大型池中的默认集群：大偏差

然后，在第4.2小节中，我们对由两种类型组成的非均质油藏进行了一些数值试验，其中两种类型的差异在于传染和系统效应的影响程度。了解传染和系统性风险结合起来导致更高违约率的最可能方式，有助于深入了解如何对此类事件进行最佳对冲。尤其是，数值实验表明，如果出现一个大的集群，系统因素的影响在最初阶段将更为显著，但随后其重要性降低，传染效应变得更为重要。此外，在异构池的情况下，大偏差分析使我们能够说明池中哪些类型的名称可能会受到更大的影响，以及影响的顺序。在接下来的数值结果中，我们数值计算了速率函数I(l) 以及相应的极值ψ和ψ，它们解决了定理3.10中关于齐次和非齐次情形的变分问题。在速率函数的数值计算中，我们需要计算fp~n，ψ（t），这是在引理4.1.4.1的帮助下完成的。均质池的数值计算。现在让我们了解一下，在同质投资组合的某些特定情况下，我们的计算结果是什么样的。我们认为系统性风险为OrnsteinUhlenbeck型，尤其是（14）dXt=-γXtdt+dVtX=0对于下面的数值实验，我们取εN=√N.LDP由定理3.10给出，C=1。评估I的主要困难(l) 极值是（7）的up~n，ψ的计算。λN，nof（1）基于CIR的演化的优点是，有相当明确的公式可用。对于t∈ [0，T]，让θptsolve（15）θpt（s）=Zs1.-σ（θpt（r））- αθpt（r）dr+βSZsθpt（t- r） dψ（r）。

s∈ [0，t]然后定义Γp~n，ψ（t）=θpt（t）λo+ α′λZtθpt（r）dr+βCZtθpt（t- r） d~n（r）引理4.1。我们有fp~n，ψ（t）=˙Γp~n，ψ（t）exph-Γp~n，ψ（t）i.证明。defi neMsdef=exp-θpt（t）- s） λψ，ψs- α′λZtsθpt（t- r） 博士- βCZtsθpt（t- r） d~n（r）-Zsλψ，ψrdr对于s∈ [0，t]。注意θpt（0）=0。在微分形式中，dMs=n˙θpt（t- s） λψ，ψs- θpt（t）- s） n-α（λψ，ψs）-βC˙~n（s）+βs˙ψ（s）λ˙，ψso- λψ，ψs+（θpt（t- s） ）σλψ，ψs+θpt（t）- （s）α′λ+βC˙~n（s）Msds+DMS，其中M是一个标记。ODE（15）意味着ds项相同为零，因此M是鞅。注意m=exp[-φ，ψ（t）]和Mt=exp-Ztλψ，ψrdr,我们明白了-ψ，ψ（t）=M=E[Mt]=E经验-Ztλψ，ψrdr.将其与（5）和差异进行比较，得出如下结论。我们考虑两个测试组合；见表1。对于每个测试组合，我们比较了四种不同的情况，（a）独立e：βS=βC=0，（b）仅传染：βS=0，βC6=0，（C）仅系统风险：βS6=0，βC=0，以及（d）系统风险和传染：βS6=0，βC6=0。在每种情况下，hor izon的时间T=1。Nα′λσλγβSβCPortfolio I 200 1 0.9 0.5 1 10 3 Portfolio II 200 5 1 0.5 0.1 28表1。两个测试组合的模型参数值。在表2中，我们报告了两个投资组合在T=1时的损失，以及在存在传染效应（即βC6=0，取表1中的值）和不存在传染效应（即设置βC=0）的情况下的损失。Lc（1）Lnc（1）投资组合I 0.804 0.470投资组合II 0.650 0.589表2。典型违约率“l = 存在传染时，T=1时的Lc（T），即βC6=0和‘l = 当不存在传染性时，T=1时的Lnc（T），即βC=0。在图1中，我们看到了所有随机函数的比较。请注意，在这两种情况下l 满意度I（“”l) = 0，其中大数定律由表2给出。

当然，这是意料之中的，符合大偏差理论。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6违约率函数仅依赖于联系仅系统风险仅系统风险和传染0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8违约率函数仅依赖于联系仅系统性风险仅依赖于系统性风险和传染性配置图1。速率函数I′(l). 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。在图e 2中，我们看到了LNT尾部的大偏差近似值。也就是说，我们绘制P{LNT≈ l} 经验[-倪(l)] 哪里l >l = LT.区域风险和系统风险对LNT的尾部有重大影响。此外，我们在这里看到，就分布的尾部而言，在投资组合I中，传染的影响主导着系统风险的影响，而在投资组合II中，系统风险的影响主导着传染的影响。这主要是由于两个投资组合的β和βCin值的差异，表1.0.6 0.7 0.8 0.9 1.00e+002e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染0。70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.000e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染图2。大偏差近似于违约率LNT的尾部。左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。在图3和图4中，我们看到了一个水平的最佳ψ和ψ的比较l = 0.85. 传染效应和系统风险改变了外部行为（最可能的失败途径）。比较图2中投资组合I和II的损失分布，我们得出结论，在投资组合I中，传染的影响通常比系统风险的影响更为深远。

另一方面，在投资组合II的情况下，系统风险的影响比传染的影响更为深远。此外，在图4的左面板中，我们看到，如果出现大型默认集群，系统风险最有可能在初始阶段发挥重要作用，但随后其重要性降低（因此传染影响变得更加重要）。0.20.40.6 0.8 1.00.0.2 0.4 0.6 0.8时间依赖性仅系统风险和传染0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 TimePhi极端依赖性仅接触系统风险仅系统风险和传染图3。t的最优φ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。4.2. 异构池的数值计算。在这一部分中，我们用数值方法说明了由两种类型组成的异质投资组合的情况。A型是名字的1/3，B型是名字的2/3。为了说明这种异质性投资组合中传染和系统风险的影响，我们将所有参数保持不变，但a型和B型的参数（βCA、βSA）和（βCB、βSB）除外。假设系统风险由（14）给出。特别是，我们假设最初池中有N=200个名称，我们考虑一个PortfolioComposited，由两种类型和以下参数组成。在这样的投资组合中，我们计算出，如果没有传染，典型的损失时间T=1为0.62，如果有传染，则为0.81。

下面，我们看到plo比较了所有病例的速率函数、分布尾部和极值，这取决于是否存在传染和系统风险影响。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Timepsi极端系统性风险仅系统性风险和传染性0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Timepsi极端系统风险仅系统风险和传染图4。t的最优ψ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。α′λσλγβSβcTypea 1 0.5 1 5 10类型B 1 0.5 1 1表3。投资组合中两种类型的模型参数值。在图5中，我们比较了所有速率函数I和损失分布的尾部。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0违约率函数仅依赖于联系仅系统风险仅系统风险和传染0。70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.000e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染图5。速率函数I(l) 而损失分布的尾部——传染效应和系统性风险——会改变极端行为（最有可能的失败途径）。在图6中，我们看到了一个损失水平的最佳φ的比较l = A型和B型在有无传染效应和有无系统风险效应的不同情景下为0.85。为了说明A型和B型之间最有可能出现故障的路径行为之间的差异，我们比较了图7左面板中的相应魟极值，当传染和系统风险的影响都包含在模型中时。我们注意到，在任意给定的时间t，A型的极值大于B型的极值。

这意味着A型部件的不太可能的大损耗比B型部件的不太可能的大损耗更有可能。因此，A型组件对池的影响大于B型组件，即使A型组件占池的1/3，而B型组件占池的2/3。然后，在图7的右边，我们看到了一个水平的最优ψ极值的比较l = 系统性风险影响是否存在的情况为0.85。如果一个大的阶段发生了，那么这个阶段最重要的是系统性的影响。因此，总而言之，对极端群体的分析表明，在这样一个群体中，如果出现一个大的群体，很可能是由于系统性风险因素的影响，这会影响更多的a型名称，而更少的B型名称。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8时间PHI极端依赖仅持续系统风险仅系统风险和传染0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8时间PHI极端依赖性仅接触系统风险仅系统风险和传染图6。t的最优φ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：A型为φ极值。右面板：B型为φ极值。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 B0型为φ极值。2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020次psi极端系统性风险仅系统性风险和传染性图7。左图：存在系统风险影响时A型和B型φ极值的比较。右面板：t的最佳ψ（t）∈ [0,1]和l = 0.85.5. 大偏差原理的证明定理3.1的证明分两步进行。

首先，当βC=0时，我们证明了相应的结果，即当默认值相互独立时，我们证明了在异种情况下的LDP（第5.1小节）。然后，基于这个结果，结合定理5.7，我们将得到第5.2小节中定理3.1所需的LDP。在5.3小节中，我们证明了定理3.10.5.1。独立性和异质性下的大偏差。每N∈ N、 设{τind，Nn}Nn=1强度为（16）dλind，N，nt=-αN，N（λind，N，nt）-¨λN，N）dt+σN，nqλind，N，ntdWntt>0λind，N，N=λo,N、 换句话说，τind，Nndef=infT≥ 0:Ztλind，N，ns≥ EN其中en是re，如（2）所示。那么{τind，Nn}Nn=1是一组独立的随机变量（尽管它们不是同分布的）。定义类型和违约时间的经验度量：νind，N=NNXn=1δpN，N，τind，Nn。此外，让（17）Hind（ν）=（Rp∈酸碱度dνdU（p），up0,0U（dp）如果ν马克思主义者∞ 另一种情况是，H如（9）所示。“后”的定义与“H”的定义（10）不同，因为我们用up0,0替换了upν，0in（10）。这与没有传染性或系统性影响相关，这与设置βC=βS=0导致独立违约率相同。然后，相应的大偏差原则如下所示。定理5.1。家族{νind，N，N∈ N} 用速率函数“Hind（ν）：P（P×T）7满足大偏差原理→ [0, ∞].证据上界和下界后面分别是引理5.4和5.6。现在我们来证明这是一个具有紧水平集的下半连续泛函。H的下半连续性dνdU（p），up紧接着，因为H（ν，u）是每个变量ν或u分别的凸下半连续函数（例如[8]中的引理1.4.3）。由于相对熵H（ν，u）的相应性质（例如，引理[8]中的引理1.4.3），水平s ets的紧致性再次出现。

这些性质被[6]中的引理6.2.16继承到了“Hind（ν）”。这就完成了定理的证明。备注5.2。在均匀性下，即如果pN，n=Pf或所有n∈ N和N∈ {1，··，N}那么LDP是萨诺夫定理的直接结果，由（9）给出。默认值的分布不一致这一事实给证明带来了一些额外的困难，如下所示。5.1.1. 紧凑的支持。它通常有助于（从紧集的大偏差上界传递到闭集的上界）显示足够的紧密性。在我们的例子中，假设2.1实际上提供了紧凑的支持。假设2.1意味着P有一个有界子集K，使得pN，n∈ K福尔N∈ N和N∈ {1,2…N}。因为T本身很紧凑[-K2。1，K2。1] ×T是compac T，a和factνind，N[-K2。1，K2。1] ×T= 1.将其移动到测量空间，让我们定义（18）Kdef=ω ∈ P（X）：ω[-K2。1，K2。1] ×T= 1..然后K P（X）和P-a.s.νind，N∈ K代表所有人N∈ N.5.1.2。大偏差上限。在这一部分中，我们证明了大偏差上界。让我们从f′H（ν）的等价表征开始。引理5.3。每一刻∈ P（X）我们有，H（ν）=supφ∈C（P×T）（Z（P，T）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈扑通一声∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））。证据首先我们假设随机核ξ=ν马克思主义者。对于φ∈ C（T）和p∈ P、 让我们定义（φ，P）def=Zt∈Tφ（T）ξ（p）（dt）- logZt∈Teφ（t）up0,0（dt）。相对熵[8，定理1.4.3]的Donsker Varadhan变分表示为thatH（ξ（p），up0,0）=supφ∈C（T）G（φ，p）。对于任何φ∈ C（X；R），我们有z（p，t）∈P×Tφ（P，T）ν（dp，dt）-Zp∈扑通一声∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）=Zp∈PZt∈Tφ（p，T）ξ（p）（dt）- lo gZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）=Zp∈PG（φ（p，·），p）U（dp）≤Zp∈PH（ξ（p），up0,0）U（dp）=Hind（ν）。为了证明相反的不等式，definefn（p）=supφ∈C（X），kφk≤所有正整数N的NG（φ（p，·），p）。现在修复η>0。

对于每个N，让φ*N∈ C（X；R）为kφ*Nk≤ N和g（φ*N（p，·），p）≥ FN（p）- η. 从N7开始→ FN（p）对于每一个p都是不递减的∈ P、 单调共收敛意味着H（ν）=Zp∈普林→∞FN（p）U（dp）≤ 画→∞Zp∈PFN（p）U（dp）≤ 画→∞Zp∈PG（φ）*N（p），p）U（dp）+η≤ supφ∈C（X）ZPG（φ，p）U（dp）+ηLetη0；把这些东西结合起来，我们有权要求ν马克思主义者。接下来让我们考虑一下νUI定义不明确；因此“Hind（ν）=∞. 然后是A∈ B（P）和B∈ B（T）使得ν（A×B）>0且U（B）=0。因为P是波兰的，所以Asuch有一个闭合的d子集F，其ν（F×B）>0。对于c>0和N∈ N、 定义φcN（p，t）=c exp[-N distX（（p，t，F×B）]，其中distX（·F×B）是（X）到F×B的距离→∞φcN=cχF×b逐点。通过主导收敛，我们得到了thatsupφ∈C（X）（Z（p，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））≥画→∞（Z（p，t）∈XφcN（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈TeφcN（p，t）up0,0（dt）U（dp））=Z（p，t）∈XcχF×B（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈TecχF×B（p，t）up0,0（dt）U（dp）如果p∈ Fc，thenZt∈TecχF×B（p，t）up0,0（dt）=Zt∈T1up0,0（dt）=up0,0（T）=1。Thussupφ∈C（X）（Z（p，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））≥ cν（F×B）。让c∞, 我们在νUI定义不明确，无法完成证据。现在我们可以证明上界了。引理5.4。对于任何闭集F P（X），我们有limn→∞Nln Pνind，N∈ F≤ - infν∈FHind（ν）证明。使用（18），我们用（19）P这个事实来表示tνind，N∈ F= Pνind，N∈ F∩ K.修理l < infν∈F∩K′Hind（ν）。每一天∈ C（X；R），呼吸φ=（ν）∈ P（X）：Z（P，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up（dt）U（dp）>l)通过引理5.3，我们得到了∩ K ∪φ∈C（X）Aφ。自从F∩ K是compa c t，实际上我们有∩ K ∪φ∈对于C（X；R）的某些有限子集ΦAφ。

因此（20）Pνind，N∈ F∩ K≤Xφ∈ΦP{νind，N∈ Aφ}。利用指数切比雪夫不等式，我们计算出νind，N∈ Aφ≤ P（Z（P，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）>l +Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）= P（新西兰（P，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）>Nl + NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）≤ 经验[-Nl] E exp“新西兰（p，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）#×exp-NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）≤ 经验[-Nl] 经验NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）联合国（dp）×exp-NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）苏斯林→∞Nln Pνind，N∈ Aφ≤ -l.在（20）中使用这个函数的次数是有限的，我们得到了这个极限→∞Nln Pνind，N∈ F∩ K≤ -l.让l infν∈F∩K’Hind（ν），我们有那个limn→∞Nln Pνind，N∈ F∩ K≤ - infν∈F∩K′Hind（ν）。最后回到（19），我们计算thatlimN→∞Nln Pνind，N∈ F≤ - infν∈F∩K’Hind（ν）≤ - infν∈F’Hind（ν）向我们提出索赔。5.1.3. 大偏差下限。在本节中，我们将证明大偏差下界。我们需要以下连续性结果。引理5.5。地图第7页→ up0,0是从P到P（T）的连续映射。证据这很容易遵循明确的公式（7）。我们现在可以证明下限了。引理5.6。设G是P（X）的开子集。德林→∞Nln Pνind，N∈ G≥ - infν∈G’Hind（ν）证明。我们以标准的方式前进。它有助于*∈ G使得¨Hind（ν）*) < ∞ η>0，表示（21）limN→∞Nln Pνind，N∈ G≥ -\'Hind（ν）*) - η.让我们了解“Hind（ν）”的含义*) < ∞. 然后ξdef=ν*Uexists和ZP∈PH（ξ（p），up0,0）U（dp）<∞soh（ξ（p），up0,0）<∞ 对于U-a.e.p∈ P.因此ξ（P）<< U-a.e.p.的up0,0∈ P.最后，这和Tonelli的理论确保φ（P，t）def=dξ（P）dup0,0（t）定义良好。事实上，定义随机核uo0,0（p）def=up0,0，我们得到了t（22）φ=dν*d（uo0,0 U）所以φ是可测量的。