超临界情况下b的极大似然估计的强相合性。O verbeck[35，定理2，第（i）部分]包含了CIR过程的这一结果，并给出了一个稍微不完整的证明。4.4定理。如果∈hσ，∞, B∈ R--, α, β ∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈ R++×R，那么b的MLE是强相合的，即bbTa。s-→ b as T→ ∞.证据根据引理3.3，对于所有T，存在唯一的e MLEbbTof b∈ R++的格式如（3.4）所示。首先我们检查日期（Yt | FYs）=E（Yt | Ys）=E-b（t）-s） Y+Azze-b（t）-u） 都是哑巴∈ R+与0 6 s 6 t，其中fysde表示σ-代数σ（{Yu，u∈ [0，s]}）。第一个等式源自过程（Yt）的马尔可夫性质∈R+。第二个等式是马尔可夫过程Y和E的时间齐性序列Yt |（Y，X）=（Y，X）= E-bty+aZte-b（t）-u） 杜特∈ R+，适用于所有（y，x）∈ R+×R，来自命题2.2。

因此（ebtYt | FYs）=ebsYs+Azzebudu>ebsYs适用于所有s，t∈ R+与0 6 s 6 t，因此，过程（ebtYt）t∈R+是关于过滤（FYt）t的非负次鞅∈R+。此外，E（ebtYt）=y+aZtebudu 6 y+aZ∞ebudu=y-ab<∞, T∈ 因此，根据次鞅收敛定理，存在一个非负的随机变量Vsuch thatebtYta。s-→ V as t→ ∞.（4.7）注意V的分布与Ey的分布一致-1/b，wher e（eYt）t∈R+是由SDEdeYt=adt+σqeYtdWt，t给出的过程∈ R+，初始值EY=y，其中（Wt）t∈R+是标准的维纳过程，见本·阿拉亚和凯拜尔[10，命题3]。因此，P（V∈ 由于P（eYt），R++=1∈ R++，T∈ R+=1。如果ω∈ Ohm使R+ t 7→ Yt（ω）是连续的，ebtYt（ω）→ V（ω）as t→ ∞, 然后，通过积分Kronecker引理4.3，f（t）=ebtYt（ω）和a（t）=e-英国电信∈ R+，我们有-布杜兹-bu（ebuYu（ω））du→ V（ω）as t→ ∞.赫里特-布杜=e-英国电信-1.-b、 t∈ R+，因此我们得出结论。s-→ -Vbas t→ ∞.（4.8）此外，ZtduYua。s-→Z∞杜尤亚斯t→ ∞,（4.9）其中∞杜尤德=R-1/beYudu，见Ben Alaya和Kebaier[10，提案4]。因此，P（R∞杜宇∈ 由于P（eYt），R++=1∈ R++，T∈ R+=1。自P（Yt）∈ R++适用于所有t∈ R+=1，我们可以将I^o的rule应用于函数f（x）=logx，x∈ R++，其中f′（x）=1/x，f′（x）=-1/x，x∈ R++，我们得到logyt=logy+ZtdYsYs-σZtdsYs，t∈ R+，（4.10）表示所有b∈ R、 见von–zsacker[1.43]定理。使用（3.4）和（4.10），我们得到bbt=trtdysrtysdsrtdsys-YT-yRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs=T（对数YT-日志y）RTYsdsRTdsYs-YT-Y-σTRTYsds1-TRTYSDSRTDSYS提供了RTYSDSRTDSYS>T（意味着RTYSDSRTDSYS∈ R++）持有a.s.应用（4.7），（4.8）和（4.9），我们得出结论EBBT=T ebTlog（ebTYT）-bTebT-T ebTlog y（ebTRTYsds）RTdsYs-艾伯特-埃比-σT ebtebtrysds1- TebT（ebTRTYsds）RTdsYsa。s-→0·logv-0-VbR∞dsYs-五、-0-Vb1- 0 ·-VbR∞dsYs=bas T→ ∞. 4.5备注。

对于次临界（即b∈ R++）带有∈σ, ∞, Over beck[35，Theorem2，part（ii）]证明了（a，b）的极大似然估计的强相合性。对于次临界（即b∈ R++）CIRW模型a=σ，则（a，b）的极大似然估计的弱相合性来自于Ben Alaya和Kebaier[11]中定理7的第1部分。4.6备注。对于具有∈σ, ∞, （a，b）定理的弱一致性来自Overbeck[35]中的定理2（iii）或Ben Alaya和Kebaier[11]中的定理6。对于具有∈ (σ, ∞), （a，b，α，β）的极大似然估计的弱相合性是定理6.2的一个序列。4.7备注。对于超临界（即b∈ R--) 具有∈σ, ∞, Overbeck[35，定理2，第（i）部分和第（v）部分]证明了b的最大似然估计是强一致的，然而，a的估计是非常一致的。另见Ben Alaya和Kebaier[11，Theorem 7，第2页]。对于超临界Heston模型∈σ, ∞, 结果表明，a和α的极大似然估计不是弱一致的，但β的极大似然估计是弱一致的，见定理7.1。5极大似然估计的渐近行为：亚临界情形我们考虑亚临界赫斯顿模型，即当∈ R++.5.1定理。如果∈σ, ∞, B∈ R++，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈ R++×R，则（a，b，α，β）的极大似然估计是渐近正态的，即。，√T球棒- 修道院院长- bbαT- αbβT- βD-→ N0，S2b2a-σ-1.-1ab-1.作为T→ ∞,（5.1）其中第（2.4）条定义了S。通过随机缩放，我们得到RTdsYs1/2I“RTdsYs-TRTYsdsRTdsYs- T1/2#!球棒- 修道院院长- bbαT- αbβT- βD-→ N（0，S） 一） （5.2）作为T→ ∞.证据根据引理3.3，存在一个非唯一的极大似然估计baT，bbT，bαT，bβT（a，b，α，β）对于所有T∈ R++，其形式如（3.4）所示。

到（3.6），我们已经√蝙蝠- a） =TRTYsds·σ√TRTdWs√Y-σ√TRT√YsdWsTRTYsds·TRTdsYs- 1.√T（bbT- b） =σ√TRTdWs√Y-TRTdsYs·σ√TRT√YsdWsTRTYsds·TRTdsYs- 1.√T（bαT）- α） =TRTYsds·σ√TRTdfWs√Y-σ√TRT√YSDFWSTRYSDS·TRTdsYs- 1.√T（bβT- β) =σ√TRTdfWs√Y-TRTdsYs·σ√TRT√YSDFWSTRYSDS·TRTdsYs- 如果RTYSDSRTYSDS>T持有a.s，√T球棒-修道院院长-bbαT- αbβT- β=TRTYsds·TRTdsYs- 1I“TRTYsds 1TRTdsYs#”！√TMT=我“TRTdsYs-1.-1RTYSDS#-1.√TMT，其中MT：=σRtdWs√Y-σRt√YsdWsσRtdfWs√Y-σRt√YsdfWs, T∈ R+。接下来，我们展示√TMTD-→ ηZ为T→ ∞,（5.3）其中Z是一个四维标准正态分布随机向量，η∈ R4×4使得ηη= sEY∞-1.-1 E（Y）∞).这里右边的两个对称矩阵是正定义的，因为∑∑（1- ) ∈ R++和EY∞E（Y）∞) - 1=σ2a- σ∈ 例如，可以选择η作为所讨论的两个矩阵的Kronecker乘积的唯一定义的对称正定义平方根。过程（Mt）t∈R+是一个具有二次变化过程HMIT=S的四维连续局部鞅“RtYsds-T-tRtYsds#，t∈ R+。根据定理2.4，我们得到了q（t）hM-itQ（t）a、 美国。-→ sEY∞-1.-1 E（Y）∞)作为t→ ∞带Q（t）：=t-1/2I，t∈ R++。因此，定理A.2得出（5.3）。

然后Slutsky引理产生√T球棒- 修道院院长- bbαT-αbβT- βD-→我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.ηZD=N（0，∑）作为T→ ∞,其中（应用身份） B）= A. B和（A） B） （C） D） =（交流） （BD）∑：=我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.sEY∞-1.-1 E（Y）∞)我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.= （ISI）EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.EY∞-1.-1 E（Y）∞)EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.= sEY∞-1.-1 E（Y）∞)-1，它产生（5.1）E（Y∞) =阿巴德EY∞=2b2a-σ.Slutsky引理与（5.1）屈服RTdsYs1/2I“RTdsYs-TRTYsdsRTdsYs- T1/2#!球棒- 修道院院长- bbαT- αbβT- β=TRTdsYs1/2I“TRTdsYs-1.TRTYsds·TRTdsYs-1.1/2#!√T球棒-修道院院长-bbαT- αbβT- βD-→EY∞1/2I“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!N0，S“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1.D=N（0，∑）作为T→ ∞,其中（应用身份） B）= A. B和（A） B） （C） D） =（交流） （BD）∑：=EY∞我“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!s“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1.×I“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!=EY∞（ISI）“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1英寸EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#= s 一、 自从“E”Y∞-1.-1 E（Y）∞)#=EY∞“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞-1.1/2#.因此我们得到（5.2）。5.2备注。对于次临界（即b∈ R++）CIR模型，对于（a，b）的MLE，Ben Alaya和Kebaier[11，定理5和7]在∈σ, ∞, 当a=σ时，导出了具有非正态极限分布的阿利米特定理。对于次临界（即b∈ R++）CIR模型，对于（a，b）的最大似然估计，具有随机标度，Overbeck[35，定理3（iii）]显示了共正态性。6极大似然估计的渐近行为：临界情况我们考虑临界赫斯顿模型，即当b=0时。首先我们给出一个辅助引理。6.1引理。映射C（R+，R） F7→Rtf（u）duT∈R+∈ C（R+，R）是连续的，可度量的，其中C（R+，R）表示定义在R+上的实值连续函数集。证据