一种新的一致性风险度量的资本配置问题

这在直觉上是很自然的，因为较高的保费会降低风险敞口，而索赔严重性的大幅波动会导致风险敞口的增加。2.1.2α-稳定从属函数let Yt=ut+Xtbe是具有拉普拉斯指数φ（u）漂移的α-稳定从属函数：=-tln E（E）-uYt）=0<α<1时的u+uα。该模型已在[21]中用作净损失过程。通过应用与前一示例相同的直线前进程序∈ [0，T]，EV aR1-β（Yt）=-αt（lnβαt）- 1)α-1α- ut.在[0，t]产量上的直接积分，CEV aR1-β（Y）=αlnβαT- 1αT+T- 1.αT- 1lnβα-uT.2.1.3伽马中子或恐龙莱特Yt=uT+Xtbe伽马过程，参数a、b>0，有漂移。这个过程有拉普拉斯公式φ（u）：=-tln E（E）-sYt）=- utu- ta ln（1+u/b）。在这种情况下，EVaR1-β（Yt）是下列等式的解，-taub+u+at-ln（1+ub）+lnβ=0，u≥ 0 .上述等式是通过在定义EVaR1中应用拉普拉斯指数获得的-β和关于u的直接微分。与前面的例子不同，该方程的解没有封闭形式的表达式。但一旦-通过数值计算得到β，我们可以计算CEVaR1-β（Y）通过[0，T]上的直接积分。3资本分配我们现在用我们在上一节介绍的一致风险度量CEVaR研究保险背景下的资本分配问题。讨论CEVaR的资本分配问题（这是RpL定义的一个风险度量）必须从分析EVaR的这个问题开始，EVaR是L的一个子空间上的一个风险度量∞(Ohm, F） 。在随机过程空间上寻找风险度量的资本分配通常需要了解其稳健表示及其次梯度集（有关此问题的详细说明，请参见[6]）。

在通常需要功能分析工具的应用程序中，这种健壮的表示通常是一个难题。在EVaR的情况下，我们建议通过确定EVaR的资本分配，并使用EVaR和CEVaR之间的线性关系来获得CEVaR的资本分配，从而解决CEVaR的资本分配问题。我们现在给出本节中需要的一些定义。定义3.1。设ρ为L上定义的一致风险度量∞(Ohm, F） 。现在让我们来看看D L+是最大的集合，对于ρ，ρ（X）=supf，以下稳健表示成立∈DL+EP(-（外汇）十、∈ L∞(Ohm, F） ，（15）其中L+是（9）中定义的集合。集合D被称为ρ的确定集合（见[20]）。以下定义摘自[14]。定义3.2。设ρ为L上定义的一致风险度量∞(Ohm, F） 带着确定的setD L+。让X∈ L∞(Ohm, F） 。函数f∈ 如果ρ（X）=EP（fX），则D称为X的极值函数∈ (-∞, ∞). 极端函数集将用χD（X）表示。以下结果取自[14]，并给出了上述极端函数集为非空的条件。提议3.1。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F） 。现在考虑以下集合，L（D）：={X∈ L∞(Ohm, F） |林-→∞supf∈DEP[f | X | I{X |>n}]=0}。（16） 如果判定集D是弱紧集，且X∈ L（D），那么X的极值函数集不是空的，即χD（X）6=.现在，我们将注意力转向资本配置的概念。考虑一个向量risksX=（X，…，Xd），这样Xi∈ L∞(Ohm, F） 对于i=1，d、 是代表由风险头寸或部门组成的投资组合的现金流或风险敞口的随机变量。

在本文中，这些将是保单合同在给定时间的净损失头寸。给定L上的一致风险测度ρ∞(Ohm, F） ，我们现在来看如何分配投资组合ρ的总风险的问题X+··+Xd在不同的部门中，每个部门的个人风险都得到了适当的衡量。[18]和[19]提出了资本配置的以下正式定义，这是我们在本文中开始研究的内容。事实上，以下给出了资本配置的数学定义或一致的风险度量。定义3.3。考虑L上的一致风险度量ρ∞(Ohm, F） 和一个向量ris ks X=（X，…，Xd），这样Xi∈ L∞(Ohm, F） 对于i=1，d、 X的公平资本分配是avector（K，…，Kd）∈ 例如：1。dXi=1Ki=ρdXi=1Xi！，2.dXi=1hiKi≤ ρdXi=1hiXi！， h=（h，…，hd）∈ Rd+。第一个条件称为完全分配属性，它简单地说明了一个事实，即整个投资组合的总风险应该是每个部门的总风险。第二个条件称为资本配置的线性多元化性质。事实上，该条件与相干风险度量ρ的正齐性和次可加性性质一一对应（见[24]）。由于我们在本文中使用的是一致的风险度量，因此采用这种资本配置的定义在某种程度上是自然的。以下是一个有趣的结果，描述了一组可能的此类资本配置，它改编自【14】。定理3.1。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F） 设X=（X，…，Xd）是一个向量，使得Xi∈ L∞(Ohm, F） 对于i=1，d、 考虑以下setG={（EP(-f X），EP(-f Xd）|f∈ D} 路（17）布景U X=（X。

，Xd），满足定义3.3，是凸的且有界的，其形式为u=argmaxx∈G<e，x>，（18）其中<·，·>是Rd中的内积，e=（1，…，1），argmax是G的一组点，<e，x>达到其最大值。此外，如果X，除息的∈ L（D）和D是弱紧的，那么U可以被识别为beU=(EP(-f X），EP(-f Xd）| F∈ χDdXi=1Xi！）。（19） 证据。在[14]中，作者给出了相干效用函数定理的证明。结果是，对于给定的一致风险度量ρ，如果我们设置ρ*（十） ：=-ρ(-十） 我们得到了一个一致的效用函数，并且[14]中的结果成立。所以，从ρ（X）=-ρ*(-十） 我们定理陈述的结果成立。布景G Rdin定理3.1被称为X和ρ的生成器（见[14]）。下面的推论给出了G上资本配置唯一性的条件。推论3.1。在定理3.1的条件下。此外，如果 RDI是严格凸的（即其内部非空且其边界不包含间隔），则有一个独特的资本分配满足定义3.3。证据参见[14]f，了解有关一致效用函数的证明。推论3.1为我们提供了充分的条件，使这种资本配置具有唯一性。下面的结果通过给出其各个组成部分的表示来描述这种独特的资本配置。定理3.2。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F） L（D）是（16）中定义的相关集合。此外，设X=（X，…，Xd）是一个向量，使得Xi∈ L∞(Ohm, F） 对于i=1，d、 如果d是弱紧的，X，除息的∈ L（D）和χD（Pdi=1Xi））是一个单子，那么，对于1≤ 我≤ d、 EP(-fXi）=lim↓0ρ（Pdj=1Xj+Xi）- ρ（Pdj=1Xj）。（20） 证据。

由于χD（Pdi=1Xi）是单态且D是弱紧的，那么从定理3.1来看，存在一个唯一的函数f∈ χD（Pdi=1Xi），因此，资本分配集isU={（EP(-外汇），EP(-fXd）。这意味着资本配置的每个组成部分(-fXi）只是XitoPdi=1Xi的风险贡献（见[14]）。如果我们使用标准符号表示ithrisk贡献*ρ（Xi | Pdi=1Xi），这意味着*ρ（Xi | dXi=1Xi）=supf∈χD（Pdi=1Xi）EP(-fXi）。然后，可以充分证明，△ρ（Xi | dXi=1Xi）=lim↓0ρ（Pdj=1Xj+Xi）- ρ（Pdj=1Xj），对于1≤ 我≤ D（21）对于一致效用函数，（21）中的结果如[14]所示。自ρ*（十） ：=-ρ(-十） 对于任何相干风险度量ρ，它是一个相干效用函数，直接得出（21）也适用于相干风险度量。3.1 CEVaR和资本配置问题本文的主要目标是在资本配置问题中应用累积熵风险度量。在上一节中，我们讨论了L上风险度量的资本配置问题的关键概念∞(Ohm, F） 。在本节中，我们应用这些结果来回答CEVaR的资本分配问题，这是RpL的一种风险度量。注意，这是一个更复杂的问题，因为这个问题有一个动态组件。在这里，CEVaR1的累积特性克服了这一点-β. 我们首先将定义3.3扩展到更一般的资本配置概念，即空间RpL上的一致风险度量。以下定义摘自[7]。定义3.4。允许Xt，XdtT∈[0，T]是RPL代表财务职位或部门的随机过程。此外，考虑一个一致的风险度量ρ：RpL-→ R+定义空间RpL。公平的资本分配Xt。

，XdtT∈[0，T]关于ρ是一个向量（L，…，Ld）∈ 因此，1。dXi=1Li=ρdXi=1Xi！，2.dXi=1hiLi≤ ρdXi=1hiXi！， h=（h，…，hd）∈ Rd+，其中Pdi=1氧化该过程Pdi=1XitT∈[0，T]。在本节中，我们将展示当使用CEVaR作为风险度量时，如何获得满足定义3.4的资本配置。我们首先需要证明稳健表示（15）中集合D的边界为1-β不是凸集。这导致（17）中的集合G也不是凸集。事实上，这立即意味着欧拉分配（见[26]）是评估和评估的唯一可能的分配方法。定理3。3.设D为EVaR1的稳健表示（8）中的决定集-β. 然后是布景D={f∈ L∞+: EP（f ln（f））=- lnβ}不是凸集证明。对于任何λ，证明这一点是足够的∈ [0,1]和中的任意两个函数f和gD、 函数λf+（1）- λ） g不在D.定义正实线空间上的函数H，取实值如下，H（x）：=x ln x，对于所有x∈ R+。很明显，f函数H在正实线上是严格凸的。因为，对于所有x，H′（x）=lnx+1和H′（x）=x>0∈ R+。现在，我们再次使用合成函数H（λf+（1））定义[0,1]上的一个新函数K，其值在R中- λ） g）如下所示，K（λ）=EP（H（λf+）（1- λ） g）），对于中的固定函数f和gD.注意，我们使用了一种轻微的符号滥用，这里是h（λf+（1）- λ） g）应逐点理解。也就是说，f或x∈ R、 函数H（λf+（1）-λ） g）-→ H（λf（x）+（1）- λ） g（x））。如果我们取f函数K的第一和第二导数，我们会发现这个函数也是严格凸的。（f（EP（＝λ′）- g） （H′（λf+）（1- λ） g）和K′（λ）=EP（（f）- g） （H′（λf+）（1- λ） g））=（f-g） λf+（1）-λ） g>0。

现在，考虑K（0）=EP（H（f））和K（1）=EP（H（g））以及函数K的严格凸性，我们得到了不等式K（λ）=EP（H（λf+）（1）- λ） g）<- lnβλ ∈ (0, 1).这证明了我们的主张。下面的结果说明了所谓的欧拉分配方法的唯一性。提议3.2。设（X，…，Xd）为每个Xi∈ L∞(Ohm, F） ，对于i=1，d、 代表一个风险岗位或部门的现金流或风险敞口。我们表示byX=Pni=1XIT在给定时间段内产生的投资组合范围内的现金流。此外，对于L上给定的风险度量ρ∞(Ohm, F） 定义函数Fρ（u，…，un）=ρ（Pni=1uiXi）。如果ρ为EVaR1-β如（2.2）所定义，则分配给满足3.3 i定义的每个部门的资本由Ki=dρdh（X+hXi）|h=0唯一确定=uifρ（1，…，1）1≤ 我≤ N（22）证据。作为定理3.3的结果，我们看到（17）中的关联集G是严格凸的。i、 向量X=（X，…，Xd）的资本分配是唯一的。自那时起，风险度量就变了-β是正齐次的，也就是说，对于所有λ>0，我们有EVaR1-β（λX）=λEVaR1-β（X），我们推导出上述函数fρ是齐次函数。根据齐次函数的欧拉定理，我们得到了ρ（u，…，un）=nXi=1uiuifρ（u，…，un）。现在，通过应用定理3.2和uifρ在（1，…，1）处，我们推断分配给每个部门的资本由（22）给出。这证明了定理。现在，我们将描述满足定义3.4的资本配置与CEVaR1的关系-β. 请注意，自CEVaR1以来，这似乎是一个更复杂的问题-随机过程的测度是在β-Arside空间上定义的。然而，由于CEVaR1的累积特性，这是可能的-β.定理3.4。设（Xt，…，Xdt）0≤T≤t是一个向量，每个退出0≤T≤T∈ RpL（对于i=1。

，d）代表一个风险岗位或部门在timet的现金流或风险敞口∈ [0，T]。然后，在[0，T]期间满足定义3.4的资本分配，与CEVaR1有关-β、 对于i=1，…，i是唯一确定的，d by，Li=TZTKitdt，其中kit由（22）给出。证据通过替换CEVaR1的表示-方程（11）中给出的β转化为定义3.4，我们可以看到，资本配置减少到EVaR1-定义3.3中给出了β。方程式（22）立即暗示了结果。定理3.4给出了有限时间段内随机过程的资本分配问题的一个解决方案[0，T]。有趣的是，与这个问题的其他解决方案不同，这个资本分配可以很容易地计算出一大类过程。现在，我们将注意力转向结果的应用。3.2保险风险过程的资本分配我们现在应用定理3.4来回答保险风险过程的资本分配问题。这里我们考虑一家由n个部门组成的保险公司。对于每个部门，我们都将风险准备金流程设置为表（1）。换句话说，Rit=xi- Yitwhere Yit=Xit- cit表示与ith部门相关的净损失索赔流程。我们重申，xi是初始准备金，ci是加载保费，xit是聚合收益的模型，而指数i指的是n个部门中的一个。为了对保险公司进行更丰富的描述，我们将总索赔流程视为i部门支付的总金额，由m个独立索赔类别的分数组成。也就是说，让我们，Wmtbe m独立的光谱正Lévy过程模型将m种不同类型的索赔汇总在一起。例如，你可以考虑与意外事故、房屋损坏、医疗保险等相关的索赔。

然后，ith部门支付的总索赔额将是这些过程的线性组合。例如，考虑汽车保险合同产生的总索赔。我们假设一个部门将支付财产损失保险（合同索赔总额的一小部分），而另一个部门将支付第三方责任费用（合同索赔总额的另一小部分）。数学上，我们让Wt，Wmtbe m独立谱正Lévy过程f orj=1，m、 现在，我们让每个元素都是Wt的部分或全部的线性组合，Wmt，即X=XtXt。。。Xnt=A.a1ma。a2m。。。。an1。安WTWTWT。。。Wmt, （23）其中aij是1的非负实数≤ 我≤ n和1≤ J≤ m、 我们指出，我们之所以选择这种结构，是因为它通过定理3.4为资本分配问题提供了一个简洁的解决方案。人们总是可以求助于更简单的案例，即每个部门只支付一种类型的索赔，而不是支付不同类型索赔的细分。这相当于在（23）中有n=m和一个对角线矩阵，对角线中的所有元素都等于一，从而产生Xit=wit for all i。我们还指出，这种构造通过聚合声明Xi赋予过程Ri具有依赖结构。下一个结果是我们论文的主要贡献之一。定理3.5。考虑n risk过程瑞特0≤T≤T∈ RpL，对于i=1，n、 现在，让我们一起来看看- Yitwhere Yit=Xit- cit表示与ITH部门相关的净损失索赔流程。此外，总风险流程应为（23）中定义的流程。

然后，对于每个净损失过程，满足定义3.4的资本分配[0，T]，以及与风险度量CEVaR1相关的资本分配-β是，Li=TZTKitdt+ciT，（24）其中kit=-tmXj=1aijφ′j（s*nXk=1akj），t∈ [0，T]，（25）和E（E）-sWj）=e-φj（s）表示s≥ 0，φ′j（0）≤ 0, 1 ≤ 我≤ n和1≤ J≤ m、 证据。首先，我们要根据风险度量EVaR1确定资本配置-在应用定理3.4之前。对于L上定义的任何一致风险度量ρ∞(Ohm, F） 根据现金不变的性质，我们得到，对于每个t∈ [0，T]，ρ（nXi=1Yit）=ρ（nXi=1Xit）+nXi=1cit。也就是说，为了确定资本分配（t∈ [0，T]），关于一致风险度量（尤其是对于EVaR1-β） ，我们只需要为每个索赔流程确定资本分配。关于ρL的一个相合测度∞(Ohm, F） ，让我们定义函数Fρ（u，…，un）：=ρ（Pni=1uiXit）。考虑到过程的结构，Xnt，我们可以写作，福特∈ [0，T]，fρ（u，…，un）=ρ（nXi=1uiXit）=ρ（mXj=1ua1jWjt）+（mXj=1ua2jWjt）+··+（mXj=1uanjwjt）= ρ（nXi=1uia1）Wt+（nXi=1uia2）Wt+···+（nXi=1uiain）Wmt！。如果我们让dj=nXk=1ukkj，（26）我们可以写一个更紧凑的形式，fρ（u，u，…，un）=ρ（dWt+dWt+·dmWmt）。（27）通过使用主要因素的独立性Wi，我们得到，对于t∈ [0，T]，lnE（E）-s（dWt+dWt+·dmWmt））= 自然对数πmj=1E（e）-sdjWjt）mXj=1lnE（E）-sdjWjt）= -tmXj=1φj（sdj），其中最后一个等式来自E（E-sWjt=e-tφj（s）。如果我们将上述方程专门化为EVaR的情况，那么方程（27）变成，fort∈ [0，T]，fEV aR1-β（u，u，…，un）=EV aR1-β（dWt+dWt+·dmWmt）=infs≥0-tPmj=1φj（sdj）- lnβs.（28）现在，考虑等式（28）的右侧。通过对s求导数，对于t∈ [0，T]，s-tPmj=1φj（sdj）- ln！s=-stPmj=1djφ′j（sdj）+tPmj=1φj（sdj）+lnβs。