大型池中的默认集群：大偏差

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英文标题：
《Default Clustering in Large Pools: Large Deviations》
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作者：
Konstantinos Spiliopoulos, Richard B. Sowers
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study large deviations and rare default clustering events in a dynamic large heterogeneous portfolio of interconnected components. Defaults come as Poisson events and the default intensities of the different components in the system interact through the empirical default rate and via systematic effects that are common to all components. We establish the large deviations principle for the empirical default rate for such an interacting particle system. The rate function is derived in an explicit form that is amenable to numerical computations and derivation of the most likely path to failure for the system itself. Numerical studies illustrate the theoretical findings. An understanding of the role of the preferred paths to large default rates and the most likely ways in which contagion and systematic risk combine to lead to large default rates would give useful insights into how to optimally safeguard against such events.
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中文摘要：
我们研究互联组件的动态大型异构组合中的大偏差和罕见的默认集群事件。违约以泊松事件的形式出现，系统中不同组成部分的违约强度通过经验违约率和所有组成部分共有的系统效应相互作用。我们建立了这种相互作用粒子系统经验违约率的大偏差原理。速率函数以显式形式导出，便于数值计算和系统本身最可能失效路径的推导。数值研究说明了理论发现。了解高违约率的首选途径的作用，以及传染和系统性风险结合起来导致高违约率的最可能方式，将有助于深入了解如何以最佳方式防范此类事件。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-5-5 03:59:22 上传

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关键词：Quantitative Applications Konstantinos Optimization computations

大池中的默认聚类：大偏差Skonstantinos SPILIOPO Ulos麻省波士顿大学波士顿分校025理查德·B·索沃斯伊利诺伊大学厄本那-香槟纽巴纳分校数学系，伊利诺伊州61801摘要。我们研究了互连组件的动态大型非均匀端口中的大偏差和罕见的默认群集事件。违约以泊松事件的形式出现，系统中不同组成部分的违约强度通过经验违约率和所有组成部分共有的系统效应相互作用。我们建立了这种相互作用粒子系统的经验违约率的大偏差原理。速率函数以显式形式导出，便于数值计算和推导系统本身的最常见故障路径。数值研究阐明了理论发现。了解导致大额违约率的预出错路径的作用，以及传染和系统性风险结合导致大额违约率的最可能方式，将有助于深入了解如何以最佳方式防范此类事件。1.引言2007-2008年的金融危机向数学金融界提出了挑战，要求他们理解金融系统中的连通性。需要开发适当的模型，以了解风险如何在金融对象之间传播，这些金融对象此前可能被建模为封闭系统。最初的冲击，如利率价值的变化、商品价格的变化或全球经济增长的减少，可能会引发传染效应，例如[19]。因此，某些传导机制，如金融联系或投资者的非理性行为，可能会导致系统的组成部分受到初始冲击的影响。

相关违约的简化形式点过程模型通常基于计数过程，通常用于评估贷款和公司违约等可违约资产组合中的组合信用风险。在这些模型中，默认值是由给定的随机微分方程系统控制的强度。由于投资组合的规模，在这些模型中计算违约损失的分布通常是具有挑战性的。例如，美国主要银行可能很容易获得2万笔批发贷款和5万笔贷款-10万笔中端市场和合作商业贷款。规模为10000的抵押贷款池通常很常见。对这样的池进行模拟和分析是非常繁琐的，而且往往相当繁重。在这项工作中，我们专注于使用动态投资组合信用风险模型来研究大型投资组合中的罕见事件和缺陷聚类。我们通过点过程的分类框架对失效进行统计建模。然而，我们包含了几个不同且有意义的随机性来源，这些随机性可能导致系统本身的故障。电子邮件地址：kspiliop@math.bu.edu，r-sowers@illinois.edu.Date：2018年11月4日1991年数学学科分类。60F10·60G55·91G40·91G80。关键词和短语。大偏差、异构网络、大池、R是事件、默认群集。作者要感谢凯·吉塞克的有益评论。形成相互作用粒子系统的强度，相互作用通过反馈项和暴露于常见的系统风险发生。我们在[17]中研究的经验激励模型的基础。

在这项工作中，研究了这类模型的各种性质，发现传染和系统性风险为违约聚集提供了有意义的见解。[17、18、20]研究了系统中组件数量增加时此类模型的典型（大数定律）和中心极限类型行为。我们感兴趣的是尾部行为和尾部事件。结构化融资的一个主要理论摩擦是，显然，大型资产的定价是合理的，因为没有人能够准确地为尾部事件定价。然而，在事后看来，在大型泳池中的互动被证明是一个致命弱点。互连通常使系统健壮，但它们也可以作为故障的诱因。在本文中，我们试图理解大型互联系统中罕见系统崩溃的数学。我们考虑一个具有相互作用组件的大系统，该组件受到外部弗兰多姆性源的影响。有一个中央互联源（中央“总线”）。任何部件的故障都会对中央总线造成压力，这反过来会导致其他部件故障（反馈效应）。特别是，我们想了解系统是如何发生严重故障的，以及反馈机制和外源因素如何相互作用，从而产生大型故障簇。除了了解这种失败的可能性，我们还想了解失败途径的结构。给出交互系统的统计描述，理解“最有可能”的故障路径自然会导致理解如何控制系统以最小化故障，以及如何感知故障的开始。特别令人感兴趣的是动态互动。额外的时间维度允许我们比较一个系统在给定点结束的不同可能方式。

这可能有助于早期识别某些现象。我们的目标是在[17]的mo de l中发展这些见解。特别是，我们想了解系统崩溃的途径。在传染病蔓延的情况下，资金池最有可能以什么方式承受巨额损失？与其他工程系统一样，对最常见的失效路径进行表征可以更好地进行有效干预。我们分析的核心是大偏差理论。g、 ，参见经典手稿[6,11]。大偏差理论提供了一个丰富的框架，在这个框架中可以识别并证明指数尾的衰减率。两个简单的例子是众所周知的；萨诺夫定理最简单地描述了大量i.i.d硬币流的尾部行为，以及弗雷伊德林-温策尔定理，该定理确定了不同扰动导致稳定微分方程偏离平衡的最可能方式。这两个核心例子在我们的分析中都起到了作用，尽管这里的情况更复杂，因为硬币的形状既不相同，也不独立。违约可以被建模为硬币流，而传染的影响可以被认为是动态系统的随机扰动。我们的主要定理3.1和3.10给出了大偏差原理。在完全情况下，当传染效应和系统效应都存在时，速率函数是相对熵（一种“非线性”萨诺夫类型理论）和弗雷德林-我们-恩泽尔作用函数的组合。[5,14]和[21]研究了静态池中的尾部行为，作者研究了当恢复率取决于违约率时，随机恢复对损失分布尾部的影响。

在[15,16]中，研究了组合信用风险高斯copula模型中损失分布的罕见事件渐近性和相关的重要抽样问题。在[3]中对平均场模型进行的大偏差分析中，作者将池中某个组件的违约强度视为违约导致的百分比池损失的确定函数，另见[4]。在[23]中，作者建立了一个单点过程相互作用系统的大时间大偏差原理。在[12]中，作者通过相互作用因素的平均场模型[从内生方面]研究了系统风险。使用双阱势模型，试剂可以从健康状态快速移动到失败状态。作者以大偏差为例，研究了从健康状态过渡到失败状态的可能性。在本文中，我们考虑了具有随机强度的动态非均匀池的尾部行为，并且我们对互连组件的大型池的行为感兴趣。我们的贡献是双重的。首先，我们为相关缺陷时间的动态点过程模型建立了一个大偏差原则，该模型同时考虑了传染和系统性、外源性风险的影响。我们研究了网络中组成企业或组件数量增长的情况。其次，我们从数值上探索了大偏差的结果，这有助于理解默认集群是如何在这样的系统中出现的。在理论方面，我们看到，控制尾部事件的速率函数被明确地给出为Freidlin-Wentzell作用泛函和非线性相对熵的加性泛函，其中非线性起源于默认值不独立的事实。

依赖结构和环境的异质性，即默认值分布不一致的事实，使数学分析变得复杂。尽管如此，我们还是很好地得到了大偏差原理的一个相当明确的形式，这是一个可以进行数值研究的方法。特别是，我们推导了一种适用于数值计算均匀和非均匀环境中的速率函数和最有可能失效路径（即极值）的速率函数表示。在数值方面，数值实验说明了系统（外生）风险和传染对此类系统尾部事件的影响。例如，正如我们将在第4节的数值研究中看到的，如果出现大型违约集群，系统风险最有可能在初始阶段发挥重要作用，但随后其重要性降低（因此传染效应变得更加重要）。此外，对具有两种或两种以上类型的异质池中与大偏差率函数（即最有可能失败的路径）相关的极值进行分析，有助于了解池中哪些类型由于区域的影响更容易违约，以及由此导致的违约集群的产生途径。在本文结束时，我们提到，尽管我们研究的交互系统主要是由大型金融网络中的系统性风险问题驱动的，但它的公式具有足够的通用性，可以进行更广泛兴趣的分析和结果。网络中单个组件失效的物理现象，可能是由外力引起的，增加了网络中其他组件的应力，使系统更容易失效，具有广泛的意义和适用性。论文的结构如下。

在第2节中，我们描述了模型、假设以及[17]中证明的大数定律结果。在第3节中，我们描述了我们的主要结果，即经验测量和经验违约率的大偏差原则。然后，在第4节中，我们进行了支持理论发现的数值实验。第5节包含第3节大偏差结果的证明。我们在第6.2节总结了我们的结论。模型和大数定律我们假设我们的整个系统包含N个组件或子系统（其中N是大的）。我们假设(Ohm, F，P）是定义所有随机变量的基本概率三元组。首先，设τnn为系统中第n个分量（或粒子）失效的停止时间。失效时间τNn具有强度过程λN，N，满足{τNn∈ （t，t+δ）|Ft，τNn>t}≈ λN，ntδ为δ0，其中fti是整个系统直到时间t生成的西格玛代数。也就是说，由χ{τNn定义的过程≤t}-RtλN，ns{τNn>s}ds是关于Ft的鞅。我们希望我们的模型能够捕捉到几个重要的现象。每个成分都会受到三个随机性来源的影响，其中一个是共同成分本身特有的，一个是负责传染效应的，另一个是反映外部环境的。我们假设每个组件都经过了稳定的设计。然而，我们也假设系统受到级联（或“传染”）行为的影响；任何组件的故障都可能导致更多组件的损坏。

特别是∈ N和N∈ {1，··，N}我们考虑模型（1）dλN，nt=-αN，N（λN，nt）-¨λN，N）dt+σN，nqλN，ntdWnt+βCN，ndLNt+εNβSN，NλN，ntdXtt>0λN，N=λo,N、 ndXt=b（Xt）dt+κ（Xt）dVtt>0X=xoLNt=NNXn=1χ{τNn≤t} 式中（2）τNndef=infT≥ 0:ZtλN，nsds≥ EN.这里，Wn是标准布朗运动的独立集合，V也是标准布朗运动，en是标准指数随机变量；Wn、V和en都是相互独立的。在βCN的情况下，n=βSN，对于所有n，n=0∈ {1，··，N}，可以恢复creditrisk中的经典CIR模型，例如[7]。术语βCN，ndlntr反映了传染效应，而XT术语是随机性（系统性风险）的外部来源。请注意，X的移动会导致每个强度λN，N中与cor相关的变化，这为默认聚集提供了一个通道。每个系统的组件对X的灵敏度由参数βSN，n测量∈ R.然后，默认值会导致强度λn，n的大小βCN，n/n的跳跃，其中βCN，n∈ R+=[0，∞). λN，N的平均回复率表明，违约的影响随着时间的推移而逐渐消失，与速率αN，N成指数关系∈ R+。dX分量g中λ的线性依赖性保证λN，nt≥ 每N 0∈ N、 N∈ {1，··，N}和t≥ 0（文献[17]中的命题3.3]），使分析计算更容易。如[1]所示，违约聚集的重要渠道是此类自我激励效应。[17]中的建议N3.3保证，在假设存在SDE for X过程的唯一强解的情况下，系统（1）具有唯一的强解，如tλn，nt≥ 每N 0∈ N、 N∈ {1，··，N}和t≥ 0.反馈项的结构，即经验平均LNt，属于平均场类型，这使得系统（1）大致处于McKean-Vlasov模型的类别内，例如[13]。

然而，正如[17,18]中所示，（1）的结构提出了一些困难，使得此类系统的分析超出了标准设置的范围。特别是，一个关键的结构差异是，在强度λN，nt的水平上，经验度量不是t，而是在衰减时间τNn的水平上，即存在额外的随机性水平。此外，相互作用的粒子系统是非均匀和非均匀的，存在额外的ter m X，强度动力学系数没有界，并且存在平方根简并。让我们定义一个描述λN，N\'s的“类型”spa ce。定义Pdef=R+×Rand，我们用pN表示，N=（αN，N，\'λN，N，σN，N，βCN，N，βSN，N，λ）o,N、 N）∈ P.T the n pN，n给出了λn，n的动力学，对损失过程LN的响应，以及初始条件。让我们也定义PN，ntdef=（αN，N，¨λN，N，σN，N，βCN，N，βSN，N，λN，nt）；这是一个aP值过程，它可以追踪λN的动态及其当前值。当然，我们有pN，n=pN，n。对于任何波兰空间S，设M（S）是S上的子概率Borel测度的集合；i、 e.，S由Borel测度Sνo n S构成，使得ν（S）≤ 1.那么M（S）本身就是一个波兰空间；[10]. 定义reEdef=M（P），并设uNtdef=NNXn=1δPN，ntχ{τNn>t}；这是PN，ntf对于那些仍然“活着”的成分的经验分布。我们注意到E中的uNtisa随机轨迹。同样，LNt=1- uNt（P），我们将用P（P）表示P上的一组概率测度。在[17,18,20]中，作者发展了大数定律和中心极限定理逼近uNt，并将其作为LNTA的结果。本文的目的是建立经验损失LNt的大偏差原理，即研究其尾部行为。在本文中，我们主要关注limN的案例→∞εN=0。