函数伊藤演算、路径依赖与希腊语计算

注意xf（Xt）=k∑i=1 φ 十一xfi（Xt），tf（Xt）= φt+k∑i=1 φ 十一tfi（Xt）。因此，我们得出结论Txf（Xt）=k∑i=1φ 十一Txfi（Xt）+ φ 十一Txfi（Xt）+k∑i=1k∑j=1φ 十一 xjxfi（Xt）tfj（Xt），十、tf（Xt）=k∑i=1φ 十一Txfi（Xt）+ φ 十一十、tfi（Xt）+k∑i=1k∑j=1 φ 十一 xjxfj（Xt）tfi（Xt）.3.1基于坦然x、 我们为泛函定义了几种不同类型的路径依赖。定义3.4。A泛函f:∧-→ 如果lf=0，则称R为局部弱路径依赖如果存在φ：R+×R，则路径独立-→ R如f（Yt）=φ（t，Yt）；o如果存在0<t<·tn，则进行离散监测≤ 对于每个T∈[0，T]，φ（T）：Ri（T）-→ R使得f（Yt）=φ（t，Yt，…，yti（t），Yt），（3.3），其中i（t）是最大i∈ {1，…，n}这样≤ t、 o如果lf（Yt）=0，则t-延迟路径相关， t<t。此外，如果存在t>0使得f是延迟路径依赖的，则称函数f是延迟路径依赖的强路径依赖if [s，t] [0，T]， U∈ [s，t]，lf（Yu）6=0。备注3.5。在数学金融学中，弱路径依赖的术语被用来表示衍生产品价格，衍生产品价格是经典Black–Scholes偏微分方程的解，带有一些附加的边界条件，例如美国香草期权和障碍期权。假设这些合约的利益事件没有发生，它们的价格仍然是时间和股票当前价值的函数；例如，见[29]。我们想提醒读者，术语弱路径依赖的含义与我们的定义无关。在这里，我们想强调术语中的局部术语，它强调李括号L的瞬时方面。下一个命题分析离散监控泛函的李括号。提议3.6。

如果f是一个离散监控泛函，其Lie括号存在，则L f（Yt）=0，但对于t，。。。，证明。拿t∈ （ti+1）。对于足够小的δt>0，使得t+δt∈（ti，ti+1），我们必须有f（（Yt，δt）h）=φ（t+δt，Yt，…，yti（t），Yt+h）=f（（Yht）t，δt）。因此，Lf（Yt）=0.3.2合同功能对价格功能路径依赖性的影响在本节中，我们将对合同功能g:λT如何发挥作用进行一些调查性讨论-→ R影响价格f的路径依赖性，如Lie括号所示。我们的目标不是对g进行最一般的假设。这里的目标是将契约函数g的路径依赖性的度量与价格函数f的路径依赖性（用Lie括号度量）联系起来。特别地，我们将仅在g上导出一个条件，使得pricef是局部弱路径依赖的。从这一点来看，很明显，我们应该把自己限制在x的马尔可夫动力学中。然后我们可以写ef（Yt）=E[g（XT）|Yt]=E[g（Yt） Xytt，T）]，其中Xytt，是从T到T的路径，后跟从（T，yt）开始的x。因此，f（（Yht）t，δt）=E[g（（Yht）t，δt Xyt+ht+δt，t）]，f（（Yt，δt）h）=E[g（（Yt，δt）h Xyt+ht+δt，t）]。如果f满足引理3.2，我们将f（Yt）=limδt→0+h→0Eg（（Yht）t，δt Xyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Xyt+ht+δt，t）hδt.然后我们得到了以下结果，并给出了简单的证明。提案3.7。设g:T∧-→ R是一份有效的合同∈ ∧与ZT∈ λT，存在以下极限：φ（Yt，ZT）=limδT→0+h→0g（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）hδt，（3.4），满足以下有界性假设：g（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）≤ c（Yt，ZT）ψ（h，δt），（3.5）式中c:∧×∧t-→ [0, +∞) 带E[c（Yt，XT）]<+∞ limitlimδt→0+h→存在0ψ（h，δt）hδt（3.6）。

然后，如果f满足引理3.2，我们发现lf（Yt）=E[φ（Yt，XT）]。在我们的例子中，由于x是一个连续扩散，我们可以将极限（3.4）限制为连续ZT。如果愿意的话≡ 0，f将是局部弱路径依赖的。此外，如果等式（3.4）中的极限是一个常数（相对于Z）差于零，那么f将不会是局部弱路径依赖的。我们想指出，如果≡ 在方程（3.4）中为0，那么对于x的任何马尔可夫模型，f都是弱路径依赖的。应该清楚的是，在x的路径依赖动力学的情况下，上述参数不起作用。下面我们分析两个有趣的例子：契约泛函g及其价格泛函f在马尔可夫模型下的路径依赖性。例3.8。让我们考虑二重积分的例子，见等式（3.1）：I（Yt）=Ztysds和II（Yt）=ztzsyududds。我们已经看到LII=0。然而，正如我们将要验证的那样，f（Yt）=E[~n（II（XT））|Yt]可能不是局部弱路径依赖的，这取决于我们假设C（R）中存在有界导数。通过直接计算，我们得到了（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- II（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）=hZt+δtt（s-t） ds+h（t）-T- δt）δt=hδt（t-（t）-hδt意味着φ（II（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- ν（II）（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t））=ψ（c）hδt（t-（t）-hδt,对于II（（Yht）t，δt之间的一些c Zyt+ht+δt，t）和II（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）。因此，limδt→0+h→0~n（II（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- ν（II）（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）hδt=（t-t） ~n（二）（年至今） Zt，T），这意味着f不是局部弱路径依赖的，如果满足E[~n（II（YtXt，T））]6=0。在这种情况下，局部弱路径依赖性属性依赖于动力学x。示例3.9。现在，让我们考虑另一个例子：g（YT）=~n（QV（YT）），其中QV（YT）表示路径YT的二次变化，有关该路径二次变化函数的精确定义，请参见附录B。

计算qv（（Yt，δt）h很简单 Zyt+ht+δt，t）=QV（Yt-) + （yt）- yt-)+ h+QV（Zyt+ht+δt，t），QV（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）=QV（Yt-) + （yt）- yt-+ h） +QV（Zyt+ht+δt，t）。因此，QV（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- QV（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）=2（yt- yt-)这意味着φ≡ 方程（3.4）中的0，对于在t处没有间断的路径Yt。因此，对于x.4，对于路径依赖导数4，在任何马尔可夫动力学下，f（Yt）=E[~n（QV（XT））|Yt]在连续路径上是局部弱路径依赖的。1简介在[13]中，作者提出了一种计算效率高的方法，使用Malliavin演算工具计算某些路径相关导数的Greekson。更具体地说，他们考虑了一个时间同质的局部波动模型，dxt=rxtdt+σ（xt）dwt，（4.1）和形式为g（YT）=φ（YT，…，ytn）的合约，其中0<t<·tn≤ T为固定时间和φ：Rn-→ R等于g（XT）∈L(Ohm,F，P）。在这些假设下，结果表明xf（Y）=Eφ（xt，…，xtn）ZTa（t）ztσ（xt）dwtY,式中，x是（4.1）的解，x=Y，z是切线过程（或误差变化过程），由z=1的SDEdzt=rztdt+σ（xt）ztdwt（4.2）描述，且∈ Γ =A.∈ L[0，T]；Ztia（t）dt=1， i=1，。。。，N.我们还假设σ是一致椭圆的，在一维情况下，它可以归结为σ从下方有界。如果我们定义的权重π=ZTa（t）ztσ（xt）dwt，（4.3）不取决于衍生合同g，我们可以将结果重申为：xf（Y）=E[φ（xt，…，xtn）π| Y].4.2路径依赖波动率模型我们想提醒读者，我们正在考虑更一般的路径依赖波动率模型，见第2.2节。为了算法的简单性，我们假设r=0:dxt=σ（Xt）dwt。（4.4）在这种路径依赖波动的情况下，我们将切线过程z定义为线性SDE的解：dzt=xσ（Xt）ztdwt，（4.5），其中z=1。备注4.1。

我们想指出，证明z实际上是x的切向过程，这意味着zt=xxt，不会在这里被追查。正如稍后将要明确的，关于我们的应用，当我们计算微分d时，过程Z取消某些项才是重要的(xf（Xt）zt）。此外，请注意，在局部波动函数的情况下，z成为x的通常切线过程，即zt=xxt。备注4.2。需要注意的是，潜在过程x的动力学显然会影响价格函数f（Yt）=E[g（XT）|Yt]的路径依赖性。特别是，在局部波动性模型下，衍生工具的价格可能具有弱路径依赖性，但在考虑路径依赖性波动性模型时，其价格具有强路径依赖性。路径依赖的这一方面非常复杂，因此，在本文给出的示例中，我们将考虑局部波动模型。尽管如此，一般结果将在泛函微积分理论允许的完全通用性下得出，即在路径依赖的波动率模型下。备注4.3。在附录B所示的几行中，我们将考虑函数z，使得z（Xt）=zt，即z（Yt）=e（Ih（Y）t），其中h（Yt）=xσ（Yt）σ（Yt），有关函数E和Ih的定义，请参见附录B。根据本附录中的论证，可以很容易地证明z满足xz（Yt）=xσ（Yt）-)σ（Yt）-)z（Yt）-), xxz（Yt）=0和tz（Yt）=0。（4.6）我们现在列出σ的假设，这些假设将用于以下内容。它们将被认为贯穿整篇论文。假设4.4（路径依赖的波动率σ）。1。σ > 0;2. σ ∈ C0,1，即σ是∧连续的，xσ存在且也是∧连续的；3.SDE（4.4）和（4.5）具有独特的强解，见备注2.1；4.

进程x的拓扑支持包含从x开始的[0，T]中的所有连续函数，见备注2.6。备注4.5（强解决方案）。（4.4）的唯一强解是通过要求σ满足通常的Lipschitz和线性增长条件来保证的，参见备注2.1。方程（4.5）的强解来源于xσ（Xt）（假设σ∈ C0,1）。备注4.6。我们将自己限制在一维过程中，以使阐述更清晰，尽管扩展到多维过程很简单。此外，本文中以下部分的结果将在假设C意义上的光滑性的情况下导出，但人们应该预期，它们可以推广到考虑C意义上的光滑泛函，如附录B.4.3弱路径依赖泛函4所述。3.1 Delta衍生工具合同的Delta是其价格相对于标的资产现值的敏感性。因此，如果f（Xt）表示上述衍生工具在时间t的价格，则其增量由下式给出：xf（Xt）。考虑一个路径依赖的导数，其到期日为T，合同为g:T∧-→R.该导数的价格由函数f∧给出-→ R:f（Yt）=E[g（XT）|Yt]，对于任何Yt∈ Λ. 在下面的内容中，我们将进行一些形式计算，因此我们假设f是光滑的，这是计算所必需的。根据定理2.5，我们知道tf（Yt）+σ（Yt）xxf（Yt）=0，对于任何连续路径Yt。现在，考虑等式（4.5）给出的切线过程z。其主要思想是将泛函公式定理2.2应用于xf（Xt）zt。

首先，请注意PPDE提供的xtoxtf（Yt）+σ（Yt）xσ（Yt）xxf（Yt）+σ（Yt）xxxf（Yt）=0（4.7）为了得出上述结论，需要以下结果：如果f（Yt）=0，对于所有连续路径Y和f∈ C1，1，那么对于所有连续路径Y，xf（Yt）=0。这一点的证明可在[11，定理2.2]中找到。亨塞德(xf（Xt）zt）=ztd(xf（Xt））+xf（Xt）dzt+d(xf（Xt））dzt=txf（Xt）+σ（Xt）xxxf（Xt）+σ（Xt）xσ（Xt）xxf（Xt）ztdt+(xσ（Xt）xf（Xt）+σ（Xt）xxf（Xt））ztdwt。此外，我们定义了局部鞅mt=Ztxσ（Xs）σ（Xs）xf（Xs）+xxf（Xs）zsdxs，（4.8），其中m=0，我们假设被积函数的某些可积条件。利用方程（4.7），我们可以推导出公式(xf（Xt）zt）=(txf（Xt）- xtf（Xt））ztdt+dmt=-lf（Xt）ztdt+dmt。（4.9）我们首先陈述关于函数f的假设：假设4.7（关于价格函数f的规律性）。f的Lie括号，lf，存在；2.f∈ C2,3；3.g（XT）∈ L(Ohm,F，P）。假设4.8。对于连续路径Yt，lf（Yt）=0。特别是如果f是局部弱路径依赖的，则f满足假设4.8。因此，以下结果成立：定理4.9。考虑一个路径依赖的导数，其到期日为T，收缩率为∧T-→ R.如果该衍生产品的价格用f表示，则满足假设4。然后是7和4.8(xf（Xt）zt）t∈[0，T]是局部鞅，下面的Delta公式是有效的xf（Y）=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwtY.证据根据附录C中概述的本地化论证，我们可以假设∈ x和m是鞅。根据等式（4.9）、假设（4.8）以及几乎肯定的连续路径，我们得出结论xf（Xt）zt=xf（X）+mt，然后(xf（Xt）zt）t∈[0，T]显然是一个鞅。

现在，与尊重t集成，我们得到了ZTxf（Xt）ztdt=xf（X）T+ZTmtdt。然后考虑期望值并注意到E[mt]=m=0，我们得到ZTxf（Xt）ztdt= xf（X）T，这意味着xf（X）=EZTxf（Xt）Tztσ（Xt）σ（Xt）dt(4.10)=xf（X），Tzσ（X）Hx。（4.11）最后，由于f（X）和X是鞅，通过分部积分公式（2.14），xf（X）=f（X），IxTzσ（X）Mx=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt.备注4.10。在Black-Scholes模型中（即σ（Yt）=σYt），我们得到了与[13]中相同的结果xf（X）=Eg（xT）wTxσT.备注4.11。定理4.9指出，对于局部弱路径依赖泛函，权重的形式为π=TZTztσ（Xt）dwt，（4.12）参见等式（4.3）。备注4.12。定理4.9也启发了Delta是鞅的问题。该定理证实了Delta的马提尼性损失来自两个因素：通过切线过程z的股价模型和所讨论的衍生合约的路径依赖性。例如，让我们考虑看涨期权。众所周知，在Black-Scholes模型下，Delta不是鞅。尽管acall期权的价格是局部弱路径依赖的（实际上它是路径独立的），但该模型中的交易过程由zt=xt/x给出。另一方面，在Bachelier模型下，局部弱路径依赖导数的增量实际上是一个鞅，因为在这种情况下zt=1。备注4.13。人们会认为假设f∈ C2,3可以使用密度参数删除。然而，目前在泛函微积分理论的发展中，还没有这方面的结果，发展密度参数超出了本文的范围。推论4.14。

在与定理4.9相同的假设下∈ [0，T]，有一个xf（Ys）=（T- s） z（Ys）Eg（XT）ZTsztσ（XT）dwtY,（4.13）其中z（Ys）是切线过程z的功能版本，见备注4.3。证据同样的论点也适用，但有一些细微的差别。请注意，对“按零件积分”公式的研究可以很容易地扩展到处理条件期望。4.3.2强路径依赖函数如果f是强路径依赖函数，这些公式会发生什么变化？方程（4.9）的积分形式为xf（X）=xf（Xt）zt+ZtL f（Xs）zsds- mt.（4.14）结合t和期望，我们得到xf（X）=ETZTxf（Xt）ztdt+ ETZTL f（Xs）zsdsdt.（4.15）现在，对于第一个期望，我们使用与定理4.9相同的论点来总结TZTxf（Xt）ztdt= Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt.因此，我们证明了以下定理：定理4.15。对于到期日为T且合约期为G的路径依赖型衍生工具，其价格（用函数f表示）满足假设4.7的情况下，Delta的以下公式成立：xf（X）=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt+ ETZTL f（Xs）zsdsdt.（4.17）由于上述公式参考了f及其Lie括号，因此它在计算上并不具有吸引力，因为它是为局部弱路径依赖泛函推导的公式，参见定理4.9。为了在计算方面获得更好的结果，对于（4.17）右边的第二项，未来的研究应该集中在伴随和/或部分积分上坦然辛Hx。零件积分公式[6，第3节]中介绍了xin Hxis。在任何情况下，对等式（4.17）右侧第二项的一个重要解释是对等式（4.16）局部弱路径依赖“δ”的路径依赖修正，它没有考虑衍生合约的强路径依赖结构。

这是函数It微积分框架最重要的成就之一：它允许我们量化函数的路径依赖如何影响契约的增量。我们想提醒大家注意，这并不是在Malliavin微积分框架内实现的。在接下来的部分中，我们将提供局部弱路径依赖导数契约的Gamma和Vega公式。定义3.4的路径依赖性的不同分类的类似公式和证明可以通过类似的论证推导出来。4.3.3 Gammath衍生工具的Gamma是其Delta对标的资产当前价值的敏感性，即。xxf（Xt）。在这里，我们将推导出伽马射线的类似公式（4.13）。假设4.16。tσ=txσ=0英寸∧。请注意，对于时间均匀的局部挥发模型，假设4.16是满足的，见等式（4.1）。定理4.17。根据假设4.7和4.8，f和xf和额外假设σ满足假设4.16，我们发现xxf（Xs）=E[g（XT）ξs，T|Xs]，其中ηs=Zsztσ（XT）dwt，（4.18）ξs，T=（ηT- ηs）（T- s） zs-xσ（Xs）σ（Xs）ηT- ηs（T）- s） zs-（T）- s） σ（Xs）。（4.19）证据。首先，存在泛函z和η，使得z（Xt）=zt和η（Xt）=ηta。s、 函数导数（见附录B中的函数导数）。此外，通过同样的论证，我们可以很容易地得出结论：xη（Yt）=z（Yt-)σ（Yt）-), xxη（Yt）=0和tη（Yt）=0。现在请记住推论4.14中给出的以下公式：- s） z（Y）xf（Ys）+f（Ys）η（Ys）=E[g（XT）η（XT）|Ys]。然后定义?g（YT）=g（YT）η（YT）和?f（Ys）=E[?g（XT）| Ys]。因此，f（Ys）=（T- s） z（Y）xf（Ys）+f（Ys）η（Ys）。很容易看出，f满足假设4.7，因为xf和f本身满足这个假设。