金融危机的双重级联模型

（3.23）在以下条件下：∈ Njk，w∈ N-v、 kw=k，事件{ξ（n-1） wv=0}，{ξ（n）-1） wv=1}，{ξ（n）-1） wv=1- λ} 有条件概率1-p（n）-1） k，t（n）-1） kj，（p（n）-1） k-t（n）-1） kj），并且这三个事件有条件地取决于Ohm使用LTI财产。这些事实导致（3.19）。为了验证（3.15），我们使用（2.3）而不是（2.2），并遵循相同的步骤。为了验证（3.16），我们使用（2.4）、（3.9）和（3.12）给出公式bq（n）jk=P[σv≤Xw∈N+vOhmvw^ζ（n）vw|v∈ [Njk]=Sjk，h（n）-1） k（x）~K（3.24）其中-1） k（x）=XjddxP[Ohmvw^ζ（n）-1） 大众汽车≤ x | v∈ Njk，w∈ N+v，jw=j]Qj | k.（3.25）要验证（3.20），请注意，在kv=k，w的条件下∈ N+v，jw=j，事件{^ζ（N-1） vw=0}，{^ζ（n）-1） vw=1}，{^ζ（n）-1） vw=λ}等价于事件{w∈^Scn-1.∩Dcn-16r v}，{w∈ Dn-16r v}，{w∈ 锡-1} 因此具有条件概率（1- bq（n）-1） j）（1）- ep（n）-1） j）、ep（n）-1） j，bq（n）-1） j（1）- ep（n）-1） j）分别。为了验证（3.17），我们再次应用LTI性质来计算不相交并{ξ（n）wv=1}={ξ（n）的条件概率-1） wv=1}∪ {w∈ Dn∩ Dcn-1，v∈^Scn-1} 定义为（2.5）。最后，为了验证（3.18），我们注意到^Scn∩Dcn=^Scn∩{v> 嗯∈N-五、Ohmwv{w∈Dn-1}}.根据LTI，后两个事件独立于v∈ Njk，以及所需的公式结果，通过以下步骤进行证明（3.14）。备注2。我们从这个论点中看到，级联映射有两个错误来源。第一种是由骨架中的循环引起的，导致LTI属性发生有限大小的修正，这是常见的，并且已知其行为类似于O（N）-1） 当网络大小N增长到in fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi。

第二个错误来源不太常见，源于依赖性，因为假设影响v的违约冲击因因素1而减少- λ当v受到应力时，也就是说，它们取决于v是否受到应力。这个级联映射的迭代收敛为n→ ∞ 一组固定的概率，代表级联结束时系统的最终状态。这些最终概率可用于衡量危机的总体影响。例如，最终违约和压力银行的预期数量为违约银行的预期数量=NXjkPjkp(∞)jk=NXkP+kp(∞)k（3.26）压力银行的预期数量=NXjkPjkq(∞)jk。（3.27）4具有固定骨架的网络本节的目标是推导出描述网络上双级联的近似概率公式，其中骨架实际上是已知的（确定性的）和有限的，而干扰和权重是随机的。这一分析将使我们能够在实际观察到的金融网络的可处理模型中解决系统性风险，而无需蒙特卡罗模拟。设A=Avv，v，v∈ N是有向图（N，E）的非对称邻接矩阵。我们用v=1，2，…，对N中的节点进行编号，N和`=1，2，E其中E=P1≤v、 五≤导航。Buff随机变量v、 ∑vat假设每个节点都有一个质量p（0）v，q（0）vat 0（代表初始违约概率和应力概率），并在正实数上具有密度函数d（x），sv（x）的连续支撑。边缘权重Ohm`, ` ∈ E在正实上有密度w`（x）的连续支撑，但在0时没有质量。

随机变量{v、 ∑v，Ohm`}, 五、∈ N，`∈ E被认为是一个独立的集合。本节的目的是使用LTI性质近似推导边际概率p的公式(∞)v、 q(∞)vfor所有单个节点的最终默认值和应力，以及计算更详细系统量公式的可能性。由于与之前相同的原因，这种近似值并不精确：由于应力响应，冲击abank v的默认冲击与骨架中存在循环时存在相关性。总的来说，当骨架是一个配置图符号的单个随机实现时，我们预计LTI近似值会随着N的增加而变得更好。我们现在对概率序列P（N）v=P[v]进行近似分析，与前一节平行∈ Dn]，q（n）v=P[v∈ Sn]，ep（n）wv=P[v∈ Dn6r w]，bq（n）v=P[v∈^Sn]，（4.1）对于每个节点v或边wv。出于与之前相同的原因，除了track t（n）wv=Phξ（n）wv=1 | v之外，我们还需要∈ N+wi。（4.2）归纳地，我们有p（n）v=DDv，~v∈N-五、g（n）-1） vvE、 （4.3）ep（n）wv=DDv，~v∈N-v\\wg（n）-1） vvE、 （4.4）bq（n）v=DSv，~v∈N+vh（n）-1） vvE、 （4.5）t（n）wv=t（n）-1） wv+（p（n）w- p（n）-1） w）（1）- bq（n）-1） v），（4.6）q（n）v=1- p（n）v-1.- bq（n）vDDv，~v∈N-五、~g（n）-1） vvE.（4.7）在LTI近似下，可以像以前一样计算PDF:g（n-1） wv（x）=（1）- p（n）-1） w）δ（x）+t（n）-1） wvwv（x）+（p（n-1） w- t（n）-1） wv）·1- λwwv（x/1）- λ） ，（4.8）h（n）-1） 大众（x）=（1）- bq（n）-1） w）（1）- ep（n）-1） vw）δ（x）+ep（n）-1） VWVW（x）+bq（n）-1） w（1）- ep（n）-1） vw）·λwvw（x/λ），（4.9）~g（n）-1） wv（x）=（1）- p（n）-1） w）δ（x）+p（n）-1） wvwv（x）。（4.10）5数值实验在本节中，我们简要介绍了数值实验，以说明本文开发的方法。

首先，我们的目标是让读者相信，通过使用独立编码的Monte Carlo（MC）实现交叉验证，LTI方法可以正确计算具有大值N的网络中的双级联映射的固定点。为了提高效率，LTI实现使用快速傅里叶变换方法来计算（3.14）-（3.17）中的卷积。这项技术由赫德和格雷森（2013）提出，并在附录A中进行了概述。其次，我们将展示LTI方法如何回答系统性风险的本质问题，尤其是压力和违约的交织问题。第三，我们将展示该方法在一个具有挑战性的程式化网络中的表现，该网络专门用于反映欧盟90家最具系统重要性银行网络上2011年数据集的复杂特征。5.1实验1：验证LTI方法本实验旨在验证LTI方法在应用于规格与Gai&Kapadia（2010a）中给出的规格类似的程式化金融网络时的性能是否符合预期。它由一个随机定向泊松骨架组成，其中n=20000个节点，平均度z=10，其中每个节点v都可以被视为一个带有默认buff的bankv=0.04，应力缓冲∑v=0.035。与Gai&Kapadia（2010a）中使用的确定性银行间风险敞口不同，权重Ohm`从对数正态分布中取一条边的`，平均值u`=0.2j-1〃，标准偏差0.383u〃。请注意，这一规定使得风险敞口的大小取决于贷款银行。对网络施加初始冲击，导致每家银行以1%的概率违约。我们将违约银行和压力银行的最终分数与（3.26）和（3.27）中的LTI分析公式进行了比较，计算方法是使用MC模拟和1000次实现。

生成大小为nw且平均度z>0的有向泊松随机图很简单：只需独立于allN（N）选择有向边- 1） 势能边，每个势能边的概率p=z/（N）- 1). 由此产生的双格力分布是二项式的乘积，Pjk=P[v∈ Njk]=Bin（N）- 1，p，j）×Bin（N）- 1，p，k），对于大N个节点，它近似为泊松（z）分布的乘积。图3将结果绘制为应力响应参数λ的函数，威瑟罗杆代表MC结果的第10个和第90个百分位。它显示了MC和LTI分析之间的预期一致性，其中的差异可归因于MC模拟中存在的有限效应。我们模型的一个基本特性在这个实验中得到了清楚的展示：压力和违约是负相关的。这一事实可以用压力反应来解释，压力反应使银行能够在违约前对流动性冲击作出反应，减少银行间的风险敞口。这种反应产生了更多的压力，但也带来了更具弹性的人际网络。默认级联的“刀锋”特性也清楚地显示出来：在我们选择的模型参数化中，λ的微小增加会显著改变网络的稳定性。我们还注意到，刀口附近的MC误差棒非常大。5.2实验2：程式化的泊松网络下一个实验再次关注泊松网络，目的是更好地理解各种参数对网络弹性的影响。

总的来说，我们继续确认LTI结果准确反映了MC模拟的观测结果。5.2.1实验2A：违约和压力效应我们考虑实验1的参数化财务网络在λ=0.5的违约敏感状态下，如何通过0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.80.91应力反应λ平均级联尺寸分析违约MC违约MC分析压力图3：实验1。由MC模拟（符号）和LTI分析（线）计算的平均默认值和应力级联大小。Theskleton是一个泊松定向网络，N=20000个节点，平均度z=10。所有银行都有违约缓冲措施v=0.04，压力缓冲器∑v=0.035。边缘砝码Ohm`从平均u`=0.2j的对数正态分布中提取边的-1`和标准偏差0。383u`. 误差条表示MCresult的第10个和第90个百分位。增加默认缓冲或减少压力缓冲。例如，这种变化可能是由金融监管机构推动的。0.035 0.04 0.04500.20.40.60.81默认缓冲区大小平均默认级联尺寸分析MC（a）0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.0500.20.40.60.81应力缓冲区尺寸∑平均默认级联尺寸分析MC（b）图4：实验2A。作为（a）违约率函数的平均违约级联规模 和（b）压力缓冲∑。LTI分析近似（直线）正确预测MC模拟结果（符号）。这里λ=0.5，其他参数如实验1所示（图3）。在图4（a）中，我们说明了默认值的变化如何影响默认值的大小。我们观察到从100%默认级联到几乎没有默认级联的非常快的转变 在时间间隔内增加[0.04,0.045]。这种刀锋特性在LTI分析和MC模拟中都是可用的。

再次注意，代表第10百分位和第90百分位的MC误差条在刀口处变得非常大。在图4（b）中，我们检查了应力缓冲器对默认尺寸的影响。如果压力缓冲减少，银行开始更快地应对压力冲击，这反过来可以显著降低网络中的违约级联风险。图4（a）和（b）显示，改善网络弹性可能有几种方法。5.2.2实验2B：图表连接性和压力响应的影响除了在危机期间或之前强制改变银行行为之外，监管机构还可以通过对压力和违约行为施加约束，影响整个金融网络的形状。在实验2B中，我们展示了骨骼本身对系统风险的影响。为此，我们计算了有向泊松网络中违约和应力级联的大小，作为连接性参数z和应力响应λ的函数。在我们的简单模型规范中，平均度数z是控制骨架形状的唯一参数，而在更真实的建模方法中，骨架可能有更多的参数。在本实验中，我们假设每个银行都有一个随机违约缓冲区，取自平均值为0.18、标准偏差为0.18的对数正态分布，以及一个来自平均值为0.12、标准偏差为0.12的独立对数正态分布的应力缓冲区，从而增加了模型的复杂性。边缘权重Ohm`由对数正态分布得出，平均值和标准偏差与（j`k`）成正比-0.5，整个网络上的平均边权重等于1。一旦我们实施初始冲击，每家银行有1%的初始违约概率。无花果。5（a）和（b），我们分别将违约和应力级联的平均大小表示为网络平均度z和应力响应λ的函数。

为了图形的清晰性，我们不显示MC模拟，正如他们所同意的那样，以与之前类似的方式显示LTI分析。同样，在这些图中，我们注意到，随着z和λ的变化，压力和违约概率之间存在强烈的反相关性。观察到连通性参数z.5.3实验3中的最终压力水平不是单调的也是有趣的：一个受欧盟启发的90节点网络众所周知，泊松随机图不足以描述真实的经济网络，因此我们有兴趣了解系统的大致情况0。5102400.51（λ）（Z）平均叶栅尺寸（a）0.5102400.51（λ）（Z）平均叶栅尺寸（b）图5：实验2B。有向泊松网络上的平均缺省级联（a）和平均应力级联（b）的大小是网络平均度z和应力响应参数λ的函数。此处，边缘权重（银行间风险敞口）、违约和压力缓冲的值取自文本中规定的对数正态分布。其他参数与图3相同。实际金融网络的风险。在实验3中，我们考虑了一个90节点图的单一实现，该图旨在捕捉欧盟银行间网络的风格化特征。我们使用MC模拟和第4节针对固定骨架网络的LTI分析方法计算了该网络上的级联动力学。作为初步步骤（未报告），我们通过验证两种方法在多个树网络上的一致性，验证了LTI分析的一致性。许多关于现实世界金融网络的研究，尤其是Bech&Atalay（2010）和Cont，Moussa&Santos（2013）观察到了它们的高度异质性结构，并得出结论，随着暴露规模的增加，内外度都有厚尾分布，可能也有影响。

我们的90家欧盟银行的示意图模型旨在捕捉这些基本统计特征，并根据2011年欧洲央行对欧盟系统重要性银行的压力测试中公布的数据进行汇总统计。我们在图6中展示了样式化网络的框架。附录B中给出了其结构的细节以及缓冲区和暴露分布的规格。在实验的第一部分，我们计算了从欧盟网络中一个随机银行违约开始的压力和违约级联的平均大小。图7（a）显示了作为应力响应参数λ函数的平均默认值和应力级联尺寸。这张图没有显示级联的证据（除了最初违约的银行及其对近邻造成的压力），表明MC和分析计算一致认为欧盟网络图6：90银行网络3的骨架表示。我们在这里不显示边缘方向，以避免弄乱图形。节点以顺时针方向总度数增加的方式绘制，最小连接的组是最右边的节点。2011年6月，中国对这样的冲击很有韧性。0.4 0.6 0.8 100.020.040.060.080.1应力反应λ平均级联大小分析默认值MC默认分析应力MC应力（a）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91校准缓冲区大小的分数Mean级联大小1211 012 013 014 015 016 0分析默认值MC默认分析应力MC应力（b）图7：实验3：Stylezedeu银行间网络上从一家银行违约。（a） 不同应力响应λ值的级联尺寸。2011年压力测试时的欧盟金融体系似乎对单一银行冲击具有弹性。

（b） 与（a）中的系统相同，在（a）中，严重的冲击前危机已将银行违约率降低至其原始价值的10%，压力率降低至x轴上所示价值的一小部分。为了将欧盟网络转移到一个边缘位置，即一家银行的违约可能引发大规模的双重级联，我们发现有必要想象一场可怕的危机，在违约冲击之前，所有机构的核心一级资本（即它们的违约方）已被大量削减至初始金额的10%。此外，每家银行的压力缓冲也会降低到其原始价值的一定比例。在图7（b）中，我们取λ=0.7，并显示了叶栅尺寸与应力缓冲器剩余部分的关系。MC模拟表明，对于较小的冲击，压力级联的大小会导致违约级联：银行系统变得高度缺乏流动性，但大多数银行能够保护自己免受违约。然而，在全球冲击的某个临界值之外，违约级联接管了压力级联，因为银行受到的冲击如此之高，以至于它们立即违约，而不可能像在压力状态下首先发生的那样保护自己。我们的分析方法能够捕捉这些机制的本质，正确识别违约级联超过应力级联的临界点。然而，远离该临界点的级联的数量大小与分析模型不太匹配，可能是因为骨架中存在短周期。由于循环往往会减慢级联，因此MC中的转换是平滑的。