一种新的一致性风险度量的资本配置问题

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英文标题：
《On the Capital Allocation Problem for a New Coherent Risk Measure in
  Collective Risk Theory》
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作者：
Assa Hirbod, Morales Manuel and Omidi Firouzi Hassan
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we introduce a new coherent cumulative risk measure on $\\mathcal{R}_L^p$, the space of c\\`adl\\`ag processes having Laplace transform. This new coherent risk measure turns out to be tractable enough within a class of models where the aggregate claims is driven by a spectrally positive L\\\'evy process. Moreover, we study the problem of capital allocation in an insurance context and we show that the capital allocation problem for this risk measure has a unique solution determined by the Euler allocation method. Some examples are provided.
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中文摘要：
本文在$\\mathcal{R}u L^p$上引入了一个新的相干累积风险测度，这是一个具有拉普拉斯变换的c\\`adl\\`ag过程空间。事实证明，在一类模型中，这种新的一致性风险度量足够容易处理，在这种模型中，总索赔是由一个光谱正的列维过程驱动的。此外，我们还研究了保险背景下的资本分配问题，并证明了这种风险度量下的资本分配问题有一个由Euler分配方法确定的唯一解。文中给出了一些例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_the_Capital_Allocation_Problem_for_a_New_Coherent_Risk_Measure_in_Collective_.pdf (283.18 KB)

2022-5-5 03:55:41 上传

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关键词：资本配置 风险度量 风险度 一致性 Quantitative

关于集体风险理论中一个新的一致风险测度的资本分配问题Hirbod-Assa*利物浦大学曼努埃尔·莫拉莱斯+蒙特雷亚尔大学哈桑·奥米迪·菲鲁齐蒙特雷亚尔大学初稿：2013年2月8日。本版本：2018年8月17日。本文介绍了一种新的关于RpL的相干累积风险测度，即具有拉普拉斯变换的cádlág过程的空间。事实证明，在一类模型中，这种新的一致性风险度量足够容易处理，其中总索赔是由方面正的Lévy过程驱动的。此外，我们还研究了保险背景下的资本分配问题，并证明了该风险度量的资本分配问题具有由Euler分配方法确定的唯一解。文中给出了一些例子。关键词。资本配置，欧拉配置法，相干风险测度，列夫保险过程，随机过程空间上的风险测度。1导言集体风险理论建立在菲利普·伦德伯格[15]的开创性工作基础上，现在它包含了大量的知识，涉及通过破产概率和相关数量衡量的保险人准备金风险的研究[4]。现在有大量关于各种模型的破产措施的文献，最新的是所谓的Lévy保险风险模型[8]和[9]。传统上，风险理论关注的是保险公司通过控制初始投资x来管理准备金偿付能力的能力。

在这类任务中，经常引用的数学工具是破产概率，因为它是衡量保险人的准备金最终不足以支付其长期负债的可能性。更准确地说，考虑保险公司风险准备金的以下一般模型，R（t）=x+CT- X（t），t≥ 0，（1）其中，聚合索赔过程X是一个具有零漂移的谱正Lévy过程，X（0）=0，跳跃测度用ν表示。此外，x是初始准备金水平，c是确定的恒定保费率asc=（1+θ）E[x（1）]（2）*通讯地址：Hirbod Assa。金融和精算数学研究所。利物浦大学。英国。电子邮件：assa@liverpool.ac.uk+邮寄地址：曼努埃尔·莫拉莱斯。数学与统计系。蒙特利尔大学。CP.6128成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：morales@dms.umontreal.ca通讯地址：哈桑·奥米迪·菲鲁齐。数学与统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：omidifh@dms.umontreal.cawhereθ>0是安全负载系数。那么相关的破产时间是τx:=inf{t≥ 0 | X（t）- CT≥ x} ，（3）且有限期破产概率可由ψ（x）：=Px（τx<∞) , （4） 其中pxs是P的短手符号（·| X（0）=X）。集体风险理论中的许多文献研究了破产概率作为初始储备水平x函数的表达式和合理近似值的推导问题。这个问题是在一组不断增长的总索赔过程模型中解决的。关于所谓的破产理论，请参见[4]。自然地，破产概率ψ量化了净损失过程Yt:=Xt的偿付能力- CTA是初始储备水平x的函数。

事实上，我们可以定义一个风险度量ρβ：X-→ [0，1]在一个合适的模型空间X上（比如有界cádlág随机过程的空间R∞). LetYt=ct- xT是与储备过程（1）相关的净损失过程，然后是ρβ（Y）7-→ a:=inf{x≥ 0 |ψ（x）≤ β} ，（5）其中ψ是相关的破产概率（4）和β∈ [0,1]代表对毁灭的容忍度。可以将a解释为过程R具有可接受风险水平的最小初始水平，即其相关破产概率小于或等于可容忍的β。最近对此类风险度量进行了研究（见[27]），尽管它们表现出有趣的特性，但缺乏有效的风险管理工具的可处理性。事实上，任何有意义的风险管理应用程序，例如资本分配，都很难使用（5）实现。在本文中，我们恢复了度量保险风险过程风险的思想，并在拉普拉斯变换为映射ρ：RpL的cádlág过程空间上定义了一个一致的风险度量-→ R+。与第（5）项不同，这项措施足够容易处理，可以解决资本分配问题。这是在随机过程的合理空间上定义的一致和凸风险度量理论给出的框架内进行的。在之前关于这些问题的研究中，我们发现[11]和[12]作者在对某一财务状况的结果进行建模的随机过程空间中制定了风险度量，以及[13]他们以动态方式制定了风险度量。本文的贡献有两个方面。首先，在[1]和[6]的基础上，我们在有界cádlág过程空间上设计了一个新的风险度量，它可以捕捉与保险模型的路径性质相关的风险。为此，我们将[1]中首次引入的熵风险值的概念扩展到一个合适的随机过程空间。

第二，我们在保险业的背景下，利用这个新的风险度量来探讨资本分配问题，我们证明了欧拉分配法是唯一为这个风险度量分配所需资本的方法。论文的概要如下。在第2节中，我们介绍了累积风险价值（CEVaR1）的概念-β） 作为有界随机过程空间上的一致风险测度，我们探讨了它的一些相关特征。在第三节中，我们探讨了资本分配问题，并给出了一个定理，该定理刻画了这些措施的资本分配集。事实上，对于CEVaR1，我们证明了这一点-β风险度量欧拉分配法是唯一分配风险资本的方法。最后，在第4节中，我们展示了forCEVaR1的一些结果-并提供一些例子。2累积熵风险度量let(Ohm , F、 P，`F）是一个过滤概率空间。我们考虑了[0，T]上的随机过程的空间rpo，它是cádlág，适应的，并且是X*:= sup[0，T]| Xt |∈ Lp(Ohm, F） ，与1≤ P≤ ∞.此外，假设(Ohm, F、 P）有一个可数稠密子集。在[11]和[12]中，作者发展了Rp（ρ：Rp）空间上的凸风险测度理论-→ R+。注意，对于任何1≤ P≤ ∞ , 赋范数| | X | | Rp=| | X的空间*||Lp是一个Banach空间。定义2.1。我们定义了子空间RPL，其中包含具有拉普拉斯变换的过程，即X∈ RpLif属于RpLif，仅在ifmt=E[exp(-s Xt）]∞ , s≥ 0代表t∈ [0，T]。我们在本文中提出的想法是使用基于[1]中定义的熵风险值的累积风险度量。也就是说，在[5]之后，我们测量arandom过程X的风险∈ RpL通过定义累积风险度量ρ：RpL-→ R+如下所示。设ρ为Lp上的给定风险测度(Ohm, F） ，即。

ρ：Lp(Ohm, F）-→ R、 让ω：[0，T]-→ R+bea是一个合适的权函数，即RTω（t）dt=1。然后我们可以定义一个累积风险度量ρ：RpL-→ R+基于ρ作为随机过程X的加权总风险∈ RpL。更精确地说，ρ（X）：=ZTρ（Xt）ω（t）dt。（6） [5]中提出并研究了此类结构。这些措施的特点本质上取决于基本风险措施ρ的选择。事实上，如果风险度量ρ是一致的，那么（6）中的ρ也是一致的。定理2。1.设ρ为L上的一致风险度量∞(Ohm, F） 。然后是风险度量ρ：RpL-→ （6）中给出的R+是空间RpL上的相干ri-s-k测度。证据首先，我们证明了ρ的正齐性和平移不变性。对于λ>0和m∈ R我们有，ρ（λX+m）=ZTρ（λXt+m）ω（t）dt=λρ（X）- mZTω（t）dt，它显示了正同质性和平移不变性性质s inceRTω（t）dt=1。至于单调性，如果≤ 伊塔。s、 ，然后ρ（Xt）≥ t的ρ（Yt）∈ [0，T]。现在，由于ω是一个正实值函数，我们有ρ（Xt）ω（t）≥ 任意t的ρ（Yt）ω（t）∈ [0，T]也是。这意味着ρ（X）≥ ρ（Y），证明了单调性。现在利用ρ的凸性，因为ω是一个正函数，所以ρ（Xt+Yt）ω（t）≤ ρ（Xt）ω（t）+ρ（Yt）ω（t），对于t∈ [0，T]。这直接暗示了ρ的凸性。i、 e.，ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。在本文中，我们建议使用熵风险值度量（EVaR1）-β） 如（6）中的ρ所示。这在有界随机过程空间上产生了一系列有趣的风险度量。下面[1]我们给出了第一个定义。定义2.2。设X是L中的一个随机变量∞(Ohm, F） 具有拉普拉斯变换，即[exp(-s X）]∞ , s>0。然后是风险熵值，用EVaR1表示-β、 我给了拜耶夫aR1-β（X）：=infs>0lne[exp(-s X）]- lnβs.（7）以下是EVaR1的关键结果-可以在[1]中找到。定理2.2。

风险评估1-定义2.2中的β是一个连贯的风险度量。此外，对于任何X∈ L∞(Ohm, F） 通过拉普拉斯变换，它的对偶表示具有formEV aR1-β（X）=supf∈副总裁(-fX），（8）其中D={f∈ L+(Ohm, F） | EP[F ln（F）]≤ - lnβ}与l+(Ohm, F） ={F∈ L(Ohm, F） |EP（F）=1}。（9） 关于证据，我们参考[1]。如果我们在累积风险度量（6）的一般定义中使用风险度量（7），我们自然会在空间RPL上获得ris k度量，这将继承原始风险度量的一些关键特征。我们现在正式引入累积熵风险值的概念，用Cevar1表示-β、 在空间RpL上。定义2.3。设X是RpLand Let EVaR1中的随机过程-β是定义2.2中的风险度量。然后，对于给定的权函数ω：[0，T]-→ R+（即RTω（t）dt=1），风险的累积熵值，用CEVaR1表示-β、 我被CEV aR1定义-β（X）=ZTEV aR1-β（Xt）ω（t）dt。（10） 使用（7）作为我们的基础度量的主要优点是，由此产生的累积风险度量（10）对于一系列广泛的集体风险模型来说足够容易处理。这是因为（7）中出现的期望值仅仅是随机变量Xt（对于t）的拉普拉斯指数≥ 0). 在集体风险理论中，许多用于保险准备金的模型都具有封闭形式的拉普拉斯变换，尤其是所谓的Lévy保险风险过程。如果总索赔过程由光谱负Lévy过程驱动，则基于EVAR1的累积熵风险度量-β是使用InRick management应用程序的自然选择。定义2.3中的风险度量属于[11]中开发的随机过程空间上公理化风险度量的一般框架。我们现在研究它的一些性质。推论2.1。

风险度量CEVaR1-β、 定义2.3给出了空间RpL的一致风险度量。证据自EVaR1以来-β的形式为（6），具有一致的基本风险度量ρ，它紧随其后的是evar1-作为定理2.1的特例，β是一致风险度量。现在，我们可以注意到，在定义2.3中，权函数ω起着重要作用。权重函数的不同选择将导致不同的累积熵风险度量。人们可以自然地把ω看作一个密度函数，它在区间[0，T]上分布一个概率质量。有趣的选择是使用合适的停止时间τ的密度函数fτ∈ [0，T]，比如第一次通过时间或毁灭时间。这将根据某个有意义的事件在这些区域发生的可能性大小来惩罚区间[0，T]的某些区域。为了便于处理，在本文中，我们使用了一个统一的权重函数，即我们考虑ω（t）=t。在本文的剩余部分中，我们将研究以下CEVAR亚家族，CEV aR1-β（X）=TZTEV aR1-β（Xt）dt。（11） 现在，我们在本文中感兴趣的目标是将（11）中的CEVaR应用于保险上下文中，其中总索赔由光谱正Lévy过程建模。然后，我们应该首先验证光谱正Lévy过程的类别可以包含在空间RPP中≥ 1.这将使我们能够将CEVaR用于此类流程。提议2.1。设（Xt）0≤T≤一个光谱正的Lévy过程，那么，（Xt）0≤T≤T∈ R.证明。

从Lévy Ito分解中，我们可以看到，每个谱正Lévy过程都有以下表示（见[2]），Xt=bt+σbt+Z0<x<1x~N（t，dx）+Zx≥1xN（t，dx），（12）其中b∈ R、 σ∈ R+，B是标准的布朗运动，N是一个独立的泊松随机测度，~N是与N相关的补偿泊松随机测度。定义Yt=σBt+R0<x<1xN（t，dx）和Zt=Bt+Rx≥1xN（t，dx）。已知（见[2]），过程（Yt）为0≥T≤这是一个具有有限时刻的鞅。通过对过程Y使用Doob的鞅不等式，我们得到了| | sup0≤T≤T | Yt | | p≤聚丙烯- 1 | | | YT | | p，这意味着过程（YT）为0≤T≤对于所有p>1的患者，这都在RPS中。为了证明这个断言，现在有必要证明进程（Zt）为0≤T≤在R.我们知道≤T≤T | Zt |]≤ E“sup0≤T≤T（| b | T+（Zt- （英国电信）#≤ |b | T+E“sup0≤T≤T（Zt- （英国电信）#≤ （|b |+c）T+E“sup0≤T≤T(-ct+Zx≥1xN（t，dx）#对于满足复合泊松过程安全载荷条件（2）的一些c>0≥1xN（t，dx）。现在，这足以证明这个过程-ct+Rx≥1xN（t，dx）在R中。为了做到这一点，我们使用processRx≥1xN（t，dx）是一个复合泊松过程，跳跃大于1，因此该过程（Ct=Ct）-Rx≥1xN（t，dx））0≤T≤在集体保险风险理论的经典克拉默-伦德伯格模型中，可以将其视为净聚合过程。然后我们可以确定相关的破产时间τu=inf{t≥ 0 | u+Ct<0}以及相关破产概率ψ（u）=P输入≥0Ct<-U.注意，破产概率只是随机变量inft分布的尾部≥0这样我们就可以为s写作了∈ （0,1），inf{u>0 |ψ（u）≤ β} =V aRβ输入≥0Ct.自inft以来≥0Ct≤ inf0≤T≤TCt，通过对V aR的定义可以看出，V aRβ（inf0≤T≤TCt）≤V aRβ（inft≥0Ct）。

众所周知[10]，ψ（u）≤ E-Ru，其中R是伦德伯格基本方程的最小正函数，即λ+cr=λMRx≥1xN（t，dx）（r），其中λ是复合泊松过程的强度率≥1xN（t，dx）和MRx≥1xN（t，dx）（r）是rx的动量生成函数≥1xN（t，dx）。这意味着当T>0时，varβinf0≤T≤TCt≤ V-aRβ输入≥0Ct≤- lnβR，（13）这反过来意味着，E“sup0≤T≤T(-Ct）#=-Einf0≤T≤TCt=ZV-aRβinf0≤T≤TCtdβ，其中最后一个不等式来自期望的分位数的积分表示。使用（13），我们最终可以写出E“sup0”≤T≤T(-（Ct）#≤ -RZlnβdβ<∞ ,这意味着过程在R中。这就完成了证明。2.1示例定义2.3中引入的累积熵风险度量的优点是，对于具有拉普拉斯变换的一大类过程来说，具有足够的可处理性，可以用作（1）中净损失过程的模型。在这里，我们讨论（11）中针对一些Lévy保险风险模型的CEVaR的几个例子和计算表达式。2.1.1具有Drif-tLet Yt=ut+σwt的布朗运动可以是具有漂移参数u和尺度参数σ的布朗运动∈ R、 σ>0。在集体风险理论中，这种过程被用作（1）中的净损失过程，近似于经典的Cramer-Lundberg模型（[22]）。YtisE（e）的拉普拉斯变换-sYt=e-uts+σst.通过（7）中的直接替换和对s、f或t的微分∈ [0，T]，EV aR1-β（Yt）=-ut+σp-2t-lnβ。（14） aR1中（14）结果的直接替换和整合-β（Y）=-uT+σp-2T-lnβ。我们观察到，该风险度量是σ的递增线性函数和保费率u的递减线性函数。