大型池中的默认集群：大偏差

为了集中我们的调查，让我们首先重新调用[17]中获得的大数定律结果；我们只能理解与“典型”事件相关的“罕见”事件。假设2.1。我们假设有一个K2。1> 0表示αN，N\'s，λN，N\'s，σN，N\'s，|βCN，N | s，|βSN，N | s和λo,N、 N都以K2为界。1对于所有N∈ N和N∈ {1,2，…，N}。因此类型是有界的。事实上，我们希望它们有一个宏观分布。假设2.2。为了N∈ N、 de fi neUNdef=NNXn=1δpN，N。我们假设Udef=limN→∞UNexists在P（P）中，在概率测度P弱收敛的意义上。在这些假设下，udef=limN→∞u这是一个定义明确的度量值过程。我们可以通过martinga-le问题来确定μ。对于p=（^p，λ），其中^p=（α，βλ，σ，βC，βS）∈ P和f∈ C∞（P） 定义运算符（Lf）（P）=σλFλ（p）- α(λ -λ)Fλ（p）- λf（p）（Lf）（p）=βCFλ（p）。定义alsoQ（p）def=λ表示p=（^p，λ），其中^p=（α，λ，σ，βC，βS）∈ P.发生器以杀伤率λ将感染强度的不同部分聚集起来，并在任何给定时间对存活强度产生宏观影响。每f∈ C∞（P） 和u∈ E、 定义HF，uiEdef=Zp∈Pf（p）u（dp）。设B（P（P））中的元素Φ为Φ（u）=u（hf，uiE，hf，uiE…hfM，uiE）形式的集合∈ N、 一些∈ C∞（RM）和s ome{fm}Mm=1Fo rΦ∈ 形式（2）的定义（AΦ）（u）def=MXm=1φxm（hf，uiE，hf，uiE…hfM，uiE）{hLfm，uiE+hQ，uiEhLfm，uiE}。我们声称A w将是极限鞅问题的生成元（见[17]）。引理2.3。[弱收敛]让limN→∞εN=0。序列{uN}在DE（[0，T]）中是紧密的。此外，对于任何∈ S和0≤ R≤ R

rJ=s<t<t和{ψj}Jj=1 B（E），我们有那个限制→∞EΦ（uNt）- Φ（uNs）-Ztr=s（AΦ）（uNr）drJYj=1ψj（uNrj）= 0limN→∞EΦ（uN）= Φ（U）。极限udef=limNun是唯一存在且具有确定性的，该极限的概率为C（[0，T]；E）。此外，让Lt=1- ut（P），我们得到每δ>0limN→∞Psup0≤T≤T | LNt- Lt|≥ δ= 0.推论3.3表明LTC可以表示为固定点等式的唯一解。正如大数定律一样，这为我们定义罕见事件提供了参考轨迹。对于C（[0，T]；[0，1]）中不包含L的任何闭子集，我们有（3）limN→∞P{LN∈ F}=0。在这一点上，我们想指出的是，在[17]中的特定结果的表述中有一个拼写错误。这里特别提到（Lf）（p）=Fλ（p）和Q（p）=βCλ，其中它应该是（Lf）（p）=βCFλ（p）和Q（p）=λ。大偏差理论为我们提供了如（3）所示的概率衰减率，即投资组合损失分布的尾部。它识别函数I:C（[0，T]；[0，1]）→ [0, ∞] 这样，非正式地说，P{LN≈ Lref}N→∞ 经验[-NI（Lref）]虽然（根据定义）罕见事件不太可能发生，但大偏差理论为比较不同罕见事件的罕见性提供了严格的框架。因此，它有助于我们理解一系列罕见事件中“最有可能”的罕见事件。正如第4节中的数值实验所表明的，对传染和系统风险的更大敏感性会导致更胖的尾巴，从而导致系统中更大损失的可能性。这种类型的洞察力可以让他理解传染和系统风险的作用，以及它们如何相互作用，从而产生典型的高失败率。这可以为防范丹杰罗的罕见行为提供指导。3.

问题公式和主要结果我们在这里给出了关于经验损失LNt的大偏差的主要结果。我们从3.1小节中的一些符号和初步y计算开始。第一个结果是第3.2小节中的orem 3.1，其中我们推导了εN=0时的大偏差原则。εN=0的引理2.3如下：；见推论3.3。推论3.2给出了定理3.1的速率函数的替代公式；这种表示法对数值研究很有用。然后在3.3小节中，我们在定理3.10中给出了本文的第二个主要结果，即当εN6=0时的大偏差原理，即当接触效应和系统效应都被预先发送时。定理3.1中的大偏差原则是通过首先确定非均质池中违约的经验度量的大偏差原则，v N（在（8）中正确定义），然后使用合同原则来获得的。用两步证明了νNis的大偏差原理。首先，我们推导了独立（即，当所有βCN，n=0）但非均匀情况下的大偏差原理。Varadhan的转移引理（被称为定理5.7）则暗示了一般情况下的LDP。定理3.10的大偏差原理是通过定理3.1的大偏差原理和小噪声扩散过程[11]的条件论证得出的。在这一节中，我们给出了定理陈述，第5节给出了相应的证明。让我们回忆一下大偏差的概念和相关的速率函数。定义3.1。

如果S是波兰空间，P是（S，B（S））上的概率测度，我们说集合（ξn）n∈Nof S值随机变量与速率函数I:S有一个大偏差原理→ [0, ∞] 如果（i）对于每个s≥ 0，集Φ（s）={s∈ S:I（S）≤ s} 是每一个开G的s（ii）的一个紧子集 S、 limn∞nlnp{ξn∈ G}≥ - infs∈GI（s）（iii）适用于每个封闭F S、 limn∞nlnp{ξn∈ F}≤ - infs∈FI（s.3.1。初步计算。让我们设置一些符号。Fix p=（α，βλ，σ，βC，βS，λ）o) ∈ P.固定时间范围T>0。让抛光空间S和用C（S；R）和AC（S；R）表示为从S到R的连续和分别绝对连续的P的集合。为了便于记法，如果没有混淆，我们有时会写C（S；R）和AC（S；R）。对于AC（[0，T]；R）和W中的ψ和ψ*a参考布朗运动，设λψ，ψ为SDE（4）λψ，ψt（p）=λ的解o- αZt（λψ，ψs（p）-′λ）ds+σZtqλ~n，ψs（p）dW*s+βCа（t）χ[0，t]（t）+βSZtλа，ψs（p）χ[0，t]（s）dψ（s）t>0这将代表我们工具中p型“随机选择”名称的条件强度。设随机变量τ~n，ψ为（5）Pτφ,ψ≤ T= PZtλψ，ψs（p）ds≥ E= 1.- E经验-Ztλψ，ψs（p）ds对于所有t>0，其中e是独立于W的指数（1）随机变量*. 定义fp~n，ψ（t）def=Eλψ，ψt（p）exp-Ztλψ，ψs（p）ds.那么对于t∈ [0，T]Pτφ,ψ≤ T=Ztfp~n，ψ（s）ds=1- E经验-Ztλψ，ψs（p）ds.（6） 现在让我们收集τψ，ψ>T的所有场景。确定一个抽象点 不在[0，T]和definetdef=[0，T]∪ {}（这是一个波兰空间）。对于AC（[0，T]；R）中给定的轨迹ψ和ψ，定义up~n，ψ∈ P（T）as（7）uP~n，ψ（A）def=Zt∈A.∩[0，T]fp~n，ψ（T）dt+δ（A） （1）-所有A的ZTfpψ，ψ（t）dt）∈ B（T）。换句话说，up~n，ψ是T上相应的概率度量。定理3.1和3.10中出现的大偏差原理是以up~n，ψ表示的。

此外，利用问题的特殊结构，引理4.1表明up~n，ψ可以用封闭形式计算。3.2. εN=0情况下的大偏差原则。在这种情况下，由于随机性，X在计算中不起作用。确定概率度量∈ P（P×T）（8）νN=NNXn=1δpN，N，τNχ{τN≤T}+NNXn=1δpN，n，χ{τn>T}这捕获了pN，n（资产的“类型”）和τn，n（默认时间）的分布。如果X是抛光的，则表示方便设置xdef=P×t。我们当然可以从νN中恢复经验损失；LNt=νN（P×[0，t]）。让我们做以下定义。定义3.2。固定ω∈ P（X）和Γ∈ P（P）；我们说ω=ξ υ、 其中，如果ω（a×B）=Zp，ξ是从P到P（S）的可测映射（即，ξ是随机核）∈Aξ（p）（B）Γ（dp）。尽管如此∈ B（P）和B∈ B（T）。在这种情况下，我们写ξ=ωυ.让我们定义（9）H（ν，u）=（Rt∈Tlndνdu（t）ν（dt），如果ν<< u∞, 否则，然后（10）`H（ν）=（Rp∈酸碱度νU（p），up′ν，0U（dp）如果νU（p）存在∞ 另外，如果（7）中定义了up′ν，0，U由假设2.2给出，则s超脚本p表示对特定元素p的依赖性=（α、λ、σ、βC、βs、λ）∈ P、 B区∈ B（T），我们设置‘ν（B）=ν（P×B）。动作函数的形式相当容易理解，至少在同质情况下是如此。假设有一个固定的p*∈ P和pN，n=P*为了所有人∈ N和N∈ {1，2，…，N}（因此U=Δp）。如果ν*= δp*对于某些ω∈ P（T），那么ν*U（p*) = ω和一个期望tha tPN（dνN∈ dν*)N→∞ E-全日空航空公司ω、 up*ν*,0= E-N′H（ν）*).接下来考虑一个具有两种固定类型的异构池*A和p*B.假设在一个大小为N的池中，每三个名字都是p类型的*a其余名称为p型*B

如果ν*=δp*A×ωA+δp*B×ωB，那么ν*U（p）=（ωAif p=p*AωBif p=p*B然后νN联合国（p*A） =N/3X1≤N≤Nn∈3NΔτnχ{τn≤T}+N/3X1≤N≤Nn∈3Nδχ{τn>T}νN联合国（p*B） =2N/3X1≤N≤Nn6∈3NΔτnχ{τn≤T}+2N/3X1≤N≤Nn6∈3Nδχ{τn>T}在启发式水平上，我们期望tPN（dνn∈ dν*) = PNνN联合国（p*（A）≈ dωA，νN联合国（p*B）≈ dωBN→∞ 经验-全日空航空公司ωA，up*A′ν，0-2NHωB，up*B′ν，0= E-N′H（ν）*).定理5.8给出了严格的证明，一般来说，`H（ν）是{νN，N<∞} 在这种情况下。定理5.8和收缩原理的直接结果是LNt=νN（P×[0，t]）的大偏差原理。定理3。1.考虑（1）中定义的系统，εN=0，T<∞. 在假设2.1和2.2下，族{LNT，N∈ N} 满足定义3.1的大偏差范围，具有速率函数i(l) = inf\'H（ν）：ν∈ P（X）和ν（P×[0，T]）=l.速率函数I是下半连续的，具有紧的水平集。本质上，函数熵的形式是“当前”和“当前”νU（p），up′ν，0. 然而，由于环境的异质性和系统中的反馈项，出现了新的现象。异质性的影响实质上是将P空间中的不同类型进行整体整合，而反馈项则负责uPν0中的s ubs脚本，这是熵中的非线性影响。forξ，ν∈ AC（[0，T]；R）让我们定义函数ξ、 fp~n，0=ZTln˙ξ（t）fp~n，0（t）！˙ξ（t）dt+ln1- ξ（T）1-RTfp~n，0（t）dt！(1 - ξ（T））接下来，在推论3.2中，我们注意到速率函数I有一个简单的替代表示，它更适合于数值研究。推论3.2。考虑（1）中定义的系统，εN=0。

定义\'(l) = inf~n∈AC（P×[0，T]；R），ν≥0ZPgν（p），fpā，0（t）U（dp）：а（p，0）=0，а（s）=ZPа（p，s）U（dp）和а（T）=l在定理3.1的假设和符号下，I=I′。定理3.1的一个直接序列是[17]中得到的LNTO的大数定律结果。推论3.3。εN=0。有一个独特的度量*这样每一个t∈ [0，T]-ν*（[0，t]）=1-ZPe-（bp（t）λ+Rtα′λbp（t-u） du+βCRrbp（t-u） ν*（du）U（dp）；这是H（ν）=0的唯一解。最后，\'ν*（[0，t]）=所有t∈ [0，T]，在Emma 2.3中给出了L。推论3.3的证明见第5.2节。作为一个可能使用Theorem 3.1和推论3.2的例子，让我们考虑同质池和由K个不同容器组成的异质池，每个容器内都是同质的。例3.4（均质）。修正p*∈ 假设pN，n=P*为了所有的N和N(l) = infG~n，fp~n，0: ν（0）=0，ν（T）=l, φ ≥ 0, φ ∈ AC（[0，T]；R）.例3.5（异构）。假设池由K个不同的容器组成。假设κi%的名称属于类型aii，i=1、··、K和pki=1κi=100。我们得到了(l) = inf（KXi=1κigνAi，fpAi~n，0: ν（t）=KXi=1κi~nAi（t）每t∈ [0，T]~n（T）=l, νAi（0）=0，νAi≥ 0，νAi∈ AC（[0，T]；R）对于每一个i=1，·K}.3。主要结果：案例界限的大偏差原则→∞εN=0。在本小节中，我们研究存在系统影响的情况。当εN6=0时，过程的大偏差{XNt=εNXt，N∈ N} 影响经验违约率过程的大偏差{LNt，N∈ N} 。为了恰当地表述我们的结果，我们需要对X过程的系数的标度性质做出一些假设。这些是保证{XNt=εNXt，N族存在大偏差原理的最小假设∈ N} 。具体来说：假设3.6。

我们假设以下极限一致地存在于Ro`b（x）=limε的有界子集上↓0bε（x）=limε↓0εb（x/ε）对于某些ζ∈ （0,1]，\'κ（x）=limε↓0κε（x）=limε↓0ε1-ζκ（x/ε）。此外，系数b（x）和κ（x）在R的紧子集上是不一致连续的，我们假设具有漂移系数b（x）和扩散系数κ（x）的SDE具有唯一的强解。对于任何你∈ L（[0，T]；R）定义地图：L（[0，T]；R）7→ 通过方程（11）ψ（T）=Zt′b（ψ（s））ds+Zt′κ（ψ（s））u（s）ds3.7。我们假设，对于任何美国∈ L（[0，T]；R）地图Γ：L（[0，T]；R）7→ （11）定义的C（[0，T]；R）定义明确，且（11）具有独特的解决方案。此外，我们假设每N∈ N、 当映射Γ被限制为集合{u时，它是连续的∈ L（[0，T]；R）：RT | u（s）|ds≤ N} 被赋予了L[0，T]的优势。我们还需要一个假设。假设3.8。

让你∈ A在[0，T]、R值和Ft可预测过程上的平方可积集，并考虑受控sdedXε，ut=[bε（Xε，ut）+κε（Xε，ut）u（T）]dt+εζεε（Xε，ut）dVt，Xε，u=0。如果林→∞εn=0和{un}n∈不，是这样的∈NRT | un（s）| ds≤ N几乎可以肯定，然后是XεN，unis-tight inC（[0，T]；R）和supn∈NEZT|κ（Xεn，uns）|ds<∞.正如我们将在5.3小节的引理5.10中看到的，在3.6、3.7和3.8假设下，{XNt=εNXt，N族的大偏差原则∈ N} 在速度为1/ε2ζ的C（[0，T]；R）上，与大偏差原理相同，对于{XNt，N族，速度相同∈ N} 式中，（12）d\'XNt=\'b（\'XNt）dt+εζNκ（\'XNt）dVt，\'XN=0。在这种情况下，{XNt，N的大偏差作用函数∈ N} 在C中（[0，T]；R）是（13）JX（ψ）=inf（ZT | u（s）| ds:u∈ L（[0，T]；R），Γ（u）=ψ）每当{u∈ L（[0，T]；R），Γ（u）=ψ}6= 和JX（ψ）=∞ 否则我们注意到，如果所有x的κ（x）6=0∈ R、 那么对于ψ∈ AC（[0，T]；R）ψ（0）=0，我们得到了简化的众所周知的形式，见[11]第5.3节，JX（ψ）=ZT˙ψ（t）-\'b（ψ（s））\'κ（ψ（s））Ds和JX（ψ）=∞ 否则然而，一般来说，速率函数的形式由（13）给出。例3.9。两个经典的例子，其中假设3.6、3.7和3.8保持和thu是过程{XN，N的LDP∈ N} 保持，是（a）：b（x）=-γx和κ（x）=1，其中b（x）=-γx，\'-κ（x）=1，ζ=1，和（b）：具有b（x）=-γ（x）- \'-x/ε）和κ（x）=√x、 其中b（x）=-γ（x）- \'x，\'κ（x）=√x和ζ=1/2。然后，我们有下面的定理。定理3。10.考虑（1）中定义的带有limN的系统→∞εN=0，使得limN→∞Nε2ζN=c∈(0, ∞) 让T<∞.

在假设2.1、2.2、3.6、3.7和3.8下{LNT，N∈ N} 满足定义3.1的大偏差范围，速度N和速率函数i(l) = inf{S（ψ，ψ）∶∈ C（P×[0，T]；R），ψ∈ C（[0，T]；R），（T）=l}式中（ψ，ψ）=火箭弹ψ（p），fp′~n，ψ（t）U（dp）+cJX（ψ），如果∈ AC（P×[0，T]；R），ψ∈ AC（[0，T]；R），ψ（0）=0，ψ（p，0）=0，ψ）≥ 0，（s）=RP（p，s）U（dp）∞, 在这里，JX（ψ）是过程{XN，N<∞}, 如（13）所定义。我(l) 具有紧凑的水平集。S（ψ，ψ）的定义表明，如果c=limN→∞Nε2ζN=∞ 然后治疗ψ（p），fp′~n，ψ（t）S（ψ，ψ）中的U（dp）积分将是主导因子，而如果c=limN→∞Nε2ζN=0，则JX（ψ）熵将成为主导因子。这将在第5.3节中变得更加清楚。因此，这两种效应都会导致ifc=limN→∞Nε2ζN∈ (0, ∞) 这就是我们在本文中关注的情况。然而，在定理3.10的证明过程中，我们证明了引理5.9，这是{LNt，N的大偏差原理∈ N、 t∈ [0，T]}进程t7的给定路径→ 当εN=1.4时，Xtin Cc（[0，T；R]）。大偏差原理的数值探索在本节中，我们通过一些数值计算来说明我们的理论结果。特别是，在第4.1节中，我们研究了同质池的速率函数、概率损失分布的尾部和极值在特定情况下的行为。我们比较了两种不同的投资组合，并定性地比较了这两种情况。