金融危机的双重级联模型

边`=（vw）的类型（k，j）=（k`，j`）是借方银行v的向外度k`=kv和贷方银行w的向内度j`=jwo，我们写`∈ Ekj。银行股本或净值v=最大值（AFv+AIBv+ALv-LDv-bankv的LIBv（0）包含有限责任，该有限责任假设银行必须违约，并在其破产时强制清算，即其负债超过其资产。因此vcan可以被解释为银行的违约缓冲，必须始终保持积极，以避免违约。银行也担心负债挤兑的可能性，并试图保持流动资产（如现金和政府债券）的正缓冲，此后称为压力缓冲∑，这是支付债权人要求的首选资产类别。将∑v完全耗尽为零的v组称为应力。这并不意味着银行缺乏流动性，无法满足债权人的要求。相反，这意味着银行在满足这些需求方面正经历着巨大的压力，必须转向其他资产，首先是银行间资产，然后是固定资产，以实现所需的现金。不可转售假设意味着，只要有偿付能力，压力较大的银行总是履行其付款义务。银行间负债和资产构成双边银行间反向惯例，箭头指向债权人和债务人。暴露。对于任何银行v及其债权人w∈ N+v，我们用Ohmv w对v的总暴露量。然后我们有一个约束条件SabV=Xw∈N-五、Ohmwv；LIBv=Xw∈N+vOhm大众。（2.1）在危机爆发之前，假设所有银行都处于正常状态。然后，在n=0的那一天，一群银行，可能是所有的银行，被认为经历了最初的冲击。有两种初始冲击是可能的。

首先，资产冲击会导致固定资产组合的市值下跌，并降低违约率。如果资产下行冲击导致 ≤ 0，银行必须违约。第二种冲击是外部储户的需求冲击，它降低了压力。如果需求冲击导致∑≤ 0，银行变得紧张起来。时机和银行行为假设：c1。在危机之前，所有银行都处于正常状态，既没有压力也没有破产。危机在最初的冲击触发一家或多家银行的违约或压力后的第0天开始；2.资产负债表每天按市价重新计算，银行每天根据新计算的资产负债表进行响应。在整个危机期间，所有外部现金流、利息支付以及资产和负债价格的变化都被忽视。3.无力偿债的银行，其特征是： = 0，被监管机构强制清算。目前，每个债权银行都有义务将其违约风险减记至零，从而经历偿付能力冲击，从而降低其违约率.4.被定义为∑=0的非违约银行的受压力银行，在其受到压力时，通过将其银行间资产减至（1）只会做出一次反应-λ） 在危机期间，所有银行都将λ视为固定常数。为此，它召回了一小部分银行间贷款，从而将压力冲击传递给了每家债务银行的负债。由于无过错的银行能够支付其所有债务，此类被召回的贷款将全额偿还。5.当破产受托人收回其所有银行间贷款时，新违约银行也会对其每家借方银行触发最大压力冲击（即λ=1），将AIBto降至0；6.

压力冲击会降低任何银行的压力缓冲∑，压力银行会一直保持压力，直到级联结束或违约。像每天一样多走几步只是帮助理解。备注1。Gai、Haldane&Kapadia（2011）引入了压力参数λ，以简化银行对流动性压力的反应，并捕捉流动性囤积的影响。我们假设银行通过选择λ来对压力做出强烈反应∈ [0.4,1]，以捕捉他们囤积流动性以预先满足危机后期进一步应对的需要的画面。与违约不同，银行可以自由设定其对流动性的反应：λ和压力缓冲区的大小∑都是银行自己的政策决定。在一个更现实、更复杂的模型中，λ将内生地为每家银行确定，反映其负债的累积需求。根据这些假设得出的级联动力学是一致的。这意味着，只要双方都有偿付能力，每笔交易都会涉及四个相等且相反的资产负债表调整：对双方的资产和负债进行调整。

这种动态也具有完全由一组简化的资产负债表数据决定的特性，这些数据是由一系列缓冲因素组成的, ∑和银行间风险敞口Ohm.我们现在将级联规则应用于危机发生第0天发现的金融网络，其初始状态由以下元素描述：银行间链接，其在银行集合v上形成有向图E∈ N，称为骨架；副手v、 ∑vfor nodes v∈ N曝光率呢Ohm用于边缘的vw`=（vw）∈ E.在n个级联步骤后，我们确定Dn、违约银行集、Sn、n个步骤后处于压力下的未违约银行集，以及Dcn∩SCN包含未发生故障、未受压力的银行。在我们的模型中，银行在危机期间不会从违约或压力中恢复，因此序列{Dn}n∈Nand{Dn∪Sn}n∈奈尔不递减。如果说v银行在第n步违约，意味着违约冲击了第n步- 1超过其默认值。br:Dn:={v=0}表示n=0nv | Pw∈N-五、Ohmwvξ（n）-1） wv≥ 沃恩≥ 1，（2.2）其中变量ξ表示各种默认冲击v的分数大小。类似地，对于任何上游邻居w∈ N-v、 我们说v在步骤n中被默认，而不考虑w和写v∈ Dn6r w条件下的Dn6r w：={v=0}∩ N+W或N=0nv∈ N+w | Pv∈N-v\\wOhmvvξ（n）-1） vv≥ 沃恩≥ 1.（2.3）最后，说v在步骤n中被强调，意味着它还没有被默认，对于任何集合B，bc表示其补码。对于某些条件P定义的事件，例如v∈ Dn，该事件的指示符函数被写入（P）。压力冲击到第n步- 1.超过压力缓冲，即。

Sn=Dcn∩^Sn其中^Sn：=n=0nv | Pw的{∑v=0}∈N+vOhmvwζ（n）-1） 大众汽车≥ ∑von≥ 1，（2.4）其中变量ζ表示影响v的应力冲击的分数大小。考虑到当v受到压力时，它减少了银行间的风险敞口，我们可以看到n≥ 1分数ξ（n）由ξ（n）wv粗略给出：=ξ（n）-1） 当∈ Dn-1.∪ 当w∈ Dn\\Dn-1和v∈^Scn-11- λ当w∈ Dn\\Dn-1和v∈^Sn-1，（2.5）初始值ξ（0）wv=（w∈ D） 。同样，考虑到违约债权人传递最大压力影响的假设，而压力债权人只传递银行间风险敞口的一小部分λ的压力冲击，一个代表n≥ 0ζ（n）vw：=w时为0∈^Scn∩ （Dcn6r v）λ当w∈^Sn∩ （Dcn6r v）1当w∈ Dn6r v。（2.6）读者会好奇地看到（2.6）中的6r条件。其基本原理是，6r条件明确消除了明显的反馈，其中，在步骤n中，w对v的应力冲击似乎取决于步骤n中v的默认状态- 2.这种反馈是明显的，而不是真实的，因为对违约银行的任何压力冲击都是不可能的。上述公式完全描述了系统到自身的级联映射。当在N家银行的网络上采取行动时，该映射达到了代表危机结束的固定点，最多2N步。接下来的两个部分将致力于推导这种双重级联映射的两个概率版本：第一个用于具有随机骨架的网络，第二个用于具有固定骨架上的随机资产负债表的网络。具有随机骨架的3个网络随机金融网络的我们的模型有三层结构：骨架（一个随机有向图（N，E））；Buff随机变量v、 ∑v，v∈ 和随机曝光Ohm`, ` ∈ E

我们给出了这些随机变量分布性质的完整说明。骨架（N，E）是赫德（2016）研究的类型的随机定向分类配置图（ACG），概括了Bender&Can Field（1978）和Bollob\'as（1980）引入的著名无向配置随机图模型。模型由N参数化，节点和边类型分布Pjk=P[v∈ `qnj=kj]，kj∈ Ekj]，j，k≤ K（3.1），其中为了简单起见，我们假设入度和出度j，K由常数K限定。P和Q可以被视为具有边缘的二元分布：P+K:=XjPjk，P-j:=XkPjk，Q+k:=XjQkj，Q-j:=XkQkj。（3.2）分类性定义为Q的皮尔逊相关性，被认为是一个双变量概率分布。几项关于真实金融网络的研究，尤其是Bech&Atalay（2010），强调了观察到的负面分类的事实和相关性。定义1（ACG结构）。如果：z:=XjjP，则节点和边型概率lawsP，Q是一致的-j=XkkP+k，Q+k=kP+k/z，Q-j=jP-j/z，为了所有的j，k≤ K.（3.3）给定一致的数据N，P，Q，一个具有N个节点的随机图（N，E）按如下方式抽样：1。绘制N个节点类型对X=（（j，k），…）的序列，（jN，kN））独立于P，当且仅当可行时才接受提款，即Pv∈Njv=Pv∈这定义了将产生的边数E。使用kvout存根（每个out存根是带有out箭头的半边，用其度kv标记）和jvin存根（用其等级jv标记）标记vth节点。确定部分sumsu-j=Xv（jv=j），u+k=Xv（kv=k），ujk=Xv（jv=j，kv=k），（3.4）e+k=ku+kof k-stub的数量（k度的外stub）和j-stub的数量（j度的内stub），e-j=ju-j、 二,。以步骤1的结果X为条件，选择任意顺序`-和“+”的E-in-stub和E-out-stub。

通过选择一对排列σ、~σ来选择边的匹配序列或“连线”∈ 这决定了边缘序列`=(`-= σ（`），`+=~σ（`））用`∈ E、 它附有一个概率加权工厂`∈EQkσ（`）j~σ（`）。（3.5）ACG模拟算法定义了所需的随机图类别，但不可行，因为步骤1中的接受条件很少实现，并且在步骤2中绘制随机排列是不切实际的。Hurd（2016）的论文提出了一种近似模拟算法，在实践中似乎效果良好。非负默认值会影响随机变量v、 五∈ N表示银行初始违约概率pv的x=0点质量。我们假设v仅在类型（j，k）上使用，并具有以下形式：Djk（x）=P[五、≤ x | v∈ Njk]；ddxDjk（x）：=pjkδ（x）+djk（x）。（3.6）其中djk（x）≥ 0是一个带有r的特定函数∞djk（x）dx=1- pjk。类似地，应力∑vh是x=0时的点质量，代表该银行的初始应力概率qv和仅取决于其节点类型（j，k）的分布函数。因此，节点v的应力分布函数∈ njk具有以下形式：Sjk（x）=P[∑v≤ x、 五/∈ D | v∈ Njk]；ddxSjk（x）：=qjkδ（x）+sjk（x）。（3.7）其中sjk（x）≥ 0是一个带有r的特定函数∞sjk（x）dx=1- pjk- qjk。暴露随机变量Ohm`, ` ∈ E为正（即，权重为零的概率为零），且其分布仅取决于边类型（k，j）。这些可以通过分布函数wkj（x）=P来指定[Ohm`≤ x | `∈ Ekj]；ddxWkj（x）=wkj（x）。

（3.8）最后，以随机骨架（N，E）为条件，随机变量的集合{v、 ∑v，Ohm`} 被认为是相互独立的。Hurd（2016）证明，必须定义的随机网络上的概率测度具有一个称为局部树状独立性（LTI）的属性，扩展了配置图的众所周知的局部树状属性，即任何固定长度的循环随着固定P的节点数变为有限，以渐近零密度发生，问：接下来的概率分析基于这种扩展的独立性，即N→ ∞:局部树状独立性（LTI）特性：考虑由随机变量集合（N，E，, Σ, Ohm). 莱恩 N是恰好共享一个节点N的任意两个子集∩ N={v}和letX，Xbe任意一对随机变量，其中每个i=1，2，xi由Ni上的信息决定。然后X和X是条件独立的，以信息为条件v、 ∑v，jv，kv位于节点v处。我们现在提出的级联映射是基于观察到的概率，如P[v]∈ 依赖于nodev的n阶邻域的Dn]可以根据一阶相邻节点和v的边在步骤n处的状态概率迭代地近似- 1.这种方案的准确性取决于v的这些一阶近邻的状态之间的依赖程度。在理想情况下，根本没有依赖性，级联映射是精确的。

在我们目前的模型中，这些邻居之间有两个剩余依赖的来源，我们的近似相当于忽略了这个剩余依赖。让我们定义（n）jk=P[v∈ Dn | v∈ Njk]，q（n）jk=P[v∈ Sn | v∈ Njk]，ep（n）jk=P五、∈ Dn6r w | v∈ Njk∩ N+w,bq（n）jk=Phv∈^Sn|v∈ Njki。（3.9）式中，p（n）jk是指（j，k）-节点在时间n之前违约的概率，q（n）jk是指（j，k）-节点在时间n受到应力的概率，ep（n）jk是指（j，k）-节点在时间n之前违约的概率，而不考虑其相邻节点之一，而bq（n）jk是指（j，k）-节点在时间n满足应力条件（2.4）的概率。我们的目标是计算p（n）jk，bq（n）jk）jk，ep（n）jk，加上辅助量t（n）kj=Phξ（n）wv=1 |（w，v）∈ Ekji，（3.10）在n上递归。定义（n）k=P[v也很方便∈ Dn | kv=k]=Xjp（n）jkPj | k，ep（n）j=P[v∈ Dn6r w | jv=j，v∈ N+w]=Xkep（N）jkPk | j，（3.11）bq（N）j=P[v∈^Sn | jv=j]=Xkbq（n）jkPk | j，其中Pj | k:=PjkP+k，Pk | j:=PjkP-j、 我们的计算将基于两个事实。第一个是，如果X，Y是两个独立的随机变量，具有概率密度函数fX（X）=fX（X），fY（Y）=fY（Y），那么p[X≥ Y]=E[（X）≥ Y）]=ZRZR（X≥ fX（x）fY（Y）dxdy=ZRFY（x）fX（x）dx=DFY，fXE。（3.12）一般来说，R上的厄米内积定义为hf，gi=R∞-∞\'f（x）g（x）dx，但在这里，两个操作数都是实函数，共轭运算符消失。第二个事实是，如果X，X，····，X是n个独立的随机变量，具有Pdfs fXi，那么X=X+X+···+X的和的PDF是卷积fX=fX~fX~················································- y） 迪。

对于卷积幂，我们写~nk=1fX=f~nX。下面的级联映射为n提供了一组封闭的递归公式≥ 1从p（0）jk=ep（0）jk，bq（0）jk，t（0）kj=p（0）kd开始，由初始冲击和应力概率确定。级联映射：对于任意n≥ 1，假设p（n）-1） jk，bq（n）-1） jk，ep（n）-1） jk，t（n）-1） 克雅勒克诺恩。级联映射递归地给出了p（n）jk，bq（n）jk，ep（n）jk，t（n）jk的量=Djk，g（n）-1） j~J, （3.14）ep（n）jk=Djk，g（n）-1） j~J-1., （3.15）bq（n）jk=Sjk，h（n）-1） k~K, （3.16）t（n）kj=t（n）-1） kj+（p（n）k- p（n）-1） k）（1）- bq（n）-1） j），（3.17），其中Djkand Sjkare分别在（3.6）和（3.7）中定义，我们使用（3.11）来计算p（n-1） k，bq（n）-1） j，ep（n）-1） j.此外，应力概率q（n）由1确定- q（n）jk- p（n）jk=p[v∈^Scn∩ Dcn | v∈ [Njk]=1.- n（jk）bq1.-Djk，~g（n）-1） j~J. （3.18）这些公式中的概率分布函数也是递归计算的：g（n-1） j（x）=Xkh（1）- p（n）-1） k）δ（x）+t（n）-1） kjwkj（x）+（p（n-1） k- t（n）-1） kj）·1- λwkj（x/（1）- λ） i·Qk | j，（3.19）h（n）-1） k（x）=Xjh（1）- bq（n）-1） j）（1）- ep（n）-1） j）δ（x）+ep（n-1） jwkj（x）+bq（n）-1） j（1）- ep（n）-1） j）·λwkj（x/λ）i·Qj | k，（3.20）~g（n）-1） j（x）=Xkh（1）- p（n）-1） k）δ（x）+p（n）-1） kwkj（x）i·Qk | j（3.21），Qk | j=QkjQ-j、 Qj | k=QkjQ+k.正义：为了证明（3.14），我们需要假设随机变量的集合Ohmwvξ（n）-1） 不同的w∈ N-变量是相互独立的。然而，依赖性有两个来源：第一个来源是由于骨架中的循环导致的有限元素的Ti性质的通常破坏，第二个来源是该模型的特殊性，它依赖于v是否在Sn中-1.我们的近似是忽略依赖的两个来源，允许使用（3.12）给出P（n）jk=P[五、≤Xw∈N-五、Ohmwvξ（n）-1） wv | v∈ [Njk]=Djk，g（n）-1） j~J. （3.22）其中：-1） j（x）=XkQk | jddxP[Ohmwvξ（n）-1） wv≤ x | v∈ Njk，w∈ N-v、 千瓦=k]。