一种新的一致性风险度量的资本配置问题

（29）通过将等式（29）设置为零，我们可以找到s值*（t，u，…，un）将（28）中的右侧最小化。如符号所示，该最小值为s*（t，u，…，un）是t和ui1的函数≤ 我≤ n但在下面我们使用更简单的符号s*对于这个值。请注意，值为s*事实上也是母亲。基于单边Lévy过程拉普拉斯变换的凸性和条件φ′j（0）≤ 0时，应在我们表示的某个点达到（28）中的上限*（见[23]）。根据命题3.2，欧拉分配是forEVaR1唯一可能的分配方法-β. 因此，为了确定资本分配，有必要确定等式（28）右侧s端对变量Ui的导数，并在U=（1，1，…，1）点对其进行评估。对于i=1，…，直接微分率，n和t∈ [0，T]，uifEV aR1-β（u，u，…，un）=-s*tPmj=1（s）*idj+aijs*)φ′j（s）*dj）+ts*iPmj=1φj（s*dj+s*ilnβs*2，（30）我们使用符号s*我=s*用户界面。自从*如果方程（29）的解等于零，我们可以将（30）简化如下，对于i=1，NuifEV aR1-β（u，u，…，un）=-tmXj=1aijφ′j（s*dj）。（31）在点u=（1，1，…，1）处的计算公式（31）得出在时间t时与ITH部门相关的分配资本∈ [0，T]。也就是说，对于i=1，n、 套件=uifEV aR1-β（u，u，…，un）=-tmXj=1aijφ′j（s*nXk=1akj）。（32）使用定理3.4并将Kitin（32）积分得到满足定义3的分配资本。4关于风险度量CEVaRβ。

因此，就CEVaR1而言，在[0，T]期间分配给ITH部门的资本-β是，Li=TZTKitdt+ciT。这就完成了证明。4例在本节中，我们有兴趣研究定理3.5中的一些例子，以阐明如何计算资本分配。我们提供了第2.1节中已经讨论过的示例的资本分配。正如我们将看到的，在某些情况下，我们可以获得资本分配的显式表达式。在其他情况下，这种显式形式是不可用的，但仍然可以通过标准的数值方法获得解。困难在于当et等于零时，求解方程（29）。4.1带尺度参数的布朗运动考虑通过等式（23）确定的一般设置。让主要因素，WMT是m独立的布朗运动，具有不同的尺度参数σi>0和拉普拉斯变换E（E-sWit=eσist。我们现在只需要应用定理3.5。通过解方程（29）等于零，我们得到，对于t∈ [0，T]，stmXj=1djσj-stmXj=1djσj+lnβ=0，（33），其中dj在（26）中给出。或者相当于s*=-2 lnβtPmj=1djσj！。（34）将（34）代入方程（32）中，在点u=（1，1，…，1）我们可以计算出i=1，n、 也就是说，Kit=t-2 lnβPmj=1σj（Pnk=1akj）！mXj=1σjaijnXk=1akj，（35）对于t∈ [0，T]。因此，就CEVaR1而言，分配给ITH部门的资本-β可以计算为，Li=T-2 lnβPmj=1σj（Pnk=1akj）！mXj=1σjaijnXk=1akj+ciT.（36）现在作为特例，让主因子Wt，wmt是m个独立的布朗运动，具有公共尺度参数σ>0和公共拉普拉斯变换E（E-sWit）=eσst.So，（34）减少了tos*=-2 lnβσtPmj=1dj！，（37）那么Kit的值是t∈ [0，T]，Kit=σT-2 lnβPmj=1（Pnk=1akj）！mXj=1aijnXk=1akj。

（38）因此，分配给ITH部门的资本Li符合第3.4条关于评估1的定义-对于这种特殊情况，β可以写成，Li=Tσ-2 lnβPmj=1（Pnk=1akj）！mXj=1aijnXk=1akj+ciT.（39）4.2伽马从属关系考虑通过等式（23）确定的一般设置。我们让主要因素，Wmto是具有不同参数αi、bi>0和拉普拉斯变换（e）的m独立伽马过程-sWit）=1+sbi-αit=exph-tαiln1+sbii、 s≥ 0 . （40）我们现在只需要应用定理3.5。通过求解等于零的方程（29），我们得到：∈ [0，T]，tmXj=1αjln（1+sdjbj）- sdjbj+sdj+ lnβ=0，s>0，（41），其中dj在（26）中给出。这并不像上一个例子中的等式那样直接。尽管如此，它的价值仍然很高*通过数值计算可以得到满意的结果（41）。在u=（1，1，…，1）点进行评估，并代入（32）中，得出资本分配值Kitfori=1，n、 也就是说，Kit=-tmXj=1aijαjbj+s*Pnk=1kJ, （42）对于t∈ [0，T]在哪里*是方程（41）的解。因此，分配给ITH部门的资本符合关于CEVaR1的定义3.4-β由，Li=-aTmXj=1aijαjbj+s*Pnk=1kJ+ ciT（43）为1≤ 我≤ n、 4.3α-稳定从属关系考虑通过等式（23）确定的一般设置。我们让主要因素，Wmto是具有不同参数αi的m独立α稳定过程∈ （0,1）和拉普拉斯变换（e-sWit=e-sαi，s≥ 0 . （44）我们现在只需要应用定理3.5。通过解方程（29）等于零，我们得到以下方程，对于t∈ [0，T]，- tmXj=1αj（sdj）αj+tmXj=1（sdj）αj+lnβ=0，（45），其中dj在（26）中给出。再一次，这不是一个需要解决的直接方程。尽管如此，它的价值仍然很高*在数值上可以得到满意的（45）。在点u=（1，1，…）处计算。

，1）并替换（32）得出i=1，…，的资本分配值Kit，n和t∈ [0，T]。作为一种特殊情况，考虑以下主要因素：，Wmto是具有公共参数α的m独立α-稳定过程∈ （0,1）和公共拉普拉斯变换（e-sWit=e-sα，s≥ 0 . （46）我们现在只需要应用定理3.5。通过求解等于零的方程（29），我们得到：∈ [0，T]，-sαtαmXj=1（dj）α+sαtmXj=1（dj）α+lnβ=0，在这种情况下，可以很容易地得到一个溶液，产生s*=- lnβ（1）- α） tPmj=1dαj！α、 （47）对于t∈ [0，T]。在u=（1，1，…，1）点处将（47）代入（32），得到i=1，…，的资本分配值Kit，n在时间t∈ [0，T]。也就是说，Kit=-tαα- lnβ（1）- α） Pmj=1（Pnk=1akj）α！α-1αmXj=1aij（nXk=1akj）α-1，（48）对1≤ 我≤ n、 资本分配满足第3.4条关于CEVaR1的定义-β是给定的，Li=TZTKitdt+ciT，或者更准确地说，Li=-αα+1Tα- lnβ（1）- α） Pmj=1（Pnk=1akj）α！α-1αmXj=1aij（nXk=1akj）α-1+ciT.（49）参考文献[1]Ahmadi Javid A.，熵风险价值：一种新的一致性风险度量。优化理论与应用杂志，斯普林格。2011年。[2]Applebaum D.Lévy过程和S t ochastic微积分（第二版），剑桥大学出版社（2009）[3]Artzner P.，Delbaen F.，Eber J.-M.，和Heath D.一致性风险度量。数学《金融》，1999年。[4] Asmus sen S.破产概率，统计科学与应用概率高级系列第2卷。世界科学出版公司，新泽西州河边，2000年。[5] 有界cádlág过程和应用的风险测度的Assa H.Lebesgue性质。，2009年[6]Assa H.关于不同风险度量的某些方面及其应用博士论文，2011年。[7] Billera，L.J.，Heath，D.C.，分摊成本的分配：一套产生唯一程序的公理。数学奥普。第7（1）号决议：1982年第32-39页。[8] 比夫斯，E，莫拉莱斯，M。

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